লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

মোট প্রশ্ন৩,২১১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ২৮ / ৩২ · ২,৭০১–২,৮০০ / ৩,২১১

২,৭০১.
ABC-একটি বৃত্তস্থ ত্রিভুজ। AB বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠CBD = ১১০° হলে ∠ABC = কত?
  1. ক
    ৫৫°
  2. খ
    ৭০°
  3. গ
    ১৮০°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC-একটি বৃত্তস্থ ত্রিভুজ। AB বাহুকে D পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠CBD = ১১০° হলে ∠ABC = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, ∠CBD = ১১০°
⇒ ∠ABC + ∠CBD = ১৮০°   ;[এক সরল কোণ = ১৮০°]
⇒ ∠ABC + ১১০° = ১৮০°
⇒ ∠ABC = ১৮০° - ১১০°
∴ ∠ABC = ৭০°
২,৭০২.
চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆ABC অন্তর্লিখিত। ∠y = 112° হলে, ∠x = ?
  1. ক
    68°
  2. খ
    34°
  3. গ
    45°
  4. ঘ
    39°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্র অনুসারে O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∆ABC অন্তর্লিখিত। ∠y = 112° হলে, ∠x = ?

সমাধান:
ΔBOC এর বহিঃস্থ ∠AOB =∠OBC + ∠OCB
এখন, ∠AOB + ∠y = 180°
∠OBC + ∠OCB + ∠y = 180° [∠OBC = ∠OCB]
∠x + ∠x = 180° - 112°
2∠x = 68°
∠x = 34°
২,৭০৩.
দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। একটি বৃত্তের ব্যাস ৬ মিটার এবং অপর বৃত্তের ব্যাস ৪ মিটার হলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    ক) ৬ মিটার
  2. খ
    খ) ৫ মিটার
  3. গ
    গ) ২ মিটার
  4. ঘ
    ঘ) ১ মিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। একটি বৃত্তের ব্যাস ৬ মিটার এবং অপর বৃত্তের ব্যাস ৪ মিটার হলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৬/২ = ৩ মিটার 
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৪/২ = ২ মিটার 

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = ৩ - ২ মিটার = ১ মিটার
২,৭০৪.
একটি রেখাংশের কয়টি প্রান্তবিন্দু থাকে?
  1. ক
    ক) ১ টি
  2. খ
    খ) ২ টি
  3. গ
    গ) অসীম
  4. ঘ
    ঘ) কোন প্রান্তবিন্দু থাকে না
ব্যাখ্যা

রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।
রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য আছে।
রশ্মির প্রান্ত বিন্দু একটি, নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য নেই।

২,৭০৫.
এক বিন্দু দিয়ে কয়টি বৃত্ত অংকন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) অসংখ্য
  3. গ
    গ) ৩০০টি
  4. ঘ
    ঘ) একটিও না
ব্যাখ্যা
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
২,৭০৬.
স্পর্শ না করে দুইটি বৃত্ত পাশাপাশি অবস্থান করলে, কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যাবে?
  1. ক
    ২ টি
  2. খ
    ৩ টি
  3. গ
    ৪ টি
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্পর্শ না করে দুইটি বৃত্ত পাশাপাশি অবস্থান করলে, কয়টি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যাবে?

সমাধান:

স্পর্শ না করে দুইটি বৃত্ত পাশাপাশি অবস্থান করলে, চারটি সাধারণ স্পর্শক আঁকা যাবে।
যথা - AB, BC, CD, EF ও GH
২,৭০৭.
নিচের কোনটি সঠিক? 
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে
ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা
iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90° 
  1. ক
    i
  2. খ
     i ও ii
  3. গ
    ii ও iii
  4. ঘ
    i, ii ও iii
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক? 
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে 
ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা
iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90° 

সমাধান:
i. যার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নেই, শুধু অবস্থান আছে তাকে বিন্দু বলে।
এটি সঠিক। গাণিতিক সংজ্ঞা অনুযায়ী, বিন্দু হলো এমন একটি জ্যামিতিক উপাদান যার মাত্রা নেই, কেবল অবস্থান আছে।

ii. দুইটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যকার ক্ষুদ্রতম দূরত্ব হলো সরলরেখা।
এটি সঠিক। গাণিতিকভাবে, দুইটি বিন্দুর মধ্যে সংক্ষিপ্ততম দূরত্ব বা সরাসরি সংযোগ হলো সরলরেখা।

iii. 0° এর সম্পূরক কোণ 90° এটা ভুল। কারণ, 0° এর সম্পূরক কোণ 180°

সুতরাং, সঠিক উত্তর খ)  i ও ii

২,৭০৮.
x + y = 0 এবং 2x – y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
  1. ক
    ক) (০, -১)
  2. খ
    খ) (-১, ১)
  3. গ
    গ) (১, ০)
  4. ঘ
    ঘ) (৩, -৩)
ব্যাখ্যা

x + y = 0 এবং 2x – y + 3 = 0 সমীকরন দুটি যোগ করে পাই,
3x + 3 = 0
x = -1
x- এর মান ১ম সমীকরনে বসিয়ে পাই, y = 1
সরলরেখা দুটি (-১, ১) বিন্দুতে ছেদ করে।

২,৭০৯.
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরেকে-
  1. ক
    ক) শুধু সমকোণে দ্বিখন্ডিত করে
  2. খ
    খ) সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে
  3. গ
    গ) সমকোণে অসমভাবে দ্বিখন্ডিত করে
  4. ঘ
    ঘ) শুধু সমদ্বিখন্ডিত করে
ব্যাখ্যা
যে আয়তে চারটি বাহু সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণ দুইটি অসমান তথা কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।
প্রকৃতপক্ষে, রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়।
রম্বসকে অনেকসময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত।
আবার এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে। রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
২,৭১০.
দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11:7 হলে, কোণ দুইটির মান কত?
  1. ক
    ক) ১১০,৭০
  2. খ
    খ) ১০০,৮০
  3. গ
    গ) ৯০,৯০
  4. ঘ
    ঘ) সবগুলো
ব্যাখ্যা

ধরি, কোণ দুইটি যথাক্রমে 11x ও 7x
প্রশ্নমতে,
11x + 7x = 180
বা, 18x = 180
বা, x = 10
∴ কোণ দুইটির মান 110 ডিগ্রী এবং 70 ডিগ্রী।

২,৭১১.
ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 40° এবং ∠B = 60° হলে, ∠ACD = কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ১৮০°
  2. খ
    ৯০°
  3. গ
    ১০০°
  4. ঘ
    ১২০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হলো। ∠A = 40° এবং ∠B = 60° হলে, ∠ACD = কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ত্রিভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তা এর বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∠ACD = ∠A + ∠B
= 40° + 60°
= 100°
২,৭১২.
10 একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    100 বর্গএকক
  2. খ
    200 বর্গএকক
  3. গ
    240 বর্গএকক
  4. ঘ
    256 বর্গএকক
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ একক ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r =10 একক 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল:
A = πr2 = 100π = 314.16 বর্গএকক  

বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = 2r = 20 একক
বর্গক্ষেত্রের একটি বাহু: 
a = কর্ণ/√2
= 10√2 একক 

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:
A = a2 = (10√2) = 100 × 2 = 200 বর্গএকক


২,৭১৩.
ABCD সামান্তরিকের দুটি কোণের মান দেয়া আছে। x এর মান কত?
  1. ক
    10
  2. খ
    20
  3. গ
    22
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD সামান্তরিকের দুটি কোণের মান দেয়া আছে। x এর মান কত?

সমাধান:
ABCD সামান্তরিকের ∠A = ∠C এবং ∠B = ∠D
এখানে,
∠D + ∠C = 180°
⇒ ∠B + ∠C = 180°
⇒ 4x + 12° + 3x + 14° = 180°
⇒ 7x + 26° = 180°
⇒ 7x = 154°
∴ x = 22°
২,৭১৪.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের -
  1. ক
    ক) সমান
  2. খ
    খ) অর্ধেক
  3. গ
    গ) দ্বিগুণ
  4. ঘ
    ঘ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অর্থাৎ, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের মান 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ হবে 120°।

২,৭১৫.
২৫০° কোণটি হলো- 
  1. ক
    সমকোণ
  2. খ
    সূক্ষ্মকোণ
  3. গ
    স্থূলকোণ
  4. ঘ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৫০° কোণটি হলো- 

সমাধান: 
- ৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে। 
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে। 

∴ ২৫০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
২,৭১৬.
একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৫ গুণ হলে, কোণটির মান কত?
  1. ক
    ১২০°
  2. খ
    ১৩৫°
  3. গ
    ১৫০°
  4. ঘ
    ১৫৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণের ৫ গুণ হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণটি = ক
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক

প্রশ্নমতে,
ক = ৫(১৮০° - ক)
⇒ ক = ৯০০° - ৫ক
⇒ ক + ৫ক = ৯০০° 
⇒ ৬ক = ৯০০°
⇒ ক = ৯০০°/৬
∴ ক = ১৫০°
২,৭১৭.
ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠B = 80°, ∠D = কত?
  1. ক
    80°
  2. খ
    90°
  3. গ
    100°
  4. ঘ
    110°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। ∠B = 80°, ∠D = কত?

সমাধান:

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুইটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা 180°

∴ ∠B = 80° হলে, ∠D = 180° - 80° = 100°
২,৭১৮.
নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে?
  1. ক
    x2 + 2y + 5 =0
  2. খ
    x + 2y2 + 5 = 0
  3. গ
    x + 2y + 5 = 0
  4. ঘ
    2xy + 5 = 0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোনটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে?

সমাধান: 
x + 2y + 5 = 0
⇒ 2y = - x - 5
⇒ y = (- x - 5)/2
⇒ y = (-1/2)x - (5/2)
⇒ y = (-1/2)x + {- (5/2)}; যা সরলরেখার সমীকরণ y = mx + c এর অনুরূপ।
২,৭১৯.
২৭৯° কোণকে কী কোণ বলে?
  1. ক
    সূক্ষ্মকোণ
  2. খ
    স্থূলকোণ
  3. গ
    পূরক কোণ
  4. ঘ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৭৯° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- তাই ২৭৯° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
২,৭২০.
  1. ক
    ক) 60°
  2. খ
    খ) 120°
  3. গ
    গ) 150°
  4. ঘ
    ঘ) 180°
ব্যাখ্যা
ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে,
∠BOC
= 2∠BAC
= 2 × 60°
= 120°
২,৭২১.
৮ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    ২ মিটার
  2. খ
    ৪ মিটার
  3. গ
    ৮ মিটার
  4. ঘ
    ৬ মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ মিটার বাহু বিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান: 

বর্গের অভ্যন্তরে অঙ্কিত বৃত্তের ব্যাস বর্গের বাহুর সমান।
অর্থাৎ,
বৃত্তের ব্যাস = ৮ মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৮/২ মিটার = ৪ মিটার

২,৭২২.
একটি চাকার ব্যাসার্ধ 28 সে. মি. চাকাটি একবার ঘুরলে কতটুকু পথ অতিক্রম করবে? 
  1. ক
    ক) 167 সে. মি.
  2. খ
    খ) 716 সে. মি.
  3. গ
    গ) 617 সে. মি.
  4. ঘ
    ঘ) 176 সে. মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাসার্ধ 28 সে. মি. চাকাটি একবার ঘুরলে কতটুকু পথ অতিক্রম করবে? 

সমাধান: 
চাকার ব্যাসার্ধ r = 28 সে. মি
চাকার ব্যাস, 2r = 56 সে. মি. 

একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
চাকার পরিধি = 2πr
          = 2r.π
         = 56 × (22/7) সে. মি.
          =176 সে. মি.
২,৭২৩.
3 cm ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলকের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 36π বর্গসেন্টিমিটার
  2. খ
    খ) 36 বর্গসেন্টিমিটার
  3. গ
    গ) 18π বর্গসেন্টিমিটার
  4. ঘ
    ঘ) π বর্গসেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, গোলকের ক্ষেত্রফল = 4πr² = 4π×3² = 36π বর্গসেন্টিমিটার।

২,৭২৪.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 18 সে.মি. এবং বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য 10π সে.মি.। বৃত্তচাপটি দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    90°
  2. খ
    95°
  3. গ
    98°
  4. ঘ
    100°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 18 সে.মি. এবং বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য 10π সে.মি.। বৃত্তচাপটি দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 18 সে.মি.
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = 10π সে.মি.
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ = θ

আমরা জানি,
S = (πrθ)/180°
বা, πrθ = 180° . ‍S
বা, θ = (180° . 10π)/(πr)
বা, θ = (180° . 10π)/(π.18)
∴ θ = 100°

∴ বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 100°।
২,৭২৫.
x2 - 196 + y2 = 0 একটি বৃত্তের সমীকরণ হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    196
  3. গ
    28
  4. ঘ
    13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 196 + y2 = 0 একটি বৃত্তের সমীকরণ হলে বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
x2 - 196 + y2 = 0
বা, x2 +  y2 = 196
বা, x2 +  y2 = (14)2

যেহেতু, x2 +  y2 = r2 বৃত্তের সমীকরণ।
∴ প্রদত্ত সমীকরণে বৃত্তের ব্যাসার্ধ 14
২,৭২৬.
বৃত্তের ব্যাস 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? 
  1. ক
    8
  2. খ
    6
  3. গ
    9
  4. ঘ
    12
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাস = 2r 
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 
বৃত্তের ব্যাস 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ব্যাস হবে 6r এবং ব্যাসার্ধ হবে = 3r 
∴ পরিবর্তিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(3r)2 
= π × 9r2 
= 9πr2 

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পাবে = 9πr2  - πr2   = 8πr2
বৃত্তের ক্ষেত্রফল 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে। 

২,৭২৭.
যদি z = x + iy হয়, তবে |z + 1| + |z - 1| = 3 দ্বারা বর্ণিত সঞ্চার পথ হবে -
  1. ক
    সরলরেখা
  2. খ
    বৃত্ত
  3. গ
    প্যারাবোলা
  4. ঘ
    ইলিপস
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি z = x + iy হয়, তবে |z + 1| + |z - 1| = 3 দ্বারা বর্ণিত সঞ্চার পথ হবে -

সমাধান:
z + 1 = x + iy + 1
|z + 1| = √{(x + 1)2 + y2}
= √(x2 + 2x + 1 + y2)

|z - 1| = √{(x - 1)2 + y2}
= √(x2 - 2x + 1 + y2)

এখন,
√(x2 + 2x + 1 + y2) = 3 - √(x2 - 2x + 1 + y2)
⇒ x2 + 2x + 1 + y2 = 9 - 6√(x2 - 2x + 1 + y2) + x2 - 2x + 1 + y2
⇒ 4x =  9 - 6√(x2 - 2x + 1 + y2)
⇒ 4x - 9 = - 6√(x2 - 2x + 1 + y2)
⇒ 16x2 - 72x + 81 = 36(x2 - 2x + 1 + y2)
⇒ 16x2 - 72x + 81 = 36x2 - 72x + 36 + 36y2
⇒ 20x2 + 36y2 = 45
২,৭২৮.
বৃত্তের ব্যাস বৃদ্ধি পেয়ে তিনগুণ হলে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়ে হয়-
  1. ক
    ক) ২ গুণ
  2. খ
    খ) ৯ গুণ
  3. গ
    গ) ৩ গুণ
  4. ঘ
    ঘ) ৫ গুণ
ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস n গুন বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল n² গুন বৃদ্ধি পায়।

২,৭২৯.
সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?
  1. ক
    ক) ২০ টি
  2. খ
    খ) ২৪ টি
  3. গ
    গ) ২৮ টি
  4. ঘ
    ঘ) ৩২ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সাইকেলের চাকার পাশাপাশি দুইটি শলার মধ্য ১৫° কোণ হলে চাকাতে কয়টি শলা রয়েছে?

 সমাধান: 
আমরা জানি, 
একটি চাকা = ৩৬০° 
∴ যেকোনো ২ টি শলার মধ্যে কোণ ১৫° হলে, 
মোট শলা আছে = ৩৬০°/১৫° 
= ২৪ টি। 
২,৭৩০.
একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণ যথাক্রমে 70° এবং 80° হলে তৃতীয় কোণটির পরিমাণ রেডিয়ানে কত হবে?
  1. ক
    ক) π/9
  2. খ
    খ) π/10
  3. গ
    গ) π/6
  4. ঘ
    ঘ) π/12
ব্যাখ্যা

 ত্রিভুজের তৃতীয় কোণের মান = (180 - 150)° = 30°
90° = π/2 রেডিয়ান
∴30° = π/6 রেডিয়ান

২,৭৩১.
AOB একটি সরলরেখা। উহার ∠AOC = (3x + 20)° এবং ∠BOC = (4x - 36)°হলে, x এর মান কত? 

  1. ক
    ক) 28°
  2. খ
    খ) 56°
  3. গ
    গ) 84°
  4. ঘ
    ঘ) 14°
ব্যাখ্যা
AOB একটি সরলরেখা। উহার ∠AOC = (3x + 20)° এবং ∠BOC = (4x - 36)°হলে, x এর মান কত? 
 

সমাধান: 
∠AOC = (3x + 20)° 
∠BOC = (4x - 36)°

∠AOC + ∠BOC = 180°
(3x + 20)° + (4x - 36)° = 180°
3x° + 20°  + 4x° - 36° = 180°
7x° - 16° = 180°
7x° = 180° + 16°
7x° = 196°
x = 196°/7
x = 28°
২,৭৩২.
ΔABC এর ∠A = 40°, ∠B = 70° হলে Δ ABC কী ধরনের ত্রিভুজ?
  1. ক
    ক) স্থূলকোণী
  2. খ
    খ) বিষমবাহু
  3. গ
    গ) সমকোণী
  4. ঘ
    ঘ) সমদ্বিবাহু
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 40°, ∠B = 70° হলে Δ ABC কী ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 40°, ∠B = 70°

∴ অপর কোণটি = 180° - (40° + 70°)
= 180° - 110°
= 70°

এখানে, সমান সমান কোণের বিপরীত বাহুগুলো সমান। 
তাই, ΔABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
২,৭৩৩.
ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৫২° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?
  1. ক
    ৮৪°
  2. খ
    ৬৬°
  3. গ
    ৭৬°
  4. ঘ
    ৭৮°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC ত্রিভুজের ∠B এর পরিমাণ ৫২° এবং AB = AC হয়, তাহলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:

চিত্রে, ∠B = ৫২° এবং AB = AC 
∴ ∠B = ∠C = ৫২°
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°

প্রশ্নমতে,
⇒ ∠A + ∠B + ∠C = ১৮০°
⇒ ∠A + ৫২° + ৫২° = ১৮০°
⇒ ∠A + ১০৪° = ১৮০°
⇒ ∠A = ১৮০° - ১০৪° = ৭৬°
∴ ∠A = ৭৬°
২,৭৩৪.
নিচের চিত্রে y এর মান কত?
  1. ক
    35°
  2. খ
    42°
  3. গ
    48°
  4. ঘ
    52°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের চিত্রে y এর মান কত?


সমাধান:
এখানে,
3x + 2x = 180°
⇒ 5x = 180°
⇒ x = 36°
∴ 2x = 72°

আবার, 2x এবং y + 30 পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
আমরা জানি, বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
∴ y + 30° = 72°
⇒ y = 72° - 30°
∴ y =  42°

২,৭৩৫.
∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 120° হলে ∠B = কত?
  1. ক
    50°
  2. খ
    60°
  3. গ
    70°
  4. ঘ
    80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক কোণ। ∠A = 120° হলে ∠B = কত?

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

এখন
∠A + ∠B = 180°
বা, 120° + ∠B = 180°
বা, ∠B = 180° - 120°
∴ ∠B = 60°
২,৭৩৬.
4 সে.মি. ব্যাসের একটি লৌহ গােলককে পিটিয়ে ২/৩ সে.মি. পুরু একটি বৃত্তাকার লৌহপাত প্রস্তুত করা হল। ঐ পাতের ব্যাসার্ধ কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    2
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
লৌহ গােলকের ব্যাসার্ধ = = 2 সে.মি.। . 
তার আয়তন =  4/3 x π  x 23  ঘন সে.মি.।
মনে করি, পাতের ব্যাসার্ধ = r সে.মি.। পাতটি 2/3সে.মি. পুরু। 
পাতের আয়তন = πr2  x  2/3 ঘনসেমি 

প্রশ্নমতে,
        πr2  x  2/3  =  4/3 x π  x 23
         r2 = 16
         r = 4
২,৭৩৭.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৫ : ৮ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ২৪ ডিগ্রি
  2. খ
    ৬৪ ডিগ্রি
  3. গ
    ৮০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ৯৬ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ২ : ৫ : ৮ হলে ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ত্রিভুজের তিনটি কোণের পরিমাণ ২ক, ৫ক এবং ৮ক

প্রশ্নমতে,
২ক + ৫ক + ৮ক = ১৮০
বা, ১৫ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/১৫
বা, ক = ১২

সুতরাং, ত্রিভুজটির বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = (৮ × ১২) ডিগ্রি = ৯৬ ডিগ্রি
২,৭৩৮.
ΔABC এর ∠A= 36°, ∠B= 72° হলে, ΔABC কী ধরণের ত্রিভুজ? 
  1. ক
    ক) সমবাহু ত্রিভুজ
  2. খ
    খ) সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
  3. গ
    গ) বিষমবাহু ত্রিভুজ
  4. ঘ
    ঘ) স্থূলকোণী ত্রিভুজ
ব্যাখ্যা
ΔABC - এ ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
36° + 72° + ∠C = 180°
∠C = 180° - 108°
∠C = 72°
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ সমান হলে ত্রিভুজটির দুইটি বাহুও সমান হবে। 

∴ ΔABC - ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
২,৭৩৯.
দুটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে, একটি কে অপরটির কী বলে?
  1. ক
    সরলকোণ
  2. খ
    পূরক কোণ
  3. গ
    সম্পূরক কোণ
  4. ঘ
    সন্নিহিত কোণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে, একটি কে অপরটির কী বলে?

সমাধান:
- দুটি কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ হলে, একটি কে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।
২,৭৪০.
বৃত্তের যে কোন দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলা হয়?
  1. ক
    ব্যাসার্ধ
  2. খ
    জ্যা
  3. গ
    ব্যাস
  4. ঘ
    পরিধি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের যে কোন দুইটি বিন্দুর সংযোজন রেখাংশকে কী বলা হয়?

সমাধান:
- একটি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাকে জ্যা বলে।
- জ্যা যদি বৃত্তের কেন্দ্রগামি হয় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- ব্যাসের অর্ধেক ব্যাসার্ধ।
- বৃত্তের পরিধির অংশকে চাপ বলে।
২,৭৪১.
৫৬ ফুট ব্যাসার্ধের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্রে পরিণত করলে বর্গক্ষেত্রের যে কোন একদিকের দৈর্ঘ্য কত হবে?
  1. ক
    ক) ২৮ ফুট
  2. খ
    খ) ৩৬.৮ ফুট
  3. গ
    গ) ৪৯.৬ ফুট
  4. ঘ
    ঘ) ৪৬ ফুট
  5. ঙ
    ঙ) কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা

দেয়া আছে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৫৬ ফুট 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² = ৩.১৪১৬ × ৫৬² = ৯৮৫২.০৬ বর্গফুট
প্রশ্নমতে,বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯৮৫২.০৬ বর্গফুট
বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √৯৮৫২.০৬ = ৯৯.২৬ ফুট।

২,৭৪২.
দুইটি রেখা পরস্পরকে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হলো, তাদের একটির পরিমাপ ১২৫°। এর সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) ১৮০°
  2. খ
    খ) ১২০°
  3. গ
    গ) ১১০°
  4. ঘ
    ঘ) ৯০°
ব্যাখ্যা

দুইটি দেখা AB ও CD পরস্পরকে ছেদ করায় যে চারটি কোণ উৎপন্ন হলো এদের একটি ∠AOD এর পরিমাপ ১২৫°।
এখন AB ও CD সরল রেখা হওয়ায়,
∠AOC = ∠BOD = (১৮০ - ১২৫)° = ৫৫°
সুতরাং, ∠AOD এর সন্নিহিত কোণ দুটির সমষ্টি = (৫৫ +৫৫)° = ১১০°

২,৭৪৩.
একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ এর এক পঞ্চমাংশ হলে কোণটি কত? 
  1. ক
    45°
  2. খ
    30°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ এর এক পঞ্চমাংশ হলে কোণটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
কোণটি = x 
∴ সম্পূরক কোণ = (180° - x) 

প্রশ্নমতে, 
x = (1/5) × (180° - x) 
বা, 5x = 180° - x 
বা, 5x + x = 180° 
বা, 6x = 180° 
বা, x = 180°/6 
∴ x = 30° 

∴ কোণটি = 30° ।
২,৭৪৪.

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি 18π হলে, RSTO এর বৃত্তকলাটির পরিসীমা কত?
  1. ক
    3π + 9
  2. খ
    3π + 18
  3. গ
    6π + 9
  4. ঘ
    6π + 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি 18π হলে, RSTO এর বৃত্তকলাটির পরিসীমা কত?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r 
∴ 2πr = 18π
⇒ 2r = 18
∴ r = 9

বৃত্তচাপ RST = (rθπ)/180) = (9 × 60 × π)/180
= 3π

RSTO এর বৃত্তকলাটির পরিসীমা = OR + OT + বৃত্তচাপ RST
= 9 + 9 + 3π
= 3π + 18
২,৭৪৫.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 6 : 7। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
  1. ক
    3 : 49
  2. খ
    24 : 49
  3. গ
    36 : 9
  4. ঘ
    36 : 49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 6 : 7। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6
∴ ক্ষেত্রফল = π(6)2 = 36π

অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7
∴ ক্ষেত্রফল = π(7)2 = 49π

∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 36π : 49π
= 36 : 49
২,৭৪৬.
নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 41° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?
  1. ক
    49°
  2. খ
    62°
  3. গ
    139°
  4. ঘ
    82°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 41° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?
 

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC, বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC = 41°

∴∠BOC = (2 × 41°) = 82°
২,৭৪৭.
একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার। পার্কটির বাইরের সীমানা ঘেষে 7 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    2207.43 বর্গমিটার
  2. খ
    2450 বর্গমিটার
  3. গ
    1509.12 বর্গমিটার
  4. ঘ
    2618 বর্গমিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ 56 মিটার। পার্কটির বাইরের সীমানা ঘেষে 7 মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ, r = 56 মিটার
∴ রাস্তাসহ পার্কের ব্যাসার্ধ, R = (56 + 7) = 63 মিটার

আমরা জানি, 
বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2
= (22/7) × 56 × 56 বর্গমিটার 
= 9856 বর্গমিটার 

আবার, 
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πR2
= 22/7 × 63 × 63 বর্গমিটার 
= 12474 বর্গমিটার (প্রায়) 

∴ নির্ণেয় রাস্তার ক্ষেত্রফল = (12474 - 9856) বর্গমিটার
= 2618 বর্গমিটার (প্রায়)।

সুতরাং, রাস্তার ক্ষেত্রফল = 2618 বর্গমিটার

২,৭৪৮.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাৰে?
  1. ক
    ৯
  2. খ
    ১২
  3. গ
    ১৬
  4. ঘ
    ৪
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (2r + 6r) = 8r
∴ ব্যাসার্ধ =8r/2 = 4r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(4r)2 = 16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

----------------
প্রশ্ন : বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?
সমাধান : 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r   
∴ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r   
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)2 = 9πr2  
 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৯ গুণ হবে। 

অপশনে ১৫ থাকলে প্রশ্নের ভাষার লজিক অনুযায়ী সঠিক উত্তর হবে ১৫। 
যেহেতু এটি জব সলিউশনের প্রশ্ন এবং অপশনে ১৫ গুণ ছিল না,  তাই ৯ গুণকে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

২,৭৪৯.
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য ও ব্যাসার্ধের অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) 1 : 2
  2. খ
    খ) 3 : 2
  3. গ
    গ) 2 : 1
  4. ঘ
    ঘ) 4 : 1
ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
এর বৃহত্তম জ্যা বা ব্যাস = 2r
ব্যাস ও ব্যাসার্ধের অনুপাত = 2r : r = 2:1

২,৭৫০.
AOB একটি সরলরেখা, যার ∠AOC = (2p + 48)° এবং ∠BOC = (3p - 8)° হলে, p/2 এর মান কত?
  1. ক
    28°
  2. খ
    24°
  3. গ
    14°
  4. ঘ
    12°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AOB একটি সরলরেখা, যার ∠AOC = (2p + 48)° এবং ∠BOC = (3p - 8)° হলে, p/2 এর মান কত?

সমাধান:

এখানে,
∠AOC + ∠BOC = 180° [যেহেতু, এক সরলকোণ = ১৮০°]
⇒ 2p° + 48° + 3p° - 8° = 180°
⇒ 5p° = 180° - 40°
⇒ p° = 140°/5
⇒ p° = 28° 
∴ p/2 = 14°
২,৭৫১.
৪১ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
  1. ক
    ক) ৪৯°
  2. খ
    খ) ১৩১°
  3. গ
    গ) ৪১°
  4. ঘ
    ঘ) ১৩৯°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪১ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?

সমাধান:
দুটি সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের যে কোনো একটি কোণকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে। বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান।

সুতরাং ৪১° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ হবে ৪১°।
২,৭৫২.
x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র কী হবে?
  1. ক
    পরাবৃত্ত
  2. খ
    মূল বিন্দুগামী সরলরেখা
  3. গ
    বৃত্ত
  4. ঘ
    বক্ররেখা
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র কী হবে? 

সমাধান: 
x + 3y = 0 
বা, 3y = - x 
∴ y = (- 1/3)x, যা y = mx এর অনুরূপ। 
মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ y = mx 
∴ x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র হবে মূল বিন্দুগামী সরলরেখা।

২,৭৫৩.
এক একক বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    ক) 1 বর্গ একক
  2. খ
    খ) πবর্গ একক
  3. গ
    গ) 2π বর্গ একক
  4. ঘ
    ঘ) π2 বর্গ একক
ব্যাখ্যা

এখানে, ব্যাসার্ধ r = 1
πr2= π 12 = π বর্গ একক

২,৭৫৪.
৩৭° এর পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?
  1. ক
    ৩৭°
  2. খ
    ৫৩°
  3. গ
    ৭৩°
  4. ঘ
    ৯০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩৭° এর পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণের মান কত?

সমাধান:

পূরক কোণ:
- দুইটি কোণের সমষ্টি যখন ৯০° অথবা এক সমকোণ হয় তখন একটি কোণকে অপর কোণটির পূরক কোণ বলে।

বিপ্রতীপ কোণ:
- দুইটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে ছেদ বিন্দুতে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের যেকোনো একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- যে কোনো সরলরেখার জন্য বিপ্রতীপ কোণগুলি পরস্পর সমান হয়।

∴ ৩৭° এর পূরক কোণ = (৯০° − ৩৭°)
= ৫৩°

∴ ৫৩° এর বিপ্রতীপ কোণ ৫৩°
২,৭৫৫.
রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
  1. ক
    ক) একটি
  2. খ
    খ) দুইটি
  3. গ
    গ) তিনটি
  4. ঘ
    ঘ) চারটি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান:
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই। 

রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
২,৭৫৬.
নিম্নের কোন বহুভুজকে সর্বদা বৃত্তে অন্তর্লিখিত করা যায়?
  1. ক
    বর্গ
  2. খ
    ত্রিভুজ
  3. গ
    আয়ত
  4. ঘ
    উপরের সবগুলো
ব্যাখ্যা
সমরেখ নয় এমন তিনটি বিন্দু দিয়ে সবসময় একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়। 
সুতরাং প্রত্যেক ত্রিভুজকে বৃত্তে অন্তর্লিখিত করা যায়। 
কিন্তু ত্রিভুজ ব্যতীত অন্য কোনো বহুভুজকে সবসময় বৃত্তে অর্ন্তলিখিত করা যায় না।
--------------
তবে চতুর্ভুজগুলোর মধ্যে বর্গ ও আয়ত -ক্ষেত্রকে বৃত্তের অন্তর্লিখিত করা যায়।
তাই এক্ষেত্রে সঠিক উত্তর - ঘ) উপরের সবগুলো হবে।
২,৭৫৭.
নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
  1. ক
    3x² + 4y² = 2
  2. খ
    xy = 1
  3. গ
    x + y = 4
  4. ঘ
    x² + y² = 5
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কেন্দ্র (0,0) ও ব্যাসার্ধ r হলে বৃত্তের সমীকরণ x² + y² = r²
x² + y² = (√5)² হলো বৃত্তের সমীকরণ।
২,৭৫৮.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে AB এবং CD জ্যা-দ্বয় পরস্পর সমান হলে -
  1. ক
    ক) OE > OF
  2. খ
    খ) OF > OE
  3. গ
    গ) OE = 2OF
  4. ঘ
    ঘ) EF = 2.OF
ব্যাখ্যা

বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমান দূরবর্তী।

২,৭৫৯.
৫ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপের দৈর্ঘ্য π মিটার হলে। উক্ত চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কত?
  1. ক
    ৩৬°
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ৩০°
  4. ঘ
    ৬০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি চাপের দৈর্ঘ্য π মিটার হলে। উক্ত চাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ কত?

সমাধান: 
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৫ মিটার 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = π মিটার

আমরা জানি,
s = rθ 
বা, θ = s/r
= π/৫ রেডিয়ান
= ৩৬°
২,৭৬০.
A ও B কেন্দ্রবিশিষ্ট দুটি বৃত্ত পরস্পর C বিন্দুতে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে। ∠ACB এর মান-
  1. ক
    ক) 120°
  2. খ
    খ) 180°
  3. গ
    গ) 270°
  4. ঘ
    ঘ) 360°
ব্যাখ্যা

∠ACB একটি সরলকোণ। সুতরাং, ∠ACB = 180°
২,৭৬১.
একটি ত্রিভুজের কোণগুলো যথাক্রমে (x + ১০)°, (x + ২০)° এবং (x + ৩০)° হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
  1. ক
    ৬০°
  2. খ
    ৮০°
  3. গ
    ৯০°
  4. ঘ
    ৭০°
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণগুলো যথাক্রমে (x + ১০)°, (x + ২০)° এবং (x + ৩০)° হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ত্রিভুজের তিন কোণের যোগফল = ১৮০°

এখন, 
(x + ১০)° + (x + ২০)° + (x + ৩০)° = ১৮০°
⇒ x + ১০° + x + ২০° + x + ৩০° = ১৮০°
⇒ ৩x + ৬০° = ১৮০°
⇒ ৩x = ১৮০° - ৬০°
⇒ ৩x = ১২০°
⇒ x = ১২০°/৩ = ৪০°
∴ x = ৪০°
∴ বৃহত্তম কোণ = x + ৩০ = ৪০ + ৩০ = ৭০°

অতএব, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ ৭০°। 

২,৭৬২.
৪০ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ কোনটি? 
  1. ক
    ক) ৫০ ডিগ্রি
  2. খ
    খ) ৯০ ডিগ্রি
  3. গ
    গ) ১৩০ ডিগ্রি
  4. ঘ
    ঘ) ১৪০ ডিগ্রি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪০ ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে তাদের একটি কোণকে অপর কোণটির পূরক কোণ বলে।

∴ অপর কোণ = (৯০ - ৪০)°
= ৫০°
২,৭৬৩.
32 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    32π বর্গমিটার
  2. খ
    44π বর্গমিটার
  3. গ
    52π বর্গমিটার
  4. ঘ
    68π বর্গমিটার
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 32 মিটার পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

ABCD বর্গের পরিসীমা = 32 মিটার
∴ ABCD বর্গের বাহু = 32/4 = 8 মিটার
এখন,
কর্ণ = ব্যাস = বাহু × √2 = 8√2
ব্যাসার্ধ = 8√2/2 = 4√2

∴ ক্ষেত্রফল = π(4√2)2
= 32π বর্গমিটার
২,৭৬৪.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?
  1. ক
    π/3 বর্গ সে.মি.
  2. খ
    4π/3 বর্গ সে.মি.
  3. গ
    2π/3 বর্গ সে.মি.
  4. ঘ
    3π/4 বর্গ সে.মি.
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 সে.মি. এবং একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করলে, বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 2 সে.মি.
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (πr2θ)/360°
= (π × 22 × 60°)/360°
= 2π/3

∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = 2π/3 বর্গ সে.মি.
২,৭৬৫.
একটি বর্গের ক্ষেত্রফল এবং একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান। এদের পরিসীমার অনুপাত কত? 
  1. ক
    ক) 4 : √π
  2. খ
    খ) 3 : √π
  3. গ
    গ) 1 : √π
  4. ঘ
    ঘ) 2 : √π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বর্গের ক্ষেত্রফল এবং একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল সমান। এদের পরিসীমার অনুপাত কত? 

সমাধান: 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a2
প্রশ্নমতে,
πr2 = a2
বা, a = r√π

সুতরাং বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা : বৃত্তের পরিসীমা  = 4a : 2πr 
                                                                     = 4 × r√π : 2πr 
                                                                    = 2√π : π 
                                                                    = 2 : √π
২,৭৬৬.
∠x ও ∠y পরস্পর পূরক কোণ। ∠x = 35° হলে ∠y = কত?
  1. ক
    135°
  2. খ
    45°
  3. গ
    145°
  4. ঘ
    55°
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
• পূরক কোণ = 90° এবং
• সম্পূরক কোণ = 180
• পূরক কোণের একটি কোণ 35° হলে অপর কোণ = 90° - 35° = 55°।

২,৭৬৭.
(- 2, 5) এবং (4, - 1) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
  1. ক
    72√2
  2. খ
    6
  3. গ
    6√2
  4. ঘ
    36
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (- 2, 5) এবং (4, - 1) বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বিন্দু দুইটি (- 2, 5) এবং (4, - 1)

আমরা জানি, 
বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = √{(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2}
= √{(4 + 2)2 + (- 1 - 5)2}
= √{(6)2 + (- 6)2}
= √(36 + 36) 
= √72
= √(2 × 36)
= 6√2

∴ বিন্দু (-2, 5) এবং (4, -1)-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব = 6√2

২,৭৬৮.
একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয় তাদের সমষ্টির দ্বিগুণ কত?
  1. ক
    ৯০°
  2. খ
    ৩৬০°
  3. গ
    ১৮০°
  4. ঘ
    ২৪০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরলরেখার সাথে অপর একটি রেখাংশ মিলিত হয়ে যে দুটি সন্নিহিত কোণ তৈরি হয় তাদের সমষ্টির দ্বিগুণ কত?

সমাধান:
একটি রশ্মির প্রান্ত বিন্দুতে অপর একটি সরলরেখা মিলিত হলে যে দুটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টির দ্বিগুণ = (২ × ১৮০°) = ৩৬০°
২,৭৬৯.
কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
  1. ক
    12 গুণ
  2. খ
    16 গুণ
  3. গ
    24 গুণ
  4. ঘ
    15 গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
ব্যাসার্ধ 3গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (3r + r) = 4r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(4r)2 = 16πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr2 - πr2 = 15πr2
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

২,৭৭০.
প্রদত্ত চিত্র হতে ∠EFD এর মান কত? 
  1. ক
    ক) 50°
  2. খ
    খ) 100°
  3. গ
    গ) 25°
  4. ঘ
    ঘ) 130°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র হতে ∠EFD এর মান কত? 

সমাধান:
   
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
প্রদত্ত চিত্রে AB ও CD পরস্পর সমান্তরাল 
PQ তাদের ছেদক। 
∠AEF ও ∠EFD পরস্পর একান্তর 
∠AEF = ∠EFD = 50°
২,৭৭১.
দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫.৫ মিটার দূরত্বে থেকে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরত্বে গিয়ে মিলিত হবে?
  1. ক
    ৩৫০ মিটার
  2. খ
    ৫০০ মিটার
  3. গ
    ৫৫০ মিটার
  4. ঘ
    কখনোই না
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৫.৫ মিটার দূরত্বে থেকে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরত্বে গিয়ে মিলিত হবে?

সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line):
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত:
১। সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
২। এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
৩। দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
২,৭৭২.
নিম্নের চিত্রে, AC ⊥ BD; CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। ∠ECF =?
  1. ক
    60°
  2. খ
    70°
  3. গ
    80°
  4. ঘ
    90°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিম্নের চিত্রে, AC ⊥ BD; CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। ∠ECF =?

সমাধান: 

AC ⊥ BD
∠ACB = 90° ; ∠ACD = 90°

CE, ∠ACB এর সমদ্বিখণ্ডক এবং CF, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক।
∠ACE = 45°
 ∠ACF = 45°

∴ ∠ECF = 45° + 45°
= 90°
২,৭৭৩.
ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে, ∠BOC এর নাম কত?
  1. ক
    120°
  2. খ
    140°
  3. গ
    60°
  4. ঘ
    80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র O হলে, ∠BOC এর নাম কত?

সমাধান: 

এখানে, ∠BOC = 60°
∴ ∠BOC = 2 × ∠BAC
= 2 × 60°
= 120°
২,৭৭৪.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ?
  1. ক
    ক) অর্ধেক
  2. খ
    খ) দ্বিগুণ
  3. গ
    গ) তিনগুণ
  4. ঘ
    ঘ) চারগুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ?

সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।
২,৭৭৫.
যে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর ১২°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রি?
  1. ক
    39°
  2. খ
    49°
  3. গ
    29°
  4. ঘ
    31°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর 12°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
x + y = 90°............... (i)
আবার,
x - y = 12° .................. (ii) 

এখন, (i) নং + (ii) নং থেকে পাই,
x + y + x - y = 90° + 12°
⇒ 2x = 102°
∴ x = 51°

(i)নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
x + y = 90°
⇒ y = 90° - 51°
⇒ y = 39°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণটি 39°
২,৭৭৬.
ABC একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। ∠A শীর্ষকোণ, ∠B ও ∠C দুটি ভূমিকোণ, AB বাহু = AC বাহু। ∠B = 75°, ∠A = কত ডিগ্রি?
  1. ক
    ক) 25°
  2. খ
    খ) 30°
  3. গ
    গ) 40°
  4. ঘ
    ঘ) 50°
ব্যাখ্যা

∠B = ∠C = 75°
∴ ∠A = 180° - (∠B + ∠C)
= 180° - (75° + 75°)
= 30°

২,৭৭৭.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
  1. ক
    ক) ৬৬ সেন্টিমিটার
  2. খ
    খ) ৪২ সেন্টিমিটার
  3. গ
    গ) ২১ সেন্টিমিটার
  4. ঘ
    ঘ) ২২ সেন্টিমিটার
ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr²/2πr = ১৩৮৬/১৩২
বা, r/2 = ১৩৮৬/১৩২
বা, r = ২১
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ২r = ২×২১ = ৪২ সে.মি.

২,৭৭৮.
৩২° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?
  1. ক
    ৬৪°
  2. খ
    ৫৮°
  3. গ
    ৭৪°
  4. ঘ
    ২৯°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩২° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?

সমাধান:
৩২° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৩২° = ১৪৮°
১৪৮° কোণের অর্ধেক = ১৫২°/২ = ৭৪°
২,৭৭৯.
একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক কয়টি সাধারণ বিন্দু থাকে?
  1. ক
    ক) ১টি
  2. খ
    খ) ২টি
  3. গ
    গ) ৩টি
  4. ঘ
    ঘ) অসংখ্য
ব্যাখ্যা
সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার সর্বাধিক দুইটি সাধারণ বিন্দু বা
ছেদবিন্দু থাকতে পারে ।

সংজ্ঞা : সমতলস্থ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি দুইটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি ছেদক বলা হয়। 
কিন্তু যদি কেবলমাত্র একটি ছেদবিন্দু থাকে তবে রেখাটিকে বৃত্তটির একটি স্পর্শক বলা হয়। শেষোক্ত ক্ষেত্রে সাধারণ বিন্দুটিকে ঐ স্পর্শকের স্পর্শবিন্দু বলা হয়। 
২,৭৮০.
বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে কী পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে?
  1. ক
    ক) 2π
  2. খ
    খ) π/2
  3. গ
    গ) π
  4. ঘ
    ঘ) π/4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের স্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে কী পরিমাণ কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের যেকোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব। 
বৃত্তেরস্পর্শক বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে π/2 কোণ উৎপন্ন করে। 

২,৭৮১.
বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?
  1. ক
    একটি
  2. খ
    দুইটি
  3. গ
    তিনটি
  4. ঘ
    অসংখ্য
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যায়?

সমাধান:
 
চিত্র থেকে দেখা যায়,
বৃত্তের বহিঃস্থ কো্নো বিন্দু হতে সর্বোচ্চ দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
২,৭৮২.
দু’টি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 9 হলে এদের ক্ষেত্রফল অনুপাত কত?
  1. ক
    ক) 9 : 4
  2. খ
    খ) 16 : 81
  3. গ
    গ) 2 : 3
  4. ঘ
    ঘ) 4 : 9
ব্যাখ্যা

মনে করি,
ব্যাসার্ধ দ্বয় 4a, 9a
∴ ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত = π(4a)2 : π(9a)2
= 16πa2 : 81πa2
= 16 : 81

২,৭৮৩.
PQR ত্রিভুজের PQ = PR এবং ∠P = 40° হলে ∠Q = কত?
  1. ক
    50°
  2. খ
    60°
  3. গ
    70°
  4. ঘ
    80°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQR ত্রিভুজের PQ = PR এবং ∠P = 40° হলে ∠Q = কত?

সমাধান: 
 
ΔPQR ত্রিভুজের PQ = PR 
ΔPQR একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।

আমরা জানি,
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় সমান।
∠P + ∠Q +∠ R = 180°
বা, 40° + ∠Q + ∠Q = 180°
বা, 2∠Q = 180° - 40°
বা, 2∠Q = 140°
∴ ∠Q = 70°
২,৭৮৪.
একটি কোণের 3 গুণ 180° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?
  1. ক
    110°
  2. খ
    125°
  3. গ
    135°
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের 3 গুণ 180° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনেকরি,
একটি কোণ = x

প্রশ্নমতে,
⇒ 3x = 180°
⇒ x = 180°/3
∴ x = 60°

আমরা জানি,
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ 60° কোণের সম্পূরক কোণ = (180 - 60)° = 120°
২,৭৮৫.
∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠B এর মান কত?
  1. ক
    ক) 54°
  2. খ
    খ) 30°
  3. গ
    গ) 34°
  4. ঘ
    ঘ) 36°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠B এর মান কত?

সমাধান:
∠A ও ∠B পরস্পর পূরক
∠A = 3x
∠B = 2x

প্রশ্নমতে 
3x + 2x = 90°
⇒ 5x = 90°
∴ x = 18° 

∴ ∠B = 2x = 2 × 18° = 36°
২,৭৮৬.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সাথে পরিধির অনুপাত হলো-
  1. ক
    জ্যা
  2. খ
    ব্যাস
  3. গ
    ব্যাসার্ধ
  4. ঘ
    বৃত্তকলা
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সাথে পরিধির অনুপাত হলো-

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 
বৃত্তের পরিধি = 2πr

বৃত্তের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সাথে পরিধির অনুপাত = 2πr2/2πr
= r
= বৃত্তের ব্যাসার্ধ
২,৭৮৭.
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 86° হলে, বৃত্তস্থ কোণের মান কত?
  1. ক
    ক) 86°
  2. খ
    খ) 43°
  3. গ
    গ) 96°
  4. ঘ
    ঘ) 26°
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
- একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- তাই একটি বৃত্তের দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ 86° হলে, বৃত্তস্থ কোণের মান হবে 43°।
২,৭৮৮.
যেসব সরলরেখা একই সরলরেখার সমান্তরাল সেগুলো পরস্পর ______?
  1. ক
    ক) লম্ব
  2. খ
    খ) সমান
  3. গ
    গ) বিপরীত
  4. ঘ
    ঘ) সমান্তরাল
ব্যাখ্যা
যেসব সরলরেখা একই সরলরেখার সমান্তরাল সেগুলো পরস্পর সমান্তরাল(অনুসিদ্ধান্ত - ১)
২,৭৮৯.
২৭০° কোণকে কী বলা হয়?
  1. ক
    বিপ্রতীপ কোণ
  2. খ
    স্থূলকোণ
  3. গ
    সূক্ষ্মকোণ
  4. ঘ
    প্রবৃদ্ধ কোণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৭০° কোণকে কী বলা হয়?

সমাধান:
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট, তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।- যেহেতু, ২৭০° কোণটি ১৮০° এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০° এর চেয়ে ছোট, তাই এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle)।

উল্লেখ্য-
- বিপ্রতীপ কোণ (Vertically Opposite Angle): দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের মধ্যে যেকোনো দুটি বিপরীত কোণকে বিপ্রতীপ কোণ বলে। এদের পরিমাপ পরস্পর সমান হয়।
- স্থূলকোণ (Obtuse Angle): যে কোণের পরিমাপ ৯০° অপেক্ষা বেশি কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা কম, তাকে স্থূলকোণ বলে।
- সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle): যে কোণের পরিমাপ ০° অপেক্ষা বেশি কিন্তু ৯০° অপেক্ষা কম, তাকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

২,৭৯০.
বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গের পরিসীমা ৮√২ মি. হলে বৃত্তের ক্ষত্রফল কত?
  1. ক
    2π
  2. খ
    8π
  3. গ
    3π
  4. ঘ
    4π
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের অন্তর্নিহিত বর্গের পরিসীমা ৮√২ মি. হলে বৃত্তের ক্ষত্রফল কত?

সমাধান: 

বর্গের একবাহুর দৈর্ঘ্য, a = 8√2/4 = 2√2
∴ বর্গের কর্ণ = √2a = √2 × 2√2 = 4

তাহলে, বৃত্তের ব্যসার্ধ = 4/2 = 2m

∴ ক্ষেত্রফল = π × (ব্যাসার্ধ)2
= π × (2)2
= 4π মি২
২,৭৯১.
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের -
  1. ক
    সমান
  2. খ
    দ্বিগুণ
  3. গ
    অর্ধেক
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের -

সমাধান: 
- বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে বৃত্তের উপর কোনো বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বলা হয়। 
- প্রত্যেক বৃত্তস্থ কোণ বৃত্তে একটি চাপ খণ্ডিত করে।
- একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোনো বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে, কোণটিকে ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয়।
- প্রত্যেক কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তে একটি উপচাপ খণ্ডিত করে।  
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

২,৭৯২.
একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশী হলে, কোণটি হবে?
  1. ক
    ৫৭°
  2. খ
    ৪৭°
  3. গ
    ৫৩°
  4. ঘ
    ৬৬°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৪° বেশী হলে, কোণটি হবে?

সমাধান: 
দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
ধরি,
কোণটি x,
∴ তার পূরক কোণ 90° - x

শর্তমতে,
x = 90° - x + 24°
x + x = 114°
2x = 114°
x = 114°/2
x = 57°
২,৭৯৩.
x এর পূরক কোণ তার সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ। x এর মান কত?
  1. ক
    ৩০°
  2. খ
    ৪৫°
  3. গ
    ৬০°
  4. ঘ
    ৫৫°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x এর পূরক কোণ তার সম্পূরক কোণের এক-তৃতীয়াংশ। x এর মান কত?

সমাধান:
x এর পূরক কোণ = ৯০° - x
x এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x

প্রশ্নমতে,
(১৮০° - x)/৩ = ৯০° - x
বা, ১৮০° - x = ২৭০° - ৩x
বা, ২x = ২৭০° - ১৮০°
বা, ২x = ৯০°
∴ x = ৪৫°
২,৭৯৪.
একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ৪০° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?
  1. ক
    ২০°
  2. খ
    ৩০°
  3. গ
    ৮০°
  4. ঘ
    ৪০°
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ ৪০° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৪০/২ = ২০°
২,৭৯৫.
একটি চাকার ব্যাস ৪.২ মিটার। চাকাটি ৩১৭ মিটার পথ অতিক্রম করতে ঘুরবে প্রায় ____ বার।
  1. ক
    ক) ৩২
  2. খ
    খ) ২৮
  3. গ
    গ) ২৪
  4. ঘ
    ঘ) ১৫
ব্যাখ্যা
চাকার ব্যাস = ৪.২ মিটার; ব্যাসার্ধ = (৪.২/২)=২.১ মিটার 
একটি চাকা একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = ২πr = ২ x π X ২.১ মিটার = ১৩.১৯ মিঃ
তাহলে চাকা ঘুরবে = (৩১৭/১৩.১৯) বার = ২৪.০৩ বার = ২৪ বার (প্রায়)।
২,৭৯৬.
দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 
  1. ক
    প্রবৃদ্ধ কোণ
  2. খ
    সূক্ষ্ম কোণ 
  3. গ
    স্থূল কোণ 
  4. ঘ
    সম্পূরক কোণ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্যদিকে, 
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে। 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়। 
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে। 

২,৭৯৭.
বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বেড়ে যাবে? 
  1. ক
    ক) 2গুণ
  2. খ
    খ) 4গুণ
  3. গ
    গ) 8গুণ
  4. ঘ
    ঘ) 12গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল কতগুণ বেড়ে যাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস =  (2r + 4r) = 6r
∴ ব্যাসার্ধ =6r/2 = 3r  
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)2 =9πr2
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 9πr2 - πr2 = 8πr2

∴ 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে।
২,৭৯৮.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং পরিধি 88 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?
  1. ক
    14 মিটার
  2. খ
    18 মিটার
  3. গ
    22 মিটার
  4. ঘ
    28 মিটার
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গমিটার এবং পরিধি 88 মিটার হলে, বৃত্তটির ব্যাস কত?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ব্যাস = 2r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 

প্রশ্নমতে,
বৃত্তের পরিধি = 88 মিটার
⇒ 2πr = 88
⇒ 2 × (22/7) × r = 88
⇒ (44/7) × r = 88
⇒ r/7 = 2
⇒ r = 7 × 2
⇒ r = 14 মিটার।

বৃত্তটির ব্যাস = 2 × ব্যাসার্ধ
= 2 × 14
= 28 মিটার।

অতএব, বৃত্তটির ব্যাস হলো 28 মিটার।

২,৭৯৯.
যদি কোনাে তলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় এবং কোণদ্বয় সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে -
  1. ক
    সন্নিহিত কোণ
  2. খ
    পূরক কোণ
  3. গ
    বিপ্রতীপ কোণ
  4. ঘ
    সরল কোণ
ব্যাখ্যা
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle): যদি কোনাে তলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় এবং কোণদ্বয় সাধারণ বাহুর বিপরীত পাশে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে।
২,৮০০.
একটি গাড়ীর চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কি.মি. ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
  1. ক
    ২০০
  2. খ
    ২৫০
  3. গ
    ৩০০
  4. ঘ
    ৩৫০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকার পরিধি ৫ মিটার। ১ কি.মি. ৫০০ মিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান: 
গাড়ির চাকার পরিধি = ৫ মিটার

 ১.৫ কি.মি. = (১০০০ × ১.৫) মিটার = ১৫০০ মিটার 

৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১ বার 
১ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১/৫ বার 
১৫০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকা ঘুরে ১৫০০/৫ বার 
= ৩০০ বার