রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র ছেদকারী জ্যা’ কে কী বলা হয়? 

সমাধান: 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে। 
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা। 
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে। 
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি। 

- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে এবং বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ব্যাসার্ধ = 3r
∴ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π বর্গ একক হলে, ঐ বৃত্তের পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 49π বর্গ একক

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
∴ πr² = 49π
⇒ r² = 49
⇒ r = √49
⇒ r = 7একক

∴ বৃত্তটির পরিসীমা = 2πr
= ২π × 7
= 14π একক

∴ বৃত্তটির পরিসীমা 14π একক।

প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 4/5 অংশ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃহত্তম কোণ = x 
ক্ষুদ্রতম কোণ = 4x/5 

আমরা জানি, 
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90° 
বা, x + (4x/5) = 90° 
বা, (5x + 4x)/5 = 90° 
বা, 9x =  90° × 5 
বা, x = (90° × 5)/9 
∴ x = 50° 

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (50 × 4)°/5 
= 40° । 

আমরা জানি, বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2n - 4)×90°
∴ পঞ্চভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি = (2×5 - 4)×90° = 540° = 3×180° = 3× ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণের সমষ্টি।

প্রশ্ন: একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্য ১৮ সেমি। রেখাংশটি একটি বৃত্তের ব্যাস হলে ঐ বৃত্তটির পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
রেখাংশের দৈর্ঘ্য = ১৮ সেমি।

আবার,
রেখাংশটি একটি বৃত্তের ব্যাস
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r = (১৮ ÷ ২) সেমি
= ৯ সেমি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
= (২ × π × ৯) সেমি
= ১৮π সেমি

প্রশ্ন: নিচের কোনটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ? 

​সমাধান:
​প্রবৃদ্ধ কোণ হলো সেই কোণ যার মান ১৮০° থেকে বড় এবং ৩৬০° থেকে ছোট। প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে ২১০° একমাত্র কোণ যা এই শর্ত পূরণ করে (১৮০° < ২১০° < ৩৬০°)।
​∴ ২১০° একটি প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle)।

উল্লেখ্য,
​• ১৮০° হলো একটি সরলকোণ, যা একটি সরলরেখা বরাবর গঠিত হয়।
​• ৬০° হলো একটি সূক্ষ্মকোণ, কারণ এর মান ৯০° এর থেকে ছোট।
​• ১৬৫° হলো একটি স্থূলকোণ, কারণ এর মান ৯০° থেকে বড় কিন্তু ১৮০° থেকে ছোট।
​• ৩৬০° কোণকে পূর্ণকোণ বা সম্পূর্ণ কোণ বলা হয়। এটি একটি সম্পূর্ণ ঘূর্ণন (Full Rotation) নির্দেশ করে।

x অক্ষের ছেদ বিন্দুতে y = 0
∴ x + y - 5 = 0 সমীকরন থেকে পাই,
x = 5
∴ স্থানাংক (5,0)

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 50° এবং ∠B = 70°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

সমাধান:
 
ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 50° + 70° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° - 120°
∴ ∠C = 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ, (1/2) ∠C= 60º/2 = 30°

ΔADC এ, ∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°
⇒ ∠A + ∠CDA + ∠C = 180°
⇒ 50° + ∠CDA + 30° = 180°
⇒ ∠CDA = 180° - 80°
∴ ∠CDA = 100°

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৬ ডিগ্রি বেশি হলে কোণটির মান কত হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
কোণটির মান = ক
তাহলে, এর পূরক কোণ হবে = ৯০° - ক

প্রশ্নমতে, 
ক = (৯০° - ক) + ২৬°
⇒ ক + ক = ৯০° + ২৬°
⇒ ২ক = ৯০° + ২৬°
⇒ ক = ১১৬°/২
∴ ক = ৫৮° 

∴ কোণটির মান = ৫৮° ।

π রেডিয়ান = 180°
∴ π/10 রেডিয়ান = 180°/π × π/10 = 18°

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৭০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে দূরত্ব ৩ মিটার হলে ১০ কিলোমিটার পরে রেখা দুটির দূরত্ব কত হবে?

সমাধান: 
- সমান্তরাল রেখা দুটি একে অপরের থেকে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রাখে এবং কখনোই মিলিত হয় না। যেহেতু প্রাথমিক দূরত্ব ৩ মিটার, তাই ১০ কিলোমিটার (বা যেকোনো দূরত্ব) পরেও তাদের মধ্যকার দূরত্ব ৩ মিটারই থাকবে। 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না। 

সমান্তরাল রেখা: 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত- 
১. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়। 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ২০% কমে, উক্ত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত ভাগ কমবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ১০০ 
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π r^২
= π (১০০)^২
= π ১০০০০

আবার, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমলে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (১০০ - ২০) = ৮০
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π r^২
= π (৮০)^২
= π ৬৪০০
∴ ক্ষেত্রফল কমে = π ১০০০০ - π ৬৪০০
= π ৩৬০০

∴ ১০০০০π থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π
∴ ১ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = ৩৬০০π/১০০০০π 
∴ ১০০ থেকে ক্ষেত্রফল কমে = (৩৬০০π × ১০০)/১০০০০π
= ৩৬% ।

স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাস/ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয় ফলে কোণটি একসমকোণ অর্থাৎ 90°

ধরি, অপর যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য = a সে.মি.
আমরা জানি,
অতিভুজ² = লম্ব² + ভূমি²
বা, 16² = a² + a²
বা, 2a² = 256
বা, a² = 128
সুতরাং ক্ষেত্রফল = (1/2)×a×a = (1/2)×a² = (1/2)×128 = 64 বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: যদি বৃত্তের সমীকরণ x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0 হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র কী হবে?

সমাধান:
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0,
যেখানে (- g, - f) হলো কেন্দ্র এবং c হলো একটি ধ্রুবক।

প্রদত্ত সমীকরণ: x² + y² - 8x + 10y + 16 = 0

এখানে,
2g = - 8
∴ g = - 4

আবার, 2f = 10
∴ f = 5

∴ বৃত্তের কেন্দ্র = (- g, - f)
= (4, - 5)

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² এবং পরিধি = 2πr
প্রশ্নানুসারে, πr²/2πr = ১৬/৮
বা, r = ২×২
বা, r = ৪
বা, ২r = ৮ (যেহেতু বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা)

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 10% বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r
∴ ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস 10% বৃদ্ধি পেলে,
নতুন ব্যাস = 2r + 2r এর 10%
= 2r + (2r × 10/100)
= 2r + (2r/10)
= (20r + 2r)/10
= 22r/10

সুতরাং, নতুন ব্যাসার্ধ হবে,
= (1/2) × (22r/10)
= 11r/10

∴ নতুন ক্ষেত্রফল,
= π × (11r/10)²
= π × (121r²/100) = 121πr²/100

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = নতুন ক্ষেত্রফল - মূল ক্ষেত্রফল
= (121πr²/100) - πr²
= (121πr² − 100πr²)/100
= 21πr²/100

শতকরা ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি,
= (ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি/মূল ক্ষেত্রফল) × 100%
= (21πr²/100)/(πr²) × 100%
= (21/100) × 100%
= 21%

∴ ক্ষেত্রফল 21% বৃদ্ধি পাবে।

ধরি, ব্যাসার্ধ = r
∴ ব্যাস = 2r এবং ক্ষেত্রফল = πr²
16 গুণ বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল = 16πr² = π(4r)²
∴ ব্যাসার্ধ = 4r ফলে ব্যাস = 8r যা পূর্বের ব্যাসের 4 গুণ ।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি-
 
সমাধান:

ত্রিভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টির সমান।
∴ x + y + z = b + c + a + c + a + b
= 2 (a + b + c)
= 2 × 180°
= 360°

∴ কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রি

প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ১০ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?

সমাধান: 
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।

সমান্তরাল রেখা: 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
১. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
২. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
৩. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
• দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
• একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৫৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৫৫° × ২) 
= ১১০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১১০° ।

চিত্রে, ∠A + ∠B = ∠ACD
বা, ∠A = ∠ACD - ∠B = ১৫০° - ৩৫° = ১১৫° যা স্থূলকোণ

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এর ব্যাস বা ব্যাসার্ধের বর্গের সমানুপাতে বৃদ্ধি পাবে।
সুতরাং বৃত্তের ব্যাস ৪ গুণ বৃদ্ধি করলে এর ক্ষেত্রফল ১৬ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: ৩১০° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
সুতরাং, ৩১০° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্যদিকে, 
- দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে, কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 

প্রশ্ন: একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ ৭৫° হলে, কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তঃস্থ কোণ কেন্দ্রঃস্থ কোণের অর্ধেক। 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রঃস্থ কোণ বৃত্তঃস্থ কোণের দ্বিগুণ। 

এখন, 
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণের পরিমাণ = ৭৫° হলে, 
কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে = (৭৫° × ২) 
= ১৫০° 

∴ কেন্দ্রঃস্থ কোণের পরিমাণ = ১৫০° ।

৭০° কোনের সম্পূরক কোন = ১৮০° - ৭০° = ১১০°
কোনটির দ্বিগুন = ১১০° × ২ = ২২০°

অর্ধ বৃত্তস্থ কোন = ৯০°
∴ এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৯০°
= ৯০°

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র। কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল হয়ে যায়।