২,৫০১.
প্রদত্ত চিত্রে, ∠ABC + ∠ADC এর মান কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠BAD ও ∠BCD পরস্পর বিপরীত কোণ।
∠ADC + ∠ ABC = দুই সমকোণ
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
PrepBank · পাতা ২৬ / ৩২ · ২,৫০১–২,৬০০ / ৩,২১১
আমরা জানি
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজে ∠BAD ও ∠BCD পরস্পর বিপরীত কোণ।
∠ADC + ∠ ABC = দুই সমকোণ
২,৫০২.
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১৮০° হলে এর পরিধিস্থ কোণ -
ব্যাখ্যা
বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
২,৫০৩.
একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 40 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 90° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 40 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাস = 40 cm
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 20 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = 90°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s = ?
আমরা জানি,
s = πrθ/180°
⇒ s = (3.1416 × 20 × 90°)/180°
⇒ s = 3.1416 × 10
∴ s = 31.416
সমাধান:
সমাধান:
এখানে,
বৃত্তের ব্যাস = 40 cm
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 20 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = 90°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s = ?
আমরা জানি,
s = πrθ/180°
⇒ s = (3.1416 × 20 × 90°)/180°
⇒ s = 3.1416 × 10
∴ s = 31.416
২,৫০৪.
দুইটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত 3 : 4 হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
ব্যাখ্যা
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ 3x এবং 4x
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x)² : π(4x)²
= 9πx² : 16πx²
= 9 : 16
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ 3x এবং 4x
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x)² : π(4x)²
= 9πx² : 16πx²
= 9 : 16
২,৫০৫.
২৮০° কোণকে কী কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২৮০° কোণকে কী কোণ বলে?
সমাধান:
• ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
• যে কোণের পরিমাণ ৯০° তাকে সমকোণ বলে।
• ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
• ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
∴ ২৮০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।
২,৫০৬.
একটি চাকার পরিধি ১০ মিটার হলে ৩০০ মিটার যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকার পরিধি ১০ মিটার হলে ৩০০ মিটার যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?
সমাধান:
চাকার পরিধি = ১০ মিটার
চাকা প্রতিবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
∴ ৩০০ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে (৩০০ ÷ ১০) বার
= ৩০ বার
সমাধান:
চাকার পরিধি = ১০ মিটার
চাকা প্রতিবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।
∴ ৩০০ মিটার যেতে চাকাটি ঘুরবে (৩০০ ÷ ১০) বার
= ৩০ বার
২,৫০৭.
একটি বৃত্তের ব্যাস 36 সে.মি এবং বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 100° হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 36 সে.মি এবং বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 100° হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস = 36 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 18 সে.মি.
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = S
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 100°
আমরা জানি,
S = πrθ/180°
বা, S = (π × 18 × 100°)/180°
বা, S = 10π
∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 10π
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস = 36 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 18 সে.মি.
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = S
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 100°
আমরা জানি,
S = πrθ/180°
বা, S = (π × 18 × 100°)/180°
বা, S = 10π
∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 10π
২,৫০৮.
একটি কোণের মান ২৮০° তাহলে সেই কোণটিকে কি কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
যদি একটি কোনের মান ১৮০° থেকে বড় কিন্তু ৩৬০° কোন থেকে ছোট হয় তাহলে সেই কোন কে প্রবৃদ্ধ কোন বণে।
২,৫০৯.
একটি বৃত্তের ব্যাস ১৬ সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস ১৬ সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস d = ১৬ সে. মি.
∴ বৃত্তের ব্যাষার্ধ r = ১৬ ÷ ২ সে. মি.
= ৮ সে. মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= ৩.১৪১৬ × (৮)২
= ৩.১৪১৬ × ৬৪
= ২০১.০৬ বর্গ সে. মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস d = ১৬ সে. মি.
∴ বৃত্তের ব্যাষার্ধ r = ১৬ ÷ ২ সে. মি.
= ৮ সে. মি.
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= ৩.১৪১৬ × (৮)২
= ৩.১৪১৬ × ৬৪
= ২০১.০৬ বর্গ সে. মি.
২,৫১০.
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমান কত?
সমাধান:
ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে দুইটি সরলরেখা এসে বৃত্তচাপের উপর যে কোনো স্থানে এসে মিলিত হলে ওই মিলিত স্থানে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। কোন বৃত্তের অর্ধ-বৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ হয়।
উপরের চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠BAC = 90°
সমাধান:
ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে দুইটি সরলরেখা এসে বৃত্তচাপের উপর যে কোনো স্থানে এসে মিলিত হলে ওই মিলিত স্থানে যে কোণ উৎপন্ন হয় তা অর্ধবৃত্তস্থ কোণ। কোন বৃত্তের অর্ধ-বৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ হয়।
উপরের চিত্রে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC একটি অর্ধবৃত্তস্থ কোণ।
∴ ∠BAC = 90°
২,৫১১.
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে -
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°
∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৬৫° × ২
= ১৩০°
∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৬৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১৩০°।
২,৫১২.
চিত্রে, AC এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে, AC এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
AC এর দৈর্ঘ্য = ক মিটার
পীথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী,
ক২ = ২০২ + ২১২
⇒ ক২ = ৪০০ + ৪৪১
⇒ ক২ = ৮৪১
⇒ ক২ = ২৯২
∴ ক = ২৯ মিটার
∴ AC এর দৈর্ঘ্য = ২৯ মিটার।
২,৫১৩.
সুষম অষ্টভুজের একটি শীর্ষকোণ কত ডিগ্রী?
ব্যাখ্যা
সুষম বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n হলে তার কোণগুলোর সমষ্টি (2n - 4) সমকোণ।
সুতরাং সুষম অষ্টভুজের আট কোণের সমষ্টি = (2 × 8 - 4) সমকোণ
= (16 - 4) × 90°
= 12 × 90°
= 1080°
সুতরাং সুষম অষ্টভুজের একটি শীর্ষ কোণ = 1080°/8
= 135°
২,৫১৪.
24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 24 মি পরিসীমা বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্র বৃত্তে অন্তর্লিখিত হয়েছে। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (24 ÷ 4) = 6 মিটার
যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 6√2 মিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2 ÷ 2 = 3√2 মিটার
∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (3√2)2 বর্গ মিটার
= (π × 9 × 2) বর্গ মিটার
= 18π বর্গ মিটার
সমাধান:
ABCD বর্গের পরিসীমা = 24 মিটার
ABCD বর্গের বাহু = (24 ÷ 4) = 6 মিটার
যেহেতু বর্গটি অন্তর্লিখিত
∴ বৃত্তের ব্যাস = বর্গটির কর্ণ
= বাহু × √2
= 6√2 মিটার
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 6√2 ÷ 2 = 3√2 মিটার
∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π (3√2)2 বর্গ মিটার
= (π × 9 × 2) বর্গ মিটার
= 18π বর্গ মিটার
২,৫১৫.
৫৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
যেহেতু, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ , ৫৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৫৭°
সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
যেহেতু, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ , ৫৭° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৫৭°
২,৫১৬.
তলের মাত্রা কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তলের মাত্রা কয়টি?
সমাধান:
বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা প্রত্যেকটিকে বস্তুর মাত্রা বলে।
সাধারন অর্থে কোন ত্রিমাত্রিক দৃশ্যমান অংশকে তল বলে।
তলের শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল দ্বিমাত্রিক।
সমাধান:
বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা প্রত্যেকটিকে বস্তুর মাত্রা বলে।
সাধারন অর্থে কোন ত্রিমাত্রিক দৃশ্যমান অংশকে তল বলে।
তলের শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল দ্বিমাত্রিক।
২,৫১৭.
প্রদত্ত চিত্রানুসারে b এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রানুসারে b এর মান কত?
সমাধান:
চিত্রানুসারে,
4a° + 5a° = 180° [এক সরল কোণ বলে]
⇒ 9a° = 180°
⇒ a° = 180°/9
∴ a = 20°
আবার,
b° + 55° = 5 × 20° [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
⇒ b° = 100° - 55°
∴ b° = 45°
সমাধান:
চিত্রানুসারে,
4a° + 5a° = 180° [এক সরল কোণ বলে]
⇒ 9a° = 180°
⇒ a° = 180°/9
∴ a = 20°
আবার,
b° + 55° = 5 × 20° [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
⇒ b° = 100° - 55°
∴ b° = 45°
২,৫১৮.
(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
(i) যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই তল
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৩. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নাই, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার উপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।
(ii) যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, উচ্চতা নাই, তাই তল
(iii) তলের প্রান্ত হলো রেখা।
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত বর্ণনা নিম্নরূপ:
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৩. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, কিন্তু উচ্চতা নাই, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার উপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।
২,৫১৯.
একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি এবং তার ক্ষেত্রফল সমান হলে, বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
2πr = πr2
⇒ 2r = r2
∴ r = 2
∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π(2)2
= 4π
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
তাহলে, বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
2πr = πr2
⇒ 2r = r2
∴ r = 2
∴ বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π(2)2
= 4π
২,৫২০.
কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের কেন্দ্রকে কী বলে?
সমাধান:
পরিকেন্দ্র:
- কোন ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তকে বলে পরিবৃত্ত এবং কেন্দ্রকে বলে পরিকেন্দ্র।
লম্বকেন্দ্র:
- শীর্ষ বিন্দু থেকে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের মিলিত বিন্দু কে ঐ ত্রিভুজের লম্বকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ঐ ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বলে।
অন্তকেন্দ্র:
- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদ বিন্দুকে ঐ ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বলে।
২,৫২১.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৯। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৯। এদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৯
ধরি,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৪ক একক
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৯ক একক
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(৪ক)২ বর্গএকক = ১৬ক২π বর্গএকক
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(৯ক)২ বর্গএকক = ৮১ক২π বর্গএকক
∴ ১ম বৃত্ত : ২য় বৃত্ত = ১৬ক২π : ৮১ক২π
= ১৬ : ৮১
২,৫২২.
123° কোণের সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 123° কোণের সম্পূরক কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
123° কোণের সম্পূরক কোণ = (180° - 123° ) = 57°
57° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 57°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে একটি অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
123° কোণের সম্পূরক কোণ = (180° - 123° ) = 57°
57° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = 57°
২,৫২৩.
বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে কী বলে?
সমাধান:
- বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।
২,৫২৪.
AB রেখার উপর P একটি বিন্দু, তাহলে নিচের কোনটি সকল ক্ষেত্রেই সঠিক হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্নানুসারে AB = AP + PB
মূল রেখা সবসময়ই রেখাংশের চেয়ে বড় হবে।
সুতরাং, AB > AP
কিন্তু অপশন ক এবং গ সবক্ষেত্রে সঠিক হবে না।
২,৫২৫.
14 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 14 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
আমরা জানি,
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ সে.মি.
= (3.1416 × 14 × 14) বর্গ সে.মি.
= 615.75 বর্গ সে.মি.
= প্রায় 616 বর্গ সে.মি.
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গ সে.মি.।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 14 সে.মি.
আমরা জানি,
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ সে.মি.
= (3.1416 × 14 × 14) বর্গ সে.মি.
= 615.75 বর্গ সে.মি.
= প্রায় 616 বর্গ সে.মি.
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 616 বর্গ সে.মি.।
২,৫২৬.
44 cm পরিধিবিশিষ্ট একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং 1/49 cm উচ্চতাবিশিষ্ট একটি সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ পরস্পর সমান হলে, সিলিন্ডারটির আয়তন কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = 2πr
বা, 44 = 2πr
∴ r = 7 cm
সুতরাং সিলিন্ডারটির আয়তন = πr²h = π×7²×1/49 = π cm².
২,৫২৭.
বৃত্তের কেন্দ্র বরাবর পরিধির একপ্রান্ত হতে অপরপ্রান্ত পর্যন্ত অংকিত সরলরেখাকে বৃত্তের ____ বলে?
ব্যাখ্যা
ব্যাস: বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যাকে বৃত্তের ব্যাস বলে।
ব্যাস এর সংজ্ঞানুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।
২,৫২৮.
x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y = 3 সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি কোন প্রকৃতির?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x + y - 1 = 0, x - y + 1 = 0 এবং y = 3 সরলরেখা তিনটি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি কোন প্রকৃতির?
সমাধান:
x + y - 1 = 0 ....................... (১)
x - y + 1 = 0 ....................... (২)
y = 3 ........................... (৩)
(১) নং সমীকরণে,
y = - x + 1
∴ সমীকরণের ঢাল = - 1/1 = - 1
(২) নং সমীকরণে,
y = x + 1
∴ সমীকরণের ঢাল = 1/1 = 1
∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = (- 1) × 1 = - 1
যেহেতু দুইটি ঢালের গুণফল = - 1. সেহেতু ঢালদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।
এখন, ত্রিভুজের দুইটি বাহু লম্ব হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ হবে সমকোণ (৯০°)।
অর্থাৎ ত্রিভুজটি সমকোণী।
২,৫২৯.
কোন জাতি বৃত্তকে প্রথম ৩৬০ ডিগ্রীতে ভাগ করে?
ব্যাখ্যা
পৃথিবীর প্রাচীনতম সভ্যতার একটি হচ্ছে আসিরীয়ান সভ্যতা। তারা বৃত্তকে ৩৬০ ডিগ্রিতে ভাগ করে আসিরীয়রা। 'হাম্মুরাবি কোড অব ল' তারাই প্রবর্তন করে।
উৎসঃ এনসাইক্লোপিডিয়া
উৎসঃ এনসাইক্লোপিডিয়া
২,৫৩০.
20 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20 সে.মি. ব্যাস ও 8 সে. মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে বৃত্ত দুটির কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 20/2 = 10 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8 সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (10 + 8) সে.মি.
= 18 সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 20/2 = 10 সে.মি.
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8 সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = (10 + 8) সে.মি.
= 18 সে.মি.
২,৫৩১.
চিত্রে PQ || SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 50° হলে ∠PRS হলে কত?
ব্যাখ্যা
চিত্রে PQ || SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 50° হলে ∠PRS হলে কত?
PQ = PR বিধায়, ∠PRQ = ∠PQR = 50°
PQ || SR বিধায়, অনুরূপ কোণ ∠LRS = 50°
∴ ∠PRS = 180 - ∠LRS - ∠PRQ = 180 - 50 - 50 = 80°
PQ = PR বিধায়, ∠PRQ = ∠PQR = 50°
PQ || SR বিধায়, অনুরূপ কোণ ∠LRS = 50°
∴ ∠PRS = 180 - ∠LRS - ∠PRQ = 180 - 50 - 50 = 80°
২,৫৩২.
একটি বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি করলে উহার ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাস = 2r একক
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r একক
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক
3 গুণ বৃদ্ধি করলে, নতুন ব্যাস = 3.2r একক
= 6r একক
নতুন ব্যাসার্ধ = 6r/2 একক
= 3r একক
সুতরাং নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)2 বর্গ একক
= 9r2 বর্গ একক
= 9 × বৃত্তের ক্ষেত্রফল
২,৫৩৩.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ২১% বৃদ্ধি পেলে তার ব্যাসার্ধ শতকরা কত বৃদ্ধি পায়?
ব্যাখ্যা
মনে করি,
বৃত্তের ব্যসার্ধ = ১০০ একক
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (১০০)2
= ১০০০০π বর্গ একক
২১% বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল
= ১০০০০π × ১২১/১০০
= ১২১০০π
= π(১১০)2
∴ পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = ১১০ একক
∴ ব্যাসার্ধের শতকরা বৃদ্ধি
= ১১০ - ১০০
= ১০%
বৃত্তের ব্যসার্ধ = ১০০ একক
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π × (১০০)2
= ১০০০০π বর্গ একক
২১% বৃদ্ধিতে ক্ষেত্রফল
= ১০০০০π × ১২১/১০০
= ১২১০০π
= π(১১০)2
∴ পরিবর্তিত ব্যাসার্ধ = ১১০ একক
∴ ব্যাসার্ধের শতকরা বৃদ্ধি
= ১১০ - ১০০
= ১০%
২,৫৩৪.
2∠x = 182° হলে, ∠x কোন ধরণের কোণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2∠x = 182° হলে, ∠x কোন ধরণের কোণ?
সমাধান:
2∠x = 182°
⇒ ∠x = 182°/2
∴ ∠x = 91°
অতএব, ∠x স্থূলকোণ।
সমাধান:
2∠x = 182°
⇒ ∠x = 182°/2
∴ ∠x = 91°
অতএব, ∠x স্থূলকোণ।
২,৫৩৫.
2a ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তে একটি বর্গ অন্তর্লিখিত এবং অপর একটি বর্গ বৃত্তকে বেষ্টন করে রয়েছে। অন্তঃবর্গ ও বহিঃবর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য কত বর্গ সে.মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 2a ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তে একটি বর্গ অন্তর্লিখিত এবং অপর একটি বর্গ বৃত্তকে বেষ্টন করে রয়েছে। অন্তঃবর্গ ও বহিঃবর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য কত বর্গ সে.মি.?
সমাধান :
বৃত্তটির ব্যাস হলো অন্তঃবর্গের কর্ণ।
অন্তঃবর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য x একক হলে
x√2 = 2a
x = 2a/√2
x = √2a
অন্তবর্গের ক্ষেত্রফল = (√2a)2 = 2a2
অপরদিকে, বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রমকারী বৃহত্তম হজ্যা অর্থাৎ ব্যাস বহিঃবর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য।
সুতরাং, বহিঃবর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = 2a
বহিঃবর্গের ক্ষেত্রফল = (2a)2
= 4a2
বহিঃবর্গ ও অন্তঃবর্গের ক্ষেত্রফলের পার্থক্য = 4a2 - 2a2 = 2a2 বর্গ সে.মি.
২,৫৩৬.
৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক কত?
সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হয়, তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৩০° কোণের পূরক কোণ = (৯০° - ৩০°)
= ৬০°
∴ ৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক = ৬০°/২
= ৩০°
সমাধান:
যখন দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ হয়, তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
∴ ৩০° কোণের পূরক কোণ = (৯০° - ৩০°)
= ৬০°
∴ ৩০° কোণের পূরক কোণের অর্ধেক = ৬০°/২
= ৩০°
২,৫৩৭.
213 + 2.013 + 0.213 + 2.0013 = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 213 + 2.013 + 0.213 + 2.0013 = ?
সমাধান:
213 + 2.013 + 0.213 + 2.0013 = 217.2273
সমাধান:
213 + 2.013 + 0.213 + 2.0013 = 217.2273
২,৫৩৮.
প্রদত্ত চিত্রে, AB | | CD হলে, x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে, AB | | CD হলে, x এর মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার সাধারণ ছেদকের একই পাশে উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°
তাহলে এখানে,
x + 75° = 180°
x = 180° - 75°
x = 105°
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার সাধারণ ছেদকের একই পাশে উৎপন্ন অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°
তাহলে এখানে,
x + 75° = 180°
x = 180° - 75°
x = 105°
২,৫৩৯.
একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের এক-তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের এক-তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?
সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = a°
এর পূরক কোণ = 90° - a°
প্রশ্নমতে,
a° = (90° - a°)/3
⇒ 3a° = 90° - a°
⇒ 4a° = 90°
∴ a° = 90°/4 = 22.5°
সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = a°
এর পূরক কোণ = 90° - a°
প্রশ্নমতে,
a° = (90° - a°)/3
⇒ 3a° = 90° - a°
⇒ 4a° = 90°
∴ a° = 90°/4 = 22.5°
২,৫৪০.
PQRS সামন্তরিকের SR ভূমিকে Z পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠QPS = 105° হলে ∠QRZ = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PQRS সামন্তরিকের SR ভূমিকে Z পর্যন্ত বাড়ানো হলো। ∠QPS = 105° হলে ∠QRZ = কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
∴ ∠QPS = ∠QRS = 105°
এখন,
∠QRS + ∠QRZ = 180° [যেহেতু, এক সরলকোণ = 180°]
⇒ 105° + ∠QRZ = 180°
⇒ ∠QRZ = 180° - 105°
∴ ∠QRZ = 75°
২,৫৪১.
একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য 14cm হলে ব্যাসার্ধ কত সেঃমিঃ?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাস = বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = 14cm
∴ ব্যাসার্ধ = 7cm
∴ ব্যাসার্ধ = 7cm
২,৫৪২.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৯০ বার ঘোরে। ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রী ঘুরবে?
সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘুরে = ৯০/৬০ বার
= ৩/২ বার
= ১.৫ বার
এখন,
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৩/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে = (৩৬০× ৩)°/২
= ৫৪০° ।
২,৫৪৩.
4x+3y-12 = 0 রেখাটি x অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
ব্যাখ্যা
x অক্ষে y = 0
∴ সমীকরণে y = 0 বসিয়ে পাই
বা, 4x - 12 = 0
4x = 12
বা, x = 3
∴ বিন্দুটি (3, 0)
∴ সমীকরণে y = 0 বসিয়ে পাই
বা, 4x - 12 = 0
4x = 12
বা, x = 3
∴ বিন্দুটি (3, 0)
২,৫৪৪.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্ত:স্পর্শ করলে বৃহত্তম বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ৫ সে.মি. অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্ত:স্পর্শ করলে বৃহত্তম বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ৯ সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব ৫ সে.মি. অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
আমরা জানি
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r1 = ৯ সে. মি.
অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= ?
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r1 - r2)
⇒ ৫ = ৯ - r2
⇒ ৫ - ৯ = - r2
∴ r2 = ৪ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।
বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r1 = ৯ সে. মি.
অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r2= ?
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r1 - r2)
⇒ ৫ = ৯ - r2
⇒ ৫ - ৯ = - r2
∴ r2 = ৪ সে.মি.
২,৫৪৫.
(1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?
সমাধান:
২,৫৪৬.
বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ -
ব্যাখ্যা
বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থুলকোণ।
বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষকোণ।
বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষকোণ।
২,৫৪৭.
একটি চর্তুভুজের চারটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চর্তুভুজের চারটি কোণের অনুপাত 1 : 2 : 2 : 3 হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
চার কোণের অনুপাত = 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = 1 + 2 + 2 + 3 = 8
সুতরাং বৃহত্তম কোণ = 3/8 × 360°
= 135°
সমাধান:
আমরা জানি, চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = 360°
চার কোণের অনুপাত = 1 : 2 : 2 : 3
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = 1 + 2 + 2 + 3 = 8
সুতরাং বৃহত্তম কোণ = 3/8 × 360°
= 135°
২,৫৪৮.
রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: রেখাংশের কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?
সমাধান:
রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।
রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।
২,৫৪৯.
প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° এবং ∠QPR = 70° হলে ∠PRS এর মান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে PQ ।। SR, PQ = PR এবং ∠PRQ = 55° এবং ∠QPR = 70° হলে ∠PRS এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 55°
আবার,
∠PRL = ∠PQR + ∠QPR
= 55° + 70°
= 125°
∠PRS = 125° - 55° =70 °
======================
বিকল্প:
PQ ।। SR, PR এদের ছেদক
∠QPR = ∠PRS পরস্পর একান্তর কোণ
∠QPR = ∠PRS = 70°
সমাধান:
PQ = PR হলে
∠PRQ = ∠PQR = 55°
আবার,
PQ ।। SR, QL এদের ছেদক
∠PQR = ∠LRS পরস্পর অনুরূপ কোণ
∠PQR = ∠LRS = 55°
আবার,
∠PRL = ∠PQR + ∠QPR
= 55° + 70°
= 125°
∠PRS = 125° - 55° =70 °
======================
বিকল্প:
PQ ।। SR, PR এদের ছেদক
∠QPR = ∠PRS পরস্পর একান্তর কোণ
∠QPR = ∠PRS = 70°
২,৫৫০.
চারটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চারটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?
সমাধান:
সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।
২,৫৫১.
২ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেন্টিমিটার?
সমাধান:
মনেকরি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 2 সে.মি
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 = π × 22 বর্গ সে.মি
=4π বর্গ সে.মি
আবার
ABCD এ AC = 4 সে.মি.
আমরা জানি
AC2 = AB2 + BC2
AB2 + AB2 = AC2
2AB2 = 42
2AB2 =16
AB2 = 8
বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহু এবং বৃত্তটি দ্বারা আবৃদ্ধ অঞ্চলের ক্ষেত্রফল = 4π - 8 বর্গ সে.মি
২,৫৫২.
কোন ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদবিন্দুকে কী বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকের ছেদবিন্দুকে কী বলে?
সমাধান:
ত্রিভুজের কোণগুলির সমদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির অন্ত:কেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে লম্বকেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র বলে।
সমাধান:
ত্রিভুজের কোণগুলির সমদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির অন্ত:কেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির ভরকেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু হতে বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত লম্বত্রয় যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে লম্বকেন্দ্র বলে।
* ত্রিভুজের বাহুগুলোর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে মিলিত হয় তাকে ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র বলে।
২,৫৫৩.
প্রতি মিনিটে ৬৬ মিটার বেগে ১.৫ মিনিটে একটি ঘোড়া একটি মাঠ ঘুরে এলো। ঐ মাঠের ব্যাস কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রতি মিনিটে ৬৬ মিটার বেগে ১.৫ মিনিটে একটি ঘোড়া একটি মাঠ ঘুরে এলো। ঐ মাঠের ব্যাস কত?
সমাধান:
১ মিনিটে ঘুরে ৬৬ মিটার
∴ ১.৫ মিনিটে ঘুরে ৬৬ × ১.৫ মিটার
= ৯৯ মিটার
ধরি,
মাঠের ব্যাসার্ধ, r মিটার
মাঠের ব্যাস, d = ২r মিটার
মাঠের পরিধি=2πr
প্রশ্নমতে,
২πr = ৯৯
বা, ২r = ৯৯/π [π=3.1416]
বা, ২r = ৯৯/(২২/৭)
বা, ২r = ৯৯ × (৭/২২)
বা, ২r = ৩১.৫
∴ মাঠের ব্যাস = ৩১.৫ মিটার
সমাধান:
১ মিনিটে ঘুরে ৬৬ মিটার
∴ ১.৫ মিনিটে ঘুরে ৬৬ × ১.৫ মিটার
= ৯৯ মিটার
ধরি,
মাঠের ব্যাসার্ধ, r মিটার
মাঠের ব্যাস, d = ২r মিটার
মাঠের পরিধি=2πr
প্রশ্নমতে,
২πr = ৯৯
বা, ২r = ৯৯/π [π=3.1416]
বা, ২r = ৯৯/(২২/৭)
বা, ২r = ৯৯ × (৭/২২)
বা, ২r = ৩১.৫
∴ মাঠের ব্যাস = ৩১.৫ মিটার
২,৫৫৪.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠AOB = 60° হলে ∠OBC = ?
ব্যাখ্যা
বৃহস্থ কোণ ∠ACB = 1/2 ∠AOB = 30°
∠BOC = 180° - ∠AOB
= 180° - 60° = 120°
∴ ∠OBC = 180° - (BOC + ACB)
= 180° - (120° + 30°) = 30°
২,৫৫৫.
সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ ক
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ ক + ৫
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°
ক + ক + ৫ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৫° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯৫°
⇒ ২ক = ৮৫°
∴ ক = ৪২.৫°
সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ ক
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের মধ্যে বৃহত্তম কোণ ক + ৫
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°
ক + ক + ৫ + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২ক + ৯৫° = ১৮০°
⇒ ২ক = ১৮০° - ৯৫°
⇒ ২ক = ৮৫°
∴ ক = ৪২.৫°
২,৫৫৬.
দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে, কোণ দুটির পরিমাণ কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের অনুপাত 11 : 7 হলে, কোণ দুটির পরিমাণ কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
১ম কোণটি = 11x
এবং ২য় কোণটি = 7x
আমরা জানি,
সম্পূরক কোণের সমষ্টি = 180°
শর্তমতে,
11x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
বা, x = 180°/18
∴ x = 10°
∴ ১ম কোণ = 11 × 10° = 110°
এবং ২য় কোন = 7 × 10° = 70°
∴ কোণ দুটির পরিমাণ হবে = 110, 70 ।
সমাধান:
ধরি,
১ম কোণটি = 11x
এবং ২য় কোণটি = 7x
আমরা জানি,
সম্পূরক কোণের সমষ্টি = 180°
শর্তমতে,
11x + 7x = 180°
বা, 18x = 180°
বা, x = 180°/18
∴ x = 10°
∴ ১ম কোণ = 11 × 10° = 110°
এবং ২য় কোন = 7 × 10° = 70°
∴ কোণ দুটির পরিমাণ হবে = 110, 70 ।
২,৫৫৭.
একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুইটি বহি:স্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টির অর্ধেক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুকে উভয় দিকে বর্ধিত করলে দুইটি বহি:স্থ কোণ উৎপন্ন হয়, তাদের সমষ্টির অর্ধেক কত?
সমাধান:
চিত্রানুসারে,
∠ACF = ∠A + ∠B ................... (1)
∠ABE = ∠A + ∠C ................... (2)
(1) + (2) হতে পাই,
∠ACF + ∠ABE = ∠A + ∠B + ∠C + ∠A
= 180° + ∠A
= 180° + 60°
= 240°
∴ কোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক = 240°/2 = 120°
সমাধান:
চিত্রানুসারে,
∠ACF = ∠A + ∠B ................... (1)
∠ABE = ∠A + ∠C ................... (2)
(1) + (2) হতে পাই,
∠ACF + ∠ABE = ∠A + ∠B + ∠C + ∠A
= 180° + ∠A
= 180° + 60°
= 240°
∴ কোণগুলোর সমষ্টির অর্ধেক = 240°/2 = 120°
২,৫৫৮.
একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ ৪৯ মিটার। পার্কটির বাইরের সীমানা ঘেঁষে ৭ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- একটি বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ ৪৯ মিটার। পার্কটির বাইরের সীমানা ঘেঁষে ৭ মিটার প্রশস্ত একটি রাস্তা আছে। রাস্তাটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান-
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ = ৪৯ মিটার
বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2
= (২২/৭) × ৪৯ × ৪৯
= ৭৫৪৬ বর্গ মি.
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ = ৪৯ + ৭ = ৫৬ মিটার
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2
= (২২/৭) × ৫৬ × ৫৬ বর্গ মি.
= ৯৮৫৬ বর্গ মি.
রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = ৯৮৫৬ - ৭৫৪৬ = ২৩১০ বর্গ মি.
সমাধান-
বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ = ৪৯ মিটার
বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2
= (২২/৭) × ৪৯ × ৪৯
= ৭৫৪৬ বর্গ মি.
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ব্যাসার্ধ = ৪৯ + ৭ = ৫৬ মিটার
রাস্তাসহ বৃত্তাকার পার্কের ক্ষেত্রফল = πr2
= (২২/৭) × ৫৬ × ৫৬ বর্গ মি.
= ৯৮৫৬ বর্গ মি.
রাস্তাটির ক্ষেত্রফল = ৯৮৫৬ - ৭৫৪৬ = ২৩১০ বর্গ মি.
২,৫৫৯.
একটি বৃত্তের একটি জ্যা কয়টি চাপে বিভক্ত হয়?
ব্যাখ্যা
একটি বৃত্তের একটি জ্যা 2টি চাপে বিভক্ত হয়।
২,৫৬০.
একটি বিন্দু দিয়ে কতটি বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিন্দু দিয়ে কতটি বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়?
সমাধান:
বিন্দু:
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
সমাধান:
বিন্দু:
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই।
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন।
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়।
সাধারণ বিন্দু:
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে।
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না।
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়।
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।
২,৫৬১.
দুইটি বিন্দু দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বিন্দু দিয়ে কয়টি সরলরেখা আঁকা যায়?
সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।
সমাধান:
ইউক্লিড প্রদত্ত পাঁচটি স্বীকার্য হলো:
স্বীকার্য-১: দুইটি বিন্দু দিয়ে কেবলমাত্র একটি সরলরেখা আঁকা যায়।
স্বীকার্য-২: যেকোনো সরল রেখাংশের প্রান্তদ্বয়কে উভয়দিকে যতদূর ইচ্ছা বর্ধিত করা যায়।
স্বীকার্য-৩: যেকোনো বিন্দুকে কেন্দ্র করে যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে কেবলমাত্র একটি বৃত্ত আঁকা যায়।
স্বীকার্য-৪: সকল সমকোণ পরস্পর সমান।
স্বীকার্য-৫: একটি সরলরেখা দুইটি সরলরেখাকে ছেদ করলে এবং ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম হলে, রেখা দুইটিকে যথেচ্ছভাবে বর্ধিত করলে যেদিকে কোণের সমষ্টি দুই সমকোণের থেকে কম, সেদিকে মিলিত হয়।
২,৫৬২.
y2 - 4ax = 0 সমীকরণটি নিচের কোনটি নির্দেশ করে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y2 - 4ax = 0 সমীকরণটি নিচের কোনটি নির্দেশ করে?
সমাধান:
প্যারাবোলা বা পরাবৃত্তের সমীকরণ, y2 - 4ax = 0
⇒ উপবৃত্তের সমীকরণ, (x2/a2) + (y2/b2) = 1
⇒ বৃত্তের সমীকরণ, x2 + y2 = r2
⇒ গোলকের সমীকরণ, x2 + y2 + z2 = r2
সমাধান:
প্যারাবোলা বা পরাবৃত্তের সমীকরণ, y2 - 4ax = 0
⇒ উপবৃত্তের সমীকরণ, (x2/a2) + (y2/b2) = 1
⇒ বৃত্তের সমীকরণ, x2 + y2 = r2
⇒ গোলকের সমীকরণ, x2 + y2 + z2 = r2
২,৫৬৩.
৪৩° কোণের সম্পূরক কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৩° কোনের সম্পূরক কোণ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে তারা পরস্পরের পূরক কোণ।
দুটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
∴ ৪৩° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৪৩)°
= ১৩৭° ।
২,৫৬৪.
৫ সেঃমিঃ ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৩ সেঃমিঃ দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত সেঃমিঃ?
ব্যাখ্যা
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধের OA = ৫,
O থেকে AB জ্যা এর লম্ব দূরত্ব OD = ৩
যেখানে, D, AB এর মধ্যবিন্দু
∴ AB = 2AB
= 2√(OA2 - OD2)
= 2√(৫2 - ৩2)
= ২ × ৪
= ৮ সেঃমিঃ
O থেকে AB জ্যা এর লম্ব দূরত্ব OD = ৩
যেখানে, D, AB এর মধ্যবিন্দু
∴ AB = 2AB
= 2√(OA2 - OD2)
= 2√(৫2 - ৩2)
= ২ × ৪
= ৮ সেঃমিঃ
২,৫৬৫.
দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 14 সে.মি. ও 10 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 14 সে.মি. ও 10 সে.মি. যদি বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে, তবে তাদের কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14/2 = 7 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 7 + 5 = 12 সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃত্ত দুইটির ব্যাসার্ধের যোগফলের সমান।
এখানে ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 14/2 = 7 সে.মি.
এবং ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 10/2 = 5 সে.মি.
সুতরাং কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = 7 + 5 = 12 সে.মি.
২,৫৬৬.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ২ ডিগ্রী হলে ক্ষুদ্রতম কোনটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সমকোণ ছাড়া অপর দুইটি কোণের পার্থক্য ২ ডিগ্রী হলে ক্ষুদ্রতম কোনটি কত?
সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = ক
অপর সূক্ষ্মকোণ = ক + ২
শর্তানুসারে,
ক + ক + ২ = ৯০°
বা, ২ক = ৯০° - ২
বা, ক = ৮৮°/২
∴ ক = ৪৪°
সমাধান:
ধরি,
একটি সূক্ষ্মকোণ = ক
অপর সূক্ষ্মকোণ = ক + ২
শর্তানুসারে,
ক + ক + ২ = ৯০°
বা, ২ক = ৯০° - ২
বা, ক = ৮৮°/২
∴ ক = ৪৪°
২,৫৬৭.
প্রদত্ত চিত্রে, কেন্দ্র O থেকে AB ও CD জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে OE ও OF হলে, নিচের কোনটি সঠিক হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রে, কেন্দ্র O থেকে AB ও CD জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে OE ও OF হলে, নিচের কোনটি সঠিক হবে?
সমাধান:
কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
কেন্দ্র O থেকে AB ও CD জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে OE ও OF
BE = AE, CF = DF
সমাধান:
কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
কেন্দ্র O থেকে AB ও CD জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব যথাক্রমে OE ও OF
BE = AE, CF = DF
২,৫৬৮.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 132 সেন্টিমিটার ও 1386 বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
ধরি
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং
বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr²/2πr = 1386/132
বা, r/2 = 21/2
বা, r = 21
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 21 সে. মি.
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr একক এবং
বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr²/2πr = 1386/132
বা, r/2 = 21/2
বা, r = 21
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 21 সে. মি.
২,৫৬৯.
ΔABC এর ∠B এবং ∠C এর অর্ন্তদ্বিখন্ডকদ্বয় O বিন্দুতে মিলিত হয় এবং ∠A = 110° হলে, ∠BOC = ?
ব্যাখ্যা
ΔABC - এ,
A + B + C = 180°
B + C = 180° - A
ΔBOC - এ,
1/2B + 1/2C + ∠BOC = 180°
বা, 1/2(B + C) + ∠BOC = 180°
বা, ∠BOC = 180° - 1/2(B + C)
= 180° - 1/2(180° - A)
= 180° - 90° + A/2
= 90° + 110°/2
= 145°
২,৫৭০.
বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের-
ব্যাখ্যা
কেন্দ্রস্থ কোণ = ২ × পরিধিস্থ কোণ।
২,৫৭১.
প্রতি মিনিটে 44 মিটার বেগে 3/2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রতি মিনিটে 44 মিটার বেগে 3/2 মিনিটে একটি ঘোড়া কোনো বৃত্তাকার মাঠ ঘুরে এলো। ঐ বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
ঘোড়াটি 1 মিনিটে যায় 44 মিটার
ঘোড়াটি 3/2 মিনিটে যায় (44 × 3)/2 মিটার
= 66 মিটার
মনেকরি,
বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = r
প্রশ্নমতে,
2πr = 66
2(22/7)r = 66
44r/7 = 66
r = (66 × 7)/44
r = 21/2
= 10.5
সমাধান:
ঘোড়াটি 1 মিনিটে যায় 44 মিটার
ঘোড়াটি 3/2 মিনিটে যায় (44 × 3)/2 মিটার
= 66 মিটার
মনেকরি,
বৃত্তাকার মাঠের ব্যাসার্ধ = r
প্রশ্নমতে,
2πr = 66
2(22/7)r = 66
44r/7 = 66
r = (66 × 7)/44
r = 21/2
= 10.5
২,৫৭২.
নিচের কোনটি ব্যতিক্রম?
ব্যাখ্যা
ট্রাফিজিয়াম, সামন্তরিক এবং আয়ত প্রতিটি চারটি বাহু দিয়ে গঠিত, কিন্তু ষড়ভুজ ৬ টি বাহু দিয়ে গঠিত।
২,৫৭৩.
চিত্রে a° এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে a° এর মান কত?
সমাধান:
এখানে,
b° = 3c° [∴ একান্তর কোণ]
এবং, a° = 2b° [∴ একান্তর কোণ]
∴ a° = 2 × 3c° = 6c°
∴ 3c° = a°/2
∴ a° + 6c° + 3c° = 180° [সরলকোণ বলে]
বা, a° + a° + (a°/2) = 180°
বা, (2a° + 2a° + a°)/2 = 180°
বা, 5a°/2 = 180°
বা, 5a° = 360°
∴ a° = 72°
সমাধান:
এখানে,
b° = 3c° [∴ একান্তর কোণ]
এবং, a° = 2b° [∴ একান্তর কোণ]
∴ a° = 2 × 3c° = 6c°
∴ 3c° = a°/2
∴ a° + 6c° + 3c° = 180° [সরলকোণ বলে]
বা, a° + a° + (a°/2) = 180°
বা, (2a° + 2a° + a°)/2 = 180°
বা, 5a°/2 = 180°
বা, 5a° = 360°
∴ a° = 72°
২,৫৭৪.
দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 2/3 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি অপরটির 2/3 অংশ হলে বৃহত্তম কোণটির মান কত?
সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম কোণ = x
ক্ষুদ্রতম কোণ = 2x/3
আমরা জানি, পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
বা, x + (2x/3) = 90°
বা, (3x + 2x)/3 = 90°
বা, 5x = 90° × 3
বা, 5x = 270°
বা, x = 270°/5
∴ x = 54°
অতএব, বৃহত্তম কোণটির মান 54°।
২,৫৭৫.
কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সম্পর্ক কীরূপ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণের সম্পর্ক কীরূপ?
সমাধান:
উন্নতি কোণ
ভূতলের সমান্তরাল রেখার উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখা বা ভূমির সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলে।
অবনতি কোণ
ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলে।
• কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ একান্তর প্রকৃতির। তাই তারা পরস্পর সমান।
সমাধান:
উন্নতি কোণ
ভূতলের সমান্তরাল রেখার উপরের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখা বা ভূমির সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে উন্নতি কোণ বলে।
অবনতি কোণ
ভূতলের সমান্তরাল রেখার নিচের কোনো বিন্দু ভূমির সমান্তরাল রেখার সাথে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে অবনতি কোণ বলে।
• কোন নির্দিষ্ট বিন্দুর উন্নতি কোণ ও অবনতি কোণ একান্তর প্রকৃতির। তাই তারা পরস্পর সমান।
২,৫৭৬.
কোন ত্রিভুজের দুটি কোণ 65° ও 75° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের হবে?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
এখানে দুটি কোণের সমষ্টি = (65° + 75°) = 140°
সুতরাং তৃতীয় কোণের পরিমাণ = 180° - 140° = 40°
সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু কারণ প্রত্যেকটি কোণের পরিমাণ ভিন্ন ভিন্ন।
২,৫৭৭.
নিচের চিত্রে y এর মান নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে y এর মান নির্ণয় করুন।
সমাধান:
যেহেতু (2x)° ও (3x)° দুটি সম্পূরক কোণ-
∴ 2x + 3x = 180
বা, 5x = 180
বা, x = 180/5
∴ x = 36
আবার,
(2x)° ও (y + 3০°) দুটি বিপ্রতীপ কোণ বলে-
2x = y + 30
বা, y = 2x - 30
বা, y = (2 × 36) - 30
বা, y = 72 - 30
∴ y = 42
সমাধান:
যেহেতু (2x)° ও (3x)° দুটি সম্পূরক কোণ-
∴ 2x + 3x = 180
বা, 5x = 180
বা, x = 180/5
∴ x = 36
আবার,
(2x)° ও (y + 3০°) দুটি বিপ্রতীপ কোণ বলে-
2x = y + 30
বা, y = 2x - 30
বা, y = (2 × 36) - 30
বা, y = 72 - 30
∴ y = 42
২,৫৭৮.
দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩.৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি লাইন একে অন্যের থেকে ৩.৫ মিটার দূরে সমান্তরালভাবে চলে যাচ্ছে। তারা একে অন্যের সাথে কত মিটার দূরে গিয়ে মিলিত হবে?
সমাধান:
দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনই মিলিত হয় না।
সমাধান:
দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনই মিলিত হয় না।
২,৫৭৯.
b এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: b এর মান কত?
সমাধান:
2a° + 3a° 180° [এক সরল কোণ বলে]
⇒ 5a° = 180°
∴ a = 36°
আবার, b + 76° = 3 × 36° [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
⇒ b = 108° - 76°
∴ b = 32°
সমাধান:
2a° + 3a° 180° [এক সরল কোণ বলে]
⇒ 5a° = 180°
∴ a = 36°
আবার, b + 76° = 3 × 36° [বিপ্রতীপ কোণ বলে]
⇒ b = 108° - 76°
∴ b = 32°
২,৫৮০.
নিচের চিত্রে x কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে x কোণের মান কত?
সমাধান:
প্রদত্ত ত্রিভুজে,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 50° + 50° + ∠C = 180°
⇒ 100° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° - 100°
⇒ ∠C = 80°
∴ x° = ∠B + ∠C = 50° + 80° = 130°
সমাধান:
প্রদত্ত ত্রিভুজে,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 50° + 50° + ∠C = 180°
⇒ 100° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° - 100°
⇒ ∠C = 80°
∴ x° = ∠B + ∠C = 50° + 80° = 130°
২,৫৮১.
একই চাপের উপর দন্ডায়মান [কোন বৃত্তের] কেন্দ্রস্থ কোণ 90° হলে বৃত্তস্থ কোণের পরিমান-
ব্যাখ্যা
একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণের সমান।
২,৫৮২.
একটি কোণের পরিমান ২৭০° হলে সেটি -
ব্যাখ্যা
প্রবৃদ্ধ কোণ:
- দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- একটি কোণের পরিমান ২৭০° হলে সেটি প্রবৃদ্ধ কোণ।
- দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- একটি কোণের পরিমান ২৭০° হলে সেটি প্রবৃদ্ধ কোণ।
২,৫৮৩.
কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখন্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে, তাকে কি বলা হয়?
ব্যাখ্যা
অন্তঃকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলো যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
পরিকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
পরিকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের যেকোন দুই বাহুর লম্বদ্বিখন্ডক যে বিন্দুতে ছেদ করে তাকে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র বলে।
ভরকেন্দ্রঃ ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
২,৫৮৪.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 সেন্টিমিটার হলে, বৃত্তের পরিধি কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
বৃত্তের পরিধি 2πr
∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = 2π7 সেন্টিমিটার
= 2 × (22/7) × 7 সেন্টিমিটার
= 44 সেন্টিমিটার
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r হলে,
বৃত্তের পরিধি 2πr
∴ প্রদত্ত বৃত্তের পরিধি = 2π7 সেন্টিমিটার
= 2 × (22/7) × 7 সেন্টিমিটার
= 44 সেন্টিমিটার
২,৫৮৫.
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ঃ২, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?
ব্যাখ্যা
ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×32 : π×22 = 9 : 4
২,৫৮৬.
y = 2x + 3 এবং 3x + y = 13 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে মিলিত হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: y = 2x + 3 এবং 3x + y = 13 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে মিলিত হবে?
সমাধান:
দেওয়া রেখাদ্বয়,
y = 2x + 3 ........(1)
3x + y = 13 .........(2)
(1) সমীকরণ থেকে y-এর মান (2) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
3x + (2x + 3) = 13
⇒ 5x + 3 = 13
⇒ 5x = 10
∴ x = 2
এখন x = 2 (1) সমীকরণে বসিয়ে পাই,
⇒ y = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7
∴ y = 7
∴ সরলরেখা দুটি (2, 7) বিন্দুতে মিলিত হবে।
২,৫৮৭.
একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি ১ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি ১ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?
সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ বার
= ২ বার
এখন,
১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০°
∴ ২ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = (৩৬০° × ২)
= ৭২০°
∴ চাকাটি এক সেকেন্ডে ঘুরবে = ৭২০°।
২,৫৮৮.
চিত্রে, ∠CAE = 110°, ∠ACB = 50° হলে ∠ABF = ?
ব্যাখ্যা
এখানে,
∠CAE = 110°,
∠BCD = 180° - ∠ACB
= 180° - 50°
= 130°
∴ ∠ABF = 360° - (∠CAE + ∠BCD)
= 360° - (110° + 130°)
= 360° - 240°
∴ ∠ABF = 120°
২,৫৮৯.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার। এর ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 64π বর্গমিটার, পরিধি 16π মিটার। এর ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
শর্তমতে,
2πr = 16π মিটার
πr2 = 64π বর্গমিটার।
এখন,
⇒ πr2/2πr = 64π/16π
⇒ r/2 = 4
⇒ r = 8
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
শর্তমতে,
2πr = 16π মিটার
πr2 = 64π বর্গমিটার।
এখন,
⇒ πr2/2πr = 64π/16π
⇒ r/2 = 4
⇒ r = 8
২,৫৯০.
কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ 30° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = 30°/2 = 15°
আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = 90°
∴ 15 ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = 90° - 15° = 75°
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = 30°/2 = 15°
আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = 90°
∴ 15 ডিগ্রি কোণের পূরক কোণ = 90° - 15° = 75°
২,৫৯১.
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১২০° হলে বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১২০° হলে বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?
সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ = (১/২)কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ১২০°
= ৬০°
সমাধান:
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ = (১/২)কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ১২০°
= ৬০°
২,৫৯২.
বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের -
ব্যাখ্যা
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক। অর্থাৎ, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
তাই একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণের মান 60° হলে কেন্দ্রস্থ কোণ হবে 120°।
২,৫৯৩.
সকাল ৮ : ২৫ মিনিট থেকে ৯ : ৪৫ মিনিট পর্যন্ত একটি সাধারণ ঘড়ির মিনিটের কাঁটা কত ডিগ্রি ঘোরে?
ব্যাখ্যা
সন্ধ্যা ৮ : ২৫ মিনিট থেকে ৯ : ৪৫ মিনিট পর্যন্ত
সময়ের পার্থক্য = ৯ : ৪৫ - ৮ : ২৫
= ১ : ২০ মিনিট
১ ঘণ্টা ২০ মিনিট = ৪/৩ ঘণ্টা
মিনিটের কাঁটা ১ ঘণ্টায় ঘুরে ৩৬০ ডিগ্রি
মিনিটের কাঁটা ৪/৩ ঘণ্টায় ঘুরে (৩৬০ × ৪)/৩ ডিগ্রি
= ৪৮০ ডিগ্রি
সময়ের পার্থক্য = ৯ : ৪৫ - ৮ : ২৫
= ১ : ২০ মিনিট
১ ঘণ্টা ২০ মিনিট = ৪/৩ ঘণ্টা
মিনিটের কাঁটা ১ ঘণ্টায় ঘুরে ৩৬০ ডিগ্রি
মিনিটের কাঁটা ৪/৩ ঘণ্টায় ঘুরে (৩৬০ × ৪)/৩ ডিগ্রি
= ৪৮০ ডিগ্রি
২,৫৯৪.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে তার ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বাড়বে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ করা হলে তার ক্ষেত্রফল কত শতাংশ বাড়বে?
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r
প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = 4πr2
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = 4πr2 - πr2 = 3πr2
শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে = (3πr2/πr2) × 100 = 300%
সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2r
প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
নতুন বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(2r)2 = 4πr2
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পেয়েছে = 4πr2 - πr2 = 3πr2
শতকরা বৃদ্ধি পেয়েছে = (3πr2/πr2) × 100 = 300%
২,৫৯৫.
∠QOR এর সম্পূরক কোণ কোনটি?
∠QOR এর সম্পূরক কোণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:
∠QOR এর সম্পূরক কোণ কোনটি?
সমাধান:
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পর সম্পূরক কোণ বলে।
এখানে,
∠QOR + ∠POR = 180°
অর্থাৎ ∠QOR এর সম্পূরক কোণ = ∠POR
∠QOR এর সম্পূরক কোণ কোনটি?
সমাধান:
যদি দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পর সম্পূরক কোণ বলে।
এখানে,
∠QOR + ∠POR = 180°
অর্থাৎ ∠QOR এর সম্পূরক কোণ = ∠POR
২,৫৯৬.
একটি কোণের পরিমাণ ৮০ ডিগ্রী হলে একে কি কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
সমাধান:
- ৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- একটি কোণের পরিমাণ ৮০ ডিগ্রী হলে একে সূক্ষ্মকোণ বলে ।
- ৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- একটি কোণের পরিমাণ ৮০ ডিগ্রী হলে একে সূক্ষ্মকোণ বলে ।
২,৫৯৭.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজে হলে ∠ABC ও ∠ADC এর সমষ্টি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ABCD একটি অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজে হলে ∠ABC ও ∠ADC এর সমষ্টি কত?
সমাধান :
আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
প্রদত্তচিত্রে,
ABCD একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ।
এখানে,
∠ABC + ∠ADC = 180°
এবং ∠BAD + ∠BCD = 180°
সমাধান :
আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।
প্রদত্তচিত্রে,
ABCD একটি বৃত্তের অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজ।
এখানে,
∠ABC + ∠ADC = 180°
এবং ∠BAD + ∠BCD = 180°
২,৫৯৮.
বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান একটি কোণ অপর একটি কোণের-
ব্যাখ্যা
একই চাপের উপর দন্ডায়মান কোণদ্বয় পরস্পর সমান।
২,৫৯৯.
যদি কোন চাপ অর্ধবৃত্ত হয়, তাহলে চাপটির বৃত্তস্থ কোণের মান কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি কোন চাপ অর্ধবৃত্ত হয়, তাহলে চাপটির বৃত্তস্থ কোণের মান কত ডিগ্রি?
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = ৯০°
আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ = ৯০°
২,৬০০.
একটি বৃত্তের পরিধি ১৩২ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৩৮৬ বর্গ সে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ১৩২ সে.মি. এবং ক্ষেত্রফল ১৩৮৬ বর্গ সে.মি.। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr²/২πr = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r/২ = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২ = ২১
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ২১)
= ৪২ সে.মি.
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = ২πr একক
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল= πr² বর্গ একক
প্রশ্নমতে,
πr²/২πr = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r/২ = ১৩৮৬/১৩২
⇒ r = (১৩৮৬ × ২)/১৩২ = ২১
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২r
= (২ × ২১)
= ৪২ সে.মি.