রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: বৃত্তে অন্তঃলিখিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গ মিটার এবং প্রস্থ ৫ মিটার হলে, বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ৬০ বর্গ মিটার
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = ৫ মিটার
∴ দৈর্ঘ্য = ক্ষেত্রফল ÷ প্রস্থ
= ৬০/৫ = ১২ মিটার

আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস 

কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২)
= √(১২^২ + ৫^২)
= √(১৪৪ + ২৫)
= √১৬৯
= ১৩ মিটার

∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ব্যাস ÷ ২
= ১৩/২
= ৬.৫ মিটার

প্রশ্ন: ২৫০° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- তাই ২৫০° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্য অপশন গুলো -
সূক্ষ্মকোণ: যে কোণের মান ০° থেকে ৯০° এর মধ্যে।
স্থূলকোণ: যে কোণের মান ৯০° থেকে ১৮০° এর মধ্যে।
পূরক কোণ: দুটি কোণের সমষ্টি যখন ৯০° হয় তখন একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়।

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×3² : π×7²
= 9 : 49

বৃত্তের শর্ত সমূহ
(i) x, y এর ঘাত 2
(ii) x² এর সহগ = y² এর সহগ
(iii) xy সমন্বিত পদ না থাকা
এইসকল শর্তানুসারে 2x² + 2y² = a² একটি  বৃত্তের সমীকরণ

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:

ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE 
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= 2(∠A + ∠B + ∠C)
= 2 × 180° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= 360° 

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস
= 2πr/2r
= π
= ২২/৭

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×4² : π×3²
= 16 : 9

প্রশ্ন: ২৫৩° কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- যে কোণের পরিমাণ ১৮০° থেকে বা দুই সমকোণের চেয়ে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট তাকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
সুতরাং, ২৫৩° কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 

অন্যদিকে, 
- দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে,  কোণ দুইটির একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণের মান কেন্দ্রস্থ কোণের কত গুণ? 

সমাধান: 
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
-  বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

প্রশ্ন: 5x - 2y + 8 = 0 এবং 2x + 5y - 10 = 0 রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x - 2y + 8 = 0 এবং 2x + 5y - 10 = 0 

আমরা জানি,
সরল রেখার সাধারণ সমীকরণ, y = mx + c [যেখানে, m = ঢাল]

এখন,
প্রথম রেখার ঢাল। 
5x - 2y + 8 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 2y = 5x + 8
∴ y = (5/2)x + 4  
সুতরাং, প্রথম রেখার ঢাল, m₁ = 5/2

আবার,
দ্বিতীয় রেখার ঢাল, 
2x + 5y - 10 = 0 সমীকরণটিকে y = mx + c আকারে সাজালে পাই,
⇒ 5y = - 2x + 10  
⇒ y = - (2/5)x + (10/5)
∴ y = - (2/5)x + 2
সুতরাং, দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m₂ = - (2/5)

∴ ঢালদ্বয়ের গুণফল = m₁ × m₂
= (5/2) × (- 2/5) = - 1  
এই দুটি রেখা পরস্পর লম্ব, কারণ তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1.

প্রশ্ন: একই চাপের উপর একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ১৫০° হলে বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?

সমাধান:
• বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

 • বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

এখানে,
বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ = (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ১৫০°
= ৭৫°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 24π মিটার। বৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের পরিধি = 2πr = 24π মিটার
বা, 2r = 24
বা, r = 24/2
∴ r = 12

আমরা জানি, 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² বর্গ একক 
= π × (12)²
= π × 144
= 144π 

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 144π বর্গ মিটার।

ত্রিভুজের একটি কোণের মান 90° হলে অপর দুইটি কোণের সমষ্টি হবে 90°।
ধরি, অপর দুইটি কোণ 2x ও 3x.
∴ 2x+3x = 90
⇒ 5x = 90
∴ x = 18
∴ ছোট কোণ 2x এর পূরক কোণ = 3x = 3×18 = 54°

আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের ওপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ
ΔABC সমবাহু অর্থ্যাৎ প্রতিটি কোণ ৬০°।
∴ ∠AOB = 2∠ACB
∠AOB = 2 × 60° = 120°

সম্পূরক কোণের ক্ষেত্রে দুটি কোণের সমষ্টি হবে ১৮০°

এখানে ১৮০° এর সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ১৮০° = ০°।

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ পরিধিস্থ কোণ = 120°/2 = 60°
1° = π/180
∴60° = π/3

প্রশ্ন: যদি দুটি রেখা একটি সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে তারা- 

সমাধান: 
- যদি দুটি রেখা একটি সরলরেখার উপর লম্ব হয়, তবে তারা- পরস্পর সমান্তরাল। 

সমান্তরাল রেখা (Parallel Line): 
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে। 
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত: 
• সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে। 
• এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না। 
• দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে। 
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল। 
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়। 

ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে, ক্ষেত্রফল √৩/৪ a^২ = ২৭√৩
বা, a^২ = ২৭×৪
∴ a = ৬√৩ সে.মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে, ব্যাস = ২R এবং
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/sinA = ২R
বা, ২R = ৬√৩/sin৬০°
= ৬√৩/((√৩)/২)
= ৬√৩ × 2/√৩
= ১২ সে.মি.

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
∴ দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×5² : π×3² = 25 : 9

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রবৃদ্ধ কোণ?

সমাধান:
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০° (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

• ২৮০° কোণ প্রবৃদ্ধ কোণ।

একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের অর্ধেক।
তাহলে, কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ ১২০° হলে বৃত্তস্থ বা পরিধিস্থ কোণ = ১২০/২ = ৬০°

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণের মান বৃত্তস্থ কোণের কত গুণ?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
-  বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।

যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

প্রশ্ন: যদি কোন বৃত্তের ক্ষেত্রফল 49π হয়, তাহলে তার পরিধি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2

প্রশ্নমতে,
πr²= 49π
⇒ r2= 49
∴ r = 7

∴ পরিধি = 2πr
= 2 × π × 7
= 14π

ত্রিভুজটির তৃতীয় কোণ = 180° - (70°+20°)
= 90° যা একটি সমকোণ
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।

প্রশ্ন: একটি কোণের তিনগুণ ১৩৫° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
ধরি, একটি কোণ = ক

প্রশ্নমতে,
৩ক = ১৩৫°
বা, ক = ১৩৫°/৩
∴ ক = ৪৫°

সম্পূরক কোণের সংজ্ঞা অনুযায়ী, দুটি কোণের যোগফল ১৮০°।
∴ ৪৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০° - ৪৫°) = ১৩৫°

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB এবং ∠AOB = 45° হলে ∠ABO = কত?

সমাধান:
 

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের A বিন্দুতে বৃত্তের স্পর্শক AB, OA রেখা AB এর উপর লম্ব।
এবং ∠AOB = 45°
বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শক সর্বদা ঐ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়,
অর্থাৎ ∠OAB = 90°

এখন △ AOB এ
∠AOB + ∠ABO + ∠OAB = 180°
⇒ 45° + ∠ABO + 90° = 180°
⇒ ∠ABO = 180° - 135°
∴ ∠ABO = 45°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 176 সেন্টিমিটার ও 2464 বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি: 2πr = 176 সেন্টিমিটার .......................(1)
ক্ষেত্রফল: πr² = 2464 বর্গসেন্টিমিটার ....................(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং দ্বারা ভাগ করি,
(πr²)/(2πr) = 2464/176
⇒ r/2 = 14
⇒ r = 14 × 2
⇒ r = 28

∴ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস = 2r = 2 × 28 = 56 সেন্টিমিটার

পরিধি = ২πr = ৮
πr = ৪
ক্ষেত্রফল, πr² = ১৬
πrr = ১৬
r = ৪ মিঃ
ব্যাসার্ধ = ৪ মিঃ

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (1/2)r²θ

২ এবং ৩ এর লসাগু = ৬
তাহলে, ১ বার বেশি ঘুরবে = ৬ মিটার গেলে
∴ ১০ বার বেশি ঘুরবে = ৬ ✕ ১০ = ৬০ মিটার