রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস 0.6 মিটার। চাকাটি 490 বার ঘুরলে কত দূরত্ব অতিক্রম করবে? 

সমাধান:
চাকা একবার পূর্ণ ঘুরলে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তা হলো চাকার পরিধি।
পরিধি = π × ব্যাস
= π × 0.6 মিটার
এখন, 490 বার ঘুরলে মোট দূরত্ব = পরিধি × 490
= 0.6 × π × 490
= 0.6 × (22/7) × 490
= 6 × 22 × 7
= 924

সুতরাং, চাকাটি 490 বার ঘুরলে 924 মিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে।

|x + iy + 7| = 5 [এখানে, i = complex number ]
⇒ |(x + 7) + iy| = 5
⇒ √{(x + 7)²+ y²} = 5²
⇒ (x + 7)² + y² = 5²
এখানে, কেন্দ্র (-7, 0) ও 5 হচ্ছে বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

ব্যাসার্ধ r হলে পরিধি = 2πr
∴ পরিধি/ব্যাসার্ধ = 2πr/r
= 2π
= 2 × 22/7
= 44/7

প্রশ্ন: দুইটি সম্পূরক কোণের অনুপাত ৭ : ৫ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি সম্পূরক কোণ-এর সমষ্টি ১৮০° হয়।
দেওয়া আছে, কোণ দুটির অনুপাত ৭ : ৫।
ধরি,
বড় কোণ = ৭ক
ছোট কোণ = ৫ক

প্রশ্নমতে,
৭ক + ৫ক = ১৮০°
১২ক = ১৮০°
ক = ১৮০°/১২
ক = ১৫°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো = ৫ক = ৫ × ১৫° = ৭৫°

প্রশ্ন: নিচের কোন সমীকরণের উপর (1, - 1) ও (3, 5) বিন্দুদ্বয় অবস্থিত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
(x1, x2) এবং (y1, y2) বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত সরলরেখার সমীকরণ, 
(y - y1)/(y1 - y2) = (x - x1)/(x1 - x2) 

(1, - 1) ও (3, 5) বিন্দুদ্বয় দ্বারা গঠিত সরলরেখার সমীকরণ, 

(y - y1)/(y1 - y2) = (x - x1)/(x1 - x2) 
বা, {y - (- 1)}/{(- 1) - (5)} = {x -(1)}/{(1) - (3)} 
বা, (y + 1)/- 6 = (x -1)/- 2
বা, (y + 1)/3 = (x -1)/1  [- 2 দ্বারা ভাগ করে] 
বা, y + 1 = 3x - 3
বা, y = 3x - 3 - 1 
বা, y = 3x - 4 
বা, 2y = 6x - 8   [2 দ্বারা গুণ করে] 
∴ 2y = 6x - 8

আমরা জানি,
সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
রৈখিক মানে সোজা 180°।
সুতরাং 80° কোণের রৈখিক সম্পূরক কোণের পরিমাপ = 180° - 80° = 100°।

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ দুটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০°
∴ ৪৫ ডিগ্রী কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৪৫° = ৪৫°

প্রশ্ন: ৮ সে.মি. ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাস = ৮ সে.মি.
বৃত্তের ভেতরে বর্গক্ষেত্র অন্তলিখিত হলে বর্গক্ষেত্রের কর্ণই হচ্ছে ঐ বৃত্তের ব্যাস।
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = ৮ সে.মি.

ধরি, বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = a
শর্তমতে, a√২ = ৮
⇒ a = ৮/√২

আমরা জানি,
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a^২
⇒ ক্ষেত্রফল = (৮/√২)^২
⇒ ক্ষেত্রফল = ৬৪/২
∴ ক্ষেত্রফল = ৩২ বর্গ সে.মি.

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণ অপেক্ষা ২৮° বেশি হলে, কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি, কোণটির মান = ক
∴ ক এর পূরক কোণ = ৯০° - ক

শর্তমতে,
ক - ২৮° = ৯০° - ক
⇒ ক + ক = ৯০° + ২৮°
⇒ ২ক = ১১৮°
⇒ ক = ১১৮°/২
∴ ক = ৫৯°

∴ নি‍‍‍‍র্ণেয় কোণ ৫৯°

প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-
​
​সমাধান:
​• রেডিয়ান: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

​ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করার সূত্র হলো: রেডিয়ান = ডিগ্রি × (π/180)

∴ 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে = 60° × (π/180)
​ = π/3 রেডিয়ান।

বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস = 2πr/2r = π = ২২/৭

প্রশ্ন: একটি রেখা x-অক্ষের সাথে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে, তার ঢাল কত?

সমাধান:
রেখার ঢাল m = tan⁡θ, যেখানে θ = x-অক্ষের সাথে কোণ।
প্রদত্ত কোণ θ = 45°
m = tan⁡45° = 1 
অতএব, ঢাল = ১

∴ রেখাটির ঢাল = ১ 

ত্রিভুজের তিন কোণের পরিমাণ 180°. সুতরাং,
x + x/2 + 3x/2 = 180
⇒ (2x+x+3x)/2 = 180
⇒ 6x = 360
∴ x = 60
∴ বৃহত্তম কোণের মান, 3×60/2 = 90°

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৯০° হলে উহার বিপরীত কোণের পরিমাণ কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত দুই কোণের সমষ্টি = ১৮০° 
একটি কোণ ৯০° হলে, 
অপর কোনটি হবে = (১৮০° - ৯০°) 
= ৯০° 

∴ বিপরীত কোণের পরিমাণ = ৯০°। 

প্রশ্ন: একটি কোণ ও তার পূরক কোণের মধ্যে সম্পর্ক এমন যে, কোণটি পূরক কোণের ৫ গুণ। কোণটির মান কত? 

সমাধান:
ধরি, একটি কোণ = ক
তাহলে, পূরক কোণ = ৯০° - ক
শর্তমতে,
ক = ৫(৯০° - ক)
⇒ ক = ৪৫০° - ৫ক
⇒ ক + ৫ক = ৪৫০°
⇒ ৬ক = ৪৫০° 
⇒ ক = ৭৫°

বৃত্তের যে কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
সুতরাং, উৎপন্ন কোণটি এক সমকোণ বা ৯০° হবে।

প্রশ্ন: 2x² + 2y² - 4x - 12y + 11 = 0 বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ, 2x² + 2y² - 4x - 12y + 11 = 0 
x² + y² - 2x - 6y + 11/2 = 0 কে

x² + y² + 2gx + 2fy + c = o এর সাথে তুলনা করে পাই,
2g = - 2
⇒ g = - 1

2f = - 6
f = - 3
এবং,
c = 11/2

আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = √(g² + f² - c)
= √{( - 1)² + (- 3)² - (11/2)}
= √{1 + 9 - (11/2)}
= √{(2 + 18 - 11)/2}
=√(9/2)
= √4.5

প্রশ্ন: দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে বলে-

সমাধান:
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে। 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 54° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = a
∴ ১ম কোণ = 4a
৩য় কোণ = 4a + 54°

প্রশ্নমতে,
a + 4a + 4a + 54° = 180°
বা, 9a = 180° - 54°
বা, 9a = 126°
বা, a = 126°/9
∴ a = 14°

∴ ১ম কোণ = 4 × 14° = 56°

প্রশ্ন: রেখা সম্পর্কিত নিচের কোন তথ্যটি সঠিক? 

সমাধান: 
ইউক্লিড প্রদত্ত কয়েকটি বর্ণনা নিম্নরূপ: 
১. যার কোনো অংশ নাই, তাই বিন্দু।
২. রেখার প্রান্ত বিন্দু নাই ।
৩. যার কেবল দৈর্ঘ্য আছে, কিন্তু প্রস্থ ও উচ্চতা নাই, তাই রেখা।
৪. যে রেখার উপরিস্থিত বিন্দুগুলো একই বরাবরে থাকে, তাই সরলরেখা।
৫. যার কেবল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ আছে, তাই তল।
৬. তলের প্রান্ত হলো রেখা।
৭. যে তলের সরলরেখাগুলো তার ওপর সমভাবে থাকে, তাই সমতল।

১ মিনিটে চাকাটি ঘুরে ১০০ বার
অর্থাৎ, ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১০০/৬০ বা ৫/৩ বার
এখানে ১ বারে ঘুরে ৩৬০°
∴ ৫/৩ বারে ঘুরে = (৩৬০° × ৫)/৩ = ৬০০°

বৃত্তের সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী 
∴ AB = CD হলে x = y

ঢাল = (x এর সহগ)/(y এর সহগ)
= -(1/-1)
= 1

প্রশ্ন: ৭ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্যের সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অপর একটি বৃত্ত আঁকা হলে তার ব্যাস কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা।

দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ সে.মি.
তাহলে একটি বৃত্তের ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ = ২ × ৭ = ১৪ সে.মি.

শর্তমতে,
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ১৪ সে.মি.
∴ অপর বৃত্তের ব্যাস = ২ × ১৪ = ২৮ সে.মি.

ACD = ∠A + ∠B
বা, ∠A + 60° = 130°
∴ ∠A = 130° - 60° = 70°
∴ ∠A কোণের পূরক কোণ = 90° - 70°
= 20°

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৭০° হলে বৃত্তস্থ কোণ -

সমাধান:
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ , বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগ্ণ হয়ে থাকে। 

∴ বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৭০° হলে বৃত্তস্থ কোণ = ৭০° /২
= ৩৫°

৪র্থ চতুর্ভাগের বিন্দুর ভূজ ধনাত্মক এবং কোনটি ঋনাত্মক হয়ে থাকে।

২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২a
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৩a
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২a)^২
= ৪πa^২
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(৩a)^২
= ৯πa^২
∴ অনুপাত = ৪πa^২ : ৯πa^২
= ৪ঃ৯

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকার পরিধি ৫ মিটার। ৩ কিলোমিটার পথ যেতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
গাড়ীর চাকার পরিধি = ৫ মিটার 
৩ কিলোমিটার = (১০০০ × ৩) মিটার
= ৩০০০ মিটার 

এখন, 
৫ মিটার যেতে গাড়ির চাকাটি ঘুরে = ১ বার 
∴ ১ মিটার যেতে গাড়ির চাকাটি ঘুরে = ১/৫ বার 
∴৩০০০ মিটার যেতে গাড়ির চাকাটি ঘুরে = ৩০০০/৫ বার 
= ৬০০ বার। 

প্রশ্ন: ৬ সে. মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৬ সে. মি.
∴ ব্যাস = ২ × ৬ = ১২ সে. মি.

ধরি, বর্গক্ষেত্রের বাহু = a
আমরা জানি, 
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√২

∴ a√২ = ১২
⇒ a = ১২/√২
⇒ a^২ = ১৪৪/২
⇒ a^২ = ৭২ 

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৭২ বর্গ সে. মি.

প্রশ্ন: 4x + 3y + 20 = 0 এবং 4x + 3y + 10 = 0 রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?

সমাধান:
দেওয়া রেখাদ্বয়, 
4x + 3y + 20 = 0 এবং 4x + 3y + 10 = 0
রেখার দুটির সহগ (a = 4, b = 3) একই, অর্থাৎ রেখাদ্বয় সমান্তরাল।

আমরা জানি, 
সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, d = |c₁ - c₂|/√(a² + b²)
= |20 - 10|/√(4² + 3²)    ; [যেখানে, c₁ = 20, c₂ = 10] 
= 10/√(16 + 9)
= 10/√25
= 10/5
= 2

সুতরাং, রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব 2 একক।