১,৯০১.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের ব্যাস n গুন বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল n2 গুন বৃদ্ধি পায়।
PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান
PrepBank · পাতা ২০ / ৩২ · ১,৯০১–২,০০০ / ৩,২১১
১,৯০২.
চিত্রে,O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 মিটার হলে, ACB বৃত্তচাপের মান কত?
ব্যাখ্যা
360° কোণের দ্বারা দৃষ্ট চাপ = 2πr
1° কোণের দ্বারা দৃষ্ট চাপ = (2πr/360°)
60° কোণের দ্বারা দৃষ্ট চাপ ACB = (2π3/360°) × 60° = π
১,৯০৩.
বিন্দুর ক্ষেত্রে নিচের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
বিন্দুর অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নাই।
১,৯০৪.
কোন বিন্দুটি X অক্ষের উপর অবস্থিত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন বিন্দুটি X অক্ষের উপর অবস্থিত?
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বিন্দু কোন সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে বিন্দুটির স্থানাংক দ্বারা সরলরেখার সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
X অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুটির y = 0 হয়।
প্রদত্ত অপশন গুলোর মধ্যে (1, 0) বিন্দুর y = 0
(1, 0) বিন্দুটি X অক্ষের উপর অবস্থিত?
সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বিন্দু কোন সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে বিন্দুটির স্থানাংক দ্বারা সরলরেখার সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
X অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দুটির y = 0 হয়।
প্রদত্ত অপশন গুলোর মধ্যে (1, 0) বিন্দুর y = 0
(1, 0) বিন্দুটি X অক্ষের উপর অবস্থিত?
১,৯০৫.
তলের মাত্রা কয়টি?
ব্যাখ্যা
বস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা প্রত্যেকটিকে বস্তুর মাত্রা বলে। সাধারন অর্থে কোন ত্রিমাত্রিক দৃশ্যমান অংশকে তল বলে। তলের শুধু দৈর্ঘ্য ও প্রস্ত আছে
তাই তল দ্বিমাত্রিক।
তাই তল দ্বিমাত্রিক।
১,৯০৬.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ৫ হলে, বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩ : ৫ হলে, বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ ৩x এবং ৫x।
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩x)২ : π(৫x)২
= ৯πx২ : ২৫πx২
= ৯ : ২৫
ধরি,
বৃত্ত দুইটির ব্যসার্ধ ৩x এবং ৫x।
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(৩x)২ : π(৫x)২
= ৯πx২ : ২৫πx২
= ৯ : ২৫
১,৯০৭.
5kx - 4y + 7 = 0 ও 2x + 5y - 3 = 0 সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে k এর মান কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5kx - 4y + 7 = 0 এবং 2x + 5y - 3 = 0 সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে k এর মান কত হবে?
সমাধান:
দুটি সরলরেখা পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্ত হলো তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল - 1 হতে হবে।
প্রথম সরলরেখা, 5kx - 4y + 7 = 0
⇒ 4y = 5kx + 7
⇒ y = (5k/4)x + 7/4
∴ প্রথম রেখার ঢাল, m1 = 5k/4
দ্বিতীয় সরলরেখা, 2x + 5y - 3 = 0
⇒ 5y = - 2x + 3
⇒ y = (- 2/5)x + 3/5
∴ দ্বিতীয় রেখার ঢাল, m2 = - 2/5
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হওয়ার শর্তানুসারে,
m1 × m2 = - 1
⇒ (5k/4) × (- 2/5) = - 1
⇒ - 10k/20 = - 1
⇒ - k/2 = - 1
⇒ k = 2
∴ k এর মান 2 হলে সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে।
১,৯০৮.
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৯ সে. মি. ও ৪ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৯ সে. মি. ও ৪ সে. মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করলে তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, AC = ৯ সে. মি
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ, BC = ৪ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব, AB = AC - BC
= (৯ - ৪) সে. মি.
= ৫ সে. মি.
∴ কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব ৫ সে. মি.
১,৯০৯.
প্রশ্ন : O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের অর্ধেক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের অর্ধেক কত?
সমাধান :
আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∠BDC কোণটি বৃত্তস্থ কোণ।
সুতরাং, ∠BDC বৃত্তস্থ কোণটির জন্য
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 2∠BDC
∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 360° - স্থূলকোণ ∠BOC
= 360° - 108°
= 252°
∠BDC = (1/2) × 252°
∠x = 126°
∠BDC কোণটি বৃত্তস্থ কোণ।
সুতরাং, ∠BDC বৃত্তস্থ কোণটির জন্য
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 2∠BDC
∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC
প্রবৃদ্ধ কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC = 360° - স্থূলকোণ ∠BOC
= 360° - 108°
= 252°
∠BDC = (1/2) × 252°
∠x = 126°
সুতরাং, ∠x এর অর্ধেক = 126/2 = 63°
১,৯১০.
চিত্রে, ∠RPS এর সম্পূরক কোণের পরিমাপ কত?
চিত্রে, ∠RPS এর সম্পূরক কোণের পরিমাপ কত?
ব্যাখ্যা
চিত্রে, ∠QPR হচ্ছে ∠RPS এর সম্পূরক কোণ।
∠RPS = 30° + 40° = 70°
সুতরাং, ∠QPR = 180° - 70° = 110°
∠RPS = 30° + 40° = 70°
সুতরাং, ∠QPR = 180° - 70° = 110°
১,৯১১.
যে কোণের ডিগ্রির পরিমাপ ৯০ ডিগ্রি তাকে কী কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যে কোণের ডিগ্রির পরিমাপ ৯০ ডিগ্রি তাকে কী কোণ বলে?
সমাধান:
- যে কোণের ডিগ্রির পরিমাণ ৯০ ডিগ্রি তাকে সমকোণ কোণ বলে।
- ৯০° থেকে বড় এবং ১৮০° থেকে ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।
- ৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
সমাধান:
- যে কোণের ডিগ্রির পরিমাণ ৯০ ডিগ্রি তাকে সমকোণ কোণ বলে।
- ৯০° থেকে বড় এবং ১৮০° থেকে ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।
- ৯০ ডিগ্রি এর চেয়ে ছোটো কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
১,৯১২.
বৃত্তের ক্ষেত্রে নিম্নের কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ
- বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ একটি সূক্ষ্মকোণ।
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক।
- বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ গুলো পরস্পর সমান।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোন এক সমকোণ
- বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ একটি সূক্ষ্মকোণ।
- বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক।
১,৯১৩.
৫৩° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৩° কোণের বিপ্রতীপ কোণ কত?
সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
যেহেতু, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ , ৫৩° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৫৩°
সমাধান:
বিপ্রতীপ কোণ:
যদি দুইটি কোণের একটির বাহুদ্বয় অপরটির বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মি হয় এবং কোণ দুইটির শীর্ষবিন্দু একই হয়, তবে কোণ দুইটিকে বিপ্রতীপ কোণ বলে।
যেহেতু, বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ , ৫৩° কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৫৩°
১,৯১৪.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল কত?
সমাধান:
যে কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল সর্বদা 180° হয়। এটি ত্রিভুজের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।
সমাধান:
যে কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল সর্বদা 180° হয়। এটি ত্রিভুজের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য।
১,৯১৫.
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°।
১,৯১৬.
বৃত্তের কেন্দ্র (4, 5) ও ব্যাসার্ধ 10 একক হলে, বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র (4, 5) ও ব্যাসার্ধ 10 একক হলে, বৃত্তটির সমীকরণ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের সমীকরণ: (x - h)2 + (y - k)2 = a2
আমরা জানি,
বৃত্তের সমীকরণ: (x - h)2 + (y - k)2 = a2
এখানে, h = 4, k = 5 এবং a = 10.
∴ বৃত্তটির সমীকরণ,
(x - 4)2 + (y - 5)2 = 102
(x - 4)2 + (y - 5)2 = 102
⇒ x2 - 8x + 16 + y2 - 10y + 25 = 100
⇒ x2 + y2 - 8x - 10y - 59 = 0
ইহাই নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ।
১,৯১৭.
AB ও CD সরলরেখাদ্বয় 'O' বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AB ও CD সরলরেখাদ্বয় 'O' বিন্দুতে ছেদ করলে নিচের কোন গাণিতিক বাক্যটি সঠিক হবে?
সমাধান:
দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
∠AOD = ∠BOC এবং ∠AOC = ∠BOD
সমাধান:
দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে বিপ্রতীপ কোণদ্বয় পরস্পর সমান হয়।
∠AOD = ∠BOC এবং ∠AOC = ∠BOD
১,৯১৮.
বৃত্তের স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের মধ্যবর্তী কোণ -
ব্যাখ্যা
বৃত্তের স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
∴ কোনটি 90°।
১,৯১৯.
দুইটি তল পরস্পর ছেদ করলে কয়টি সরলরেখা উৎপন্ন হয়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি তল পরস্পর ছেদ করলে কয়টি সরলরেখায় উৎপন্ন করে?
সঠিক উত্তর: ১টি
কিছু জ্যামিতিক স্বীকার্য লক্ষ্য করি-
১) দুইটি পৃথক রেখা কেবলমাত্র একটি বিন্দুতেই ছেদ করে।
২) যে কোন দুইটি পৃথক বিন্দু দিয়ে একটি ও কেবলমাত্র একটি সরল রেখা অঙ্কন করা যায়, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত।
৩) একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি বিন্দু একটি ও কেবলমাত্র একটি সমতল অঙ্কন করা যায়।
৪) দুইটি তল পরস্পর ছেদ করলে তারা একটি সরলরেখায় ছেদ করে।
উৎস : গণিত (এস এস সি প্রোগ্রাম), বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।
সঠিক উত্তর: ১টি
কিছু জ্যামিতিক স্বীকার্য লক্ষ্য করি-
১) দুইটি পৃথক রেখা কেবলমাত্র একটি বিন্দুতেই ছেদ করে।
২) যে কোন দুইটি পৃথক বিন্দু দিয়ে একটি ও কেবলমাত্র একটি সরল রেখা অঙ্কন করা যায়, যাতে উভয় বিন্দু অবস্থিত।
৩) একই সরলরেখায় অবস্থিত নয় এমন তিনটি বিন্দু একটি ও কেবলমাত্র একটি সমতল অঙ্কন করা যায়।
৪) দুইটি তল পরস্পর ছেদ করলে তারা একটি সরলরেখায় ছেদ করে।
উৎস : গণিত (এস এস সি প্রোগ্রাম), বাংলাদেশ উন্মুক্ত বিশ্ববিদ্যালয়।
১,৯২০.
দুটি সরলরেখা পরস্পরের সমান্তরাল হলে তারা-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি সরলরেখা পরস্পরের সমান্তরাল হলে তারা-
সমাধান:
- দুটি সমান্তরাল লাইন বা রেখা কখনোই মিলিত হয় না।
সমান্তরাল রেখা:
- দুটি রেখা যদি পরস্পরের মধ্যে সর্বদা সমান দূরত্ব বজায় রেখে চলতে থাকে তবে তাদেরকে সমান্তরাল রেখা বলে।
- দুটি সমান্তরাল সরলরেখা হওয়ার শর্ত-
১. সরলরেখা দুটি এক সমতলে থাকবে।
২. এদের যে কোনো দিকে যতটা খুশি বাড়ালেও একে অপরকে ছেদ করবে না।
৩. দুটি সরলরেখার মাঝখানের লম্ব সবসময়ই সমান থাকবে।
- দুই বা ততোধিক সরল রেখা একটি সরল রেখার উপর লম্ব হলে তারা পরস্পর সমান্তরাল।
- একটি সরলরেখা সমান্তরাল রেখাদ্বয়ের একটির উপর লম্ব হলে তা অপরটির উপরও লম্ব হয়।
১,৯২১.
12 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 12 মিটার
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60°
আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr2
∴ বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr2 বর্গ একক
= (60°/360°) × π × (12)2
= (1/6) × π × 144
= 24π বর্গ মিটার।
১,৯২২.
একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ২০ ডিগ্রি বড় হয় তবে কোণটি কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের একটি কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের তিনগুণ এবং তৃতীয় কোণ যদি দ্বিতীয় কোণের চেয়ে ২০ ডিগ্রি বড় হয় তবে কোণটি কত ডিগ্রি?
সমাধান:
মনে করি,
দ্বিতীয় কোণ = x ডিগ্রি
প্রথম কোণ = ৩x ডিগ্রি
তৃতীয় কোণ = (x + ২০) ডিগ্রি
∴ x + ৩x + (x + ২০) = ১৮০
বা, ৫x + ২০ = ১৮০
বা, ৫x = ১৮০ - ২০
বা, ৫x = ১৬০
বা, x = ১৬০/৫
∴ x = ৩২
∴ প্রথম কোণ = ৩x ডিগ্রি
= (৩ × ৩২) ডিগ্রি
= ৯৬ ডিগ্রি।
সমাধান:
মনে করি,
দ্বিতীয় কোণ = x ডিগ্রি
প্রথম কোণ = ৩x ডিগ্রি
তৃতীয় কোণ = (x + ২০) ডিগ্রি
∴ x + ৩x + (x + ২০) = ১৮০
বা, ৫x + ২০ = ১৮০
বা, ৫x = ১৮০ - ২০
বা, ৫x = ১৬০
বা, x = ১৬০/৫
∴ x = ৩২
∴ প্রথম কোণ = ৩x ডিগ্রি
= (৩ × ৩২) ডিগ্রি
= ৯৬ ডিগ্রি।
১,৯২৩.
3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সে.মি. দৈর্ঘ্যের জ্যা এর দূরত্ব কত?
ব্যাখ্যা
জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক রেখাংশ বৃত্তের কেন্দ্রগামী।
জ্যা এর দৈর্ঘ্য = 6 সেমি
কারণ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দিগুণ জ্যা হচ্ছে ঐ বৃত্তের ব্যাস
ব্যাসের মধ্যবিন্দু হচ্ছে বৃত্তের কেন্দ্র।
অতএব, 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সে.মি. দৈর্ঘ্যের জ্যা এর দূরত্ব = 0 সেমি
--------------------------------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও এর দিগুণ দৈর্ঘ্যের জ্যা এর ক্ষেত্রে, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ঐ জ্যা এর দূরত্ব সর্বদা শূন্য।
জ্যা এর দৈর্ঘ্য = 6 সেমি
কারণ বৃত্তের ব্যাসার্ধের দিগুণ জ্যা হচ্ছে ঐ বৃত্তের ব্যাস
ব্যাসের মধ্যবিন্দু হচ্ছে বৃত্তের কেন্দ্র।
অতএব, 3 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে 6 সে.মি. দৈর্ঘ্যের জ্যা এর দূরত্ব = 0 সেমি
--------------------------------------------------------------------------------------------
বিকল্প পদ্ধতিঃ
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ও এর দিগুণ দৈর্ঘ্যের জ্যা এর ক্ষেত্রে, বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ঐ জ্যা এর দূরত্ব সর্বদা শূন্য।
১,৯২৪.
রেখার বৈশিষ্ট্য কোনটি?
ব্যাখ্যা
রেখা:
- বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ নেই।
- একটি রেখার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য ও প্রান্তবিন্দু নেই।
- বিন্দুর চলার পথকে রেখা বলে।
- রেখার দৈর্ঘ্য আছে, প্রস্থ নেই।
- একটি রেখার নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য ও প্রান্তবিন্দু নেই।
১,৯২৫.
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ ২০° ও ৭০° হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
ব্যাখ্যা
ত্রিভুজটির অপর কোণ ১৮০° - (২০° + ৭০°) = ৯০°
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী।
১,৯২৬.
৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে-কোনো একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫৬ ফুট ব্যাসের একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্রকে একই ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র করলে, বর্গক্ষেত্রের যে-কোনো একটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত হবে?
সমাধান:
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ব্যাসার্ধ = 56/2 ফুট = 28 ফুট
বৃত্তাকার ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, πr2
= π × 28 × 28
= (22/7) × (28 × 28)
= 2464 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 2464 বর্গফুট
∴ বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য = √2464 = 49.63 ফুট
১,৯২৭.
একটি বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধের -
ব্যাখ্যা
ব্যাসই হলো বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা তাই ব্যাস হল ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।
১,৯২৮.
একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার পূরক কোণের মানের অর্ধেকের সমান। কোণটির মান কত?
সমাধান:
ধরি,
কোণের মান = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x
শর্তমতে,
x = (90° - x)/2
⇒ 2x = 90° - x
⇒ 3x = 90°
∴ x = 30°
সমাধান:
ধরি,
কোণের মান = x
∴ পূরক কোণ = 90° - x
শর্তমতে,
x = (90° - x)/2
⇒ 2x = 90° - x
⇒ 3x = 90°
∴ x = 30°
১,৯২৯.
সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫° হলে, কোণদ্বয়ের মধ্যে বড় কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৫° হলে, কোণদ্বয়ের মধ্যে বড় কোণটির মান কত?
সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী। অপর দুটি কোণের সমষ্টি ৯০°
অপর দুটি কোণের ক্ষুদ্রতম কোণ ক
বৃহত্তম কোণ ক + ৫
ক + ক + ৫ = ৯০
⇒ ২ক = ৮৫
ক = ৪২.৫°
∴ বৃহত্তম কোণটির মান = ৪২.৫ + ৫
= ৪৭.৫°
সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী। অপর দুটি কোণের সমষ্টি ৯০°
অপর দুটি কোণের ক্ষুদ্রতম কোণ ক
বৃহত্তম কোণ ক + ৫
ক + ক + ৫ = ৯০
⇒ ২ক = ৮৫
ক = ৪২.৫°
∴ বৃহত্তম কোণটির মান = ৪২.৫ + ৫
= ৪৭.৫°
১,৯৩০.
(2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (2, - 5) বিন্দুটি নিচের কোন সরল রেখার উপর অবস্থিত?
সমাধান:
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,
১নং এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5
২নং এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0
৩নং এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1
৪নং এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য
সমাধান:
x = 2, y = - 5 বসিয়ে,
১নং এ, 4x + 3y = 5
4(2) + 3(- 5) = 8 - 15 = - 7 ≠ 5
২নং এ, 2x - y + 1 = 0
2(2) - (- 5) + 1 = 4 + 5 + 1 = 10 ≠ 0
৩নং এ, 2x + y = 1
2(2) + (- 5) = 4 - 5 = - 1 ≠ 1
৪নং এ, 4x - 3y = 23
4(2) - 3(- 5) = 8 + 15 = 23
∴ 23 = 23 ;যা সত্য
১,৯৩১.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ১৬ বর্গমিটার, পরিধি ৮ মিটার, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
শর্তমতে,
2πr = ৮ মিটার
πr2 = ১৬ বর্গমিটার।
এখন
πr2/2πr = ১৬/৮
বা, r/২ = ২
r = ৪
বৃত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
শর্তমতে,
2πr = ৮ মিটার
πr2 = ১৬ বর্গমিটার।
এখন
πr2/2πr = ১৬/৮
বা, r/২ = ২
r = ৪
১,৯৩২.
একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে ১৩২ সেন্টিমিটার ও ১৩৮৬ বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (ক্ষেত্রফল/পরিধি) × ২
= (১৩৮৬/১৩২) × ২
= ২১ সে.মি.
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২১ × ২ = ৪২ সে.মি.
সমাধান:
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ = (ক্ষেত্রফল/পরিধি) × ২
= (১৩৮৬/১৩২) × ২
= ২১ সে.মি.
∴ বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (ব্যাস)-এর দৈর্ঘ্য = ২১ × ২ = ৪২ সে.মি.
১,৯৩৩.
AOB একটি সরল রেখা, যার ∠AOC = 78°, এবং ∠BOC = X° হলে, X এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AOB একটি সরল রেখা, যার ∠AOC = 78°, এবং ∠BOC = X° হলে, X এর মান কত?
সমাধান:
এখানে,
X° + 78° = 180° [এক সরলকোণ বলে]
⇒ X° = 180° - 78°
⇒ X° = 102°
সমাধান:
এখানে,
X° + 78° = 180° [এক সরলকোণ বলে]
⇒ X° = 180° - 78°
⇒ X° = 102°
১,৯৩৪.
প্রদত্ত চিত্র অনুসারে কোনটি সঠিক?
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত চিত্র অনুসারে কোনটি সঠিক?
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন
ক) প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।
খ) প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।
∠PEB = ∠EFD [অনুরূপ কোণ]
∠AEF = ∠EFD [একান্তর কোণ]
∠PEB = ∠AEF [বিপ্রতীপ কোণ]
দুইটি সমান্তরাল সরলরেখার একটি ছেদক দ্বারা উৎপন্ন
ক) প্রত্যেক অনুরূপ কোণ জোড়া সমান হবে।
খ) প্রত্যেক একান্তর কোণ জোড়া সমান হবে।
গ) ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।
∠PEB = ∠EFD [অনুরূপ কোণ]
∠AEF = ∠EFD [একান্তর কোণ]
∠PEB = ∠AEF [বিপ্রতীপ কোণ]
১,৯৩৫.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৪৮ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ৪৮ বার ঘুরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৪৮ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৪৮/৬০ = ৪/৫ বার
আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ ৪/৫ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০° × (৪/৫) = ২৮৮°
সমাধান:
৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৪৮ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৪৮/৬০ = ৪/৫ বার
আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ ৪/৫ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০° × (৪/৫) = ২৮৮°
১,৯৩৬.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর-
ব্যাখ্যা
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
১,৯৩৭.
O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে x এর মান কত?
সমাধান:
∠BCA = 90
x + 2x = 90
⇒ 3x = 90
⇒ x = 30
সমাধান:
∠BCA = 90
x + 2x = 90
⇒ 3x = 90
⇒ x = 30
১,৯৩৮.
বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে সর্বোচ্চ কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
সমাধান:
- বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
সমাধান:
- বৃত্তের বাইরে অবস্থিত কোনো একটি বিন্দু থেকে একটি বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
১,৯৩৯.
সরলরেখার উপর লম্ব অংকন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সরলরেখার উপর লম্ব অংকন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?
সমাধান:
চিত্রে,
CD সরলরেখার উপর AB লম্ব অংকন করলে-
∠ABC ও ∠ABD দুইটি সমকোণ উৎপন্ন হয়।
সমাধান:
চিত্রে,
CD সরলরেখার উপর AB লম্ব অংকন করলে-
∠ABC ও ∠ABD দুইটি সমকোণ উৎপন্ন হয়।
১,৯৪০.
একটি পাওয়ার টিলারের সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার । পাওয়ার টিলারটি কত কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করলে পেছনের চাকা সামনের চাকার থেকে ২০০ বার বেশি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পাওয়ার টিলারের সামনের চাকার পরিধি ৫ মিটার এবং পেছনের চাকার পরিধি ৪ মিটার । পাওয়ার টিলারটি কত কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করলে পেছনের চাকা সামনের চাকার থেকে ২০০ বার বেশি ঘুরবে?
সমাধান:
সামনের চাকা ও পেছনের চাকার পরিধি ৫ ও ৪ এর ল.সা.গু = ২০
সামনের চাকার পরিধি ও পেছনের চাকার পরিধির পার্থক্য = (৫ - ৪) মিটার = ১ মিটার
এখন,
পেছনের চাকাটি ১ বার বেশি ঘুরতে অতিক্রম করবে = ২০ মিটার
∴ ২০০ বার বেশি ঘুরতে অতিক্রম করবে = (২০০ × ২০) মিটার
= ৪০০০ মিটার
= ৪ কি.মি.
১,৯৪১.
ABCD রম্বসের ∠BCD = 120° হলে, ∠ABD = কত ডিগ্রী?
ব্যাখ্যা
ABCD রম্বসে ∠C = ∠A = 120°
∠B = ∠D = 60°
∴ ∠ABD = (1/2) ∠B = 30°
১,৯৪২.
নিচের কোন দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি পরস্পর সম্পূরক কোণ?
সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
১৬২° + ১৮° = ১৮০°
∴ ১৬২° ও ১৮° পরস্পর সম্পূরক কোণ।
১,৯৪৩.
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি_____
সমাধন:
মনে করি, ABCD একটি সামান্তরিক যা একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত।
আমরা জানি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°।
সুতরাং, ∠A + ∠C = ১৮০°
আবার,
সামান্তরিকের ধর্ম অনুযায়ী বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।
সুতরাং, ∠A = ∠C
এখন, ∠A + ∠A = ১৮০° [যেহেতু ∠A = ∠C]
⇒ ২∠A = ১৮০°
⇒ ∠A = ১৮০°/২
∴ ∠A = ৯০°
যেহেতু সামান্তরিকটির একটি কোণ ৯০° (সমকোণ), সেহেতু এটি একটি আয়তক্ষেত্র।
অতএব, বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।
বি: দ্র:
বৃত্তের অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র(অনুসিদ্ধান্ত-৭, পৃষ্ঠা ১৬২)
১,৯৪৪.
১৩ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৩ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = ১৩ সে.মি.
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ২) - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)২}
= √{(১৩২) - (৫)২}
= √(১৬৯ - ২৫)
= √১৪৪
= ১২
∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ১২ = ২৪ সে.মি.
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ = ১৩ সে.মি.
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ২) - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)২}
= √{(১৩২) - (৫)২}
= √(১৬৯ - ২৫)
= √১৪৪
= ১২
∴ জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ১২ = ২৪ সে.মি.
১,৯৪৫.
একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?
সমাধান:
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
চাকা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০/৬০ বার
= ৫/২ বার
গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৫/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০° × ৫)/২
= ৯০০°
১,৯৪৬.
x + 3y = 0 সমীকরণের লেখচিত্র কি হবে?
ব্যাখ্যা
x + 3y = 0 সমীকরণটি হলো মূলবিন্দুগামী সরলরেখা।
১,৯৪৭.
একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ৪০ ডিগ্রি বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণ, তার পূরক কোণ অপেক্ষা ৪০ ডিগ্রি বেশি হলে, কোণটির মান কত হবে?
সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = ক ডিগ্রি
∴ কোণটির পূরক কোণ হবে = (৯০ - ক) ডিগ্রি
শর্তমতে,
ক - (৯০ - ক) = ৪০
⇒ ক - ৯০ + ক = ৪০
⇒ ২ক = ৪০ + ৯০
⇒ ২ক = ১৩০
⇒ ক = ১৩০/২
∴ ক = ৬৫
∴ কোণটির মান ৬৫°
সমাধান:
মনে করি,
একটি কোণ = ক ডিগ্রি
∴ কোণটির পূরক কোণ হবে = (৯০ - ক) ডিগ্রি
শর্তমতে,
ক - (৯০ - ক) = ৪০
⇒ ক - ৯০ + ক = ৪০
⇒ ২ক = ৪০ + ৯০
⇒ ২ক = ১৩০
⇒ ক = ১৩০/২
∴ ক = ৬৫
∴ কোণটির মান ৬৫°
১,৯৪৮.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = 6 সে.মি. হলে OF = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের AB ও CD দুটি সমান জ্যা। OE এবং OF যথাক্রমে কেন্দ্র থেকে AB ও CD এর লম্ব দূরত্ব। OE = 6 সে.মি. হলে OF = কত?
সমাধান:
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = 6 সে.মি. হলে OF = 6 সে.মি. হবে।
সমাধান:
বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
যেহেতু AB = CD তাহলে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব OE = OF হবে।
OE = 6 সে.মি. হলে OF = 6 সে.মি. হবে।
১,৯৪৯.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০০% বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০০% বৃদ্ধি পেলে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 10
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π (10)2
= 100π
আবার,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 100% বৃদ্ধিতে,
বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 10 + 10 এর 100%
= 10 + 10 এর 100/100
= 20
∴ বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = πr2
= π (20)2
= 400π
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = 400π - 100π
= 300π
100π থেকে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = 300π
1 থেকে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = 300π/100π
∴ 100 থেকে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (300π × 100)/100π
= 300%
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা 100% বৃদ্ধি পায়
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 10
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
= π (10)2
= 100π
আবার,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ 100% বৃদ্ধিতে,
বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = 10 + 10 এর 100%
= 10 + 10 এর 100/100
= 20
∴ বৃত্তের নতুন ক্ষেত্রফল = πr2
= π (20)2
= 400π
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = 400π - 100π
= 300π
100π থেকে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = 300π
1 থেকে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = 300π/100π
∴ 100 থেকে ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায় = (300π × 100)/100π
= 300%
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল শতকরা 100% বৃদ্ধি পায়
১,৯৫০.
∠x হলো ∠y এর দ্বিগুণ। ∠x ও ∠y পরস্পর সম্পূরক হলে ∠x এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∠x হলো ∠y এর দ্বিগুণ। ∠x ও ∠y পরস্পর সম্পূরক হলে ∠x এর মান কত?
সমাধান:
∠y = ∠x/2
শর্তমতে,
∠x + ∠y = 180°
বা, ∠x + (∠x/2) = 180°
বা, (3∠x)/2 = 180°
বা, ∠x = (180° × 2)/3
∴ ∠x = 120°
সমাধান:
∠y = ∠x/2
শর্তমতে,
∠x + ∠y = 180°
বা, ∠x + (∠x/2) = 180°
বা, (3∠x)/2 = 180°
বা, ∠x = (180° × 2)/3
∴ ∠x = 120°
১,৯৫১.
ABC ত্রিভুজে ∠B = 6x°, ∠C = 5x°, ∠A = y° এবং 6∠A = 7∠B হলে y এর মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজে ∠B = 6x°, ∠C = 5x°, ∠A = y° এবং 6∠A = 7∠B হলে y এর মান কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
6∠A = 7∠B
⇒ 6y° = 7 × 6x°
⇒ y° = (7 × 6x°)/6
⇒ y° = 7x°
∴ ∠A = y° = 7x°
আমরা জানি,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
বা, 7x° + 6x° + 5x° = 180°
বা, 18x° = 180°
∴ x° = 10°
∴ y° = 7x° = 7 × 10°
∴ y° = 70°
সমাধান:
দেওয়া আছে,
6∠A = 7∠B
⇒ 6y° = 7 × 6x°
⇒ y° = (7 × 6x°)/6
⇒ y° = 7x°
∴ ∠A = y° = 7x°
আমরা জানি,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
বা, 7x° + 6x° + 5x° = 180°
বা, 18x° = 180°
∴ x° = 10°
∴ y° = 7x° = 7 × 10°
∴ y° = 70°
১,৯৫২.
২১০° কোণকে কি কোণ বলে?
ব্যাখ্যা
২১০° কোণটি ১৮০° থেকে বড় কিন্তু ৩৬০° থেকে ছোট যা প্রবৃদ্ধ কোণ নির্দেশ করে।
১,৯৫৩.
চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নিচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে ∠PQR = 55°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নিচের কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে,
PQ = PR
সুতরাং, PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∠PQR = ∠PRQ = 55°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°
সুতরাং, ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 55° = 35°
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে,
PQ = PR
সুতরাং, PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∠PQR = ∠PRQ = 55°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°
সুতরাং, ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 55° = 35°
১,৯৫৪.
নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 41° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিচের চিত্রে O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠BAC = 41° হলে, ∠BOC কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি, একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC, বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC = 41°
∴∠BOC = (2 × 41°) = 82°
সমাধান:
আমরা জানি, একই চাপের ওপর দন্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
চিত্রটিতে, কেন্দ্রস্থ কোণ ∠BOC, বৃত্তস্থ কোণ ∠BAC = 41°
∴∠BOC = (2 × 41°) = 82°
১,৯৫৫.
কোনো বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?
আমরা জানি,
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দু গামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
অর্থাৎ
বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ = ৯০°
আমরা জানি,
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দু গামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
অর্থাৎ
বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ = ৯০°
১,৯৫৬.
৭ সেমিঃ ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তলিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ABCD অন্তলিখিত বর্গক্ষেত্র। OB = OD = ৭ সেমিঃ
BD = বর্গের কর্ন = ১৪ সেমিঃ
বর্গের কর্ন = √২ x বাহুর দৈর্ঘ্য
বাহুর দৈর্ঘ্য = কর্ন/√২ = ১৪/√২
বর্গের ক্ষেত্রফল = ( ১৪/√২)² = ৯৮ ব. সেমিঃ
১,৯৫৭.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪০% বৃদ্ধি করলে উহার ক্ষেত্রফল শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
এই ধরনের গণিত গুলো শর্টকাট নিয়মে করা যায়। যেমন- ৪০+৪০+(৪০×৪০/১০০)
= ৮০+১৬
= ৯৬
১,৯৫৮.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে BC চাপের উপর ∠BAC হলো পরিধিস্থ কোণ। ∠BAC = 52° হলে, ∠BOC = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে BC চাপের উপর ∠BAC হলো পরিধিস্থ কোণ। ∠BAC = 52° হলে, ∠BOC = কত?
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
এখানে, ∠BOC হলো কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ ∠BAC = (1/2) × ∠BOC
⇒ 52° = (1/2) × ∠BOC
∴ ∠BOC = 104°
সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
এখানে, ∠BOC হলো কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ ∠BAC = (1/2) × ∠BOC
⇒ 52° = (1/2) × ∠BOC
∴ ∠BOC = 104°
১,৯৫৯.
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমান দূরে অবস্থিত দুটি জ্যা এর মধ্যে সম্পর্ক কি?
ব্যাখ্যা
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরষ্পর সমান। (উপপাদ্য)
১,৯৬০.
একটি বই এর মাত্রা কয়টি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বই এর মাত্রা কয়টি?
সমাধান:
একটি বই এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা থাকে।
প্রত্যেকটি এক একটি মাত্রা।
তাই একতি বই এর মাত্রা ৩টি
কিন্তু বই এর পাতার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ থাকে কিন্তু উচ্চতা নগন্ন বিধায় এইটা হিসাব করা হয় না
তাই বই এর পাতার মাত্রা ২টি।
সমাধান:
একটি বই এর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা থাকে।
প্রত্যেকটি এক একটি মাত্রা।
তাই একতি বই এর মাত্রা ৩টি
কিন্তু বই এর পাতার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ থাকে কিন্তু উচ্চতা নগন্ন বিধায় এইটা হিসাব করা হয় না
তাই বই এর পাতার মাত্রা ২টি।
১,৯৬১.
The magnitude of the area of a circle is seven times that of its circumference. What is the circumference (in units) of the circle?
ব্যাখ্যা
πR² = 7×(2πR)
⇒ R = 14
∴ Circumference = (2×(22/7)×14) units
= 88 units
১,৯৬২.
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে, ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি করলে, ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?
সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ব্যাস = ২r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A1 = πr২
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে ৬r
∴ ব্যাসার্ধ = ৬r/২ = ৩r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A2 = π(3r)২ = ৯πr২
এখন,
A2/A1 = ৯πr২/πr২
= ৯
∴ ৯ গুণ বৃদ্ধি পাবে।
১,৯৬৩.
একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৩৬° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৩৬° হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটি কত?
সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ = ক°
বৃহত্তর কোণ = (ক + ৩৬)°
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০°
প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ৩৬) = ৯০
বা, ২ক + ৩৬ = ৯০
বা, ২ক = ৯০ - ৩৬
বা, ২ক = ৫৪
বা, ক = ৫৪/২
∴ ক = ২৭
অতএব, ক্ষুদ্রতম কোণটি হলো ২৭°
১,৯৬৪.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল ৮ বর্গমিটার এবং পরিধি ৪ মিটার হলে উহার বৃহত্তম জ্যা'র দৈর্ঘ্য কত?
ব্যাখ্যা
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 এবং পরিধি = 2πr
প্রশ্নানুসারে,
πr2/2πr = ৮/৪
বা, r = ২ × ২
বা, r = ৪
বা, ২r = ৮ (যেহেতু বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা)
১,৯৬৫.
অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দুই-তৃতীয়াংশ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটির পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের একটি অপরটির দুই-তৃতীয়াংশ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণটির পরিমাণ কত?
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের বৃহত্তম কোণটি ক হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি হবে ২ক/৩
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ ক + (২ক/৩) + ৯০° = ১৮০°
বা, ক + (২ক/৩) = ১৮০° - ৯০°
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৯০°
বা, ৫ক = ৯০° × ৩
বা, ৫ক = ২৭০°
বা, ক = ২৭০°/৫
∴ ক = ৫৪°
∴ বৃহত্তম কোণ = ৫৪°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ= ২ক/৩
= (২ × ৫৪°)/৩
= ৩৬°
সমাধান:
অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সমকোণ হওয়ায় ত্রিভুজটি সমকোণী।
ত্রিভুজটির সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের বৃহত্তম কোণটি ক হলে ক্ষুদ্রতম কোণটি হবে ২ক/৩
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
∴ ক + (২ক/৩) + ৯০° = ১৮০°
বা, ক + (২ক/৩) = ১৮০° - ৯০°
বা, (৩ক + ২ক)/৩ = ৯০°
বা, ৫ক = ৯০° × ৩
বা, ৫ক = ২৭০°
বা, ক = ২৭০°/৫
∴ ক = ৫৪°
∴ বৃহত্তম কোণ = ৫৪°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ= ২ক/৩
= (২ × ৫৪°)/৩
= ৩৬°
১,৯৬৬.
একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের কত গুণ?
সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯/১) = ৯ গুণ
সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য ৩ একক
তবে এর এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল ১ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল = (৩ × ৩) = ৯ বর্গ একক
∴ সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল উক্ত সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফলের (৯/১) = ৯ গুণ
১,৯৬৭.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 7 : 8। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 7 : 8। বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7
∴ ক্ষেত্রফল = π(7)2 = 49π
এবং
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8
∴ ক্ষেত্রফল = π(8)2 = 64π
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 49π : 64π
= 49 : 64
সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7
∴ ক্ষেত্রফল = π(7)2 = 49π
এবং
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8
∴ ক্ষেত্রফল = π(8)2 = 64π
∴ বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = 49π : 64π
= 49 : 64
১,৯৬৮.
দুটি পূরক কোণের একটি আরেকটির 4/5 অংশ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি পূরক কোণের একটি আরেকটির 4/5 অংশ হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
দেওয়া আছে,
কোণদ্বয়ের অনুপাত = 4 : 5
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (90/9) × 4 = 40°
সমাধান:
আমরা জানি,
পূরক কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
দেওয়া আছে,
কোণদ্বয়ের অনুপাত = 4 : 5
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = (90/9) × 4 = 40°
১,৯৬৯.
180° < ∠X < 360° হলে, ∠X কোন প্রকারের কোণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 180° < ∠X < 360° হলে, ∠X কোন প্রকারের কোণ?
সমাধান:
১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, ∠X একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।
সমাধান:
১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, ∠X একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।
১,৯৭০.
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৩ : ৪ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত ২ : ৩ : ৩ : ৪ হলে, ক্ষুদ্রতম কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত = ২ : ৩ : ৩ : ৪
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ৩ + ৩ + ৪ = ১২
∴ প্রতিটি অনুপাতের মান = ৩৬০°/১২ = ৩০°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ২ × ৩০° = ৬০°
সমাধান:
আমরা জানি
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
দেওয়া আছে,
চতুর্ভুজের চার কোণের অনুপাত = ২ : ৩ : ৩ : ৪
অনুপাতগুলোর সমষ্টি = ২ + ৩ + ৩ + ৪ = ১২
∴ প্রতিটি অনুপাতের মান = ৩৬০°/১২ = ৩০°
∴ ক্ষুদ্রতম কোণ = ২ × ৩০° = ৬০°
১,৯৭১.
৪৫° কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪৫° কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°
সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৪৫)° = ১৩৫°
১,৯৭২.
দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 5 : 7 হলে বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 5 : 7 হলে বৃত্ত দুইটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি,
১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5r
২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 7r
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (5r)2 = 25πr2
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π (7r)2 = 49πr2
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল/২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 25πr2/49πr2
= 25/49
∴ ১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল : ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 25 : 49 ।
১,৯৭৩.
O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে x কোণের মান কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
চাপ BAC এর উপর দণ্ডায়মান ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ এবং প্রবৃদ্ধ ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BDC
⇒ ∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ ∠BOC
প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 360° - ∠BOC
= 360° - 126°
= 234°
∠BDC = x = (1/2) × 234° = 117°
সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
চাপ BAC এর উপর দণ্ডায়মান ∠BDC বৃত্তস্থ কোণ এবং প্রবৃদ্ধ ∠BOC কেন্দ্রস্থ কোণ।
∴ প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 2∠BDC
⇒ ∠BDC = (1/2) প্রবৃদ্ধ ∠BOC
প্রবৃদ্ধ ∠BOC = 360° - ∠BOC
= 360° - 126°
= 234°
∠BDC = x = (1/2) × 234° = 117°
১,৯৭৪.
দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 4 হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 3 : 4 হলে, তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত 3x এবং 4x
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x)2 : π(4x)2
= 9πx2 : 16πx2
= 9 : 16
সমাধান:
ধরি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের অনুপাত 3x এবং 4x
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত = π(3x)2 : π(4x)2
= 9πx2 : 16πx2
= 9 : 16
১,৯৭৫.
২√৩ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২√৩ সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তঃস্থ একটি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?
সমাধান:
ধরি,
ΔABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = AC = a
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ২√৩ সে.মি.
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/SinA = 2R
বা, a = 2RSinA
∴ a = ২ × ২√৩ × (Sin৬০°)
= ৪√৩ × (√৩/২)
= ৬
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a২
= (√৩/৪)(৬)২ বর্গ সে.মি.
= (√৩/৪) × ৩৬ বর্গ সে.মি.
= ৯√৩ বর্গ সে.মি.
সমাধান:
ধরি,
ΔABC এর বাহুর দৈর্ঘ্য AB = BC = AC = a
দেওয়া আছে,
ত্রিভুজের পরিলিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ, R = ২√৩ সে.মি.
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,
a/SinA = 2R
বা, a = 2RSinA
∴ a = ২ × ২√৩ × (Sin৬০°)
= ৪√৩ × (√৩/২)
= ৬
∴ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)a২
= (√৩/৪)(৬)২ বর্গ সে.মি.
= (√৩/৪) × ৩৬ বর্গ সে.মি.
= ৯√৩ বর্গ সে.মি.
১,৯৭৬.
50° এর পূরক কোণ কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 50° এর পূরক কোণ কোনটি?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি কোণের যোগফল 90° হলে তাকে বলে পূরক কোণ।
50° এর পূরক কোণ =( 90° - 50°) = 40°
সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি কোণের যোগফল 90° হলে তাকে বলে পূরক কোণ।
50° এর পূরক কোণ =( 90° - 50°) = 40°
১,৯৭৭.
বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বহিঃস্থ কোনো বিন্দু হতে একটি বৃত্তে কয়টি স্পর্শক আঁকা যাবে?
সমাধান:
বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।
১,৯৭৮.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 4 হলে, বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত?
সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তিনটি কোণের অনুপাত =2 : 3 : 4
অনুপাতের সমষ্টি = 2 + 3 + 4 = 9
বৃহত্তম কোণ = 180 × 4/9 = 80°
সমাধান:
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তিনটি কোণের অনুপাত =2 : 3 : 4
অনুপাতের সমষ্টি = 2 + 3 + 4 = 9
বৃহত্তম কোণ = 180 × 4/9 = 80°
১,৯৭৯.
M, N, O কেন্দ্র বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করে আছে। MN = x, NO = y এবং OM = z হলে N বৃত্তের ব্যাস কত হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: M, N, O কেন্দ্র বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পর স্পর্শ করে আছে। MN = x, NO = y এবং OM = z হলে N বৃত্তের ব্যাস কত হবে?
সমাধান:
ধরি,
M, N, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে a, b, c
∴ বৃত্তত্রয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে
∴ MN = a + b
বা, x = a + b ............... (1)
NO = b + c
বা, y = b + c ..................(2)
এবং OM = c + a
বা, z = c + a ................(3)
(1) নং + (2) নং হতে পাই
x + y = a + 2b + c
বা, 2b = x + y - (a + c)
∴ 2b = x + y - z
∴ N বৃত্তের ব্যাস, 2b = x + y - z
সমাধান:
ধরি,
M, N, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে a, b, c
∴ বৃত্তত্রয় পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে
∴ MN = a + b
বা, x = a + b ............... (1)
NO = b + c
বা, y = b + c ..................(2)
এবং OM = c + a
বা, z = c + a ................(3)
(1) নং + (2) নং হতে পাই
x + y = a + 2b + c
বা, 2b = x + y - (a + c)
∴ 2b = x + y - z
∴ N বৃত্তের ব্যাস, 2b = x + y - z
১,৯৮০.
একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ হলে ত্রিভুজটি -
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ১ : ২ : ৩ । ত্রিভুজটি হবে -
সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি x, 2x, 3x
শর্তমতে, x + 2x + 3x = 180°
⇒ 6x = 180°
⇒ x = (180/6)°
∴ x = 30°
∴ 3x = 90°
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
সমাধান:
ধরি,
কোণ তিনটি x, 2x, 3x
শর্তমতে, x + 2x + 3x = 180°
⇒ 6x = 180°
⇒ x = (180/6)°
∴ x = 30°
∴ 3x = 90°
∴ ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ।
১,৯৮১.
দুইটি বৃত্ত বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে, এদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যে দূরত্ব ৭ সে.মি.। একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ সে. মি.হলে অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত সে.মি.?
ব্যাখ্যা
বৃত্ত দুটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে,
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ + অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ + অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, ৪ + অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭
বা, অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ - ৪
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৩ সে.মি.
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ + অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ + অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব
বা, ৪ + অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭
বা, অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৭ - ৪
অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ৩ সে.মি.
১,৯৮২.
ΔABC এর ∠A = 42° এবং ∠B = 78°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 42° এবং ∠B = 78°। ∠C এর সমদ্বিখণ্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = ?
সমাধান:
চিত্রে,
∠A = 42°, ∠B = 78°,
∴∠C = 180° - 120° = 60°
∠ACD = 60°/2 = 30°
∴ ∠CDA = 180° - (42° + 30°)
= 108°
সমাধান:
চিত্রে,
∠A = 42°, ∠B = 78°,
∴∠C = 180° - 120° = 60°
∠ACD = 60°/2 = 30°
∴ ∠CDA = 180° - (42° + 30°)
= 108°
১,৯৮৩.
একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গ সে.মি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 616 বর্গ সে.মি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
এবং বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2
প্রশ্নমতে,
πr2 = 616
⇒ r2 = 616/π
⇒ r2 = 616/(22/7)
⇒ r2 = (616 × 7)/22
⇒ r2 = 4312/22
⇒ r2 = 196
⇒ r = √(196)
∴ r = 14
∴ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 14 সে.মি.
১,৯৮৪.
একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গের কত গুণ?
সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য = ক
∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক২
আবার,
সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশ = ক/৩
∴ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (ক/৩)২
= ক২/৯
∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের = ক২/(ক২/৯)
= ক২ × (৯/ক২)
= ৯ গুণ ।
সমাধান:
ধরি,
সরলরেখার দৈর্ঘ্য = ক
∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ = ক২
আবার,
সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশ = ক/৩
∴ সরলরেখার এক-তৃতীয়াংশের উপর অঙ্কিত বর্গ = (ক/৩)২
= ক২/৯
∴ একটি সরলরেখার উপর অঙ্কিত বর্গ ঐ সরলরেখার অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গের = ক২/(ক২/৯)
= ক২ × (৯/ক২)
= ৯ গুণ ।
১,৯৮৫.
92° এর সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 92° এর সম্পূরক কোণের অর্ধেক কত?
সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
এখন,
92° এর সম্পূরক কোণ = (180 - 92)°
= 88°
সুতরাং, তার অর্ধেক = 88°/2
= 44°
সমাধান:
আমরা জানি,
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।
এখন,
92° এর সম্পূরক কোণ = (180 - 92)°
= 88°
সুতরাং, তার অর্ধেক = 88°/2
= 44°
১,৯৮৬.
কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো একটি ত্রিভুজের দুইটি কোণের পরিমাণ ২৮° ও ৬২°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’
প্রশ্নমতে,
২৮° + ৬২° + ক = ১৮০°
বা, ৯০° + ক = ১৮০°
∴ ক = ৯০°
সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০°।
ধরি,
৩য় কোণটি ‘ক’
প্রশ্নমতে,
২৮° + ৬২° + ক = ১৮০°
বা, ৯০° + ক = ১৮০°
∴ ক = ৯০°
সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ এক সমকোণ বা ৯০° এবং অন্য দুটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ।
ত্রিভুজটি সমকোণী।
১,৯৮৭.
একটি চাকা ৫.৫ কিলোমিটার পথ যেতে ৫০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাস কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি চাকা ৫.৫ কিলোমিটার পথ যেতে ৫০০ বার ঘুরে। চাকাটির ব্যাস কত?
সমাধান:
5৫.৫ কিলোমিটার = ৫.৫× ১০০০ = ৫৫০০ মিটার
চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৫৫০০/৫০০ = ১১ মিটার
∴ চাকাটির পরিধি = ১১ মিটার
⇒ ২πr = ১১
⇒ r = ১১/২π
⇒ r = ১১/{২ × (২২/৭)}
∴ r = (১১ × ৭)/(২ × ২২) = ৭/৪ মিটার
∴ চাকাটির ব্যাস = ২r = ২(৭/৪) = ৭/২ = ৩.৫ মিটার
সমাধান:
5৫.৫ কিলোমিটার = ৫.৫× ১০০০ = ৫৫০০ মিটার
চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৫৫০০/৫০০ = ১১ মিটার
∴ চাকাটির পরিধি = ১১ মিটার
⇒ ২πr = ১১
⇒ r = ১১/২π
⇒ r = ১১/{২ × (২২/৭)}
∴ r = (১১ × ৭)/(২ × ২২) = ৭/৪ মিটার
∴ চাকাটির ব্যাস = ২r = ২(৭/৪) = ৭/২ = ৩.৫ মিটার
১,৯৮৮.
প্রদত্তচিত্রের ∠BOC এর সম্পূরক কোণ কোনটি হবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্তচিত্রের ∠BOC এর সম্পূরক কোণ কোনটি হবে?
সমাধান:
দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পর পূরক কোণ বলে।
এখানে,
∠BOC + ∠AOC = 180° = এক সরলকোণ
অর্থাৎ ∠BOC এর সম্পূরক কোণ = ∠AOC
সমাধান:
দুইটি কোণের ডিগ্রি পরিমাপের সমষ্টি 180° হলে, কোণ দুইটিকে পরস্পর পূরক কোণ বলে।
এখানে,
∠BOC + ∠AOC = 180° = এক সরলকোণ
অর্থাৎ ∠BOC এর সম্পূরক কোণ = ∠AOC
১,৯৮৯.
একটি বৃত্তের পরিধি তার ব্যাসের চেয়ে ১৫ সেন্টিমিটার বেশি। বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন।
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি তার ব্যাসের চেয়ে ১৫ সেন্টিমিটার বেশি। বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করুন।
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 15
⇒ 2r(22/7 - 1) = 15
⇒ 2r(15/7) = 15
⇒ 2r = 7
∴ r = 3.5
সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
প্রশ্নমতে,
2πr - 2r = 15
⇒ 2r(22/7 - 1) = 15
⇒ 2r(15/7) = 15
⇒ 2r = 7
∴ r = 3.5
১,৯৯০.
১৪০° কোণটি হলো-
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৪০° কোণটি হলো-
সমাধান:
স্থুলকোণ : ৯০° থেকে বড় এবং ১৮০° থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৪০° একটি স্থূলকোণ।
• সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ বা 90° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
• প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ বা 180° অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ বা 360° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
• পূরক কোণ: দুইটি কোণের সমষ্টি যখন 90° অথবা এক সমকোণ হয় তখন একটি কোণকে অপর কোণটির পূরক কোণ বলে।
সমাধান:
স্থুলকোণ : ৯০° থেকে বড় এবং ১৮০° থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৪০° একটি স্থূলকোণ।
• সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ বা 90° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
• প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ বা 180° অপেক্ষা বড় কিন্তু চার সমকোণ বা 360° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
• পূরক কোণ: দুইটি কোণের সমষ্টি যখন 90° অথবা এক সমকোণ হয় তখন একটি কোণকে অপর কোণটির পূরক কোণ বলে।
১,৯৯১.
কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 54° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটি কত ডিগ্রি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের ১ম কোণ যদি ২য় কোণের চারগুণ এবং ৩য় কোণ যদি ১ম কোণের চেয়ে 54° বড় হয়, তাহলে ১ম কোণটি কত ডিগ্রি?
সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = a
∴ ১ম কোণ = 4a
৩য় কোণ = 4a + 54°
প্রশ্নমতে,
a + 4a + 4a + 54° = 180°
বা, 9a = 180° - 54°
বা, 9a = 126°
বা, a = 126°/9
∴ a = 14°
∴ ১ম কোণ = 4 × 14° = 56°
সমাধান:
ধরি,
২য় কোণ = a
∴ ১ম কোণ = 4a
৩য় কোণ = 4a + 54°
প্রশ্নমতে,
a + 4a + 4a + 54° = 180°
বা, 9a = 180° - 54°
বা, 9a = 126°
বা, a = 126°/9
∴ a = 14°
∴ ১ম কোণ = 4 × 14° = 56°
১,৯৯২.
প্রদত্ত চিত্রের আলোকে x = কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্রের আলোকে x = কত?
সমাধান:
চিত্র থেকে পাই,
105° + x = 180°
⇒ x = 180° - 105°
∴ x = 75°
সমাধান:
চিত্র থেকে পাই,
105° + x = 180°
⇒ x = 180° - 105°
∴ x = 75°
১,৯৯৩.
চিত্রে ∠PQR = 35°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নীচের কোনটি?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে ∠PQR = 35°, ∠LRN = 90° এবং PQ || MR, PQ = PR হলে, ∠NRP এর মান নীচের কোনটি?
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে PQ = PR সুতরাং PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∠PQR = ∠PRQ = 35°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°
সুতরাং ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 35° = 55°
সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে PQ = PR সুতরাং PQR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∠PQR = ∠PRQ = 35°
∠LRN = 90° হলে ∠NRQ = 90°
সুতরাং ∠NRP = ∠NRQ - ∠PRQ = 90° - 35° = 55°
১,৯৯৪.
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা 14 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত সে. মি.?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা 14 সে. মি. হলে, এর ক্ষেত্রফল কত সে. মি.?
সমাধান:
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা/ ব্যাস = 14 সে. মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 সে. মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ সে. মি.
= (22/7) × 72 বর্গ সে. মি.
= (22/7) × 49 বর্গ সে. মি.
= 154 বর্গ সে. মি.
সমাধান:
বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা/ ব্যাস = 14 সে. মি.
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = 14/2 = 7 সে. মি.
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ সে. মি.
= (22/7) × 72 বর্গ সে. মি.
= (22/7) × 49 বর্গ সে. মি.
= 154 বর্গ সে. মি.
১,৯৯৫.
একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে কয়টি সমকোণ পাওয়া যায়?
ব্যাখ্যা
একটি সরল রেখার উপর লম্ব অঙ্কন করলে ২ টি সমকোণ পাওয়া যায়।
১,৯৯৬.
AB ও CD দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক। এই ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোনদ্বয়ের যোগফল কত হবে?
ব্যাখ্যা
উপপাদ্য – দুইটি সমান্তরাল সরলরেখা অপর একটি সরলরেকাকে ছেদ করলে, ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোনদ্বয়ের যোগফল দুই সমকোনের সমান হয়।
১,৯৯৭.
একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের এক তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি কোণের মান তার সম্পূরক কোণের মানের এক তৃতীয়াংশের সমান। কোণটির মান কত?
সমাধান:
একটি কোণ ক হলে,
তার সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ক
প্রশ্নানুসারে,
ক = (১৮০° - ক)/৩
বা, ৩ক = ১৮০° - ক
বা, ৩ক + ক = ১৮০°
বা, ৪ক = ১৮০°
∴ ক = ৪৫°
∴ কোণটির মান ৪৫°
১,৯৯৮.
একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি ১ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। চাকাটি ১ সেকেন্ডে কত ডিগ্রি ঘুরবে?
সমাধান:
চাকাটি ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০ বার
∴ চাকাটি ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ১২০/৬০ বার
= ২ বার
এখন,
১ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = ৩৬০°
∴ ২ বার ঘুরলে চাকাটি উৎপন্ন করে = (৩৬০° × ২)
= ৭২০°
∴ চাকাটি এক সেকেন্ডে ঘুরবে = ৭২০°।
১,৯৯৯.
ΔABC এর পরিকেন্দ্র O, যদি BC কে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয় তবে উৎপন্ন কোণ ∠ACD = 120° তাহলে ∠AOB = ?
ব্যাখ্যা
চিত্রে ∠ACD = 120° হলে,
∠ACB = 180° - 120°
= 60°
∴ কেন্দ্রস্থ ∠AOB = 2 × বৃত্তস্থ ∠ACB
= 2 × 60°
= 120°
২,০০০.
একটি রিক্সার চাকায় ১৮° পরপর স্পোক লাগানো থাকে। তাহলে সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট কতটি স্পোক লাগানো আছে?
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রিক্সার চাকায় ১৮° পরপর স্পোক লাগানো থাকে। তাহলে সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট কতটি স্পোক লাগানো আছে?
সমাধান:
আমরা জানি,
চাকার কেন্দ্রে মোট উৎপন্ন কোণ = ৩৬০°
∴ ১৮° পরপর স্পোক লাগানো থাকলে
মোট স্পোকের সংখ্যা = ৩৬০°/ ১৮°
= ২০ টি
∴ সম্পূর্ণ চাকাটিতে মোট ২০ টি স্পোক লাগানো আছে।