রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

PrepBank · পাতা ১৫ / ৩২ · ১,৪০১–১,৫০০ / ৩,২১১

১,৪০১.

প্রদত্ত চিত্রে ∠BAD = 60° হলে ∠BED = কত?

ক
ক) 30°
খ
খ) 75°
গ
গ) 60°
ঘ
ঘ) 120°

ব্যাখ্যা

প্রদত্ত চিত্রে ∠BAD = 60° হলে ∠BED = কত?

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।

O বৃত্তের কেন্দ্র এবং বৃত্তের BCD চাপের ওপর দণ্ডায়মান ∠BAD ও ∠BED দুইটি বৃত্তস্থ কোণ ।
∠BAD =∠BED = 60°

১,৪০২.

∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠A এর মান কত ?

ক
36°
খ
18°
গ
54°
ঘ
45°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∠A ও ∠B পরস্পর পূরক এবং কোণ দুটির অনুপাত 3 : 2 হলে ∠A এর মান কত ?

সমাধান:
∠A ও ∠B পরস্পর পূরক
∠A = 3x
∠B = 2x

প্রশ্নমতে
3x + 2x = 90°
5x = 90°
x = 18°

∠A = 3x = 3 × 18° = 54°

১,৪০৩.

২ টা ১৫ মিনিটের সময় ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন হয়?

ক
ক) ২৩°
খ
খ) ২২.৫°
গ
গ) ২০°
ঘ
ঘ) ২৩.৫°

ব্যাখ্যা

কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ = ।(১১ × ১৫ - ৬০ × ২)/২।°
= ।(১৬৫ - ১২০)/২।°
=।৪৫/২।°
=২২.৫°

১,৪০৪.

দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল কত হলে কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপরটির সম্পূরক হয়?

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ১৮০°
গ
গ) ১২০°
ঘ
ঘ) ৩৬০°

ব্যাখ্যা

- দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ৯০° হলে, একটি অপরটির পূরক কোণ ।
- দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল ১৮০° হলে, কোণ দুইটির প্রত্যেকটি অপরটির সম্পূরক ।

১,৪০৫.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 35 বর্গমিটার এবং পরিধি 14 মিটার হলে বৃত্তের ব্যাস কত?

ক
ক) 8 মিটার
খ
খ) 5 মিটার
গ
গ) 10 মিটার
ঘ
ঘ) 7 মিটার

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r হলে,
ক্ষেত্রফল, πr² = 35 …… (1)
পরিধি 2πr = 14 …… (2)

1নং ÷ 2নং দ্বারা পাই,
πr²/2πr = 35/14
বা, r/2 = 5/2
∴ r = 5
∴ ব্যাস 2r = 10 মিটার।

১,৪০৬.

৫৮° কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাপ কত?

ক
১০৮°
খ
১১২°
গ
১২২°
ঘ
১২৯°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫৮° কোণের সম্পূরক কোণের পরিমাপ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
৫৮° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৫৮°
= ১২২°

১,৪০৭.

ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর……….

ক
ক) পূরক
খ
খ) সম্পূরক
গ
গ) সরল
ঘ
ঘ) কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

যদি দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী হয়, তাদের প্রতিটি কোণকে পরস্পরের সম্পূরক কোণ বলে। ছেদকের একই পাশের দুইটি কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী হয়, তাই ছেদকের একই পাশের অন্তঃস্থ কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।

১,৪০৮.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ৪০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

ক
৬৪%
খ
৫৮%
গ
৪৪%
ঘ
৬৬%

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যদি ৪০% কমে, তবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত কমে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
অর্থাৎ, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪০% কমলে ২ বার ৪০% করে কমবে।
∴ প্রথম বার কমে হবে = (১০০ - ৪০)%
= ৬০%

আবার,
দ্বিতীয় বার কমবে = ৬০ এর ৪০%
= ৬০ × (৪০/১০০)
= ২৪০০/১০০
= ২৪%

∴ ক্ষেত্রফল মোট কমবে = (৪০ + ২৪)%
= ৬৪% ।

১,৪০৯.

কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
18 গুণ
খ
24 গুণ
গ
36 গুণ
ঘ
48 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 6 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাসার্ধ 6গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (6r + r) = 7r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(7r)² = 49πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 49πr² - πr² = 48πr²
∴ 48 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

১,৪১০.

দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের___

ক
ক) সমান নয়
খ
খ) সমান
গ
গ) ক্ষুদ্রতর
ঘ
ঘ) বৃহত্তর

ব্যাখ্যা

গুরুত্বপূর্ণ কিছু অনুসিদ্ধান্ত:
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

১,৪১১.

ঘড়িতে যখন আটটা বাজে তখন ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?

ক
ক) ১৫০°
খ
খ) ১৩৫°
গ
গ) ৯০°
ঘ
ঘ) ১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ঘড়িতে যখন আটটা বাজে তখন ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
ঘড়িতে যখন ৮ টা বাজে তখন ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ:
= । (11M - 60H)/2 ।
= । ((11 × 0) - (60 × 8))/2 ।
= । (-480)/2 ।
= 240°

∴ মধ্যবর্তী কোণ 240° বা (360° - 240°) = 120°

১,৪১২.

বৃত্তের বৃহত্তম জ্যাটি ব্যাসার্ধের-

ক
ক) সমান
খ
খ) অর্ধেক
গ
গ) দ্বিগুন
ঘ
ঘ) তিনগুন

ব্যাখ্যা

বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস = ২ × ব্যসার্ধ।

১,৪১৩.

নিচের কোনটির দুইটি প্রান্ত বিন্দু বিদ্যমান?

ক
রেখা
খ
রেখাংশ
গ
রশ্মি
ঘ
সবগুলো

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটির দুইটি প্রান্ত বিন্দু বিদ্যমান?

সমাধান:
রেখা : একটি রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।

রেখাংশ : রেখাংশের দুইটি প্রান্ত বিন্দু বিদ্যমান।

রশ্মি : রশ্মির একটি মাত্র প্রান্তবিন্দু আছে।

১,৪১৪.

একটি চাকার ব্যাস ৭০ সে.মি.। চাকাটি একবার ঘুরলে কতটুকু পথ অতিক্রম করে?

ক
ক) ২.২৫৯ মি.
খ
খ) ২.১৯৯ মি.
গ
গ) ২.৩৫৯ মি.
ঘ
ঘ) ২.১৫৯ মি.

ব্যাখ্যা

চাকার ব্যাস ২r = ৭০ সেমি, তাহলে, ব্যসার্ধ r = ৩৫
চাকাটি একবার ঘুরলে তার পরিধির সমান দুরত্ব অতিক্রম করে।
পরিধি = ২πr (π এর মান ২২/৭ ধরে)
= ২২০ সেমিঃ
= ২.২ মিঃ
≅ ২.১৯৯ মিঃ

১,৪১৫.

একটি সামান্তরিকের উচ্চতা ৬ মিটার এবং ভূমি ১৫ মিটার হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

ক
১৮০ বর্গ সেমি
খ
৪৫ বর্গ সেমি
গ
৯০ বর্গমিটার
ঘ
৩০ বর্গমিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সামান্তরিকের উচ্চতা ৬ মিটার এবং ভূমি ১৫ মিটার হলে, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সামান্তরিকের ভূমি = ১৫ মিটার
সামান্তরিকের উচ্চতা = ৬ মিটার
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = (১৫ × ৬) বর্গমিটার
= ৯০ বর্গমিটার

১,৪১৬.

২৫০° কোণটি হলো -

ক
প্রবৃদ্ধ কোণ
খ
স্থূলকোণ
গ
সমকোণ
ঘ
সূক্ষ্মকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫০° কোণটি হলো -

সমাধান:
৯০° অপেক্ষা অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
একটি সরলরেখার উপর আরেকটি সরলরেখা লম্বভাবে দন্ডায়মান হলে যে দুইটি সন্নিহিত কোণ উৎপন্ন হয় এবং তাদের মান সমান হলে (৯০°) তাদের প্রত্যেককেটিকে সমকোণ বলে।

∴ ২৫০° কোণটি হলো প্রবৃদ্ধ কোণ।

১,৪১৭.

বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের কয়টি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়?

ক
একটিও না
খ
একটি
গ
দুইটি
ঘ
অসংখ্য

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বিন্দুকে কেন্দ্র করে কয়টি বৃত্ত অংকন করা যাবে?

সমাধান:
• বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- একটি বিন্দু দিয়ে অসংখ্য বৃত্ত অংকন করা যাবে ।
- বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শক আঁকা যায় না।
- বিন্দুটি যদি বৃত্তের ওপর থাকে তাহলে উক্ত বিন্দুতে বৃত্তের একটিমাত্র স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।
- স্পর্শকটি বর্ণিত বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধের উপর লম্ব হয়।
- বিন্দুটি বৃত্তের বাইরে অবস্থিত হলে তা থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকা যাবে।
- বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে ঐ বৃত্তে দুইটি ও কেবল দুইটি স্পর্শক আঁকা যায়।
- একটি ত্রিভুজে তিনটি বহির্বৃত্ত আঁকা যায়।

১,৪১৮.

একটি বৃত্তের পরিধি 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 70 বর্গমিটার হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?

ক
ক) 10 মিটার
খ
খ) 5 মিটার
গ
গ) 15 মিটার
ঘ
ঘ) 20 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি 28 মিটার এবং ক্ষেত্রফল 70 বর্গমিটার হলে, বৃত্তের ব্যাস কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল, πr² = 70 …… (1)
বৃত্তের পরিধি 2πr = 28 …… (2)

1নং ÷ 2নং ⇒
πr²/2πr = 70/28
বা, r/2 = 5/2
∴ r = 5

∴ বৃত্তের ব্যাস 2r = 10 মিটার।

১,৪১৯.

প্রদত্ত চিত্র হতে ∠ x এর মান কত?

ক
ক) 85°
খ
খ) 45°
গ
গ) 55°
ঘ
ঘ) 65°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত চিত্র হতে ∠ x এর মান কত?

সমাধান:

চিত্র
∠ARS = 115°
এখানে
∠ARS + ∠ARC= 180°
115° + ∠ARC= 180°
∠ARC = 180° - 115°
∠ARC = 65°

আবার
∠ARC = ∠SRT [পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ]
∠ARC = ∠SRT = 65°

∠SRT = ∠x = 65°

১,৪২০.

একটি চাকার ব্যাস ৭০ সেমি। চাকাটি ১০ বার ঘুরে কত পথ অতিক্রম করবে?

ক
১৪ মিটার
খ
২১ মিটার
গ
২২ মিটার
ঘ
২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস ৭০ সেমি। চাকাটি ১০ বার ঘুরে কত পথ অতিক্রম করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাস ৭০সে.মি.
∴ চাকার ব্যাসার্ধ, r = ৭০/২ সে.মি. = ৩৫

চাকার পরিধি = ২πr সে.মি.
= ২ × (২২/৭) × ৩৫ সে.মি.
= ২২০ সে.মি.

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

চাকাটি ১০ বার ঘুরে পথ অতিক্রম করবে = (২২০ × ১০) সে.মি.
= ২২০০ সে.মি.
=২২০০/১০০ মিটার
= ২২ মিটার

১,৪২১.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩২.৭৭ বর্গ সে. মি.
খ
৬৪.৬৭π বর্গ সে. মি.
গ
৯৮π বর্গ সে. মি.
ঘ
৩২.৬৭π বর্গ সে. মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১৪ সে. মি. এবং বৃত্তকলা কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = ১৪ সে. মি.
এবং কোণ, θ = ৬০°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360°) × πr^২
= (৬০/৩৬০) × π × ১৪^২
= (১/৬) × π × ১৯৬
= ৩২.৬৭π বর্গ সে. মি.

১,৪২২.

যেকোনাে সরলরেখা একটি বৃত্তকে সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে?

ক
ক) তিনটি
খ
খ) দুইটি
গ
গ) একটি
ঘ
ঘ) চারটি

ব্যাখ্যা

১. বৃত্তের যেকোনাে জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
২. যেকোনাে সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।

১,৪২৩.

কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ১০ সেমি হলে কেন্দ্র হতে ৩ সেমি দূরবর্তী জ্যা’র দৈর্ঘ্য হবে -

ক
ক) ৮ সেমি
খ
খ) ৪ সেমি
গ
গ) ৬ সেমি
ঘ
ঘ) ৭.৫ সেমি

ব্যাখ্যা

কেন্দ্রগামী জ্যা বা ব্যাস = ১০ সে.মি. এবং ব্যাসার্ধ ৫ সে.মি.
জ্যা এর অর্ধেক দৈর্ঘ্য = √{(ব্যাসার্ধ²) - (কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব)²}
= √{(৫²) - (৩)²}
= √১৬ = ৪
∴জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২ × ৪ = ৮

১,৪২৪.

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৬ সে.মি. ও ২ সে.মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

ক
৩ সে.মি.
খ
৪ সে.মি.
গ
৫ সে.মি.
ঘ
৬ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ করেছে। বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৬ সে.মি. ও ২ সে.মি. হলে কেন্দ্র দুটির মধ্যে দূরত্ব কত হবে?

সমাধান:

দুটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্থভাবে স্পর্শ তাদের কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব হবে বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধের বিয়োগফলের সমান।
মনে করি,
A কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ AC = ৬ সে.মি.
B কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ BC = ২ সে.মি.
কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব = AB= AC - BC
= ৬ - ২ সে.মি.
= ৪ সে.মি.

১,৪২৫.

যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে-

ক
পূরক কোণ
খ
বিপ্রতীপ কোণ
গ
সমকোণ
ঘ
সন্নিহিত কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে বলে-

সমাধান:
সন্নিহিত কোণ (Adjacent Angle):
- যদি সমতলে দুইটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু হয় ও তাদের একটি সাধারণ রশ্মি থাকে এবং কোণদ্বয় সাধারণ রশ্মির বিপরীত পার্শ্বে অবস্থান করে, তবে ঐ কোণদ্বয়কে সন্নিহিত কোণ বলে। এরূপ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণও বলা হয় ।
- কোনো রশ্মি তার প্রান্তবিন্দুতে একটি সরলরেখার সাথে মিলিত হলে, যে দুইটি কোণ উৎপন্ন হয় তারাও সন্নিহিত কোণ।

১,৪২৬.

কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 20° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
ক) 35°
খ
খ) 40°
গ
গ) 45°
ঘ
ঘ) 55°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য 20° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + 20°

এখন,
x + x + 20° + 90° = 180°
⇒ 2x = 180° - 110°
⇒ 2x = 70°
⇒ x = 70°/2
∴ x = 35°

∴ ক্ষুদ্রতম কোণ 35°

১,৪২৭.

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ পরিধিস্থ কোণের কত গুণ?

ক
ক) অর্ধেক
খ
খ) সমান
গ
গ) দ্বিগুণ
ঘ
ঘ) তিনগুণ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
বা বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।
যেমন, যদি একটি বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ 40° হয়, তবে বৃত্তটির কেন্দ্রস্থ কোণের পরিমাণ হবে 80°।

১,৪২৮.

O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) 2PA = PB
খ
খ) PA = PB
গ
গ) PA = 2PB
ঘ
ঘ) PA > PB

ব্যাখ্যা

বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে, ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান ।

মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC বৃত্তের P একটি বহিঃস্থ বিন্দু এবং PA ও PB রেখাংশদ্বয় বৃত্তের A ও B বিন্দুতে দুইটি স্পর্শক।
তাহলে PA = PB

১,৪২৯.

চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক। সেক্ষেত্রে ∠a + ∠b এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 90°
খ
খ) 120°
গ
গ) 180°
ঘ
ঘ) 360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক। সেক্ষেত্রে ∠a + ∠b এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত চিত্রে xy এবং wz দুটো সমান্তরাল সরলরেখা, PQ তাদের ছেদক।
∠a + ∠b = 180°

১,৪৩০.

নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

ক
ক) 3x² + 4y² = 2
খ
খ) xy = 1
গ
গ) x + y = 4
ঘ
ঘ) x² + y² = 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?

সমাধান:
বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য:
(i) x, y এর সর্বোচ্চ ঘাত 2।
(ii) x² ও y² এর সহগ সমান।
(iii) xy সম্বলিত পদ না থাকা।

∴ বৃত্তের সমীকরণের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী x² + y² = 5 বৃত্তের সমীকরণ

১,৪৩১.

দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

ক
ক) ৯০°
খ
খ) ১৮০°
গ
গ) ১২০°
ঘ
ঘ) ৬০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি বৃত্ত যদি পরস্পর স্পর্শ করে তবে কেন্দ্র হতে স্পর্শ বিন্দুগামী সরলরেখা দুটির অন্তর্ভুক্ত কোণ কত?

সমাধান:

বৃত্তের যে কোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
∴ ∠AOC = 90°, ∠BOC = 90°
∠AOC + ∠BOC = 90° + 90°
= 180°
= এক সরলকোণ।
∴ AO এবং BO এর মধ্যবর্তী কোণ সরলকোণ।

১,৪৩২.

10 টা 45 মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত ডিগ্রী হবে?

ক
52.5°
খ
127.5°
গ
72.5°
ঘ
117.5°

ব্যাখ্যা

মধ্যবর্তী কোণ
= ।(11M - 60H)/2।°
= ।(11 × 45 - 60 × 10)/2।°
= ।(495 - 600)/2।°
= 52.5°

১,৪৩৩.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫°। ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

ক
সমকোণী
খ
সমবাহু
গ
সমদ্বিবাহু
ঘ
স্থুলকোণী

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩৫° ও ৫৫° । ত্রিভুজটি কোন ধরনের?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
বা, ৩৫° + ৫৫° + তৃতীয় কোণ = ১৮০°
বা, তৃতীয় কোণ = ১৮০° - ৯০°
∴ তৃতীয় কোণ = ৯০°

সুতরাং, ত্রিভুজটি সমকোণী।

১,৪৩৪.

বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসার্ধের অনুপাত -

ক
ক) 22/7
খ
খ) 7/22
গ
গ) 44/7
ঘ
ঘ) 7/44

ব্যাখ্যা

পরিধিঃব্যাসার্ধ = 2πr:r
= 2π
= 2 × 22/7
= 44/7

১,৪৩৫.

কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত হবে?

ক
৪২°
খ
১৪৪°
গ
৩৬°
ঘ
১২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭২° হলে, বৃত্তস্থ কোণ কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

দেওয়া আছে, কেন্দ্রস্থ কোণ = ৭২°
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৭২°/২
= ৩৬°

∴ বৃত্তস্থ কোণ ৩৬°

১,৪৩৬.

6 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক
12π বর্গসেমি
খ
18π বর্গসেমি
গ
12√2π বর্গসেমি
ঘ
36π বর্গসেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 সেমি বাহুবিশিষ্ট বর্গক্ষেত্রে পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:

বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = 6 সেমি

আমরা জানি, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × বাহু = 6√2 সেমি

যেহেতু বৃত্তটি বর্গক্ষেত্রের বাইরে পরিলিখিত, তাই বর্গের কর্ণই হবে বৃত্তের ব্যাস।

∴ বৃত্তের ব্যাস = 6√2 সেমি
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = (6√2 / 2) সেমি = 3√2 সেমি

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²= π(3√2)²= π(9 × 2)
= 18π বর্গসেমি

∴ পরিলিখিত বৃত্তের ক্ষেত্রফল 18π বর্গসেমি।

১,৪৩৭.

72 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

ক
308 বর্গ সে.মি.
খ
218 বর্গ সে.মি.
গ
338 বর্গ সে.মি.
ঘ
138 বর্গ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 72 সে.মি. পরিসীমা বিশিষ্ট একটি অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
πr + 2r = 72
⇒ r(π + 2) = 72
⇒ r{(22/7) + 2} = 72
⇒ r {(22 + 14)/7} = 72
⇒ r (36/7) = 72
⇒ r/7 = 2
r =14

অর্ধবৃত্তের ক্ষেত্রফল = (1/2)πr²
= (1/2) × (22/7) × 14 × 14
= 308 বর্গ সে.মি.

১,৪৩৮.

কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

ক
ক) ৮ সেমি
খ
খ) ১০ সেমি
গ
গ) ১২ সেমি
ঘ
ঘ) ১৬ সেমি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- কোন বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা এর দৈর্ঘ্য ২০ সেমি, কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরবর্তী জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত হবে?

সমাধান-
বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যা হচ্ছে বৃত্তের ব্যাস।
∴ ব্যাসার্ধ = ২০/২ = ১০ সেমি

পিথাগোরাসের সূত্র মতে =√(১০^২- ৬^২)
= ৮ সেমি

তাহলে জ্যা এর দৈর্ঘ্য = ২× ৮ = ১৬ সেমি

১,৪৩৯.

দুটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করল। বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 8 সে.মি. এবং কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব 3 সে.মি.। অপর বৃত্তের ব্যাসার্ধ কত?

ক
ক) 6 সে.মি.
খ
খ) 3 সে.মি.
গ
গ) 4 সে.মি.
ঘ
ঘ) 5 সে.মি.

ব্যাখ্যা

আমরা জানি
দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

বৃহত্তর বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r₁ = 8 সে. মি.
অন্তঃস্থ বৃত্তের ব্যাসার্ধ r₂= ?

কেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব= (r₁ - r₂)
3 = 8 - r₂
3 - 8 = - r₂
r₂ = 5 সে.মি.

১,৪৪০.

∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?

ক
40°
খ
60°
গ
80°
ঘ
90°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
∠PRQ এর মান কত ডিগ্রী?

সমাধান:
বহিঃস্থ কোণের মান থেকে একটি অন্তঃস্থ কোণের মান বিয়োগ করলে অপর কোণের মান পাওয়া যায়।
দেওয়া আছে,
একটি অন্তঃস্থ কোণ = 40°
বহিঃস্থ কোণ = 120°

∴ অপর কোণ বা ∠PRQ = 120° - 40°
= 80°

১,৪৪১.

O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 8 সে.মি. হলে AB এর মান কত?

ক
16 সে.মি.
খ
18 সে.মি.
গ
14 সে.মি.
ঘ
12 সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের OC, AB জ্যা এর উপর লম্ব এবং AC = 8 সে.মি. হলে AB এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
AC = 8 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

সুতরাং, AB = (8 × 2) = 16 সে.মি.

১,৪৪২.

দুই সমকোণ অপেক্ষা বড় ও চার সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে বলে-

ক
ক) সম্পূরক কোণ
খ
খ) বিপ্রতীপ কোণ
গ
গ) স্থুল কোণ
ঘ
ঘ) প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

দুই সমকোণ বা ১৮০° থেকে বড় এবং চার সমকোণ বা ৩৬০° থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধকোণ বলে।

১,৪৪৩.

নিচের কোন তথ্যটি ভুল?

ক
ক) রেখাংশের একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
খ
খ) রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।
গ
গ) রেখা উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।
ঘ
ঘ) রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই।

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন তথ্যটি ভুল?

সমাধান:

রেখা: রেখা অসীম, রেখার কোন প্রান্তবিন্দু নেই। রেখা উভয় দিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।
রশ্মি: একটি রেখার একটি দিকে যদি প্রান্তবিন্দু থাকে এবং অন্যদিকে অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত থাকে তাকে রশ্মি বলে।
রেখাংশ: কোন রেখার দুইটি বিন্দু চিহ্নিত করে সেই অংশ কেটে নিলে তাকে রেখাংশ বলে।

১,৪৪৪.

দুই বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৩:২ হলে বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফল এর অনুপাত কত?

ক
ক) ২:৩
খ
খ) ৩:৪
গ
গ) ৪:৯
ঘ
ঘ) ৯:৪

ব্যাখ্যা

ব্যাস বা ব্যাসার্ধ এর অনুপাত দেয়া থাকলে ক্ষেত্রফল এর অনুপাত হবে ব্যাস বা ব্যাসার্ধের অনুপাত এর বর্গ।
দুইটি বৃত্তের ক্ষেত্রফলের অনুপাত, π×3²:π×2²
= 9:4

১,৪৪৫.

দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 3 হলে তাদের পরিধির অনুপাত কত?

ক
ক) 16 : 9
খ
খ) 3 : 2
গ
গ) 4 : 3
ঘ
ঘ) 10 : 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 4 : 3 হলে তাদের পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্ত দুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 4r এবং 3r

সুতরাং, তাদের পরিধির অনুপাত = (2π × 4r) : (2π × 3π) = 4 : 3

১,৪৪৬.

একটি বৃত্তের ব্যাস অপর একটি বৃত্তের ব্যাস এর দ্বিগুণ হলে প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের কত গুণ হবে?

ক
ক) ২
খ
খ) ৪
গ
গ) ৮
ঘ
ঘ) ১৬

ব্যাখ্যা

যুক্তিঃ ধরি, ২য় বৃত্তের ব্যাস = ২r
∴ ১ম বৃত্তের ব্যাস = ৪r
ফলে, ২য় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r এবং ১ম বৃত্তের ব্যাসার্ধ = ২r
∴ ২য় বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
১ম বৃত্তের ক্ষেত্রফল = π(২r)^২ = ৪πr^২
∴ প্রথমটির ক্ষেত্রফল দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফলের = (৪πr^২ )/(πr^২ ) = ৪

১,৪৪৭.

বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর-

ক
ক) সমান্তরাল
খ
খ) উপর লম্ব
গ
গ) ছেদক
ঘ
ঘ) অর্ধেক

ব্যাখ্যা

বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।

১,৪৪৮.

একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত?

ক
9/2
খ
9/11
গ
11/2
ঘ
11/13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি রেখা A(- 2, 3) বিন্দু দিয়ে যায় যার ঢাল 1/2 । রেখাটি যদি আবারও (3, k) বিন্দু দিয়ে যায় তবে k এর মান কত?

সমাধান:
(-2, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
(y - 3) = m(x + 2)
বা, y - 3 = 1/2 × (x + 2) [∴ ঢাল, m = 1/2]
বা, 2y - 6 = x + 2
বা, - 6 - 2 = x - 2y
বা, - 8 = x - 2y
বা, x - 2y + 8 = 0

আবার,
রেখাটি (3, k) বিন্দুগামী,
3 - 2k + 8 = 0
বা, - 2k + 11 = 0
বা, -2k = - 11
বা, k = -11/-2
∴ k = 11/2

১,৪৪৯.

∠A হলো ∠B এর দ্বিগুণ। ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক হলে ∠A এর মান কত?

ক
60°
খ
150°
গ
90°
ঘ
120°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∠A হলো ∠B এর দ্বিগুণ। ∠A ও ∠B পরস্পর সম্পূরক হলে ∠A এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠B = ∠A/2

শর্তমতে,
∠A + ∠B = 180°
বা, ∠A + (∠A/2) = 180°
বা, {(2∠A + ∠A)/2} = 180°
বা, (3∠A)/2 = 180°
বা, ∠A = (180° × 2)/3
∴ ∠A = 120°

১,৪৫০.

180° - x° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

ক
0°
খ
45°
গ
x + 90
ঘ
x°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 180° - x° কোণের সম্পূরক কোণ কোনটি?

সমাধান:
দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি 180° হলে তারা পরস্পরের সম্পূরক কোণ।

∴ 180° - x°কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - (180° - x°)
= 180° - 180° + x
= x°

১,৪৫১.

60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-

ক
π/2 রেডিয়ান
খ
π/4 রেডিয়ান
গ
2π/4 রেডিয়ান
ঘ
π/3 রেডিয়ান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
• রেডিয়ান: কোনো বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান চাপ ঐ বৃত্তের কেন্দ্রে যে কোণ উৎপন্ন করে সেই কোণকে এক রেডিয়ান বলে।

ডিগ্রিকে রেডিয়ানে রূপান্তর করার সূত্র হলো: রেডিয়ান = ডিগ্রি × (π/180)

∴ 60° কে রেডিয়ানে প্রকাশ করলে হবে = 60° × (π/180)
= π/3 রেডিয়ান।

১,৪৫২.

সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?

ক
৩০°
খ
৪৫°
গ
৬০°
ঘ
৯০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেকটি কোণ কত ডিগ্রী?

সমাধান:
- সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণ ৬০°।
- ত্রিভুজের যেকোনাে শীর্ষবিন্দু হতে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দু পর্যন্ত অঙ্কিত রেখাংশকে মধ্যমা বলে।
- সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা পরস্পর সমান।
- সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যে সমান এবং প্রতিটি কোণ পরস্পর সমান।

১,৪৫৩.

∠RPS এর মান কত?

ক
70°
খ
80°
গ
100°
ঘ
110°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∠RPS এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
তাহলে, ∠P + ∠PRQ ∠RQP = 180°
⇒ ∠QPR = 180° - 30° - 40°
= 110°

আবার, ∠QPR + ∠RPS = 180°
⇒ ∠RPS = 180° - 110°
= 70°

১,৪৫৪.

দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি কত ডিগ্রি?

ক
৩০°
খ
৬০°
গ
৯০°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি কোণের পরিমাপের সমষ্টি এক সমকোণ হলে কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।
অর্থাৎ, দুইটি পূরক কোণের সমষ্টি = ৯০° ।

১,৪৫৫.

একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?

ক
ক) ১৬π বর্গসে.মি.
খ
খ) ৪π বর্গসে.মি.
গ
গ) ৮π বর্গসে.মি.
ঘ
ঘ) π বর্গসে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.। ঘনকটির একটি ধারের সমান ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত হবে?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ঘনকের আয়তন ৬৪ ঘনসে.মি.।
ঘনকের ধার =

বৃত্তটির ব্যাস ৪ সে.মি.
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ ২ সে.মি.

বৃত্তটির ক্ষেত্রফল = π ২^২ বর্গসে.মি.
= ৪π বর্গসে.মি.

১,৪৫৬.

একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৮০ বার ঘুরলে ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

ক
৪৮০°
খ
২৫০°
গ
৫২০°
ঘ
৬২০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গাড়ীর চাকা প্রতি মিনিটে ৮০ বার ঘুরলে ১ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরে?

সমাধান:
১ মিনিট বা ৬০ সেকেন্ডে ঘুরে = ৮০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘুরে = ৮০/৬০ = ৪/৩ বার

এখন,
১ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০°
∴ ৪/৩ বার ঘুরলে ঘুরে = ৩৬০° × (৪/৩) = ৪৮০°

১,৪৫৭.

একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

ক
ক) ২ : ১
খ
খ) ৩ : ২
গ
গ) ৪ : ৩
ঘ
ঘ) ৪ : ১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৪ মিটার হলে এর ক্ষেত্রফল ও পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ৪ মিটার
বৃত্তের ক্ষেত্রফল, πr² = π × ৪^২ বর্গমিটার = ১৬π বর্গমিটার
বৃত্তের পরিধি, ২πr = ২π × ৪ মিটার = ৮π মিটার

ক্ষেত্রফল : পরিধি = ১৬π : ৮π
= ২ : ১

১,৪৫৮.

65° এর পূরক কোণ কত?

ক
15°
খ
25°
গ
35°
ঘ
155°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 65° এর পূরক কোণ কত?

সমাধান:
দুইটি কোণের সমষ্টি 90° হলে, কোণ দুইটি একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
65° কোণের পূরক কোণ = 90° - 65° = 25°

১,৪৫৯.

উপরের চিত্রে, O কেন্দ্র বিশিষ্ঠ বৃত্তে ∠x = ?

ক
108°
খ
54°
গ
126°
ঘ
132°

ব্যাখ্যা

বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুইটির যোগফল ১৮০ ডিগ্রী ।
∠BOD = 108
∠BAD = 108°/2 = 54° কারণ বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
যেহেতু, বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুইটির যোগফল ১৮০ ডিগ্রী ।
সুতরাং, ∠BAD + ∠BCD = 180°
54° + ∠BCD = 180°
∠BCD = 180° - 54° = 126° = x

১,৪৬০.

বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
ক) ৩গুণ
খ
খ) ৪গুণ
গ
গ) ৯গুণ
ঘ
ঘ) ১২গুণ

ব্যাখ্যা

বৃত্তের ব্যাস n গুন বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল n²গুন বৃদ্ধি পায়।
বৃত্তের ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল নয় গুণ বৃদ্ধি পাবে।

১,৪৬১.

x প্রবৃদ্ধ কোণ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
90° < x < 180°
খ
180° < x ≤ 340°
গ
0° < x < 180°
ঘ
180° < x < 360°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x প্রবৃদ্ধ কোণ হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
যে কোণের মান ১৮০ ডিগ্রি থেকে বেশি কিন্তু ৩৬০ ডিগ্রি থেকে কম, তাকে প্রবৃদ্ধ কোন বলা হয়।
অর্থাৎ, 180° < x < 360°

১,৪৬২.

একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 120° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 18 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

ক
3π cm
খ
5π cm
গ
12π cm
ঘ
6π cm

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 120° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস 18 cm হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, বৃত্তের ব্যাস = 18 cm ∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 9 cm
বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 120°
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, s = ?

আমরা জানি, s = (π × r × θ)/180°
∴ s = (π × 9 × 120)/180
∴ s = (1080π)/180
∴ s = 6π cm

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 6π cm

১,৪৬৩.

একটি চাকার ব্যাস ১৪ সে.মি. হলে ৪৪০ সে.মি. পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

ক
ক) ১০ বার
খ
খ) ২০ বার
গ
গ) ১৫ বার
ঘ
ঘ) ৩২ বার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি চাকার ব্যাস ১৪ সে.মি. হলে ৪৪০ সে.মি. পথ অতিক্রম করতে চাকাটি কতবার ঘুরবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
চাকার ব্যাস ১৪ সে.মি.
∴ চাকার ব্যাসার্ধ, r = ৭ সে.মি.

চাকার পরিধি = ২πr সে.মি.
= ২ × (২২/৭) × ৭ সে.মি.
= ৪৪ সে.মি.

আমরা জানি,
চাকা ১ বার ঘুরলে তার পরিধির সমান দূরত্ব অতিক্রম করে।

৪৪০ সে.মি. পথ অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরবে (৪৪০/৪৪) বার = ১০ বার

১,৪৬৪.

রশ্মির কয়টি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

ক
তিনটি
খ
দুইটি
গ
চারটি
ঘ
একটি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রশ্মির কতটি প্রান্ত বিন্দু থাকে?

সমাধান:
রশ্মি (Ray):
- একটি রেখার কোনো বিন্দু ও উহার এক পাশের অংশকে একত্রে রশ্মি বলা হয় এবং ঐ বিন্দুটিকে রশ্মিটির প্রান্ত বিন্দু বলা হয়।
- রশ্মির একটি মাত্র প্রান্ত বিন্দু থাকে।

রেখা (Line):
- দুটি তল পরস্পরকে ছেদ করলে রেখা হয়।
- রেখার কোন প্রান্ত বিন্দু নেই।

রেখাংশ:
- রেখার যে কোন অংশকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশের প্রান্ত বিন্দু দুইটি।

১,৪৬৫.

দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে কি কোণ বলে-

ক
ক) সন্নিহিত কোণ
খ
খ) বিপ্রতীপ কোণ
গ
গ) অনূরুপ কোণ
ঘ
ঘ) একান্তর কোণ

ব্যাখ্যা

এখানে AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করেছে ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ, ∠PQD কোণদ্বয় একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ, ∠CQP কোণদ্বয় একান্তর কোণ।

১,৪৬৬.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 96π বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

ক
16√3π মিটার
খ
6√8π মিটার
গ
8√6π মিটার
ঘ
4√3π মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 96π বর্গমিটার হলে, এর পরিসীমা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 96π বর্গমিটার

আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² (যেখানে r হলো ব্যাসার্ধ)

প্রশ্নমতে,
πr² = 96π
বা, r² = 96
বা, r = √96 মিটার
∴ r = 4√6 মিটার

এখন,
বৃত্তের পরিসীমা = 2πr
= 2π(4√6)
∴ পরিসীমা = 8√6π মিটার

১,৪৬৭.

বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে-

ক
সমান দূরবর্তী
খ
অসমান দূরবর্তী
গ
শুন্য দূরবর্তী
ঘ
অসীম দূরবর্তী

ব্যাখ্যা

বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী।

১,৪৬৮.

৪১° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

ক
৪১°
খ
৪৯°
গ
১৩১°
ঘ
১৩৯°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪১° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।

∴ ৪১° এর পূরক কোণ = ৯০° - ৪১°
= ৪৯°

১,৪৬৯.

ΔABC এর ∠A = 50° এবং ∠B = 70°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

ক
80°
খ
120°
গ
180°
ঘ
100°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 50° এবং ∠B = 70°। ∠C এর সমদ্বিখন্ডক AB বাহুকে D বিন্দুতে ছেদ করলে ∠CDA = কত?

সমাধান:

ΔABC এ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 50° + 70° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° - 120°
∴ ∠C = 60°

∠C এর সমদ্বিখণ্ডক অর্থাৎ, (1/2) ∠C= 60º/2 = 30°

ΔADC এ, ∠CAD + ∠CDA + ∠ACD = 180°
⇒ ∠A + ∠CDA + ∠C = 180°
⇒ 50° + ∠CDA + 30° = 180°
⇒ ∠CDA = 180° - 80°
∴ ∠CDA = 100°

১,৪৭০.

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি -

ক
ক) আয়ত
খ
খ) রম্বস
গ
গ) বর্গ
ঘ
ঘ) ট্রাপিজিয়াম

ব্যাখ্যা

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামন্তরিক আয়তক্ষেত্র হয়।
কারণ বৃত্তে কোন সামান্তরিক অন্তর্লিখিত হলে ঐ সামান্তরিকের কর্ণ অবশ্যই বৃত্তের ব্যাস হবে।
বৃত্তের ব্যাস বৃত্তকে সমদ্বিখন্ডিত করে। অর্থাৎ দুইটি অর্ধবৃত্ত উৎপন্ন হয়। অর্ধ বৃত্তে উৎপন্ন কোণ সর্বদাই সমকোণ হয়।
সমকোণ হলেই তা আয়ত।

১,৪৭১.

বৃত্তের বৃহত্তম জ্যাকে কী বলে?

ক
ক) ব্যাস
খ
খ) ব্যাসার্ধ
গ
গ) সাধারণ জ্যা
ঘ
ঘ) স্পর্শক

ব্যাখ্যা

• ব্যাসার্ধ: একটি রেখাংশ যা বৃত্তের কেন্দ্রের সাথে বৃত্তের যে কোনো একটি বিন্দুকে যুক্ত করে।
• বৃত্তচাপ: বৃত্তের সাথে সংযুক্ত বা এর পরিধির কোনো অংশ।
• অধিচাপ:অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা বড় চাপ।
• উপচাপ:অর্ধবৃত্ত অপেক্ষা ছোট চাপ।
• কেন্দ্র: বৃত্তের সকল বিন্দুর সেট হতে সমদূরবর্তী একটি নির্দিষ্ট বিন্দু।
• জ্যা: এমন একটি রেখাংশ যার প্রান্তিক বিন্দুদ্বয় বৃত্তের উপরে থাকে। বৃত্তের ব্যাস-ই বৃহত্তম জ্যা।
পরিধি: বৃত্তের পরিসীমার দৈর্ঘ্য।
• ব্যাস: একটি কেন্দ্রগামী রেখাংশ যার প্রান্তবিন্দুদ্বয় বৃত্তের পরিধিতে অবস্থিত। বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা বৃত্তের কেন্দ্রগামী। বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যাকে ব্যাস বলে।
• অর্ধবৃত্ত: ব্যাস ও একটি চাপ (যা ব্যাসের শেষ বিন্দুদ্বয়ের সাথে সংযুক্ত) দ্বারা বেষ্টিত অংশ।
• স্পর্শক: একটি একতলীয় সরলরেখা যা বৃত্ততে একটি একক বিন্দুতে স্পর্শ করে।

১,৪৭২.

∠A = x° এবং ∠B হলো ∠A এর সম্পূরক কোণ। তাহলে ∠B = ?

ক
ক) 90° + x°
খ
খ) 180° + x°
গ
গ) 90° - x°
ঘ
ঘ) 180° - x°

ব্যাখ্যা

∠B যদি ∠A এর সম্পূরক কোণ হয়, তবে ∠A + ∠B = 180°
বা, x° + ∠B = 180°
বা, ∠B = 180° - x°

১,৪৭৩.

দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৬ হলে, পরিধির অনুপাত কত?

ক
২ : ৩
খ
১৬ : ৬
গ
৪ : ৩৬
ঘ
১৬ : ৩৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত ৪ : ৬ হলে, পরিধির অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
ব্যাসার্ধ যথাক্রমে ৪ক এবং ৬ক

∴ পরিধির অনুপাত = ২π(৪ক) : ২π(৬ক)
= ৪(২πক) : ৬(২πক)
= ৪ : ৬
= ২ : ৩

১,৪৭৪.

একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 625 বর্গমিটার। এই বৃত্তের সমান ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে, সেই বর্গক্ষেত্রের পরিধি কত হবে?

ক
70 মিটার
খ
90 মিটার
গ
100 মিটার
ঘ
120 মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 625 বর্গমিটার। এই বৃত্তের সমান ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র অঙ্কন করলে, সেই বর্গক্ষেত্রের পরিধি কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A_square = A_circle= 625 m²বর্গক্ষেত্রের বাহু a হবে:
a= √625 = 25 m

বর্গক্ষেত্রের পরিধি P হলো:
P = 4 × a
= 4 × 25
= 100m

∴বর্গক্ষেত্রের পরিধি 100m

১,৪৭৫.

একটি ত্রিভুজের দুটি কোণের পরিমাণ ৩২° ও ৫৮° হলে, ত্রিভুজটি হলো-

ক
ক) সমকোণী
খ
খ) সমবাহু
গ
গ) স্থূলকোণী
ঘ
ঘ) সমদ্বিবাহু

ব্যাখ্যা

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°

ত্রিভুজের তৃতীয় কোণ= ১৮০° - (৩২° + ৫৮°)
= ৯০°

যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০°
সুতরাং
ত্রিভুজটি সমকোণী ত্রিভুজ

১,৪৭৬.

যে সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর ৮°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রি?

ক
৩৮°
খ
৩৯°
গ
৪০°
ঘ
৪১°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যে সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্ম কোণদ্বয়ের অন্তর ৮°, তার ক্ষুদ্রতম কোণ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
ধরি,
ক্ষুদ্রতম কোণ x এবং
অপর ক্ষুদ্রতম কোণ x + ৮°

এখন
x + x + ৮° + ৯০° = ১৮০°
⇒ ২x = ১৮০° - ৯৮°
⇒ x = ৮২°/২
∴ x = ৪১°

১,৪৭৭.

একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৫° হলে, কোণদ্বয়ের মধ্যে বড় কোণটির মান কত?

ক
৭৫°
খ
৫২.৫°
গ
৩৫.৫°
ঘ
৪৫.৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ১৫° হলে, কোণদ্বয়ের মধ্যে বড় কোণটির মান কত?

সমাধান:
যেহেতু ত্রিভুজটি সমকোণী। অপর দুটি কোণের সমষ্টি ৯০°

অপর দুটি কোণের ক্ষুদ্রতম কোণ = ক
বৃহত্তম কোণ = ক + ১৫°

প্রশ্নমতে,
ক + ক + ১৫° = ৯০°
⇒ ২ক = ৭৫°
ক = ৩৭.৫°

∴ বৃহত্তম কোণটির মান = ৩৭.৫° + ১৫°
= ৫২.৫°

১,৪৭৮.

বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
৪
খ
৯
গ
১২
ঘ
১৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফল কত গুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = ২r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr^২

ব্যাস 3গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাস = (২r + ৬r) = ৮r
∴ ব্যাসার্ধ =৮r/২ = ৪r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(৪r)² = ১৬πr^২
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = ১৬πr^২ - πr^২ = ১৫πr^২

∴ ১৫ গুণ বৃদ্ধি পাবে।

=======================

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাস ৩ গুণ করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ হবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
বৃত্তের ব্যাস = 2r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাস 3গুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ ব্যাসার্ধ = 6r/2 = 3r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল 9 গুণ হবে।

যেহেতু অপশনে 15 নেই তাই সঠিক উত্তর 9 গ্রহণ করা হয়েছে ।

১,৪৭৯.

বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 একক হলে, বৃত্তের পরিধি কত একক?

ক
ক) 7π একক
খ
খ) 14π একক
গ
গ) 21π একক
ঘ
ঘ) 28π একক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের ব্যাসার্ধ 7 একক হলে, বৃত্তের পরিধি কত একক??

সমাধান:
বৃত্তের ব্যসার্ধ r = 7 একক
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = 2πr একক
= 2π × (7) একক
=14π একক

১,৪৮০.

x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?

ক
ক) ৬০°
খ
খ) ৫৫°
গ
গ) ৫০°
ঘ
ঘ) ৪৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর সম্পূরক কোণের মান তার পূরক কোণের তিনগুণ হলে x এর মান কত?

সমাধান:
x এর সম্পূরক কোণ = 180° - x
x এর পুরক কোণ = 90° - x

প্রশ্নমতে,
180° - x = 3(90° - x)
180° - x = 270° - 3x
2x = 90°
x = 45°

১,৪৮১.

একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস ৫৬ সে.মি. হলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

ক
৪৪ সে.মি.
খ
৩২ সে.মি.
গ
৬৬ সে.মি.
ঘ
২২ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৪৫° কোণ উৎপন্ন করে। বৃত্তের ব্যাস ৫৬ সে.মি. হলে, বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ৫৬ সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৫৬/২ = ২৮ সে.মি.

বৃত্তচাপ দ্বারা কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = ৪৫°
= π/৪ রেডিয়ান

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য, S = r × θ
= ২৮ × (π/৪)
= ৭π
= ৭ × (২২/৭)
= ২২ সে.মি.

১,৪৮২.

বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা ব্যাসার্ধের______।

ক
ক) সমান
খ
খ) অর্ধেক
গ
গ) দ্বিগুণ
ঘ
ঘ) তিনগুণ

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
অর্থাৎ ব্যাস = ২ × ব্যাসার্ধ

বৃত্ত সম্পর্কিত উপপাদ্য ও অনুসিদ্ধান্ত:
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাস ভিন্ন কোনো জ্যা-এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।
- বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্ব-দ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।
- যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে দুইয়ের অধিক বিন্দুতে ছেদ করতে পারে না।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর ওপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- দুইটি পরস্পরছেদী বৃত্তের কেন্দ্রদ্বয়ের সংযোজক রেখাংশ তাদের সাধারণ জ্যা-কে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
- বৃত্তের সকল সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী সকল জ্যা পরস্পর সমান।
- কোনো বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশকে বৃত্তটির একটি জ্যা বলা হয়।
- বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো জ্যা হলো ব্যাস।
- বৃত্তের দুইটি জ্যা-এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যা-টি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতম।
- কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।
- বৃত্তের সমান জ্যা-এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।
- বৃত্তের দুইটি জ্যা-এর মধ্যে কেন্দ্রের নিকটবর্তী জ্যা, দূরবর্তী জ্যা অপেক্ষা বৃহত্তর।

১,৪৮৩.

একটি বৃত্তের ব্যাস 72 সে.মি এবং বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 100° হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

ক
ক) 40π
খ
খ) 10π
গ
গ) 20π
ঘ
ঘ) 30π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাস 72 সে.মি এবং বৃত্তচাপটি কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ 100° হলে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বৃত্তের ব্যাস = 72 সে.মি.
∴ বৃত্তের ব্যাসার্ধ , r = 72/2 = 36 সে.মি.

বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = S
কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 100°

আমরা জানি,
S = πrθ/180°
বা, S = (π × 36 × 100°)/180°
∴ S = 20π

∴ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য = 20π

১,৪৮৪.

অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

ক
৯০ ডিগ্রি
খ
৪৫ ডিগ্রি
গ
৬০ ডিগ্রি
ঘ
৩০ ডিগ্রি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সরলকোণের অর্ধেক।
- অর্ধবৃত্তস্থ কোণের মান ৯০°

১,৪৮৫.

সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

ক
৩৫°
খ
৪৫°
গ
৬০°
ঘ
৫৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্ম কোণদ্বয়ের পার্থক্য ২০° হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = ১৮০°
সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ = ৯০°
∴ অপর দুটি সূক্ষ্ম কোণের যোগফল = ৯০°

ধরি,
ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্ম কোণ = ক
∴ বৃহত্তম সূক্ষ্ম কোণ = ক + ২০

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ২০) = ৯০
⇒ ২ক + ২০ = ৯০
⇒ ২ক = ৭০
∴ ক = ৩৫

∴ ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্ম কোণ =৩৫°

১,৪৮৬.

কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

ক
৩৫°
খ
৪৫°
গ
৫৫°
ঘ
৬৫°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের যে কোনো একটি চাপের কেন্দ্রস্থ কোণ ৭০° হলে ঐ বৃত্তচাপের বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
∴ বৃত্তস্থ কোণ = ৭০°/২ = ৩৫°

আবার,
দুইটি কোণের পরিমাপের যোগফল এক সমকোণ (৯০°) হলে, কোণ দুইটি একটি অপরটির পূরক কোণ।

∴ ৩৫° কোণের পূরক কোণ = ৯০° - ৩৫° = ৫৫°

অতএব, বৃত্তস্থ কোণের পূরক কোণের মান হলো ৫৫°

১,৪৮৭.

নিচের চিত্রে, AC বৃত্তের ব্যাস হলে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠ADC = কত ডিগ্রী?

ক
ক) 110°
খ
খ) 100°
গ
গ) 80°
ঘ
ঘ) 90°

ব্যাখ্যা

চিত্রে, AC বৃত্তের ব্যাস হলে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ∠ADC = এক সমকোণ।
কারণ অর্ধ বৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ।
চিত্রে, ∠ADC = অর্ধ বৃত্তস্থ কোণ
অতএব, ∠ADC = এক সমকোণ।

১,৪৮৮.

চিত্রে (1/2)∠ECD = কত ডিগ্রি?

ক
50°
খ
40°
গ
60°
ঘ
70°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের যেকোনো দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ।

প্রদত্ত চিত্রে,
∠BAD = 80°
∠BCD = 180° - 80° = 100°

∠BCD + ∠ECD = 180°
100° + ∠ECD = 180°
∠ECD = 180° - 100°
∠ECD = 80°

(1/2)∠ECD = 80° × 1/2
= 40°

১,৪৮৯.

2 সে.মি. ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরের কোনো বিন্দু হতে অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত সে.মি.?

ক
4.58
খ
5.38
গ
3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

ΔOAB এ
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে পাই,
OB² = OA² + AB²
5² = 2² + AB²
25 - 4 = AB²
AB² = 21
AB = √21
AB = 4.582

১,৪৯০.

ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে, CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB ।। CE এবং ∠ECD = 60° হলে ∠BAC এর মান কত?

ক
30°
খ
60°
গ
45°
ঘ
15°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ABC এর BC বাহুকে D পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে, CE, ∠ACD এর সমদ্বিখণ্ডক। AB ।। CE এবং ∠ECD = 60° হলে ∠BAC এর মান কত?

সমাধান:

যেহেতু CE, ∠ACD কে সমদ্বিখণ্ডিত করে তাই ∠ECD = ∠ECA = 60°
∴ একান্তর ∠ECA = একান্তর ∠BAC = 60°

১,৪৯১.

P হলো AB রেখার ওপর একটি বিন্দু এবং PQ হলো একটি রশ্মি, যেখানে ∠QPA = 7x এবং ∠QPB = 5x । এখন (8x - 10°) এর মান কত?

ক
110°
খ
118°
গ
120°
ঘ
124°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P হলো AB রেখার ওপর একটি বিন্দু এবং PQ হলো একটি রশ্মি, যেখানে ∠QPA = 7x এবং ∠QPB = 5x । এখন (8x - 10°) এর মান কত?

সমাধান:

∠QPA এবং ∠QPB একটি সরলরেখা AB এর উপর অবস্থিত। অতএব, তাদের যোগফল অবশ্যই 180° সমান হতে হবে।
∠QPA + ∠QPB = 180°
⇒ 7x + 5x = 180°
⇒ 12x = 180°
⇒ x = 180°/12
∴ x = 15°

এখন প্রদত্ত রাশি (8x - 10°)-তে x = 15° এর মান বসিয়ে পাই-
= {(8 × 15°) - 10°}
= 120° - 10°
= 110°

সুতরাং, (8x - 10°) এর মান = 110° ।

১,৪৯২.

কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

ক
9 গুণ
খ
8 গুণ
গ
16 গুণ
ঘ
15 গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাসার্ধ 3গুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (3r + r) = 4r

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(4r)² = 16πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 16πr² - πr² = 15πr²
∴ 15 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

১,৪৯৩.

ঘড়িতে ১০ টা বাজলে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?

ক
৩০°
খ
৬০°
গ
১২০°
ঘ
২৪০°

ব্যাখ্যা

নির্ণেয় কোণ = ।(১১m - ৬০h)/২।°
= ।(১১ × ০ - ৬০ × ১০)/২।°
= ।( - ৬০০)/২।°
= ৩০০°
এখন, (৩৬০ - ৩০০)° = ৬০°

১,৪৯৪.

কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে -

ক
৫৫°
খ
৭০°
গ
১১০°
ঘ
২৫০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ তার বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

∴ বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে = ৫৫° × ২
= ১১০°

∴ কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ৫৫° হলে, কেন্দ্রস্থ কোণ হবে ১১০°।

১,৪৯৫.

প্রদত্ত চিত্রের আলোকে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

ক
ক) y = 180° - 3x
খ
খ) x = 90° - y
গ
গ) y = 90° - 2x
ঘ
ঘ) y + x = 60°

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি = 180°
উপরের দেওয়া চিত্র অনুযায়ী, 2x + 3y + x = 180°
Or, 3y + 3x = 180°
Or, y + x = 60°

১,৪৯৬.

বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ-

ক
১০°
খ
৪০°
গ
১২০°
ঘ
১৮০°

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বৃত্তের একই চাপের উপর দন্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ ৮০° হলে বৃত্তস্থ কোণ-

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ, বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগ্ণ হয়ে থাকে।

এখন,
বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মাণ কেন্দ্রস্থ কোণ = ৮০° হলে
∴ বৃত্তস্থ কোণ হবে = ৮০°/২
= ৪০°।

১,৪৯৭.

দুই বা ততোধিক বিন্দু একই সরলরেখার উপর অবস্থান করলে ঐ বিন্দুগুলিকে কী বলে?

ক
সমরেখ বিন্দু
খ
অসমরেখ বিন্দু
গ
সমবিন্দু
ঘ
সাধারণ বিন্দু

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই বা ততোধিক বিন্দু একই সরলরেখার উপর অবস্থান করলে ঐ বিন্দুগুলিকে কী বলে?

সমাধান:
(১) দুইটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি এবং কেবল একটি সরলরেখা আঁকা যায় ।
(২) যেসব বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করে, তাদেরকে সমরেখ বিন্দু বলা হয়।
(৩) একটি রেখাংশের দৈর্ঘ্যই তার প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব।
(৪) প্রান্তবিন্দুদ্বয় ছাড়া রেখাংশের যেকোনো বিন্দুকে ঐ রেখাংশের অন্তঃস্থ বিন্দু বলা হয়।

- একটি বিন্দু একাধিক সরলরেখার উপর অবস্থিত হলে বিন্দুটিকে সমবিন্দু বলে। আর রেখাগুলোকে সমবিন্দু সরলরেখা বলে।

১,৪৯৮.

৬ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত?

ক
৩৬π
খ
π
গ
৬π
ঘ
২১৬π

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬ মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে ৬০° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r = ৬ মিটার
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ θ = ৬০°

আমরা জানি,
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =

প্রদত্ত বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =

১,৪৯৯.

এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলে?

ক
স্থূলকোণ
খ
সূক্ষ্মকোণ
গ
সম্পূরক কোণ
ঘ
প্রবৃদ্ধ কোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।

অন্যদিকে,
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

১,৫০০.

স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ–

ক
ক) এক সমকোণের অর্ধেক
খ
খ) দুই সমকোণ
গ
গ) তিন সমকোণ
ঘ
ঘ) এক সমকোণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্পর্শ বিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ–

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দু গামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।
অর্থাৎ
বৃত্তে স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ এবং স্পর্শকের অন্তর্ভুক্ত কোণ = ৯০° = এক সমকোণ।