রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল 3850 বর্গ সে.মি হলে, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রশ্নমতে,
πr² = 3850
⇒ r² = 3850/π
⇒ r² = 3850 × (7/22)
⇒ r² = 1225
⇒ r² = (35)²
∴ r = 35

সুতরাং, বৃত্তটির ব্যাসার্ধ 35 সে.মি।

প্রশ্ন: সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য ৪৫ ডিগ্রি হলে ক্ষুদ্রতম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের একটি কোণ ৯০° এবং বাকি দুটি কোণ সূক্ষ্মকোণ, যাদের সমষ্টি ৯০°।
ধরি, ক্ষুদ্রতম সূক্ষ্মকোণটি হলো ক।
তাহলে, বৃহত্তম সূক্ষ্মকোণটি হবে (ক + ৪৫)°।
শর্তমতে, সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি ৯০°।
ক + (ক + ৪৫) = ৯০°
⇒ ২ক + ৪৫ = ৯০°
⇒ ২ক = ৯০° - ৪৫°
⇒ ২ক = ৪৫°
⇒ ক = ৪৫°/২
∴ ক = ২২.৫০°
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণটির মান হলো ২২.৫০°।

প্রশ্ন: ΔABC এবং ΔPQR পরস্পর সদৃশ ত্রিভুজ। ∠A = 46° এবং ∠Q = 82° হলে, ∠C এর পরিমাপ কত ডিগ্রি?

সমাধান:
যেহেতু ΔABC এবং ΔPQR পরস্পর সদৃশ ত্রিভুজ।
তাই, ∠B = ∠Q = 82° [জ্যামিতির নিয়ম অনুযায়ী, দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হলে তাদের অনুরূপ কোণগুলো সমান হয়।]

আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি 180°
অর্থাৎ, ΔABC-এর ক্ষেত্রে, ∠A + ∠B + ∠C = 180°
এখন, ∆ABC হতে পাই, 
⇒ ∠C = 180° - (∠A + ∠ B) 
⇒ ∠C = 180° - (46° + 82°) 
⇒ ∠C = 180° - 128°
∴ ∠C = 52°

প্রশ্ন: একটি বিন্দু থেকে কতগুলি সরলরেখা আঁকা যায়?

সমাধান: 
বিন্দু (Point): 
- বিন্দুর কেবল অবস্থান আছে, কিন্তু দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও বেদ নাই। 
- বিন্দুর শুধু অবস্থান আছে কিন্তু কোন মাত্রা নেই এবং বিন্দু মাত্রাহীন। 
- পেনসিলের সরু মাথা দিয়ে কাগজে ফোঁটা দিলে একে বিন্দুর প্রতিকৃতি বলে ধরা হয়। 

বিন্দুর শ্রেণিবিভাগ: 
- বিন্দুকে সাধারণত ৩ শ্রেণিতে ভাগ করা হয়েছে। 
যথা- ১। সমরেখ বিন্দু, ২।  অসমরেখ বিন্দু এবং ৩।  সমবিন্দু। 

সাধারণ বিন্দু: 
- একটি সমতলে দুটি সরলরেখা যে নির্দিষ্ট বিন্দুটিতে ছেদ করে সেই বিন্দুটিকেই সাধারণ বিন্দু বলে। 
- দুটি বিন্দু দিয়ে একটি সরলরেখা টানা যায়, কিন্ত একাধিক বক্ররেখা টানা যায় না। 
- একটি বিন্দু দিয়ে একাধিক বা অসংখ্য বিন্দু সংযোগকারী সরলরেখা টানা যায়। 
- সরলরেখা পরস্পরকে ছেদ করতে পারে।

সঠিক উত্তর ঘ) অসংখ্য বা অসীম সংখ্যক

প্রশ্ন: 6 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
বৃত্তের ব্যাস = ব্যাসার্ধ × 2 = (6 × 2) = 12 সে.মি.

আমরা জানি,
বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ বৃত্তের ব্যাসের সমান।

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = x সে.মি.
∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2 × x সে.মি.

প্রশ্নমতে,
√2 × x = 12
⇒ x = 12/√2

∴ বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল = (12/√2)² বর্গ সেমি
= 144/2 বর্গ সে.মি.
= 72 বর্গ সে.মি.

অতএব, অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 72 বর্গ সে.মি.।

P কেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস হবে = PQ + PR - QR = a + c - b

প্রশ্ন: ৬৫° কোণের পূরক কোণ কত ডিগ্রি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ (৯০°) হলে , ঐ দুইটি কোণের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে। 

∴ ৬৫° এর পূরক কোণ = (৯০ - ৬৫)°
= ২৫° । 

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² এবং পরিধি = 2πr
প্রশ্নানুসারে, πr²/2πr = ১৬/৮
বা, r = ২×২
বা, r = ৪
বা, ২r = ৮ (যেহেতু বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা)

প্রশ্ন: দুটি সম্পূরক কোণের পার্থক্য 40° হলে, বৃহত্তম কোণটির মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
দুটি সম্পূরক কোণের মানে = 180°

ধরি,
বৃহত্তম কোণ = x°
∴ ছোট কোণ = 180° - x°

দেওয়া আছে, 
পার্থক্য = 40°

প্রশ্নমতে, 
x - (180° - x) = 40° 
⇒ x - 180° + x = 40°
⇒ 2x = 220°
∴ x = 110°

বৃহত্তম কোণটির মান হলো  110°। 

প্রশ্ন: একটি চাকা মিনিটে ১২০ বার ঘোরে। ৩ সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
আমরা জানি, ১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড

∴ ৬০ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ১২০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ১২০/৬০ বার = ২ বার
∴ ৩ সেকেন্ডে চাকাটি ঘোরে = ২ × ৩ = ৬ বার

আবার, আমরা জানি,
চাকাটি ১ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ চাকাটি ৬ বার ঘুরলে অতিক্রম করে = ৩৬০° × ৬ = ২১৬০°

অতএব, ৩ সেকেন্ডে চাকাটি ২১৬০° ঘুরবে।

O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তটির A, P, B পরিধিস্থ বিন্দু ফলে বৃত্তস্থ ∠APB = 1/2 × কেন্দ্রস্থ ∠AOB
                                                                                             = 1/2 × 130°
                                                                                             = 65°

প্রশ্ন: যদি (2x + y, 3) = (6, x - y) হয়, তাহলে (x, y) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + y = 6 .......(1)
3 = x - y .........(2)

সমীকরণ (2) থেকে y এর মান,
3 = x - y
⇒ y = x - 3

y এর মান সমীকরণ (1) এ বসাই
2x + y = 6
⇒ 2x + (x - 3) = 6
⇒ 3x - 3 = 6
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3

তাহলে,
y = x - 3
⇒ y = 3 - 3
⇒ y = 0

∴ (x, y) = (3, 0)

প্রশ্ন: দুইটি বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত 2 : 5 হলে, বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ : দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 2 : 5

ধরি, প্রথম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₁ = 2x
দ্বিতীয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r₂ = 5x

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A₁ = πr₁² = π(2x)² = 4πx²
দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল, A₂ = πr₂² = π(5x)² = 25πx²

∴ ক্ষেত্রফলের অনুপাত = A₁ : A₂
= 4πx² : 25πx²
= 4 : 25

∴ বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত 4 : 25

প্রশ্ন: চতুর্ভুজের কোণসমূহের অনুপাত ৩ : ৫ : ৭ : ৯ হলে, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের অন্তর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
কোণসমূহের অনুপাত = ৩ : ৫ : ৭ : ৯
অনুপাতের যোগফল = ৩ + ৫ + ৭ + ৯ = ২৪

আমরা জানি, 
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০°
মনে করি,  প্রতি অংশের মান = x°

প্রশ্ন অনুসারে, 
৩x° + ৫x° + ৭x° + ৯x° = ৩৬০°
⇒ ২৪x° = ৩৬০°
⇒ x° = ৩৬০°/২৪
∴ x = ১৫°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম কোণ = ৩ × ১৫° = ৪৫°
এবং বৃহত্তম কোণ = ৯ × ১৫° = ১৩৫°

∴ অন্তর = বৃহত্তম কোণ - ক্ষুদ্রতম কোণ = ১৩৫° - ৪৫° = ৯০°

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম কোণের অন্তর = ৯০°

বৃত্তের পরিধি 2πr ও ব্যাসের 2r
অনুপাত = 2πr/2r = π = ২২/৭

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ 75° হলে, বিপরীত কোণটির মান কত? 

সমাধান: 
বৃত্তস্থ চতুর্তুজের দুটি বিপরীত কোনের সমষ্টি = 180° 
একটি কোণ 75° হলে,
অপর কোণ = (180 - 75)°
= 105°

আমরা জানি, সম্পূরক কোণের পরিমাণ = 180°
সুতরাং 60° কোণের সম্পূরক কোণের অর্ধেক = 1/2 (180°-60°) = 1/2 × 120° = 60°

এখানে,
৮৮ = ৮৮ ×১০০০ মি.
আমরা জানি,
অতিক্রান্ত দূরত্ব = পরিধি × ঘূর্ণন সংখ্যা
বা, ৮৮ × ১০০০ = 2πr × ১০০০
বা, 2πr = ৮৮
বা, r = ৮৮/2π
বা, r = ৪৪/π
বা, r = ৪৪/(২২/৭)
বা, r = ৪৪ × (৭/২২)
বা, r = ১৪ মিটার।

ধরি, ব্যাসার্ধ r,
∴ পরিধি = 2πr,
ক্ষেত্রফল = πr²,

পরিধির তিনগুণ = 6πr = 2.π(3r)
∴ ব্যাসার্ধ = 3r
∴ নতুন ক্ষেত্রফল = π(3r)² = 9πr²
∴ 9 গুণ বৃদ্ধি পায়।

প্রশ্ন: ৪৯ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
বিপ্রতীপ কোণ পরস্পর সমান।
অর্থাৎ 
৪৯ ডিগ্রি কোণের বিপ্রতীপ কোণ = ৪৯ ডিগ্রি। 

বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র। কারণ বৃত্তের ভেতর সামান্তরিক আকলে এর বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ও সমান্তরাল এবং কোনগুলো সমকোণ হয়ে যায়।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার পূরক কোণের ৫ গুণ। কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি, একটি কোণ = ক
তাহলে, পূরক কোণ = ৯০° - ক
শর্তমতে,
ক = ৫(৯০° - ক)
⇒ ক = ৪৫০° - ৫ক
⇒ ক + ৫ক = ৪৫০°
⇒ ৬ক = ৪৫০° 
⇒ ক = ৭৫°

প্রশ্ন: P(2, 3), Q(4, 7) এবং R(6, k) বিন্দুত্রয় সমরেখ হলে k এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু P(2, 3), Q(4, 7) এবং R(6, k) বিন্দু তিনটি সমরেখ, তাই PQ রেখার ঢাল ও QR রেখার ঢাল সমান হবে।

আমরা জানি, ঢাল m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

∴ PQ রেখার ঢাল = (7 - 3)/(4 - 2) = 4/2 = 2
∴ QR রেখার ঢাল = (k - 7)/(6 - 4) = (k - 7)/2

শর্তমতে,
(k - 7)/2 = 2
⇒ k - 7 = 4
⇒ k = 4 + 7
∴ k = 11

অতএব, k এর মান = 11

মূলবিন্দু (0,0) হতে (5, k) এর দূরত্ব =
√{(5 - 0)² + (k + 0)²}
= √(k² + 25)

∴ √(k² + 25) = 5√2
বা, k² + 25 = 50
বা, k² = 25

∴ k = 5

মনেকরি,
কোণদ্বয় = 2x, 3x
∴ 2x + 3x = 90°
বা, 5x = 90°
বা, x = 18°
∴ বৃহত্তম কোণটি = 3 × 18°
= 54°
এবং এই কোণটির সম্পূরক কোণ = 180° - 54°
= 126°

বাগানের ব্যাস = ২৪ মিঃ
∴ বাগানের ব্যাসার্ধ = ১২ মিঃ
∴ বাগানের ক্ষেত্রফল = π × (১২)²
= ১৪৪π বর্গমিঃ
রাস্তাসহ বাগানের ব্যাসার্ধ = (১২ + ১)
= ১৩ মিঃ
∴ রাস্তাসহ বাগানের ক্ষেত্রফল = π(১৩)²
= ১৬৯π বর্গমিঃ
∴ রাস্তার ক্ষেত্রফল = ১৬৯π - ১৪৪π
= ২৫π বর্গমিঃ

প্রশ্ন: দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয়-

সমাধান:
• দুটি সমান্তরাল রেখাকে অপর একটি রেখা তির্যকভাবে ছেদ করলে ছেদক রেখার বিপরীতপাশে যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে বলা হয় একান্তর কোণ।

এখানে AB, CD সমান্তরাল রেখাদ্বয়কে EF তির্যক রেখাটি ছেদ করেছে ফলে EF রেখার বিপরীত পাশে অবস্থিত ∠APQ, ∠PQD কোণদ্বয় একান্তর কোণ।
আবার, ∠BPQ, ∠CQP কোণদ্বয় একান্তর কোণ।

- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০° হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
- দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
- দুটি কোণের একই শীর্ষবিন্দু এবং একটি সাধারণ বাহু থাকলে কোণ দুইটির একটিকে অপরটির সন্নিহিত কোণ করে।

প্রশ্ন: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি কোণ ৭৫° হলে তার বিপরীত কোণের মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণগুলোর সমষ্টি ১৮০°।
দেওয়া আছে, একটি কোণ = ৭৫°
সুতরাং, বিপরীত কোণটির মান হবে = (১৮০ - ৭৫)°
= ১০৫°
অতএব, বিপরীত কোণটির মান ১০৫°।