রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: (3x + 2y) = 24 এবং (4x + 3y) = 33 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
3x + 2y = 24 ...... (1) 
4x + 3y = 33 ...... (2) 

{(1) × 3}  - {(2) × 2} নং সমীকরণ থেকে পাই, 
9x + 6y - 8x - 6y = 72 - 66 
⇒ x = 6 

x এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
3 × 6 + 2y = 24
⇒ 18 + 2y = 24
⇒ 2y = 24 - 18
⇒ 2y = 6
⇒ y = 3 

∴ সরলরেখা দুটি (6, 3) বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ২০% কমালে এর ক্ষেত্রফল শতকরা কত কমবে?

সমাধান:
ধরি,
ব্যাসার্ধ = ১০
তাহলে, ক্ষেত্রফল = π(১০)^২ = ১০০π

ব্যাসার্ধ ২০% কমালে নতুন ব্যাসার্ধ = ১০ - ১০ এর ২০%
= ১০ - ২
= ৮

তাহলে, নতুন ক্ষেত্রফল = π(৮)^২ = ৬৪π

∴ ক্ষেত্রফল কমে= ১০০π - ৬৪π = ৩৬π

১০০π ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে ৩৬π  
∴ ১ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে (৩৬π/১০০π)
∴ ১০০ ক্ষেত্রফলে ক্ষেত্রফল কমে = {(৩৬π/১০০)× ১০০}%
= ৩৬%

∴ ক্ষেত্রফল শতকরা কমবে = ৩৬%

এখানে,
n + 90° + 3n + 2n = 180°
বা, 6n = 90°
∴ n = 15°

প্রশ্ন:
উপর্যুক্ত চিত্রে ∠DOF এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∠AOC = 30°
∠BOE = 60°

∠AOC = ∠BOD = 30° [বিপ্রতীপ কোণ]
∠BOE = ∠AOF = 60° [বিপ্রতীপ কোণ]

এখন,
∠AOF + ∠DOF + ∠BOD = 180°
⇒ 60° + ∠DOF + 30° = 180°
⇒ 90° + ∠DOF = 180°
⇒ ∠DOF = 180° - 90°
⇒ ∠DOF = 90°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি. হলে, চাপটি কেন্দ্রে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য ১১ সে.মি. এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ ৭ সে.মি.

আমরা জানি, 
বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৭
= ৪৪ সে.মি.

আবার, 
কেন্দ্রীয় কোণ, θ = (চাপের দৈর্ঘ্য/পরিধি) × ৩৬০°
= (১১/৪৪) × ৩৬০°
= (১/৪) × ৩৬০°
= ৯০°

প্রশ্ন: ৪৫° এর সম্পূরক কোণের মান কত?

সমাধান: 
সম্পূরক কোনের ক্ষেত্রে কোণদ্বয়ের সমষ্টি ১৮০°
৪৫° কোণের সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৪৫° = ১৩৫°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধকে যদি r থেকে বৃদ্ধি করে r + n করা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল দ্বিগুণ হয়। r-এর মান কত?

সমাধান:
ব্যাসার্ধ r হলে ক্ষেত্রফল = πr²
এবং ব্যাসার্ধ (r + n) হলে ক্ষেত্রফল = π(r + n)²

প্রশ্নমতে,
2 × πr² = π (r + n)²
বা, 2r² = (r + n)²
বা, √2 r = r + n
বা, √2 r - r = n
বা, r (√2 - 1) = n
∴ r = n/(√2 - 1)

সম্পূরক কোণের দুইটি কোণের পরিমাণ ১৮০° হয়।
∴ ৬৫° এর সম্পূরক কোণ = (১৮০ - ৬৫)° = ১১৫°

প্রশ্ন: 6 মিটার ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের একটি বৃত্তচাপ কেন্দ্রে 60° কোণ উৎপন্ন করে, বৃত্তকলাটির ক্ষেত্রফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 6 মিটার 
বৃত্তকলা দ্বারা বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, θ = 60° 

আমরা জানি, 
বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল =  (θ/360) × πr² 
∴ প্রদত্ত বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল = (θ/360) × πr² 
= (60/360) × π × (6)² 
= (1/6) × π × 36 
= 6π 

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 2 গুণ বৃদ্বি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ =  (2r + r) = 3r 

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(3r)² =9πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 9πr² - πr² = 8πr²

∴ 8 গুণ বৃদ্ধি পাবে। 

প্রশ্ন: কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ-

সমাধান: 
- কোনো বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ সূক্ষ্মকোণ।
- কোনো বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ স্থূলকোণ।
- বৃত্তের দুইটি ভিন্ন বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ বৃত্তটির একটি জ্যা। 
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে জ্যাটিকে বৃত্তের ব্যাস বলা হয়। 
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী যে বক্ররেখা আঁকা হয় তাকে বৃত্তচাপ বলে।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

সমকোণী ত্রিভুজের সুক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = ৯০
ক্ষুদ্রতম কোণটি x হলে অপর কোণটি (x + ১০)
তাহলে, x + x + ১০ = ৯০
বা, ২x = ৮০
বা, x = ৪০
ক্ষুদ্রতম কোণটি ৪০ এবং অপর কোণটি (৪০ + ১০) বা, ৫০

প্রশ্ন: একটি গাড়ির চাকা প্রতি মিনিটে ১৫০ বার ঘোরে। এক সেকেন্ডে চাকাটি কত ডিগ্রি ঘুরবে?

সমাধান:
১ মিনিট = ৬০ সেকেন্ড।
চাকা ৬০ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০ বার
∴ ১ সেকেন্ডে ঘোরে = ১৫০/৬০ বার
​= ৫/২ বার

গাড়ির চাকা ১ বার ঘুরে অতিক্রম করে = ৩৬০°
∴ গাড়ির চাকা ৫/২ বার ঘুরে অতিক্রম করে =(৩৬০° × ৫)/২
​ = ৯০০°

প্রশ্ন: একটি কোণের পাঁচগুণ 180° হলে, তার সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
মনেকরি একটি কোণ = x

প্রশ্নমতে, 5x = 180
⇒ x = 180/5
∴ x = 36

দুইটি কোণের সমষ্টি 180° হলে, একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।
∴ 36° কোণের সম্পূরক কোণ = 180° - 36° = 144°

প্রশ্ন: যদি একটি বৃত্তের একই চাপের উপর বৃত্তস্থ কোণ ৫০° হয় তবে, তার কেন্দ্রস্থ কোণের মান কত হবে?

সমাধান: 
বৃত্তস্থ কোণ (Inscribed Angle) : বৃত্তস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের যে কোন পয়েন্টে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি ভিন্ন পয়েন্টকে সংযোগ করে।

কেন্দ্রস্থ কোণ (Central Angle) : কেন্দ্রস্থ কোণ হলো এমন একটি কোণ, যার শীর্ষবিন্দু বৃত্তের কেন্দ্রে থাকে এবং এর বাহু দুটি বৃত্তের দুটি পয়েন্টকে সংযোগ করে।

আমরা জানি,
বৃত্তস্থ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
অর্থাৎ
কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

দেওয়া আছে,
বৃত্তস্থ কোণ = ৫০°

∴ কেন্দ্রস্থ কোণ = ২ × বৃত্তস্থ কোণ 
= ২ × ৫০°
= ১০০°

প্রশ্ন: রেখা y = 2x + 3 এর উপর উৎপত্তি বিন্দু (0, 0)থেকে লম্ব দূরত্ব কত?

সমাধান:
রেখা y = 2x + 3 কে সাধারণ আকারে লিখি:
⇒ 2x - y + 3 = 0

উৎপত্তি (0, 0) থেকে দূরত্ব সূত্র:
⇒ d = ( ∣Ax ​+ By ​+ C∣ ​) / √(A² + B²)

এখানে A = 2, B = -1, C = 3, (x₀, y₀) = (0, 0)
⇒ d = ( ∣2 × 0 - 1 × 0 + 3∣​ ) / √(4² + (-1)²)
⇒ d = 3 / √5

∴ y = 2x + 3 এর উপর উৎপত্তি বিন্দু (0, 0) থেকে লম্ব দূরত্ব 3/√5 

প্রশ্ন: কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গুণ বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কতগুণ বৃদ্ধি পাবে?

সমাধান:
ধরি, বৃত্তের ব্যাসার্ধ = r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²

ব্যাসার্ধ চারগুণ বৃদ্ধি পেলে বৃত্তের নতুন ব্যাসার্ধ = (4r + r) = 5r 

∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে = π(5r)² =25πr²
ক্ষেত্রফল বেড়ে যাবে = 25πr² - πr² = 24πr²

∴ 24 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

x অক্ষ হতে কোন বিন্দুর দূরত্ব, বিন্দুটির কোটির সমান। এখানে কোটি = ৩

আমরা জানি,
ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°।
দুইটি কোণের সমষ্টি ১০০° হলে তৃতীয় কোণের মান (১৮০-১০০)° = ৮০°।

180° = π রেডিয়ান
1° = π/180 রেডিয়ান

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণের মান- 
​
​সমাধান:
​সমবাহু ত্রিভুজ (Equilateral Triangle) হলো এমন একটি ত্রিভুজ যার তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।

​আমরা জানি, একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি ১৮০°।
যেহেতু একটি সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি কোণ পরস্পর সমান,
∴ প্রতিটি কোণের মান = ১৮০°/৩ = ৬০°

​সুতরাং, একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি কোণের মান ৬০°।

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 4 গজ হলে এর পরিধি কত ইঞ্চি

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 4 গজ

আমরা জানি,
1 গজ = 36 ইঞ্চি

∴ ব্যাসার্ধ = 4 × 36 = 144 ইঞ্চি

আমরা জানি,
বৃত্তের পরিধি = 2πr
= 2 × π × 144
= 288π ইঞ্চি

 সুতরাং, ৪ গজ ব্যাসার্ধের বৃত্তটির পরিধি 288π ইঞ্চি। 

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য 12^° হলে, ছোট কোণের মান কত?

সমাধান:
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের সমষ্টি = 90°
সূক্ষ্মকোণদ্বয়ের পার্থক্য = 12^°

সুতরাং ছোট কোণ = (90^° - 12^°)/2 = 39^°

x এর পূরক কোন = 110° এর সম্পূরক কোন
বা, 90° - x = 180° - 110°
বা, 90° - x = 70°
বা, 90° - 70° = x ∴ x = 20°

প্রশ্ন: দুই বা ততোধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করলে ঐ বিন্দুগুলোকে কী বলে?

সমাধান:
- দুই বা ততোধিক বিন্দু একই সরলরেখায় অবস্থান করলে ঐ বিন্দুগুলোকে সমরেখ বিন্দু বলে।
- ইংরেজিতে একে Collinear Points বলা হয়।
- উদাহরণ: যদি A, B, C তিনটি বিন্দু একই সরলরেখার উপর থাকে, তাহলে A, B, C সমরেখ বিন্দু।

প্রশ্ন: একটি কোণ তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষা ৫০ ডিগ্রি কম হলে কোণটির মান কত?

সমাধান:
ধরি,
কোণটির মান = x ডিগ্রি।
তাহলে তার সম্পূরক কোণ = ১৮০° - x
প্রশ্ন অনুসারে, কোণটি তার সম্পূরক কোণ অপেক্ষা ৫০ ডিগ্রি কম।
সুতরাং,
x = ১৮০° - x - ৫০° 
⇒ x = ১৩০° - x
⇒ x + x = ১৩০°
⇒ ২x = ১৩০° 
⇒ x = ১৩০°/২ 
∴ x = ৬৫° 

সুতরাং কোণটির মান ৬৫°।

প্রশ্ন: ১০৫° কোণের সম্পূরক কোণ কত?

সমাধান:
যে দুটি কোণের যোগফল ১৮০° বা ২ সমকোণ হয়, তাদের একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলা হয়।

সুতরাং, ১০৫° কোণের সম্পূরক কোণ হলো:
= (১৮০° - ১০৫°)
= ৭৫°

অতএব, ১০৫° কোণের সম্পূরক কোণ হলো ৭৫°।

​অন্যদিকে,
যে দুটি কোণের যোগফল ৯০° বা ১ সমকোণ হয়, তাদের একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলা হয়।

প্রশ্ন: ৪২ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের পরিধি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = ৪২ সে.মি.

আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি = ২πr
∴ বৃত্তের পরিধি = ২πr
= ২ × (২২/৭) × ৪২
= ২ × ২২ × ৬
= ২৬৪ সে.মি.

∴ বৃত্তের পরিধি ২৬৪ সে.মি.।

আমরা জানি, বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
বৃত্তের পরিধি = 2πr
প্রশ্নমতে, 2πr = πr²
∴ r = 2
∴ব্যাস = 4

দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
আবার, দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি দুই সমকোণ বা ১৮০ ডিগ্রি হলে একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যে কোনো বিন্দুর দূরত্বকে কী বলে?

সমাধান:
- বৃত্তের কেন্দ্র থেকে বৃত্তের কোনো বিন্দুর দূরত্বকে ঐ বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে।
- বৃত্তের পরিধির যে কোন দুই বিন্দুর সংযোজক সরল রেখাকে জ্যা বলে।
- বৃত্তের কোন জ্যা যদি কেন্দ্র দিয়ে যায় তবে তাকে ব্যাস বলে।
- বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।
- পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্যকে বলে বৃত্তের পরিধি।

বৃত্তের ব্যাস= 2r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস দ্বিগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 4r
∴ ব্যাসার্ধ = 2r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(2r)² = 4πr²
∴ 4 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

প্রশ্ন: ∠P = 3x + 15° এবং ∠Q = 2x + 15° পরস্পর সম্পূরক কোণ হলে, ∠P এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে:
∠P = 3x + 15° এবং ∠Q = 2x + 15°

আমরা জানি, দুটি কোণ পরস্পর সম্পূরক হলে তাদের সমষ্টি 180° হয়।
∴ ∠P + ∠Q = 180°
⇒ (3x + 15) + (2x + 15) = 180
⇒ 5x + 30 = 180
⇒ 5x = 180 - 30
⇒ 5x = 150
∴ x = 30

এখন, 
∠P = 3x + 15
= 3 × 30 + 15
= 90 + 15
= 105°

∴ ∠P এর মান = 105°

প্রশ্ন: রেখাংশের কতটি প্রান্তবিন্দু থাকে?

সমাধান:
- একটি রেখাতে দুইটি বিন্দু চিহ্নিত করে যে অংশ পাওয়া যায় তাকে রেখাংশ বলে।
- রেখাংশ উভয়দিকে সসীম বা সীমাবদ্ধ।
- রেখাংশের ২টি প্রান্তবিন্দু থাকে।

আমরা জানি, বৃত্তের সমীকরণ (x - h)² + (y - k)² = r²
যেখানে বৃত্তের কেন্দ্র (h, k) এবং ব্যাসার্ধ r
3x² + 3y² = 15
বা, x² + y² = (√5)²
√5 হল ব্যাসার্ধ।x² + y² = (√5)² হল বৃত্তের সমীকরণ