রেখা, কোণ ও বৃত্ত সম্পর্কিত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি পেন্টাগনের কোণগুলোর অনুপাত 9 : 10 : 12 : 14 : 15 হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের পার্থক্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
পঞ্চভুজ বা পেন্টাগনের পাঁচটি কোণের সমষ্টি = (2n - 4) × 90°
 = [(2 × 5) - 4] × 90° 
 = 6 × 90°
 = 540°

কোণগুলোের অনুপাতের সমষ্টি = (9 + 10 + 12 + 14 + 15)
= 60 

ক্ষুদ্রতম কোণ = (9/60) × 540° = 81° 
বৃহত্তম কোণ = (15/60) × 540° = 135° 
∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম কোণের সমষ্টি = 135° - 81° = 54°

দুইটি কোণের সমষ্টি ৯০° হলে একটিকে অপরটির পূরক কোণ বলে।
কোণটির মান x হলে,
x + x - 16 = 90
⇒ 2x = 106
∴ x = 53

প্রশ্ন: একটি বৃত্ত ও একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান। বর্গক্ষেত্রের বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত কত? 

সমাধান: 
একটি বৃত্ত ও একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = x
বৃত্তের ব্যাসার্ধ r 
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr² 
πr² = x
r² =x/π
r = √(x/π)

বর্গের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার 
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a²
x = a²
a = √x

বর্গক্ষেত্রের বাহু এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত = √x : √(x/π)
= 1 : 1/√π
= √π : 1

হেলানো তলের উচ্চতা = √(৩^২ + ৪^২) = ৫

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ 20% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল শতকরা কতটুকু বৃদ্ধি পায়?

সমাধান:
ধরি, ব্যাসার্ধ r একক।
ক্ষেত্রফল, A = πr² বর্গএকক।

ব্যাসার্ধ r এর 20% বৃদ্ধি পেলে নতুন ব্যাসার্ধ, r₁ = r × (1 + 20/100)
= r × (1 + 0.20)
= 1.2r একক।

তাহলে,
নতুন ক্ষেত্রফল, A₁ = πr₁² বর্গএকক
= π(1.2r)²
= 1.44πr² বর্গএকক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির পরিমাণ
= (1.44πr² - πr²)
= 0.44πr² বর্গএকক।

ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = (বৃদ্ধির পরিমাণ/ প্রাথমিক ক্ষেত্রফল) × 100%
= (0.44πr²/πr²) × 100%
= 0.44 × 100%
= 44%।

∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = 44%

বৃত্তের ব্যাস = 2r হলে এর ব্যসার্ধ হবে r
∴ বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²
ব্যাস তিনগুণ বৃদ্ধি পেলে হবে 6r
∴ ব্যাসার্ধ = 3r
∴ ঐ বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π(3r)² = 9πr²
∴ 9 গুণ বৃদ্ধি পাবে।

ধরি,
কোণটি a,
∴ তার পূরক কোণ 90° - a
শর্তমতে,
(90° - a) - a = 28°
বা, 90° - 2a = 28°
বা, 2a = 90° - 28°
বা, 2a = 62
∴ a = 31°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের পরিধি ও ক্ষেত্রফল যথাক্রমে 264 সেন্টিমিটার ও 5544 বর্গসেন্টিমিটার। বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
বৃত্তের পরিধি: 2πr = 264 সেন্টিমিটার .......................(1)
ক্ষেত্রফল: πr² = 5544 বর্গসেন্টিমিটার ....................(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং দ্বারা ভাগ করি,
(πr²)/(2πr) = 5544/264
⇒ r/2 = 21
⇒ r = 21 × 2
⇒ r = 42

∴ বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা = বৃত্তের ব্যাস = 2r = 2 × 42 = 84 সেন্টিমিটার

প্রশ্ন: 13 সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে 5 সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:

ধরি, বৃত্তের কেন্দ্র O এবং জ্যা AB।
কেন্দ্র O থেকে জ্যা AB-এর উপর লম্ব OD অঙ্কন করা হলো।

দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, OA = 13 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যার দূরত্ব, OD = 5 সে.মি.

আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
∴ AD = DB

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, △OAD সমকোণী ত্রিভুজে,
OA² = OD² + AD²
⇒ 13² = 5² + AD²
⇒ 169 = 25 + AD²
⇒ AD² = 169 − 25
⇒ AD² = 144
⇒ AD = 12 সে.মি.

∴ জ্যা AB = AD × 2 = 12 × 2 = 24 সে.মি.

প্রশ্ন: এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে কী কোণ বলে? 

সমাধান: 
- এক সমকোণ অপেক্ষা বড়, কিন্তু দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলা হয়।
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- দুইটি কোনের সমষ্টি 180° হলো, কোন দুইটির একটিকে অপরটির সম্পূরক কোণ বলে।

প্রশ্ন: কয়েকটি সমান্তরাল সরলরেখার সর্বোচ্চ কয়টি বিন্দুতে মিলিত হয়?

সমাধান:
 

সমান্তরাল রেখা সবসময় পরস্পর থেকে একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে অবস্থান করে। তাই তারা পরস্পর পরস্পরকে কখনো ছেদ করে না।
অর্থাৎ, নির্দিষ্ট কোনো বিন্দু নেই যেখানে সমান্তরাল রেখাসমূহ পরস্পরকে ছেদ করে।

প্রশ্ন: একটি অর্ধবৃত্তাকার জানালার ব্যাসার্ধ 21 সে.মি হলে জানালাটির পরিসীমা কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ব্যাসার্ধ, r = 21 সে.মি.

আমরা জানি,
অর্ধবৃত্তের পরিসীমা = বৃত্তের অর্ধ পরিধি + ব্যাস
= (2πr/2) + 2r
= πr + 2r
= {(22/7) × 21} + (2 × 21)
= (22 × 3) + 42
= 66 + 42
= 108 সে.মি । 

প্রশ্ন: দুটি বিন্দুকে সংযোগকারী সংক্ষিপ্ততম পথ কী নামে পরিচিত?

সমাধান:
- দুটি বিন্দুর মধ্যে সরলরেখার কোনো নির্দিষ্ট অংশই রেখাংশ।
- এটি দুই প্রান্তে সীমিত থাকে এবং এটি বিন্দু দুটি সংযোগকারী সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথ।

রেখাংশ:
- একটি রেখার উপর দুইটি ভিন্ন বিন্দু হলে ঐ বিন্দু দুইটিসহ তাদের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দুর সেটকে বিন্দু দুইটির সংযোজক রেখাংশ বলে।
- ভিন্ন বিন্দু দুইটিকে রেখাংশের প্রান্তবিন্দু বলে। আবার প্রান্তবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সকল বিন্দু ঐ রেখাংশের উপর অবস্থিত।
- অর্থাৎ, রেখাংশ হলো রেখার একটি সসীম অংশ। তাই রেখাংশের দুইটি প্রান্তবিন্দু থাকে।

• রেখা সম্পর্কিত কিছু গুরুত্বপূর্ণ তত্ত্ব:
- রেখার কোনো প্রান্তবিন্দুর নেই।
- রশ্মির একটি প্রান্তবিন্দু আছে।

ত্তের পরিধি = 2πr
বৃত্তের ব্যাস = 2r
বৃত্তের পরিধি : বৃত্তের ব্যাস = 2πr/2r = π = ২২/৭

প্রশ্ন: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্ত চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে কী বলে?

সমাধান:

সমকোণ: যদি একই রেখার উপর অবস্থিত দুটি সন্নিহিত কোণ পরস্পর সমান হয়, তবে কোণ দুটির প্রত্যেকটি সমকোণ বা 90°

সূক্ষ্মকোণ: এক সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।

স্থূলকোণ: এক সমকোণ অপেক্ষা বড় কিন্ত দুই সমকোণ অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।

প্রবৃদ্ধ কোণ: দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্ত চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।

প্রশ্ন: ΔABC এর একটি কোণ 35° এবং এর একবাহুর উপর বর্গের ক্ষেত্রফল অপর 2 বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান হলে অপর একটি কোণ কত ডিগ্রি হবে?

সমাধান:
শর্তানুসারে, ত্রিভুজটির এক বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল অপর দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।
অর্থাৎ, a² = b² + c²

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী, এই শর্তটি কেবল তখনই সত্য হয় যখন ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়।
সুতরাং, ত্রিভুজটির একটি কোণ অবশ্যই 90°

ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180°
দেওয়া আছে, একটি কোণ = 35°
আরেকটি কোণ = 90° (সমকোণ)

অতএব, অপর কোণটি হবে = 180° - (90° + 35°)
= 180° - 125°
= 55°

প্রশ্ন: একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ ৯০° হলে বৃত্তের পরিধিস্থ কোণ কত?

সমাধান:
আমরা জানি, বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ/বৃত্তস্থ কোণ কোণ কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক।
সুতরাং, পরিধিস্থ কোণ = (১/২) × কেন্দ্রস্থ কোণ
= (১/২) × ৯০°
= ৪৫°

• একটি বৃত্তের কেন্দ্রস্থ কোণ হলো বৃত্তের কেন্দ্রে উৎপন্ন কোণ, যার শীর্ষবিন্দু কেন্দ্রে থাকে।
• পরিধিস্থ/বৃত্তস্থ কোণ হলো বৃত্তের পরিধির উপর অবস্থিত কোনো বিন্দুতে উৎপন্ন কোণ, যার শীর্ষবিন্দু পরিধিতে থাকে।
• বৃত্তের জ্যামিতির একটি মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, একই চাপের উপর দণ্ডায়মান পরিধিস্থ কোণ সর্বদা কেন্দ্রস্থ কোণের অর্ধেক হয়।

প্রশ্ন: যদি একটি কোণ 12° বাড়ানো হয়, তাহলে নতুন কোণটি তার আগের পূরক কোণের সমান হয়। আসল কোণটি কত ছিল?

সমাধান:
ধরি, আসল কোণটি = x°
তাহলে তার পূরক কোণ = (90° - x)

প্রশ্নানুসারে,
আসল কোণ 12° বাড়ালে নতুন কোণ হয় = x + 12
এবং এই নতুন কোণ = আগের পূরক কোণের সমান। অর্থাৎ, 
∴ x + 12 = 90 - x
⇒ x + x = 90 - 12
⇒ 2x = 78
∴ x = 39

অতএব, আসল কোণটি ছিল 39° । 

এখানে, OA ⊥ AT এবং OB ⊥ BT [কেন্দ্র হতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত রেখা লম্ব হয়]
∠OAT = ∠OBT = 90°
ΔOAT এবং ΔOBT ত্রিভুজ দুটির ক্ষেত্রে অতিভুজ এবং লম্ব সমান। অর্থাৎ ত্রিভুজ দুটি সর্বসম।
ΔOAT এর ক্ষেত্রে,
∠OAT = 90°
এবং ∠ATO = 60°/2 = 30°
সুতরাং, ∠AOT = 60°
একইভাবে, ΔOBT এর ∠BOT = 60°
∴ ∠AOB = ∠AOT + ∠BOT = 120°

প্রশ্ন: 3 সে.মি. ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট বৃত্তের অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 3 সে.মি.
ব্যাস = 2 × 3 সে.মি. = 6 সে.মি.

ধরি,
বর্গক্ষেত্রের বাহু = a 
∴ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = a√2

আমরা জানি,
বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের কর্ণ = বৃত্তের ব্যাস
⇒ a√2 = 6
⇒ a = 6/√2

∴ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = a² 
= (6/√2)² 
= 36/2 
= 18 বর্গ সে.মি. 

- দুইটি সরল রেখা পরস্পর ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয়, এদের যেকোনো একটিকে তার বিপরীত কোণের বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- কোনো কোণের বাহুদ্বয়ের বিপরীত রশ্মিদ্বয় যে কোণ উৎপন্ন করে তাকে, বিপ্রতীপ কোণ বলে।
- দুটি সরলরেখা পরস্পর ছেদ করলে উৎপন্ন বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান হয়।
- তাই 37° কোণের বিপ্রতীপ কোণের পরিমাণ 37° হবে।

প্রশ্ন: ৬০° এর সম্পূরক কোণের ১/৪ অংশ এবং এর পূরক কোণের পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
কোণ = ৬০° 
∴ পূরক কোণ = ৯০° - ৬০° = ৩০° 

আবার, 
সম্পূরক কোণ = ১৮০° - ৬০° = ১২০°
∴ সম্পূরক কোণের ১/৪ = ৩০°

∴ পার্থক্য = ৩০° - ৩০°
= ০° ।

প্রশ্ন: ৩৫° কোণের পূরক কোণ কোনটি? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
দুইটি কোণের সমষ্টি এক সমকোণ বা ৯০° হলে, তাদের পূরক কোণ বলে। 
∴ পূরক কোণ = (৯০ - ৩৫)° 
= ৫৫° । 

প্রশ্ন: 180° < ∠A < 360° হলে, ∠A কোন ধরনের কোণ?

সমাধান:


১৮০° অপেক্ষা বড় এবং ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
অতএব, ∠A একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।

উল্লেখ্য-
- এক সমকোণ থেকে ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ বলে।
- এক সমকোণ থেকে বড় কিন্তু দুই সমকোণ থেকে ছোট কোণকে স্থূলকোণ বলে।
- দুই সমকোণ থেকে বড় কিন্তু চার সমকোণ থেকে ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
- যে কোণের পরিমাপ ৩৬০০ (চার সমকোণ) এর সমান, তাকে পূর্ণকোণ (Complete Angle) বলে।
- সমতলস্থ দুইটি সরলরেখা যদি পরস্পরকে কোথাও ছেদ না করে, তবে তাদেরকে পরস্পর সমান্তরাল রেখা বলে।
- সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দূরত্ব সব সময় সমান থাকে।

প্রশ্ন: ২৭০° কোণকে কী কোণ বলে?

সমাধান:
আমরা জানি,
- ৯০° অপেক্ষা ছোট কোণকে সূক্ষ্মকোণ (Acute Angle) বলে।
- ৯০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ১৮০° অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থূলকোণ (Obtuse Angle) বলে।
- ৯০° কোণকে সমকোণ (Right Angle) বলে।
- ১৮০° কোণকে সরলকোণ/সমরেখ কোণ (Straight Angle) বলে।
- ১৮০° অপেক্ষা বড় কিন্তু ৩৬০° অপেক্ষা ছোট কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ (Reflex Angle) বলে।
- ৩৬০° কোণকে সম্পূর্ণ কোণ (Full Angle) বলে, যেটা এক পূর্ণবৃত্ত ঘূর্ণন বোঝায়।

যেহেতু ২৭০° কোণটি ১৮০° এর চেয়ে বড় এবং ৩৬০° এর চেয়ে ছোট, তাই এটি একটি প্রবৃদ্ধ কোণ।