সরল ও দ্বিপদী অসমতা

প্রশ্ন: |2x + 5| < 7 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|2x + 5| < 7
⇒ - 7 < 2x + 5 < 7
⇒ - 7 - 5 < 2x + 5 - 5 < 7 - 5
⇒ - 12 < 2x < 2
⇒ -  6 < x < 1

∴ ‍x এর সর্বোচ্চ মান 1

প্রশ্ন: - 9 < s < 11 এর পরম মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 9 + 11)/2
= 2/2
= 1

এখন,
- 9 < s < 11
⇒ - 9 - 1 < s - 1 < 11 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 10 < s - 1 < 10
⇒ |s - 1| < 10

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |s - 1| < 10 ।

এখানে,
w > x, x > y, y > z
∴ w > x > y > z
∴ z < w

1/|x - 2| > 1/5 হলে |x - 2| < 5 এবং x ≠ 2
বা, -5 < x-2 < 5 এবং x ≠ 2
বা, -3 < x < 7 এবং x ≠ 2
∴ x = (-3, 2)∪(2, 7)

প্রশ্ন: 5 - 2x ≥ 3x + 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5 - 2x ≥ 3x + 1
⇒ - 2x - 3x ≥ - 5 + 1
⇒ - 5x ≥ - 4
⇒ 5x ≤ 4 [অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ]
∴ x ≤ 4/5

প্রশ্ন: ছেলের বয়স বাবার বয়সের 1/5 অংশ। মা বাবার চেয়ে 5 বছরের ছোট। তাদের তিনজনের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধ্ব 83 বছর হলে, বাবার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান:
ধরি, বাবার বয়স = x বছর
ছেলের বয়স = x/5 বছর
মায়ের বয়স = (x - 5) বছর

প্রশ্নমতে,
x + x/5 + (x - 5) ≤ 83
⇒ 2x + x/5 ≤ 83 + 5
⇒ (10x + x)/5 ≤ 88
⇒ 11x/5 ≤ 88
⇒ 11x ≤ 88 × 5
⇒ 11x ≤ 440
⇒ x ≤ 440/11
⇒ x ≤ 40

অতএব, বাবার বয়স ≤ 40 বছর

প্রশ্ন: |4x - 2| < 10 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
|4x - 2| < 10
(4x - 2) ধনাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় = (4x - 2) < 10 
⇒ 4x - 2 + 2 < 10 + 2 
⇒ 4x < 12 
∴ x < 3 

আবার,
(4x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় = (4x - 2) > - 10
⇒ 4x - 2 + 2 > - 10 + 2 
⇒ 4x > - 8 
∴ x > - 2 

∴ অসমতাটির সমাধান = - 2 < x < 3  । 

যেহেতু, 0 < x < 1
সুতরাং মনে করি, x = 0.5
x = 0.5
x² = 0.25
x³ = 0.125
1/x = 1/0.5 = 2
1/x² = 1/0.25 = 4

∴ 1/x² > 1/x > x > x² > x³
অর্থ্যাৎ, প্রদত্ত অপশনগুলোর মধ্যে 1/x² সবচেয়ে বড়।

y < 6 তাই y এর মান সকল ঋণাত্মক সংখ্যা এবং 6 এর চেয়ে ছোট। অর্থাৎ, 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2 ... ...
এবং x এর মান 0, 1, 2, 3, 4, 5

এখানে, xy এর সর্বোচ্চ মান 5 × 5 = 25 হতে পারে। বাকী অপশনগুলো ২৫ এর চেয়ে বড়।

প্রশ্ন: - 2 < z <10 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করলে কী হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (10 - 2)/2
= 8/2
= 4

এখন,
- 2 < z < 10
⇒ - 2 - 4 < z - 4 < 10 - 4
⇒ - 6 < z - 4 < 6
⇒ |z - 4| < 6

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |z - 4| < 6

প্রশ্ন: x² - 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x - 10 > 0
⇒ x² - 5x + 2x - 10 > 0
⇒ x(x - 5) + 2(x - 5) > 0
∴ (x - 5)(x + 2) > 0
দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয়।

∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, - 2) ∪ (5, + ∞)

প্রশ্ন: a ≤ (a/2) + 4 এর সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a ≤ (a/2) + 4
⇒ 2a ≤ 2{(a/2) + 4}
⇒ 2a ≤ a + 8
⇒ 2a - a ≤ a + 8 - a
⇒ a ≤ 8

নির্নেয় সমাধান: a ≤ 8

প্রশ্ন: - 3 < x < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করুন।

সমাধান:
এখানে,
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 3 + 5)/2
= 2/2
= 1

এখন,
- 3 < x < 5
⇒ - 3 - 1 < x - 1 < 5 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 1 < 4
⇒ |x - 1| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 1| < 4

প্রশ্ন: |2x - 3| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
(2x - 3) ধনাত্মক হলে, 
2x - 3 < 7 
⇒ 2x - 3 + 3 < 7 + 3
⇒ 2x < 10
∴ x < 5

আবার,
(2x - 3) ঋণাত্মক হলে, 
- (2x - 3) < 7 
⇒ (2x - 3) > - 7
⇒ 2x - 3 + 3 > - 7 + 3
⇒ 2x >- 4
∴ x > - 2

∴ নির্ণেয় অসমতা  = - 2 < x < 5  । 

প্রশ্ন: - 3 < x < 7 হলে, পরম মান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটি প্রকাশ করুন।

সমাধান:
এখানে, অসমতাটির নিম্নসীমা = - 3 এবং উর্ধ্বসীমা = 7

∴ গড় বা মধ্যবিন্দু = (- 3 + 7)/2 = 4/2 = 2

এখন অসমতাটিকে মধ্যবিন্দুর সাপেক্ষে লিখয়ে পাই, 
- 3 < x < 7
⇒ - 3 - 2 < x - 2 < 7 - 2   [উভয় পাশ থেকে 2 বিয়োগ করি]
⇒ - 5 < x - 2 < 5

এটি পরম মানের সাহায্যে লিখলে হয় = |x - 2| < 5

a > b হলে a - b > 0
∴ ax - bx > 0
বা, x(a - b) > 0
∴ x > 0 [কারণ, a - b > 0]

প্রশ্ন: - 8 < x < 2 এর পরম মান কত? 

সমাধান: 
- 8 < x < 2 
বা, - 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3 
বা, - 5 < x + 3 < 5 
∴ |x + 3| < 5

আমরা জানি, 
কোনো অসমতার উভয় পক্ষে কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়। 
'>' চিহ্ন হবে '<' এবং '<' চিহ্ন হবে '>'

দেওয়া আছে 
z<০, z ঋনাত্বক 
 তা হ্বলে x>y এর সাথে z গুণ করলে xz<yz হবে।

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

প্রশ্ন: 5 ≤ 3x + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
5 ≤ 3x + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3x + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3x < 15
= 4/3 ≤ x < 15/3
= 4/3 ≤ x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

প্রশ্ন: । a - 3 । ≤ 9 হলে, a এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
। a - 3 । ≤ 9
⇒ - 9 ≤ a - 3 ≤ 9
⇒ - 9 + 3 ≤ a - 3 + 3 ≤ 9 + 3
⇒ - 6 ≤ a ≤ 12

অতএব, a এর সর্বনিম্ন মান - 1

x² - 3x - 10 > 0
(x - 5)(x + 2) > 0
দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।
∴ নির্ণেয় সমাধান = (-∞, -2) ∪ (5, +∞)

|x - 5| < 6
বা, -6 < x - 5 < 6
বা, -6 + 5 < x-5 + 5 < 6 + 5
বা, -1 < x < 11

প্রশ্ন: |2x + 5| > 3 অসমতাটির সমাধান করুন-

সমাধান:
প্রদত্ত, |2x + 5| > 3
অর্থাৎ,
2x + 5 > 3 অথবা 2x + 5 < - 3

প্রথম ক্ষেত্রে, 
2x + 5 > 3
⇒ 2x > 3 - 5
⇒ 2x > - 2
⇒ x > - 1

দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, 
2x + 5 < - 3
⇒ 2x < - 8
⇒ x < - 4

অতএব, অসমতা সত্য হবে যখন x < - 4 অথবা x > -1

|x - 1| < 3
বা, -3 < x-1 < 3
বা, -3 + 1 < x-1 + 1 < 3+1
∴ -2 < x < 4
অর্থাৎ x = (-2,4)

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ x² + 2x - 15 > 0
⇒ x² + 5x - 3x - 15 > 0
⇒ x(x + 5) - 3(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 3) > 0
এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 5 এবং x = 3।
 
(x + 5)(x - 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন
উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 3) অথবা উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 5)।
অর্থাৎ, x < - 5 অথবা x > 3।
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 5) ∪ (3, ∞)।

প্রশ্ন: {1/।2p - 7।} > (1/5) হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
1/।2p - 7। > 1/5
⇒ ।2p - 7। < 5
⇒ - 5 < 2p - 7 < 5
⇒ - 5 + 7 < 2p - 7 + 7 < 5 + 7
⇒ 2 < 2p < 12
∴ 1 < p < 6

প্রশ্ন: x > y এবং z < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)

(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।

(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz

b² - 4ac
= (-5)² - 4 × 1 × 6
= 1
যেহেতু, নিশ্চায়ক পূর্ণবর্গ ও ধনাত্মক সংখ্যা তাই মুলদ্বয় বাস্তব, মুলদ ও অসমান।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: 7- 3x ≤ 2(3 - 2x) + 5 অসমতাটির সমাধান করুন-

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
7- 3x ≤ 2(3 - 2x) + 5
⇒ 7 - 3x ≤ 6 - 4x + 5 
⇒ 7 - 3x ≤ 11 - 4x
⇒ 4x - 3x ≤ 11 - 7
∴ x ≤ 4

ব্যবধি আকারে: (- ∞, 4]

প্রশ্ন: 4(s + 2) > 3s + 8 হলে, অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
4(s + 2) > 3s + 8
⇒ 4s + 8 > 3s + 8
⇒ 4s - 3s > 8 - 8 
∴ s > 0

প্রশ্ন: Ιx - 2Ι < 4 হলে-

সমাধান: 
Ιx - 2Ι < 4
বা, - 4 < x - 2 < 4
বা, - 4 + 2 < x - 2 + 2 < 4 + 2
∴ - 2 < x < 6

প্রশ্ন: যদি |x + 5| ≤ 11 হয়, তবে x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x + 5| ≤ 11
⇒ - 11 ≤ |x + 5| ≤ 11
⇒ - 11 - 5 ≤ x + 5 - 5 ≤ 11 - 5      [উভয়পক্ষে - 5 যোগ করে]
∴ - 16 ≤ x ≤ 6

এখানে,
x এর সর্বনিম্ন মান = - 16
এবং x এর সর্বোচ্চ মান = 6

প্রশ্ন: |3x - 6| < 9 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|3x - 6| < 9
⇒ - 9 < 3x - 6 < 9
⇒ - 9 + 6 < 3x < 9 + 6
⇒ - 3 < 3x < 15
∴ - 1 < x < 5

x - y > 0 হলে ,
x > y
∴ -x < -y
যেমন,
x = 5,
y = 3 হলে।
5 - 3 = 2 > 0
∴ 5 > 3 এবং -5 < -3

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 4 হলে, x-এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 4
বা, - 4 ≤ x + 3 ≤ 4
বা, - 4 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 4 - 3
বা, - 7 ≤ x ≤ 1
∴ x-এর সর্বনিম্ন মান = - 7

x² - x - 20 > 0
বা, (x - 5)(x + 4) > 0

সংখ্যারেখা থেকে পাই,
x < -4 অথবা x > 5

প্রশ্ন: x² - x - 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - x - 12 > 0
x² - 4x + 3x - 12 > 0
x(x - 4) + 3(x - 4) > 0
(x - 4)(x + 3) > 0

অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 3 এবং x = 4

(x - 4)(x + 3) > 0-এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন:
• উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (x > 4) অথবা
• উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (x < - 3)

অর্থাৎ, x < - 3 অথবা x > 4

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 3) ∪ (4, ∞)

প্রশ্ন: x² + 6x - 27 < 0 অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
⇒ x² + 6x - 27 < 0

এখন, 
⇒ x² + 9x - 3x - 27 = 0
⇒ x(x + 9) - 3(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x - 3) = 0
হয়, (x + 9) = 0
∴ x = - 9

এবং, (x - 3) = 0
∴ x = 3

অসমতাটি হলো  x² + 6x - 27 < 0 যেহেতু এটি একটি দ্বিঘাত অসমতা, এর সমাধানটি মূল দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী অঞ্চলে অবস্থিত হবে। অর্থাৎ, x এর মান - 9 এবং 3 এর মধ্যে থাকবে।  

সুতরাং, সমাধান সেট =  (- 9, 3)

বিকল্প সমাধান:
যদি x = - 10 হয়, তাহলে (- 10)² + 6(- 10) - 27  = 100 - 60 - 27 = 13 > 0
যদি x = 0 হয়, তাহলে (0)² + 6(0) - 27  = 0 - 0 - 27 = - 27 < 0
যদি x = 4 হয়, তাহলে (4)² + 6(4) - 27  = 16 + 24 - 27 = 13 > 0

সুতরাং, সমাধান সেটটি (-9, 3) এর মধ্যে অবস্থিত।

প্রশ্ন: 3x + 2 > 5x - 6 এর সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
3x + 2 > 5x - 6
⇒ 3x + 2 - 5x + 6 > 0
⇒ - 2x + 8 > 0
⇒ - 2x > - 8
⇒ - x > - 4
∴ ‍x < 4