সরল ও দ্বিপদী অসমতা

প্রশ্ন: |2x - 3| ≤ 7 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 |2x - 3| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ 2x - 3 ≤ 7
⇒ - 7 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 7 + 3 ; [উভয় পাশে 3 যোগ করি] 
⇒ - 4 ≤ 2x ≤ 10 
⇒ - 4/2 ≤ 2x/2 ≤ 10/2 ; [উভয় পাশে 2 দ্বারা ভাগ করি] 
⇒ - 2 ≤ x ≤ 5

সুতরাং সমাধান - 2 ≤ x ≤ 5

একজন পরীক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর 0 হতে পারে,
100 হতে পারে অথবা 0 থেকে 100 এর মধ্যবর্তী যেকোন সংখ্যা হতে পারে।
∴ 0 ≤ x ≤ 100

প্রশ্ন: x² − 2x − 15 > 0 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান: 
x² − 2x − 15 > 0
⇒ x² − 5x + 3x − 15 > 0
⇒ x(x − 5) + 3(x − 5) > 0
⇒ (x − 5)(x + 3) > 0 ............... (1) 

(1) সত্য হবে যদি (x − 5), (x + 3) উভয়েই ধনাত্মক হয়।
x − 5 > 0
∴ x > 5

এবং
x + 3 > 0
∴ x > − 3

আবার, 
(1) সত্য হবে যদি (x − 5), (x + 3) উভয়েই ঋণাত্মক হয়।
x − 5 < 0
∴ x < 5

এবং
x + 3 < 0
∴ x < − 3

কিন্তু, 
− 3 < x < 5 এর জন্য 
(x − 5)(x + 3) এর মান ঋণাত্মক হয় যা গ্রহণযোগ্য নয়। 

∴ x এর সঠিক মান হবে x > 5 অথবা x < − 3
∴ নির্ণেয় সেট S = {x : x > 5 অথবা x < − 3} । 

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে রোজ 4x কেজি চাল এবং (x - 3) কেজি ডাল লাগে এবং চাল ও ডাল মিলে 42 কেজির বেশি লাগে না।তাহলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
দৈনিক মোট চাল + ডাল ≤ 42 কেজি
⇒ 4x + (x - 3) ≤ 42
⇒ 5x - 3 ≤ 42
⇒ 5x ≤ 45
⇒ x ≤ 9
সঠিক অসমতা x ≤ 9
​অর্থাৎ, x সর্বোচ্চ 9 হতে পারে।

প্রশ্ন: 4a + 6 ≥ 2a - 8 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
4a + 6 ≥ 2a - 8
⇒ 4a - 2a + 6 ≥ - 8
⇒ 2a + 6 ≥ - 8
⇒ 2a ≥ - 8 - 6
⇒ 2a ≥ - 14
⇒ a ≥ - 7

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 12 < x < - 2

সমাধান:
- 12 < x < - 2
∴ গড় = {(- 12) + (- 2)}/2
= - 14/2
= - 7

∴ - 12 + 7 < x + 7 < - 2 + 7
⇒ - 5 < x + 7 < 5
⇒ ।x + 7। < 5

|2x - 1| < 5
বা, -5 < 2x - 1 < 5
বা, -5 + 1 < 2x - 1 + 1 < 5 + 1
বা, -4 < 2x < 6
বা, -2 < x < 3
∴ x = (-2, 3)

|x| < 5 হলে -5 < x < 5

যেহেতু, 0 < x < 1
ধরি, x = 1/5
∴ 1/x = 5
∴ 1/x³ = 125 যা বৃহত্তর।

 xy < 0 অর্থাৎ দুইটি সংখ্যার গুণফল 0 থেকে ছোট। সুতরাং এর একটি সংখ্যা ধনাত্বক এবং অপরটি ঋণাত্বক। যেহেতু x < 0 অর্থাৎ x এর মান ঋণাত্বক, সেহেতু y এর মান অবশ্যই ধনাত্বক হবে; অর্থাৎ, y > 0।
আবার z > 0 অর্থাৎ z এর মান ধনাত্বক।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, xz < yz সঠিক।
y < xz এবং xyz > 0 সঠিক নয়।

দেওয়া আছে, (a - b)/3.5 = 4/7
বা, a - b = (4 × 3.5)/7
বা, a - b = 2
বা, a = 2 + b
সুতরাং, b < a

প্রশ্ন: - 6 ≤ 3x + 3 < 27 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 6 ≤ 3x + 3 < 27
⇒ - 6 - 3 ≤ 3x < 27 - 3
⇒ - 9 ≤ 3x < 24
⇒ - 9/3 ≤ x < 24/3
⇒ - 3 ≤ x < 8

∴ সমাধান সেট = [- 3, 8)

উল্লেখ্য,
'[' এবং '(' চিহ্ন দুটি গণিতে ব্যবধি (Interval) বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে '[' মানে অন্তর্ভুক্ত (Inclusive) এবং '(' মানে অন্তর্ভুক্ত নয় (Exclusive)। 
[-3, 8) হলো একটি ব্যবধি (Interval), যা দিয়ে বোঝানো হয় যে, x-এর মান -3 এর সমান অথবা তার চেয়ে বড় (x ≥ - 3) কিন্তু 8 এর চেয়ে ছোট (x < 8)।

|3 - x| < 6
বা, -6 < 3-x < 6
বা, -6-3 < 3-x-3 < 6-3
বা, -9 < -x < 3
∴ -3 < x < 9

প্রশ্ন: - 2a + 5 < 19 হলে, a এর মান কত?

সমাধান: 
- 2a + 5 < 19
⇒ - 2a < 19 - 5
⇒ - 2a < 14
⇒ a > - (14/2)
∴ a > - 7

a = 1, b = 2 ও c = 3 হলে,
a + c > b
a > b-c
1 > 2-3 = 1 > -1
এই শর্তটিই সত্য, বাকিগুলো শর্তপূরন করে না।

এখানে,
x = .5 হলে,
x² = 0.25 এবং x³ = 0.125
∴ x³ < x² < x

1/|x - 1| ≥ 1/2
বা, |x - 1| ≤ 2; [x - 1 ≠ 0]
বা, -2 ≤ x - 1 ≤ 2; [x ≠ 1]
বা, -2 + 1 ≤ x ≤ 2 + 1; [x ≠ 1]
বা, -1 ≤ x ≤ 3; [x ≠ 1]

∴ x = [-1, 1) ∪ (1, 3]

3/x + 4/(x + 1) = 2
বা, (3x + 3 + 4x)/(x(x + 1)) = 2
বা, 7x + 3 = 2x² + 2x
বা, 2x² - 5x - 3 = 0
বা, 2x² - 6x + x - 3 = 0
বা, (x - 3)(2x + 1) = 0
হয়
বা, x - 3 = 0
x = 3
অথবা
বা, 2x + 1 = 0
x = - 1/2
নির্ণেয় সমাধান সেট = {3, -1/2}

প্রশ্ন: 6q - 9 < 3 এবং q বাস্তব সংখ্যা হলে, q এর মানের পরিসীমা হচ্ছে:

সমাধান:
6q - 9 < 3
⇒ 6q < 3 + 9
⇒ 6q < 12
⇒ q < 12/6
∴ q < 2

অর্থাৎ, q ∈ (- ∞, 2)

x < 8 এবং 2x - y = 7
বা, y = 2x - 7 < 16 - 7 = 9
∴ y < 9
x + y < 17 < 18

এখানে ধরি, z = -2 < 0 (যেকোনো ঋণাত্মক মান হতে পারে)
তাহলে x = -2 ধরা যায়, যেহেতু xz > 0 (এটাও যেকোনো ঋণাত্মক মান হতে পারে)
তাহলে ধরি, y = 1, যেহেতু xy < 0 (যেহেতু x ঋনাত্মক, সেহেতু y অবশ্যই ধণাত্মক) 
সুতরাং y > 0 এবং x < 0

2x² - 5x + 3 < 0
বা, 2x² - 3x - 2x + 3 < 0
বা, x(2x-3) - 1(2x-3) < 0
বা, (2x-3)(x-1) < 0

সংখ্যারেখা থেকে পাই,
1 < x < 3/2

প্রশ্ন: |1 - 2x| < 1 এর সমাধান -

সমাধান:
|1 - 2x| < 1
⇒ - 1 < 1 - 2x < 1
⇒ - 1 - 1 < 1 - 2x - 1 < 1 - 1
⇒ - 2 < - 2x < 0
⇒ 1 > x > 0
⇒ 0 < x < 1

∴ নির্ণেয় সমাধান: 0 < x < 1

প্রশ্ন: 2x + 3y + 4 = 0 রেখার ঢাল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
y = mx + c দ্বারা সরলরেখা বুঝায় যেখানে, ঢাল m এবং y অক্ষের ছেদাংশ c.

এখন, 
2x + 3y + 4 = 0 
বা, 3y = - 2x - 4 
বা, y = (- 2/3)x - 4/3 
সমীকরণটিকে y = mx + c এর সাথে তুলনা করে পাই, 
m = - 2/3 

∴ প্রদত্ত রেখার ঢাল = - 2/3   । 

প্রশ্ন: |x - 5| ≤ 12 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|x - 5| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ x - 5 ≤ 12
⇒ - 12 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 12 + 5
⇒ - 7 ≤ x ≤ 17

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 17

x + y > 16...........(1)
x - y > 2...............(2)
(1) নং + (2) নং দ্বারা পাই,
2x > 18
∴ x > 9

- 7 <2x +3<7
⇒ -10<2x<4
⇒ -5<x<2
∴নির্ণেয় সমাধান সেট S = {x∈R : -5<x<2}

প্রশ্ন: p² - 8p + 15 < 0 হলে, p এর মান হবে:

সমাধান:
p² - 8p + 15 < 0
⇒ p² - 5p - 3p + 15 < 0
⇒ p(p - 5) - 3(p - 5) < 0
⇒ (p - 5)(p - 3) < 0

উপরের গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে যদি একটি উৎপাদক ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক হয়। অর্থাৎ, p এর মান 3 ও 5 এর মাঝখানে হবে।

অর্থাৎ 3 < p < 5

x < 0
∴ x³ < 0
বা, 1/x³ < 0

প্রশ্ন: x² - 5x + 6 ≤ 0 এর সমাধান সেট -

সমাধান:
x² - 5x + 6 ≤ 0
⇒ x² - 2x - 3x + 6 ≤ 0
⇒ x(x - 2) - 3(x - 2) ≤ 0
∴ (x - 2)(x - 3) ≤ 0

x² - 5x + 6 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 2 ≤ 0 এবং x - 3 ≥ 0 হয়।
এখন, x - 2 ≤ 0 এবং x - 3 ≥ 0
অর্থাৎ, x ≤ 2 এবং x ≥ 3
2 এর চেয়ে ছোট বা সমান এবং 3 এর চেয়ে বড় বা সমান x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার, x² - 5x + 6 ≤ 0 সত্য হবে যদি x - 2 ≥ 0 এবং x - 3 ≤ 0 হয়।
এখন, x - 2 ≥ 0 এবং x - 3 ≤ 0
অর্থাৎ x ≥ 2 এবং x ≤ 3
x এর মান 2 এর চেয়ে বড় বা সমান এবং 3 এর চেয়ে ছোট বা সমান।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে।

সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: 2 ≤ x ≤ 3
x² - 5x + 6 ≤ 0 এর সমাধান সেট [2, 3]

ধরি,
x = 5,
y = 7,
z = -2
∴ xz = -10,
yz = -14
∴ -14 < -10
বা, -10 > -14
∴ zx > yz