সরল ও দ্বিপদী অসমতা

PrepBank · পাতা ৬ / ১২ · ৫০১–৬০০ / ১,১৬১

৫০১.

| 2x + 4 | < 7 প্রদত্ত অসমতাটিতে মোট কতটি পূর্ণসংখ্যা থাকতে পারে?

ক
4টি
খ
7টি
গ
5টি
ঘ
6টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: | 2x + 4 | < 7 প্রদত্ত অসমতাটিতে মোট কতটি পূর্ণসংখ্যা থাকতে পারে?

সমাধান:
| 2x + 4 | < 7
⇒ - 7 < 2x + 4 < 7
⇒ - 7 - 4 < 2x + 4 - 4 < 7 - 4
⇒ - 11 < 2x < 3
⇒ -11/2 < 2x/2 < 3/2
⇒ - 5.5 < x < 1.5

∴ পূর্ণ সংখ্যা আছে ৭ টি (- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1)

৫০২.

- 7 < 3x + 2 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
[- 5, 3]
খ
(- 1, 5]
গ
(- 3, 3]
ঘ
[- 6, 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 7 < 3x + 2 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 7 < 3x + 2 ≤ 11
⇒ - 7 - 2 < 3x + 2 - 2 ≤ 11 - 2
⇒ - 9 < 3x ≤ 9
⇒ - 9/3 < x ≤ 9/3
⇒ - 3 < x ≤ 3

∴ অসমতাটির সমাধান = (- 3, 3]

৫০৩.

|2x - 3| < 1 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

ক
- 1 < x < 3
খ
1 < x < 2
গ
x ≤ 1 অথবা x ≥ 2
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x - 3| < 1 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x - 3| < 1
⇒ - 1 < 2x - 3 < 1
⇒ - 1 + 3 < 2x - 3 + 3 < 1 + 3
⇒ 2 < 2x < 4
⇒ 1 < x < 2

৫০৪.

{1/|3x + 2|} ≥ (1/4) অসমতাটির সমাধান সেট কত?

ক
{x ∈ R : - 4 ≤ x ≤ 1/3}
খ
{x ∈ R : - 2 ≤ x ≤ 2/3}
গ
{x ∈ R : - 2/3 ≤ x ≤ 5/4}
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {1/|3x + 2|} ≥ (1/4) অসমতাটির সমাধান সেট কত?

সমাধান:
1/|3x + 2| ≥ 1/4
⇒ |3x + 2| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ 3x + 2 ≤ 4
⇒ - 4 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 4 - 2
⇒ - 6 ≤ 3x ≤ 2
⇒ - 6/3 ≤ 3x/3 ≤ 2/3
⇒ - 2 ≤ x ≤ 2/3

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : - 2 ≤ x ≤ 2/3}

৫০৫.

যদি x > y হয়, তবে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

ক
1/x > 1/y
খ
1/x < 1/y
গ
1/x = 1/y
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x > y হয় তবে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
x > y
⇒ 1/x < 1/y [ব্যস্তানুপাত করে]

৫০৬.

কোনটি সত্য নয়?

ক
ক) a > b যদি ও কেবল যদি (a - b) > 0
খ
খ) a < b যদি ও কেবল যদি (a - b) < 0
গ
গ) a > b হলে, যে কোনো c এর জন্য a + c > b + c এবং a - c > b - c
ঘ
ঘ) a > b হলে, যে কোনো c এর জন্য ac > bc এবং a/c > b/c যখন c < 0

ব্যাখ্যা

a > b হলে, যে কোনো c এর জন্য ac > bc এবং a/c > b/c যখন c < 0 সত্য নয়।
a > b হলে, যে কোনো c এর জন্য ac < bc এবং a/c < b/c যখন c < 0 এই তথ্যটি সঠিক।

৫০৭.

সমাধান করুন: |5 - x| > 11

ক
x < - 4 অথবা x > 12
খ
x < - 3 অথবা x > 11
গ
x < - 6 অথবা x > 16
ঘ
x < - 7 অথবা x > 15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |5 - x| > 11

সমাধান:
এখন, (5 - x) > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, 5 - x > 11
⇒ - x > 11 - 5
⇒ - x > 6
⇒ x < - 6 [ -1 দ্বারা গুণ করে ]

আবার, (5 - x) < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, - (5 - x ) > 11
⇒ 5 - x < - 11 [ -1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 5 - x - 5 < - 11 - 5
⇒ - x < - 16
⇒ x > 16

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 6 অথবা x > 16

৫০৮.

12 - 4x ≥ 3x + 26 অসমতার সমাধান কোনটি?

ক
(- ∞, - 2]
খ
[- 2, ∞)
গ
(- ∞, 2)
ঘ
[- 4, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 - 4x ≥ 3x + 26 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
12 - 4x ≥ 3x + 26
⇒ - 4x - 3x ≥ 26 - 12
⇒ - 7x ≥ 14
⇒ x ≤ 14/(- 7) [ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x ≤ - 2

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 এর সমান বা তার চেয়ে ছোট সকল বাস্তব সংখ্যা এই অসমতার অন্তর্ভুক্ত।

৫০৯.

4x + 3 < 2x + 9 এর সমাধান কোনটি?

ক
[0, 3)
খ
(- ∞, 3)
গ
{3, 0}
ঘ
(3, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x + 3 < 2x + 9 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
4x + 3 < 2x + 9
⇒ 4x - 2x < 9 - 3
⇒ 2x< 6
⇒ x < 3

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (- ∞, 3)

৫১০.

x² - 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
ক) (-∞, -2) ∪ (+5, +∞)
খ
খ) (∞, 2) ∪ (-5, -∞)
গ
গ) (-∞, -2) ∪ (-5, -∞)
ঘ
ঘ) (∞, 4) ∪ (5, +∞)

ব্যাখ্যা

x² - 3x - 10 > 0
(x - 5)(x + 2) > 0
দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।
∴ নির্ণেয় সমাধান = (-∞, -2) ∪ (5, +∞)

৫১১.

x² - 5x + 6 > 0 হলে কোনটি সত্য?

ক
2 < x < 3
খ
x < 2 অথবা x > 3
গ
2 > x > 3
ঘ
x > 2 অথবা x < 3

ব্যাখ্যা

x² - 5x + 6 > 0 বা, (x - 3)(x - 2) > 0

পাশের সংখ্যা রেখা অনুসারে x<2 অথবা x>3 হলে অসমতাটি সত্য হয়।
∴ সমাধান x<2 অথবা x>3

৫১২.

অসমতাটির জন্য x এর সমাধান কোনটি হবে?

ক
x < 1 অথবা x > 4
খ
x > 1 অথবা x < 4
গ
x < 1 অথবা x < 4
ঘ
1 < x < 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
অসমতাটির জন্য x এর সমাধান কোনটি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,

বা, |2x - 5| > 3

এখন,
(2x - 5) ধনাত্মক হলে,
2x - 5 > 3
⇒ 2x - 5 + 5 > 3 + 5
⇒ 2x > 8
⇒ x > 8/2
⇒ x > 4

আবার,
(2x - 5) ঋণাত্মক হলে,
- (2x - 5) > 3
⇒ 2x - 5 < - 3
⇒ 2x - 5 + 5 < - 3 + 5
⇒ 2x < 2
⇒ x < 2/2
⇒ x < 1

সুতরাং x < 1 অথবা x > 4

৫১৩.

1/।2x - 5। > 2 হলে, অসমতাটির সমাধান কত হবে?

ক
ক) - 9/2 < x < 13/2
খ
খ) 9/2 < x < 11/2
গ
গ) 9/4 < x < 11/4
ঘ
ঘ) - 9/8 < x < 11/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/।2x - 5। > 2 হলে, অসমতাটির সমাধান কত হবে?

সমাধান:
1/।2x - 5। > 2
বা, ।2x - 5। < 1/2
বা, - 1/2 < 2x - 5 < 1/2
বা, (- 1/2) + 5 < 2x - 5 + 5 < (1/2) + 5
বা, (- 1 + 10)/2 < 2x < (1 + 10)/2
বা, 9/2 < 2x < 11/2
বা, 9/(2 × 2) <2x/2 <11/(2× 2)
9/4 < x < 11/4

৫১৪.

বাস্তব সংখ্যায় 1/(2x - 5)< 1/2 অসমতাটির সমাধান-

ক
ক) 3/2 < x < ∞
খ
খ) -7/2 < x < ∞
গ
গ) 7/2 < x < ∞
ঘ
ঘ) -5/3 < x < ∞

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় 1/(2x - 5)< 1/2 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
1/(2x - 5)< 1/2
⇒ 2x - 5 > 2
⇒ 2x - 5 + 5 > 2 + 5
⇒ 2x > 7
⇒ x > 7/2

∴ 7/2 < x < ∞

৫১৫.

যদি 6 - 4x ≤ 14 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
ক) x ≤ 2
খ
খ) x ≥ - 2
গ
গ) x ≤ -2
ঘ
ঘ) x ≥ 2

ব্যাখ্যা

6 - 4x ≤ 14
বা, -4x ≤ 8
বা, x ≥ - 2

৫১৬.

3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
[1, ∞)
খ
(1, ∞)
গ
[1/2, ∞)
ঘ
[-1, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 2 > 2x - 1
⇒ 3x - 2x > 2-1
⇒ x > 1
বুঝা যাচ্ছে সমধান হচ্ছে, x, 1 এর চেয়ে বড় যেকোনো সংখ্যা। অর্থাৎ, ২ থেকে অসীম পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা। এখন এটা আমাদেরকে সংকেত দিয়ে প্রকাশ করতে হবে।
(12, ∞) এটা আমাদের সমধানকে আংশিকভাবে সিদ্ধ করে কিন্তু এটা পূর্ণাঙ্গ সমধানের প্রকাশ নয়।

২টা অপশন আমাদের সম্ভাব্য উত্তর, [1,∞), (1,∞)
[1,∞) - এটার মানে হচ্ছে ১ থেকে অসীম পর্যন্ত। [ দেয়ার কারণে ১ সমাধানে ধরতে হবে।
(1,∞) - এটার মানে হচ্ছে ২ থেকে অসীম পর্যন্ত। ( দেয়ার কারণে ১ সমাধানে ধরা হবে না।
∴ সমাধান সেট (1, ∞)

৫১৭.

2 < a < 8 হলে, নিচের কোনটি সত্য হবে?

ক
। a - 3। < 4
খ
। a - 6। < 2
গ
। a - 4। > 3
ঘ
। a - 5। < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 < a < 8 হলে, নিচের কোনটি সত্য হবে?

সমাধান:
গড় = (8 + 2)/2
= 5
গড় ধনাত্মক হওয়ায় উভয় দিক হতে 5 বিয়োগ করতে হবে।

2 < a < 8
⇒ 2 - 5 < a - 5 < 8 - 5
⇒ - 3 < a - 5 < 3
∴ । a - 5। < 3

৫১৮.

।5a - 3। < 4 এর সমাধান কত?

ক
(- 1/5) < a < (7/5)
খ
(- 1/3) < a < (7/5)
গ
(- 1/5) < a < (5/3)
ঘ
(- 1/5) < a < (2/5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।5a - 3। < 4 এর সমাধান কত?

সমাধান:
।5a - 3। < 4
⇒ - 4 < 5a - 3 < 4
⇒ - 4 + 3 < 5a - 3 + 3 < 4 + 3
⇒ - 1 < 5a < 7
⇒ - 1/5 < 5a/5 < 7/5
⇒ - 1/5 < a < 7/5

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 1/5 < a < 7/5

৫১৯.

xy > 0 এবং yz < 0 হলে নিচের কোনটি অবশ্যই ধনাত্মক সংখ্যা -

ক
ক) xy²z
খ
খ) xyz
গ
গ) xyz²
ঘ
ঘ) x²y²z

ব্যাখ্যা

yz < 0
∴ y > 0, z < 0 অথবা y < 0, z > 0 ফলে z² > 0
আবার, xy > 0
∴ xyz² > 0

৫২০.

x² - 11x + 30 < 0 হলে অসমতাটির সমাধান কত?

ক
2 < x < 5
খ
- 5 < x < 6
গ
5 < x < 6
ঘ
- 5 < x < - 6

ব্যাখ্যা

x² - 11x + 30 < 0
(x - 5)(x - 6) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 5 > 0 এবং x - 6 < 0 হয়।
x - 5 > 0
বা, x > 5
x - 6 < 0
বা, x < 6
x > 5 এবং x < 6 অর্থাৎ x এর মান 5 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি 5 < x < 6 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 5 < x < 6

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 5 < 0 এবং x - 6 >0 হয়।
x - 5 < 0
বা, x < 5

x - 6 > 0
বা, x > 6
x < 5 এবং x > 6 অর্থাৎ 5 এর চেয়ে ছোট এবং 6 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 5 < x < 6

৫২১.

সমাধান করুন a(x + b) < c [যেখানে a ≠ 0]।

ক
x < (c - ab)/a
খ
x > (c - ab)/a
গ
x/a < (c - ab)
ঘ
x < (c + ab)/a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন a(x + b) < c [যেখানে a ≠ 0]।

সমাধান:
a(x+b) < c
বা, ax + ab < c
বা, ax < c - ab
বা, x < (c - ab)/a

৫২২.

3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
[1, ∞)
খ
(1, ∞)
গ
[1/2, ∞)
ঘ
[- 1, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x - 2 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3x - 2 > 2x - 1
⇒ 3x - 2 + 2 > 2x - 1 + 2
⇒ 3x > 2x + 1
⇒ 3x - 2x > 1
⇒ x > 1
অর্থাৎ x এর মান 1 থেকে অসীম পর্যন্ত।

∴ x এর সমাধান সেট = (1, ∞)

৫২৩.

7 < 2x + 1 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(3, 5]
খ
[2, 7)
গ
[1, 4)
ঘ
(2, 6]

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 < 2x + 1 ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
7 < 2x + 1 ≤ 11
⇒ 7 - 1 < 2x + 1 - 1 ≤ 11 - 1
⇒ 6 < 2x ≤ 10
⇒ 6/2 < x ≤ 10/2
⇒ 3 < x ≤ 5

∴ অসমতাটির সমাধান (3, 5]

৫২৪.

y যদি x এর চেয়ে বড় হয় তবে 1/x এর চেয়ে 1/y কী?

ক
ক) বড়
খ
খ) সমান
গ
গ) ছোট
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: y যদি x এর চেয়ে বড় হয় তবে 1/x এর চেয়ে 1/y কী?

সমাধান:
প্রশ্নমতে,
x < y
1/x > 1/y

∴ 1/x এর চেয়ে 1/y ছোট।

৫২৫.

x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
xz > yz
খ
(x/z) > (y/z)
গ
(z/x) < (z/y)
ঘ
xz < yz

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz

৫২৬.

যদি x ≥ 8 এবং z ≤ 3 হয় তাহলে কোন অসমতা টি সঠিক?

ক
x - z ≤ 5
খ
x - z ≥ - 5
গ
x - z ≥ 5
ঘ
z - x ≥ 5
ঙ
x - y ≤ 2.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x ≥ 8 এবং z ≤ 3 হয় তাহলে কোন অসমতা টি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x ≥ 8
এবং
z ≤ 3
⇒ - z ≥ - 3
এখন,
দুইটি অসমতাকে যোগ করে পাই,
x + (- z) ≥ 8 + (- 3)
⇒ x - z ≥ 8 - 3
⇒ x - z ≥ 5

৫২৭.

|3x + 2| ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
- 3 ≤ x ≤ 3
খ
(- 13/3) ≤ x ≤ 3
গ
- 11 ≤ x ≤ 11
ঘ
- 3 ≤ x ≤ (11/3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3x + 2| ≤ 11 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|3x + 2| ≤ 11
⇒ - 11 ≤ 3x + 2 ≤ 11
⇒ - 11 - 2 ≤ 3x + 2 - 2 ≤ 11 - 2
⇒ - 13 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 13/3 ≤ 3x/3 ≤ 9/3
∴ - 13/3 ≤ x ≤ 3

৫২৮.

2x - 4 ≤ 10 হলে, x এর মান কী?

ক
x ≤ 7
খ
x ≥ 7
গ
x < 7
ঘ
x > 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x - 4 ≤ 10 হলে, x এর মান কী?

সমাধান:
2x - 4 ≤ 10
⇒ 2x ≤ 10 + 4
⇒ x ≤ 14/2
∴ x ≤ 7

৫২৯.

।2x - 4। < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
ক) - 1 < x < 5
খ
খ) - 2 < x < 3
গ
গ) - 5 < x < 1
ঘ
ঘ) - 3 < x < 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।2x - 4। < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
।2x - 4। < 6
বা, - 6 < 2x - 4 < 6
বা, - 6 + 4 < 2x - 4 + 4 < 6 + 4
বা, - 2 < 2x < 10
বা, - 2/2 < 2x/2 < 10/2
- 1 < x < 5

৫৩০.

x² - 9x + 20 < 0 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

ক
ক) 5 < x < 6
খ
খ) 4 < x < 9
গ
গ) 2 < x < 3
ঘ
ঘ) 4 < x < 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 9x + 20 < 0 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
x² - 9x + 20 < 0
x² - 4x - 5x + 42< 0
x(x - 4) - 5 (x - 4) < 0
∴ (x - 4)(x - 5) < 0

x² - 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
এখন, x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0
অর্থাৎ, x < 4 এবং x > 5
4 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x²- 9x + 20 < 0 সত্য হবে যদি x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
এখন, x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0
অর্থাৎ x >4 এবং x <5
x এর মান 4 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 4 < x < 5

৫৩১.

|x - 3| = 2 হলে x এর মান কত?

ক
3, 2
খ
1, 2
গ
5, 1
ঘ
6, 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 3| = 2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
|x - 3| = 2
⇒ (|x - 3|)² = 2²
⇒ (x - 3)² = 4
⇒ x² - 6x + 9 = 4
⇒ x² - 6x + 5 = 0
⇒ x² - 5x - x + 5 = 0
⇒ x(x - 5) - 1(x - 5) = 0
⇒ (x - 5)(x - 1) = 0
হয় x - 5 = 0 অথবা x - 1 = 0
∴ x = 5 অথবা x = 1

৫৩২.

x² + 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- ∞, - 3) ∪ (5, ∞)
খ
(- 5, 3)
গ
(- 3, 5)
ঘ
(- ∞, - 5) ∪ (3, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ x² + 2x - 15 > 0
⇒ x² + 5x - 3x - 15 > 0
⇒ x(x + 5) - 3(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 3) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 5 এবং x = 3।

(x + 5)(x - 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন
উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 3) অথবা উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 5)।

অর্থাৎ, x < - 5 অথবা x > 3।
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 5) ∪ (3, ∞)।

৫৩৩.

x² - 9x + 20 < 0 এর সমাধান -

ক
5 ≤ x < 7
খ
2 ≤ x ≤ 3
গ
4 < x < 5
ঘ
4 ≤ x ≤ 9

ব্যাখ্যা

x² - 9x + 20 < 0
বা, (x - 4)(x - 5) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 4 > 0 এবং x - 5 < 0 হয়।
x - 4 > 0
বা, x > 4
x - 5 < 0
বা, x < 5
x > 4 এবং x < 5 অর্থাৎ x এর মান 4 এর চেয়ে বড় এবং 5 এর চেয়ে ছোট হবে।

অসমতাটি সত্য হবে যদি 4 < x < 5 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 4 < x < 5

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 4 < 0 এবং x - 5 > 0 হয়।
x - 4 < 0
বা, x < 4
x - 5 > 0
বা, x > 5
x < 4 এবং x > 5 অর্থাৎ 4 এর চেয়ে ছোট এবং 5 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।

সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 4 < x < 5

৫৩৪.

∣x + 2∣ ≤ 6 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 3x - 4 ≤ q হবে?

ক
p = - 9 এবং q = 13
খ
p = - 14 এবং q = 11
গ
p = - 28 এবং q = 8
ঘ
p = - 22 এবং q = 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ ≤ 6 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 3x - 4 ≤ q হবে?

সমাধান:
∣x + 2∣ ≤ 6
⇒ - 6 ≤ x + 2 ≤ 6
⇒ - 6 - 2 ≤ x + 2 - 2 ≤ 6 - 2
⇒ - 8 ≤ x ≤ 4
⇒ - 24 ≤ 3x ≤ 12
⇒ - 24 - 4 ≤ 3x - 4 ≤ 12 - 4
⇒ - 28 ≤ 3x - 4 ≤ 8

যেখানে, p ≤ 3x - 4 ≤ q
∴ p = - 28 এবং q = 8

৫৩৫.

a² - 7a + 6 < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
1 < a < 6
খ
1 < a > 5
গ
2 < a < 5
ঘ
6 < a < 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² - 7a + 6 < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
a² - 7a + 6
⇒ a²- 6a - a - 7
⇒ a(a - 6) - 1(a - 6)
⇒ (a - 6)(a - 1)

a² - 7a + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 1 < 0 এবং x - 6 > 0 হয়।
এখন, x - 1 < 0 এবং x - 6 > 0
অর্থাৎ, x < 1 এবং x > 6
1 এর চেয়ে ছোট এবং 6 এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
a² - 7a + 6 < 0 সত্য হবে যদি x - 1 > 0 এবং x - 6 < 0 হয়।
এখন, x - 1 > 0 এবং x - 6 < 0
অর্থাৎ x > 1 এবং x < 6
x এর মান 1 এর চেয়ে বড় এবং 6 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 1 < x < 6

৫৩৬.

2 < x < 8 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

ক
|x - 5| < 3
খ
|x - 3| < 2
গ
|x - 4| < 5
ঘ
|x - 2| < 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 < x < 8 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (2 + 8)/2 = 5

এখন,
2 < x < 8
⇒ 2 - 5 < x - 5 < 8 - 5 [উভয়পক্ষ থেকে 5 বিয়োগ করে]
⇒ - 3 < x - 5 < 3
⇒ |x - 5| < 3

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 5| < 3

৫৩৭.

|x + 3| ≤ 7 হলে x-এর সীমানা কত?

ক
[- 7, 7]
খ
[- 10, 4]
গ
[-3, 7]
ঘ
[- 4, 10]

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 7 হলে x-এর সীমানা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|x + 3| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x + 3 ≤ 7
⇒ - 7 - 3 ≤ x ≤ 7 - 3 ; [উভয় দিকে 3 বিয়োগ করে]
⇒ - 10 ≤ x ≤ 4
∴ x ∈ [- 10, 4]

৫৩৮.

যদি 6 – 4x ≤ 18 হয় তাহলে x মান কত?

ক
ক) x ≤ -3
খ
খ) x ≥ 3
গ
গ) x ≥ –3
ঘ
ঘ) x ≤ 3

ব্যাখ্যা

6 - 4x ≤ 18
-4x ≤ 12
4x ≥ -12
x ≥ -3

৫৩৯.

একটি বোডিংএ রোজ 4x কেজি চাল ও (x-5) কেজি ডাল লাগে এবং চাল ডাল মিলে 40 কেজির বেশী লাগে না। তাহলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) x ≤ 9
খ
খ) x ≤ 9/5
গ
গ) x ≥ 10
ঘ
ঘ) x ≤ 10

ব্যাখ্যা

4x+(x-5) ≤ 40
5x ≤ 40+5
x ≤ 45/5
x ≤ 9.

৫৪০.

x + 1 > 1 - 2x এর সমাধান কোনটি?

ক
x > 3
খ
x < - 3
গ
x < 0
ঘ
x > 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + 1 > 1 - 2x এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x + 1 > 1 - 2x
বা, x + 2x > 1 - 1
বা, 3x > 0
∴ x > 0

৫৪১.

x পূর্ণ সংখ্যা এবং - 1 ≤ (2x - 4)/8 ≤ 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?

ক
ক) 13
খ
খ) 18
গ
গ) 19
ঘ
ঘ) 22

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x পূর্ণ সংখ্যা এবং - 1 ≤ (2x - 4)/8 ≤ 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
- 1 ≤ (2x - 4)/8 ≤ 5
- 8 ≤ 2x - 4 ≤ 40
- 8 ≤ 2x - 4 ≤ 40
- 8 + 4 ≤ 2x - 4 + ≤ 40 + 4
- 4 ≤ 2x ≤ 44
- 4/2 ≤ 2x/2 ≤ 44/2
- 2 ≤ x ≤ 22

x এর বৃহত্তম মান = 22

৫৪২.

5x + 3 ≤ 2x - 9 হলে, x এর মান কত?

ক
x ≤ 4
খ
x ≤ - 3
গ
x ≥ 4
ঘ
x ≤ - 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x + 3 ≤ 2x - 9 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5x + 3 ≤ 2x - 9
বা, 5x + 3 - 2x ≤ 2x - 9 - 2x
বা, 3x + 3 ≤ - 9
বা, 3x + 3 - 3 ≤ - 9 - 3
বা, 3x ≤ - 12
∴ x ≤ - 4

৫৪৩.

x² - 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- ∞, - 1) U (4, + ∞)
খ
(∞, 2) U (- 5, + ∞)
গ
(- 7, - ∞) U (∞, 3)
ঘ
(- ∞, - 2) ∪ (5, + ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x - 10 > 0
⇒ x² - 5x + 2x - 10 > 0
⇒ x(x - 5) + 2(x - 5) > 0
∴ (x - 5)(x + 2) > 0

দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয়।

∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, - 2) ∪ (5, + ∞)

৫৪৪.

|3x - 2| < 10 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- 8/3) < x < 4
খ
- 8 < x < 12
গ
- 8 < x < (4/3)
ঘ
(- 8/3) < x < (4/3)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3x - 2| < 10 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|3x - 2| < 10

(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) < 10
⇒ 3x - 2 + 2 < 10 + 2
⇒ 3x < 12
∴ x < 4

আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় - (3x - 2) < 10
⇒ (3x - 2) > - 10
⇒ 3x - 2 + 2 > - 10 + 2
⇒ 3x > - 8
∴ x > - 8/3

∴ অসমতাটির সমাধান: - 8/3 < x < 4

৫৪৫.

|x - 3| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x + 7 < n হবে?

ক
m = 5, n = 21
খ
m = 4, n = 20
গ
m = 3, n = 22
ঘ
m = 2, n = 18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 3| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x + 7 < n হবে?

সমাধান:
|x - 3| < 4
বা, - 4 < x - 3 < 4
বা, - 4 + 3 < x - 3 + 3 < 4 + 3
বা, - 1 < x < 7
বা, - 2 < 2x < 14
বা, - 2 + 7 < 2x + 7 < 14 + 7
∴ 5 < 2x + 7 < 21

m < 2x + 7 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,

∴ m = 5 এবং n = 21

৫৪৬.

7x - 4 ≥ 3x + 8 হলে, x এর মান কত?

ক
x ≥ 3
খ
x > 4
গ
x ≤ 4
ঘ
x < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7x - 4 ≥ 3x + 8 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
7x - 4 ≥ 3x + 8
বা, 7x - 4 - 3x ≥ 3x + 8 - 3x
বা, 4x - 4 ≥ 8
বা, 4x - 4 + 4 ≥ 8 + 4
বা, 4x ≥ 12
∴ x ≥ 3

৫৪৭.

|2x + 3| < 7 এর সমাধান সেট হবে:

ক
(- 5, 2)
খ
(- 5, 5)
গ
(- ∞, 2)
ঘ
[- 2, 5]

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x + 3| < 7 এর সমাধান সেট হবে:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x + 3| < 7
⇒ - 7 < 2x + 3 < 7
⇒ - 7 - 3 < 2x + 3 - 3 < 7 - 3
⇒ - 10 < 2x < 4
⇒ - 10/2 < 2x/2 < 4/2
∴ - 5 < x < 2

নির্ণেয় সমাধান সেট: S = {x ∈ R : - 5 < x < 2}
ব্যবধি আকারে: (- 5, 2)

৫৪৮.

3(x - 2) < 6 অসমতাটির সমাধান সেট-

ক
S = {x ∈ R : x < 4}
খ
S = {x ∈ R : x < 5}
গ
S = {x ∈ R : x < 6}
ঘ
S = {x ∈ R : x < 8}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3(x - 2) < 6 অসমতাটির সমাধান সেট-

সমাধান:
3(x - 2) < 6
⇒ x - 2 < 6/3
⇒ x - 2 < 2
⇒ x - 2 + 2 < 2 + 2
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < 4

∴ সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x < 4}

৫৪৯.

বাস্তব সংখ্যায় 1/(3x - 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান -

ক
- ∞ < x < 5/3
খ
8/3 < x < ∞
গ
- ∞ < x < 5/2 অথবা 8/3 < x < ∞
ঘ
- ∞ < x < 5/2 এবং 8/3 < x < ∞

ব্যাখ্যা

1/(3x - 5) < ⅓
বা, 3x - 5 > 3
বা, 3x > 8
বা, x > 8/3
অর্থাৎ, 8/3 < x < ∞
সুতরাং 1/(3x - 5) < 1/3 অসমতাটির সমাধান: 8/3 < x < ∞

৫৫০.

|x - 1| > 1 অসমতার সমাধান -

ক
ক) (-∞, 0) ∪ (2, ∞)
খ
খ) (-∞, 0] ∪ (2, ∞)
গ
গ) (-∞, 0) ∪ [2, ∞)
ঘ
ঘ) (-∞, 0] ∪ [2, ∞)

ব্যাখ্যা

যুক্তিঃ x - 1 > 1 [ধনাত্বক হলে]
বা, x > 2
আবার,
(x > 1) > 1 [ঋণাত্বক হলে]
বা, x - 1 < -1
বা, x < 0
∴ নির্ণেয় সমাধান (-∞, 0) ∪ (2, ∞).

৫৫১.

3x-2 > 2x-1 এর সমাধান সেট কোনটি?

ক
ক) [1, ∞)
খ
খ) (1, ∞)
গ
গ) [½, ∞)
ঘ
ঘ) [-1, ∞)

ব্যাখ্যা

3x-2 > 2x-1
⇒ 3x-2x > 2-1
⇒ x > 1
∴ সমাধান সেট (1, ∞)

৫৫২.

|3x - 4| < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- 2/3) < x < 4
খ
1 > x > (- 3/4)
গ
(- 1/3) < x < 3
ঘ
2 > x > (- 2/5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3x - 4| < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|3x - 4| < 5
(3x - 4) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 4) < 5
⇒ 3x - 4 + 4 < 5 + 4
⇒ 3x < 9
∴ x < 3

আবার,
(3x - 4) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় - (3x - 4) < 5
⇒ (3x - 4) > - 5
⇒ 3x - 4 + 4 > - 5 + 4
⇒ 3x > -1
∴ x > - 1/3
∴ অসমতাটির সমাধান: - 1/3 < x < 3

৫৫৩.

।3x + 9। < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
ক) - 9 < x < - 7
খ
খ) - 9 < x < - 3
গ
গ) - 5 < x < - 1
ঘ
ঘ) - 6 < x < - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।3x + 9। < 6 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
।3x + 9। < 6
- 6 < 3x + 9 < 6
- 6 - 9 < 3x + 9 - 9 < 6 - 9
- 15 < 3x < - 3
- 15/3 < 3x/3 < - 3/3
- 5 < x < - 1

৫৫৪.

a - b ≥ a + b এই সমীকরণের সমতুল্য নিচের কোনটি?

ক
b ≥ 0
খ
a ≤ 0
গ
a ≥ 0
ঘ
b ≤ 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a - b ≥ a + b এই সমীকরণের সমতুল্য নিচের কোনটি?

সমাধান:
a - b ≥ a + b
⇒ a - a ≥ b + b
⇒ 0 ≥ 2b
⇒ 2b ≤ 0
⇒ b ≤ 0

৫৫৫.

|x + 2| < 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
{x ∈ R: - 3 < x < 1}
খ
{x ∈ R: 8 < x < 10}
গ
{x ∈ R: - 6 < x < 4}
ঘ
{x ∈ R: - 8 < x < 4}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 2| < 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 2| < 6
⇒ - 6 < x + 2 < 6
⇒ (- 6 - 2) < (x + 2 - 2) < (6 - 2) [উভয়পক্ষে (- 2) যোগ করে]
⇒ - 8 < x < 4

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 8 < x < 4}

৫৫৬.

6 + 4x ≤ 18 এর সমাধান কোনটি?

ক
x > 3
খ
x < 3
গ
x ≥ 3
ঘ
x ≤ 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 + 4x ≤ 18 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
এখানে, 6 + 4x ≤ 18
⇒ 6 + 4x - 6 ≤ 18 - 6
⇒ 4x ≤ 12
⇒ x ≤ 3

∴ নির্ণেয় সমাধান x ≤ 3

৫৫৭.

এক টুকরা কাগজের ক্ষেত্রফল 45 বর্গমিটার। তা থেকে x মিটার দৈর্ঘ্য এবং 5 মিটার প্রস্থ বিশিষ্ট আয়তাকার কাগজ কেটে নেওয়া হলো। x এর সম্ভাব্য মান কত?

ক
ক) 5<x<8
খ
খ) -5<x<5
গ
গ) 5<x<6
ঘ
ঘ) 5<x<9

ব্যাখ্যা

কেটে নেওয়া কাগজের ক্ষেত্রফল = 5x বর্গমিটার
মূল কাগজের ক্ষেত্রফল = 45 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
5x < 45
⇒ x < 9
∴x এর সম্ভাব্য মান 5 <x <9

৫৫৮.

2 ≤ x ≤ 8 কে পরমমান চিহ্নে প্রকাশ করলে হবে-

ক
ক) । x - 3। ≤ 5
খ
খ) । x - 5। ≤ 3
গ
গ) । x - 2। ≤ 8
ঘ
ঘ) । x - 1। ≤ 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 ≤ x ≤ 8 কে পরমমান চিহ্নে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
এখানে
(2 + 8)/2 = 5

2 - 5 ≤ x - 5 ≤ 8 - 5
- 3 ≤ x - 5 ≤ 3
। x - 5। ≤ 3

৫৫৯.

2x²+5x+3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

ক
ক) -3/2 < x < -1
খ
খ) -3/2 < x < 1
গ
গ) -3/2 ≤ x ≤ 1
ঘ
ঘ) -3/2 < x ≤ 1

ব্যাখ্যা

2x²+5x+3 < 0
⇒ 2x²+3x+2x+3 < 0
⇒ x(2x+3)+1(2x+3) < 0
⇒ (2x+3)(x+1) < 0
দুইটি রাশির গুণফল 0 থেকে কম হলে, গুণফলটি অবশ্যই ঋণাত্মক হবে। সেই কারণে একটি অংশ ধনাত্মক হলে অন্য অংশ ঋণাত্মক হবে।
এখন,
2x+3 > 0 [ধনাত্মক ধরে]
⇒ x > -3/2
এবং
x+1 < 0 [ঋণাত্মক ধরে]
⇒ x < -1
অর্থাৎ, -3/2 < x < -1

৫৬০.

3x + 5 ≤ 17 এই অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক
(- ∞, 4)
খ
[4, ∞)
গ
(- ∞, 4]
ঘ
(4, - ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 5 ≤ 17 এই অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 3x + 5 ≤ 17
⇒ 3x + 5 - 5 ≤ 17 - 5
⇒ 3x ≤ 12
⇒ x ≤ 12/3
∴ x ≤ 4

সমাধান সেট , x ≤ 4 বা (- ∞, 4]

৫৬১.

{1/।2p - 7।} > (1/5) হলে, p এর মান কত?

ক
- 1 < p < 3
খ
1 < p < - 4
গ
1 < p < 6
ঘ
- 1 < p > 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {1/।2p - 7।} > (1/5) হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
1/।2p - 7। > 1/5
⇒ ।2p - 7। < 5
⇒ - 5 < 2p - 7 < 5
⇒ - 5 + 7 < 2p - 7 + 7 < 5 + 7
⇒ 2 < 2p < 12
∴ 1 < p < 6

৫৬২.

|2x + 1| < 3 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

ক
- 2 < x < 2
খ
2 < x < 1
গ
2 > x > 1
ঘ
- 2 < x < 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x + 1| < 3 এর সমাধান হবে নিচের কোনটি?

সমাধান:
|2x + 1| < 3
⇒ - 3 < 2x + 1 < 3
⇒ - 3 - 1 < 2x + 1 - 1 < 3 - 1
⇒ - 4 < 2x < 2
⇒ - 2 < x < 1

৫৬৩.

3x + 4 > 16 এর সমাধান সেট নিচের কোনটি হবে?

ক
ক) {x ∈ R : x > 1}
খ
খ) {x ∈ R : x > 2}
গ
গ) {x ∈ R : x > 4}
ঘ
ঘ) {x ∈ R : x > 3}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 4 > 16 এর সমাধান সেট নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
3x + 4 > 16
বা, 3x + 4 - 4 > 16 - 4
বা, 3x > 12
বা, 3x/3 > 12/3
x > 4

নির্ণেয় সমাধান সেট = {x ∈ R : x > 4}

৫৬৪.

1/।3x - 5। > 2 অসমতাটির সমাধান কী হবে?

ক
ক) 11/5 < x < 11/3
খ
খ) 11/6 < x < 11/2
গ
গ) - 3/2 < x < 11/6
ঘ
ঘ) 3/2 < x < 11/6

ব্যাখ্যা

1/।3x - 5। > 2
বা, ।3x - 5। < 1/2
= - 1/2 < 3x - 5 < 1/2
= - 1/2 + 5 < 3x - 5 + 5 < 1/2 + 5
= (- 1 + 10)/2 < 3x < (1 + 10)/2
= 9/2 < 3x < 11/2
= 9/2× 3 < 3x/3 < 11/2 × 3
= 3/2 < x < 11/6

৫৬৫.

(x/3) + (x/4) + (x/5) < (47/60) এর সমাধান-

ক
(1, ∞)
খ
[- ∞, 1]
গ
[1, ∞)
ঘ
(- ∞, 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/3) + (x/4) + (x/5) < 47/60 এর সমাধান-

সমাধান:
(x/3) + (x/4) + (x/5) < 47/60
⇒ (20x + 15x + 12x)/60 < 47/60
⇒ 47x < 47
⇒ x < 1

∴নির্ণেয় সমাধান: (- ∞, 1)

৫৬৬.

যদি (1/5)(2x + 3) ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

ক
4
খ
6
গ
12
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (1/5)(2x + 3) ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

সমাধান:
(1/5)(2x + 3) ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3
⇒ 2x + 3 ≥ 15
⇒ 2x ≥ 12
∴ x ≥ 6

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে = 6 ।

৫৬৭.

1/।2x - 5। > 1/3 অসমতাটির সমাধান সেট কত?

ক
S = {x ∈ R : x < 8 অথবা x > 5}
খ
S = {x ∈ R : x > 2 অথবা x < 1/2}
গ
S = {x ∈ R : 1 < x < 4}
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/।2x - 5। > 1/3 অসমতাটির সমাধান সেট কত?

সমাধান:
1/।2x - 5। > 1/3
⇒ ।2x - 5। < 3
⇒ - 3 < 2x - 5 < 3
⇒ - 3 + 5 < 2x - 5 + 5 < 3 + 5
⇒ 2 < 2x < 8
⇒ 2/2 < 2x/2 < 8/2
⇒ 1 < x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : 1 < x < 4}

৫৬৮.

যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

ক
4
খ
6
গ
10
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে?

সমাধান:
1/5 (2x + 3) ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3
⇒ 2x + 3 ≥ 15
⇒ 2x ≥ 12
∴ x ≥ 6

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে = 6 ।

৫৬৯.

লাবিবের বয়স মীমের বয়সের 1/4 অংশ। নিতু মীমের চেয়ে ৪ বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধ্ব ২২ বছর হলে, নিতুর বয়স অসমতার মাধ্যমে কিভাবে প্রকাশ করা হবে?

ক
ক) x ≤ 12
খ
খ) x < 12
গ
গ) x < 12
ঘ
ঘ) x = 12

ব্যাখ্যা

মনে করি নিতুর বয়স = x বছর
মীমের বয়স = x - 4 বছর
লাবিবের বয়স = (x - 4) / 4
শর্তমতে,
x + x-4 +(x-4)/4 ≤ 22
x ≤ 12

৫৭০.

- 9 < a < - 1 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ-

ক
।a + 3। < 2
খ
।a + 5। < 4
গ
।a + 4। < 3
ঘ
।a + 2। < 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 9 < a < - 1 অসমতাটির পরম মান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ হবে-

সমাধান:
গড় = (- 9 - 1)/2 = - 5
গড় ঋণাত্মক হওয়ায় প্রত্যেকের সাথে 5 যোগ করতে হবে।

- 9 < a < - 1
⇒ - 9 + 5 < a + 5 < -1 + 5
⇒ - 4 < a + 5 < 4
∴ ।a + 5। < 4

৫৭১.

0 < x < 1 হলে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

ক
ক) x
খ
খ) 1/x
গ
গ) x²
ঘ
ঘ) 1/x²

ব্যাখ্যা

ধরি,
x = 1/2
∴ x² = 1/4,
1/x = 2,
1/x² = 4
∴ x² < x < 1/x < 1/x²

৫৭২.

x²- 5x + 6 < 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

ক
1 < x < 3
খ
0 < x < 5
গ
2 < x < 5
ঘ
2 < x < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²- 5x + 6 < 0 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
x²- 5x + 6 < 0
⇒ x²- 3x - 2x + 6 < 0
⇒(x-3)(x-2) < 0
(x - 3)(x - 2) এর যে কোন একটি মান ঋণাত্মক হলে অসমতা টি সত্য হবে।
x < 2 এবং x > 3 এর ক্ষেত্রে (x - 3)(x - 2) এর মান ধনাত্মক হয় এবং 2<x<3 এর ক্ষেত্রে (x - 3)(x - 2) এর মান ঋণাত্মক হয়।
∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3

৫৭৩.

|3a + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
1 < a < 2
খ
5 < a < 6
গ
- 3 < a < 5/3
ঘ
- 1 < a < 5/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |3a + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
|3a + 2| < 7
বা, - 7 < 3a + 2 < 7
বা, - 7 - 2 < 3a + 2 - 2 < 7 - 2
বা, - 9 < 3a < 5
বা, - 3 < x< 5/3

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 3 < a < 5/3

৫৭৪.

বাস্তব সংখ্যায় |3x - 2| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান-

ক
ক) 1/3 ≤ x ≤ 1
খ
খ) 1/2 ≤ x ≤ 1
গ
গ) 1/4 ≤ x ≤ 3
ঘ
ঘ) -1/3 ≤ x ≤ 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |3x - 2| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
-1 ≤ |3x - 2| ≤ 1
= -1 + 2 ≤ 3x ≤ 1 + 2
= 1 ≤ 3x ≤ 3
= 1/3 ≤ x ≤ 1

৫৭৫.

|4x + 1| < 9 এর সমাধান কোনটি?

ক
- 5/4 < x < 2
খ
- 2 < x < 2
গ
- 5/2 < x < 2
ঘ
-1 < x < 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |4x + 1| < 9 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ |4x + 1| < 9
⇒ - 9 < 4x + 1 < 9
⇒ - 9 - 1 < 4x + 1 - 1 < 9 - 1
⇒ - 10 < 4x < 8
⇒ - 10/4 < x < 8/4
⇒ - 5/2 < x < 2

∴ সমাধান হলো - 5/2 < x < 2

৫৭৬.

∣3x + 4∣ < 10 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

ক
3 < x < 7
খ
(- 14/3) < x < 2
গ
(- 10/3) < x > 7
ঘ
(- 7/3) < x < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∣3x + 4∣ < 10 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
3x + 4 < 10
⇒ 3x < 10 - 4
⇒ 3x < 6
⇒ x < 6/3
∴ x < 2

- (3x + 4) < 10
⇒ 3x + 4 > - 10
⇒ 3x > - 10 - 4
⇒ 3x > - 14
∴ x > -14/3

∴ অসমতাটির সমাধান: -14/3 < x < 2

৫৭৭.

- 4 < 2x + 2 ≤ 10 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(1, - 4]
খ
[- 2, 5)
গ
(- 3, 4]
ঘ
[2, - 6)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 4 < 2x + 2 ≤ 10 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
4 < 2x + 2 ≤ 10
= - 4 - 2 < 2x + 2 - 2 ≤ 10 - 2
= - 6 < 2x ≤ 8
= (- 6/2) < (2x/2) ≤ (8/2)
= - 3 < x ≤ 4

∴ অসমতাটির সমাধান (- 3, 4]

৫৭৮.

- 3 < q < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটি প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

ক
|q - 1| ≤ 8
খ
|q - 1| < 4
গ
|q + 1| > 3
ঘ
|q - 1| ≥ 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 3 < q < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটি প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 3 + 5)/2 = 1

এখন,
-3 < q < 5
⇒ - 3 - 1 < q - 1 < 5 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < q - 1 < 4
⇒ |q - 1| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |q - 1| < 4

৫৭৯.

|x - 5| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x - 7 < n হবে?

ক
m = - 12, n = 5
খ
m = 7, n = - 11
গ
m = - 13, n = 4
ঘ
m = - 1, n = 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 5| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x - 7 < n হবে?

সমাধান:
|x - 5| < 2
⇒ - 2 < x - 5 < 2
⇒ -2 + 5 < x < 2 + 5
⇒ 3 < x < 7
⇒ 6 < 2x < 14
⇒ 6 - 7 < 2x - 7 < 14 - 7
⇒ - 1 < 2x - 7 < 7

অতএব, m = - 1 এবং n = 7

৫৮০.

xy < 0, xz > 0 এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে?

ক
ক) x > 0
খ
খ) y > 0
গ
গ) y < 0
ঘ
ঘ) z² < 0

ব্যাখ্যা

যেহেতু, z < 0
∴ xz > 0
⇒ x < 0
ফলে, xy < o
⇒ y > 0

৫৮১.

|x + 3 | < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 2 < n হবে?

ক
m = - 1 এবং n = 19
খ
m = - 5 এবং n = 13
গ
m = - 3 এবং n = 9
ঘ
m = - 19 এবং n = 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 3 | < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 2 < n হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|x + 3 | < 4
⇒ - 4 < x + 3 < 4
⇒ - 4 - 3 < x + 3 - 3 < 4 - 3 ; [উভয় পাশে 3 বিয়োগ করে]
⇒ - 7 < x < 1
⇒ - 21 < 3x < 3 ; [উভয় পাশে 3 দ্বারা গুণ করে]
⇒ - 21 + 2 < 3x + 2 < 3 + 2 ; [উভয় পাশে 2 যোগ করে]
∴ - 19 < 3x + 2 < 5 .......(1)

এখন, (1) নং কে m < 3x + 2 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = - 19, n = 5

অতএব m = - 19 এবং n = 5

৫৮২.

|x + 3| < 5 অসমতার সমাধান কোনটি?

ক
s = {x ∈ R: - 5 < x < 5}
খ
s = {x ∈ R: - 8 < x < 3}
গ
s = {x ∈ R: - 8 < x < 2}
ঘ
s = {x ∈ R: - 3 < x < 3}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 3| < 5 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(x + 3) ধনাত্মক ধরে,
(x + 3) < 5
বা, x + 3 - 3 < 5 - 3
বা, x < 2

আবার,
(x + 3) ঋণাত্মক ধরে,
- (x + 3) < 5
বা, (x + 3) > - 5
বা, x + 3 - 3 > - 5 - 3
বা, x > - 8

∴ নির্ণেয় সমাধান: s = {x ∈ R: - 8 < x < 2} ।

৫৮৩.

x² + 4x - 21 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(3, - 7)
খ
(- ∞, - 7) ∪ (3, ∞)
গ
x < - 3 অথবা x > 7
ঘ
(- ∞, - 3) ∪ (7, ∞)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 4x - 21 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: x² + 4x - 21 > 0
⇒ x² + 7x - 3x - 21 > 0
⇒ x(x + 7) - 3(x + 7) > 0
⇒ (x + 7)(x - 3) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 7 এবং x = 3

(x + 7)(x - 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 3) অথবা উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 7)।
অর্থাৎ, x < - 7 অথবা x > 3।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 7) ∪ (3, ∞)

৫৮৪.

যদি x - 1 > - x + 7 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
x > 4
খ
x < 4
গ
x > 2
ঘ
x < 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x - 1 > - x + 7 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
x - 1 > - x + 7
⇒ x + x > 7 + 1
⇒ 2x > 8
∴ x > 4

৫৮৫.

যদি 6 - 4x ≤ 14 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
ক) x ≤ 2
খ
খ) x ≥ 2
গ
গ) x ≤ - 2
ঘ
ঘ) x ≥ - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 6 - 4x ≤ 14 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
6 - 4x ≤ 14
বা, 6 - 6 - 4x ≤ 14 - 6 [ 6 বিয়োগ করে]
বা, - 4x ≤ 8
∴ x ≥ - 2 [- 4 দিয়ে ভাগ করে]।

৫৮৬.

{1/|6x - 7|} ≥ (1/12) অসমতাটির সমাধান কত?

ক
- (1/6) ≤ x ≤ (15/6)
খ
(3/4) ≤ x ≤ (1/8)
গ
- (5/6) ≤ x ≤ (19/6)
ঘ
4 ≤ x ≤ 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {1/|6x - 7|} ≥ (1/12) অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
{1/|6x - 7|} ≥ (1/12)
⇒ |6x - 7| ≤ 12
⇒ - 12 ≤ 6x - 7 ≤ 12
⇒ - 12 + 7 ≤ 6x - 7 + 7 ≤ 12 + 7
⇒ - 5 ≤ 6x ≤ 19
⇒ - 5/6 ≤ 6x/6 ≤ 19/6
⇒ - (5/6) ≤ x ≤ (19/6)

৫৮৭.

x যদি y এর চেয়ে বড় হয়, তবে 1/x এর চেয়ে 1/y -

ক
বড়
খ
ছোট
গ
সমান
ঘ
অসমান

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x যদি y এর চেয়ে বড় হয়, তবে 1/x এর চেয়ে 1/y -

সমাধান:
x > y
⇒ 1/x < 1/y [ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়]

৫৮৮.

।3x - 4। < 8 অসমতাটির সমাধান হলো-

ক
- 4/3 < x < 4/3
খ
- 1/3 < x < 3
গ
- 4/5 < x < 5
ঘ
- 4/3 < x < 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।3x - 4। < 8 অসমতাটির সমাধান হলো-

সমাধান:
।3x - 4। < 8
- 8 < 3x - 4 < 8
- 8 + 4 < 3x - 4 + 4 < 8 + 4
- 4 < 3x < 12
-4/3 < 3x/3 < 12/3
- 4/3 < x < 4

৫৮৯.

(x - 4)(x + 6) < 0 এর সমাধান কোনটি?

ক
2 > x > 8
খ
- 6 < x < 4
গ
- 5 < x < 3
ঘ
3 > x > 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - 4)(x + 6) < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(x - 4)(x + 6) = 0 নিয়ে পাই,
x = 4 এবং x = - 6

প্রশ্নে < চিহ্ন থাকায়, x ছোট এবং বড় দুই মানের মাঝখানে থাকবে।
∴ - 6 < x < 4

৫৯০.

6x - 9 < 3 এবং x বাস্তব সংখ্যা হলে, x এর মানের পরিসীমা কী?

ক
x ∈ (2, 4)
খ
x ∈ (2, ∞)
গ
x ∈ (- ∞, 2)
ঘ
x ∈ (- 4, 8)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6x - 9 < 3 এবং x বাস্তব সংখ্যা হলে, x এর মানের পরিসীমা কী?

সমাধান:
6x - 9 < 3
⇒ 6x < 3 + 9
⇒ 6x < 12
⇒ x < 12/6
∴ x < 2

অর্থাৎ, x ∈ (- ∞, 2)

৫৯১.

x² - 9x + 14 < 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
ক) 9 < x < 14
খ
খ) 7 < x < 9
গ
গ) 2 < x < 7
ঘ
ঘ) 5 < x < 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - 9x + 14 < 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 9x + 14 < 0
x² - 7x - 2x + 14 < 0
(x - 2)(x - 7) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 > 0 এবং x - 7 < 0 হয়।
x - 2 > 0
বা, x > 2
x - 7 < 0
বা, x < 7
x > 2 এবং x < 7 অর্থাৎ x এর মান 2 এর চেয়ে বড় এবং 7 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি 2 < x < 7 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 2 < x < 7

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 2 < 0 এবং x - 7 > 0 হয়।
x - 2 < 0
বা, x < 2

x - 7> 0
বা, x > 7
x < 2 এবং x > 7 অর্থাৎ 2 এর চেয়ে ছোট এবং7 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 2 < x < 7

৫৯২.

x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) xz > yz
খ
খ) xz < yz
গ
গ) z/x > z/y
ঘ
ঘ) x/z > y/z

ব্যাখ্যা

x > y এবং z < 0 হলে
xz < yz

এখানে z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা
ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।

৫৯৩.

x² - x - 20 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- ∞, - 1) ∪ (4, +∞)
খ
(- ∞, - 4) ∪ (5, +∞)
গ
(- ∞, 2) ∪ (5, +∞)
ঘ
(- 4, - ∞) ∪ (∞, +2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² - x - 20 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - x - 20 > 0
⇒ x² - 5x + 4x -20 > 0
⇒ x(x - 5) + 4(x - 5) > 0
∴ (x - 5)(x + 4) > 0

দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয়।

∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, - 4) ∪ (5, +∞)

৫৯৪.

Ιz - 2Ι ≤ 5 হলে, z -এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
- 2
খ
1
গ
- 3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Ιz - 2Ι ≤ 5 হলে, z -এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
Ιz - 2Ι ≤ 5
বা, - 5 ≤ z - 2 ≤ 5
বা, - 5 + 2 ≤ z - 2 + 2 ≤ 5 + 2
বা, - 3 ≤ z ≤ 7

∴ z -এর সর্বনিম্ন মান = - 3

৫৯৫.

{1/|2x - 3|} ≥ (1/5) অসমতাটির সমাধান সেট কত?

ক
S = {x ∈ R : 2 < x < - 4}
খ
S = {x ∈ R : - 1 < x < 4}
গ
S = {x ∈ R : 2 ≤ x ≤ - 4}
ঘ
S = {x ∈ R : - 1 ≤ x ≤ 4}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {1/|2x - 3|} ≥ (1/5) অসমতাটির সমাধান সেট কত?

সমাধান:
1/|2x - 3| ≥ 1/5
⇒ |2x - 3| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ 2x - 3 ≤ 5
⇒ - 5 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 5 + 3
⇒ - 2 ≤ 2x ≤ 8
⇒ - 2/2 ≤ 2x/2 ≤ 8/2
⇒ - 1 ≤ x ≤ 4
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : - 1 ≤ x ≤ 4}

৫৯৬.

m < n এবং a < b হয় তবে, নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

ক
ক) a + m > b + n
খ
খ) a + m < b + n
গ
গ) am = bn
ঘ
ঘ) a = n

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
m < n..............(1)
a < b...............(2)

(1)নং + (2)নং⇒
a + m < b + n

৫৯৭.

|4x - 7| = 13 হলে x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি কত?

ক
1/5
খ
7/2
গ
5/3
ঘ
2/9
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |4x - 7| = 13 হলে x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|4x - 7| = 13

(4x - 7) কে ধনাত্মক বিবেচনা করে পাই,
4x - 7 = 13
⇒ 4x = 13 + 7
⇒ 4x = 20
∴ x = 5

(4x - 7) কে ঋণাত্মক বিবেচনা করে পাই,
- (4x - 7) = 13
⇒ - 4x + 7 = 13
⇒ - 4x = 13 - 7
⇒ - 4x = 6
⇒ x = - 6/4
∴ x = - 3/2

x এর সম্ভাব্য সকল মানের সমষ্টি = 5 + (- 3/2)
= 5 - (3/2)
= (10 - 3)/2
= 7/2

৫৯৮.

3x + 2 > 5x - 6 এর সমাধান কী?

ক
x < 4
খ
x > 4
গ
x = 4
ঘ
x ≤ 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 2 > 5x - 6 এর সমাধান কী?

সমাধান:
3x + 2 > 5x - 6
⇒ 3x + 2 - 5x + 6 > 0
⇒ - 2x + 8 > 0
⇒ - 2x > - 8
⇒ - x > - 4
∴ x < 4

৫৯৯.

m, n, p তিনটি বাস্তব সংখ্যা। m > n এবং p ≠ 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) mp > np, যখন p > 0
খ
খ) mp < np যখন p < 0
গ
গ) m/p > n/p যখন p > 0
ঘ
ঘ) উপরের সবগুলো

ব্যাখ্যা

ঋণাত্মক চিহ্ন দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে সমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।
এক্ষত্রে,
m, n, p তিনটি বাস্তব সংখ্যা। m > n এবং p ≠ 0 হলে
১ ) mp > np, যখন p > 0
২) mp < np যখন p < 0
৩)m/p > n/p যখন p > 0

সবগুলো সঠিক

৬০০.

|x - 3| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

ক
m = - 3 এবং n = 21
খ
m = 2 এবং n = 26
গ
m = - 1 এবং n = 7
ঘ
m = 2 এবং n = 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 3| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান:
|x - 3| < 4
⇒ - 4 < x - 3 < 4
⇒ - 4 + 3 < x < 4 + 3
⇒ - 1 < x < 7
⇒ - 1 × 3 < 3x < 7 × 3
⇒ - 3 < 3x < 21
⇒ - 3 + 5 < 3x + 5 < 21 + 5
⇒ 2 < 3x + 5 < 26

এখন, m < 3x + 5 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2 এবং n = 26।