লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সরল ও দ্বিপদী অসমতা

মোট প্রশ্ন১,১৬১এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সরল ও দ্বিপদী অসমতা

PrepBank · পাতা ৪ / ১২ · ৩০১–৪০০ / ১,১৬১

৩০১.
x2 - 7x + 10 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    1 < x < 6
  2. খ
    x > 5 অথবা x < 2
  3. গ
    3 < x < 4
  4. ঘ
    2 < x < 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 7x + 10 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x2 - 7x + 10 < 0
⇒ x2 - 5x - 2x + 10 < 0
⇒ x(x - 5) - 2(x - 5) < 0
⇒ (x - 2)(x - 5) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 2) > 0 এবং (x - 5) < 0
⇒ x > 2 এবং x < 5
⇒ 2 < x < 5

ক্ষেত্র ২: (x - 2) < 0 এবং (x - 5) > 0
⇒ x < 2 এবং x > 5

এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 2 < x < 5

৩০২.
।2x - 7। < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 
  1. ক
    ক) - 1 < x < 5 
  2. খ
    খ) 1 < x < 6 
  3. গ
    গ) 1 < x < 5 
  4. ঘ
    ঘ) 2 < x < 4
ব্যাখ্যা
।2x - 7। < 5 
- 5 < 2x - 7 < 5 
- 5 + 7 < 2x - 7 + 7 < 5 + 7
2 < 2x < 12 
2/2 < 2x /2 < 12/2
1 < x < 6 
৩০৩.
যদি 0 ≤ x ≤ 4 এবং y < 6 হয় তাহলে নিচের কোনটি xy এর মান হতে পারে না?
  1. ক
    -2
  2. খ
    0
  3. গ
    6
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
y < 6 তাই y এর মান সকল ঋণাত্মক সংখ্যা এবং 6 এর চেয়ে ছোট এবং x এর মান 0, 1, 2, 3, 4, 5
তাই এই শর্তে উপরের তিনটি সংখ্যাই সম্ভব তাই 24 হওয়া সম্ভব নয়
৩০৪.
∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    (5, ∞)​
  2. খ
    (- ∞, 5) ∪ (2 , ∞)​
  3. গ
    (- ∞,- 7) ∪ (3, ∞)​
  4. ঘ
    (3, ∞)​
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা টি হলো ,
∣x + 2∣ > 5 

এখন,
x + 2  ধনাত্মক হলে,
⇒ x + 2 > 5
⇒ x > 5 - 2 
⇒ x > 3

আবার, x + 2 ঋণাত্মক হলে,
-(x + 2) > 5
⇒ (x +2) < - 5
⇒ x < - 5 - 2 
⇒ x < - 7

x < - 7 এর অর্থ হলো x এর মান − ∞ থেকে − 7 পর্যন্ত। সুতরাং x < - 7 এর জন্য সমাধান সেট = (- ∞,- 7) 
x > 3 এর অর্থ হলো x এর মান 3 থেকে ∞ পর্যন্ত। সুতরাং x > 3 এর জন্য সমাধান সেট = (3, ∞)​

সুতরাং,
∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট=
(− ∞,− 7) ∪ (3, ∞)​
৩০৫.
3x - 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    (1, ∞)
  2. খ
    (2, ∞)
  3. গ
    (-2, ∞)
  4. ঘ
    (-1, ∞)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3x - 3 > 2x - 1 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান: 
3x - 3 > 2x - 1
3x - 3 + 3 > 2x - 1 + 3
3x > 2x + 2
3x - 2x > 2x - 2x + 2
x > 2

অর্থাৎ x এর মান ২ থেকে বড় যে কোন সংখ্যা হতে পারে।
∴ নির্ণেয় সমাধান সেট = (2, ∞)
৩০৬.
x2 - 7x + 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- ∞, 6) ∪ (2, + ∞)
  2. খ
    (- ∞, - 2) U (5, + ∞)
  3. গ
    (- ∞, 3) ∪ (4, + ∞)
  4. ঘ
    (- ∞, - 4) U (- 3, + ∞)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 7x + 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x2 - 7x + 12 > 0
⇒ x2 - 4x - 3x + 12 > 0
⇒ x(x - 4) - 3(x - 4) > 0
⇒ (x - 4)(x - 3) > 0

দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক অথবা উভয়েই ঋণাত্মক হয়।

ক্ষেত্র ১: উভয়ই ধনাত্মক হলে,
x - 4 > 0 এবং x - 3 > 0
⇒ x > 4 এবং x > 3
∴ x > 4

ক্ষেত্র ২: উভয়ই ঋণাত্মক হলে,
x - 4 < 0 এবং x - 3 < 0
⇒ x < 4 এবং x < 3
∴ x < 3

সুতরাং, অসমতাটির সমাধান হলো: x < 3 অথবা x > 4
ব্যবধিতে প্রকাশ করলে: (- ∞, 3) ∪ (4, + ∞)

৩০৭.
।x - 8। > 6 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    x > 14 অথবা x < 2
  2. খ
    x > 8 অথবা x < 7
  3. গ
    x > 4 অথবা x < 3
  4. ঘ
    x > 3 অথবা x < 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।x - 8। > 6 অসমতাটির সমাধান কত?  

সমাধান: 
(x - 8) অঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
x - 8 > 6
x - 8 + 8 > 6 + 8
x > 14

আবার 
(x - 8) ঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
- (x - 8) > 6
- x + 8 > 6
- x + 8 - 8 > 6 - 8
- x > - 2
(- x)(- 1) < (- 1)(- 2)
x < 2
৩০৮.
∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (5, ∞)​
  2. খ
    (- ∞, 5) ∪ (2 , ∞)​
  3. গ
    (- ∞,- 7) ∪ (3, ∞)​
  4. ঘ
    (3, ∞)​
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান:
∣x + 2∣ > 5
x + 2 কে ধনাত্মক ধরে,
x + 2 > 5 
⇒ ​x > 5 - 2
⇒ ​x > 3

আবার, 
x + 2 কে ঋণাত্মক ধরে,
- (x + 2) > 5
⇒ ​x + 2 < - 5
⇒ ​x < - 5 - 2
⇒ ​x < - 7
​
অসমতার সমাধান = ​​x < - 7 অথবা x > 3
 অর্থাৎ x এর মান - ∞ থেকে - 7 পর্যন্ত অথবা  3 থেকে  ∞ পর্যন্ত 

​সুতরাং,
∣x + 2∣ > 5 অসমতাটির সমাধান সেট =
(− ∞,− 7) ∪ (3, ∞)​
​

৩০৯.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 11 < x < - 3
  1. ক
    ।x - 5। < 1
  2. খ
    ।x + 2। < 1
  3. গ
    ।x - 6। < 2
  4. ঘ
    ।x + 7। < 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 11 < x < - 3

সমাধান:
- 11 < x < - 3
∴ গড় = {(- 11) + (- 3)}/2
= - 14/2 
= - 7

∴ - 11 + 7 < x + 7 < - 3 + 7
⇒ - 4 < x + 7 < 4
⇒ ।x + 7। < 4

৩১০.
-2 < 3 - x < 8 অসমতাকে পরম মান চিহ্নের প্রকাশ করলে নিচের কোনটি পাওয়া যাবে?
  1. ক
    ক) |x| < -5
  2. খ
    খ) |x| < 6
  3. গ
    গ) |x| < 5
  4. ঘ
    ঘ) |x| < -6
ব্যাখ্যা

-2<3 - x<8
⇒ -2 -3<-x<8 - 3
⇒ - 5<-x<5
⇒ -5 <x<5
∴ |x|<5

৩১১.
x ≤ (4 + x/3) রাশি এর সমাধান কি হবে?
  1. ক
    ক) x < 6
  2. খ
    খ) x ≥ 6
  3. গ
    গ) x ≤ 6
  4. ঘ
    ঘ) x ≤ 8
ব্যাখ্যা

x ≤ (4 + x/3)
⇒ x - x/3 ≤ 4 + x/3 - x/3
⇒ (3x - x)/3 ≤ 4
⇒ 2x/3 × 3/2 ≤ 4 × 3/2
⇒ x ≤ 6

৩১২.
x2 - 5x + 6 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কেমন?
  1. ক
    বাস্তব, সমান ও মুলদ
  2. খ
    অবাস্তব ও সমান
  3. গ
    বাস্তব ও সমান
  4. ঘ
    বাস্তব, মুলদ ও অসমান
ব্যাখ্যা
b2 - 4ac
= (-5)2 - 4 × 1 × 6
= 1
যেহেতু, নিশ্চায়ক পূর্ণবর্গ ও ধনাত্মক সংখ্যা তাই মুলদ্বয় বাস্তব, মুলদ ও অসমান।

নিশ্চায়কের অবস্থাভেদে দ্বিঘাত সমীকরণে মূলদ্বয়ের ধরন ও প্রকৃতি (a, b, c মূলদ সংখ্যা):
b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
b2 - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
b2 - 4ac = 0 হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
b2 - 4ac < 0 অর্থাৎ ঋণাত্মক হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।
৩১৩.
(x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?
  1. ক
    ক) - 2 < x < 5
  2. খ
    খ) 2 < x < 10
  3. গ
    গ) 2 > x > 5
  4. ঘ
    ঘ) 2 < x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট কত হবে?

সমাধান:
(x - 2)(x - 5) < 0 হবে, যখন একটি ধনাত্মক  একটি ঋণাত্মক হবে।
অতএব, x - 2 ধনাত্মক ও x - 5 ঋণাত্মক হবে।

x - 2 > 0
∴ x > 2

x - 5 < 0
∴ x < 5

(x - 2)(x - 5) < 0 হলে, এর সমাধান সেট = 2 < x < 5 
৩১৪.
|2p - 3| ≤ 1 হলে,p এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    1
  2. খ
    2
  3. গ
    3
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |2p - 3| ≤ 1 হলে,p এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|2p - 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2p - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2p - 3 + 3 ≤ 1 + 3 [উভয় পক্ষে 3 যোগ করে]
⇒ 2 ≤ 2p ≤ 4
⇒ 1 ≤ p ≤ 2 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ p এর সর্বনিম্ন মান 1.
৩১৫.
যদি 3x + y = 7 এবং 2x + 3y > 12 হয়, তবে-
  1. ক
    x < 1/7
  2. খ
    x < 9/7
  3. গ
    x < 2/7
  4. ঘ
    x < 5/7
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3x + y = 7 এবং 2x + 3y > 12 হয়, তবে-

সমাধান:
3x + y = 7,
∴ y = 7 - 3x

Now substitute in the inequality:
2x + 3y > 12
⇒ 2x + 3(7 - 3x) > 12
⇒ 2x + 21 - 9x > 12
⇒ -7x + 21 > 12
⇒ -7x > 12 - 21
⇒ -7x > -9
∴ x < 9/7

৩১৬.
x2 - 3x - 40 = 0 সমীকরণের মূল দুটি কত?
  1. ক
    ক) (- 8, 5)
  2. খ
    খ) (8,- 5)
  3. গ
    গ) (- 8,- 5)
  4. ঘ
    ঘ) (8,5)
ব্যাখ্যা
x2 - 3x - 40= 0 
x2 - 8x + 5x - 40= 0 
x(x - 8) + 5(x - 8) = 0
(x - 8) (x + 5) = 0

হয়                       অথবা 
x - 8 = 0                 x + 5 = 0
x =  8                     x = - 5
৩১৭.
x>y এবং z<0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) xz < yz
  2. খ
    খ) xz > yz
  3. গ
    গ) z/x > z/y
  4. ঘ
    ঘ) z/y > z/x
ব্যাখ্যা
যেহেতু z<0 সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা। দেওয়া আছে, xz < yz [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে] z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে এটা দ্বারা উভয় পক্ষকে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < হয়েছে।
৩১৮.
2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    - 3
  3. গ
    8
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 হলে x এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান:
2(x - 4) ≥ 3x - 5
বা, 2x - 8 ≥ 3x - 5
বা, 2x - 3x ≥ - 5 + 8
বা, - x ≥ 3
∴ x ≤ - 3
৩১৯.
|a - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3a + 5 < n হবে?
  1. ক
    m = 3, n = 8
  2. খ
    m = 4, n = 18
  3. গ
    m = 7, n = 25
  4. ঘ
    m = 2, n = 20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |a - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3a + 5 < n হবে?

সমাধান:
|a - 2| < 3
⇒ -3 < a - 2 < 3
⇒-3 + 2 < a - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < a < 5
⇒ -3 < 3a < 15
⇒ -3 + 5 < 3a + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3a + 5 < 20
যেখানে, m < 3a + 5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20
৩২০.
কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার 5 গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ ও 18 এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট। সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান অসমতায় কত হবে?
  1. ক
    ক) 0 < x < 6
  2. খ
    খ) 5 < x < 6
  3. গ
    গ) 1 < x < 5
  4. ঘ
    ঘ) 2 < x < 3
ব্যাখ্যা
মনে করি
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
5x < 2x + 18
বা, 5x - 2x < 2x + 18 - 2x 
বা, 3x < 18
      x < 6

যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
∴ সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান 0 < x < 6
৩২১.
4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a) অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?
  1. ক
    {a ∈ R: a ≥ - 1}
  2. খ
    {a ∈ R: a ≤ 2}
  3. গ
    {a ∈ R: a ≤ 1}
  4. ঘ
    {a ∈ R: a ≥ 1}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a) অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
4(2 - a) ≥ 2(5 - 3a)
বা, 8 - 4a ≥ 10 - 6a
বা, 8 - 4a + 6a ≥ 10 - 6a + 6a
বা, 8 + 2a ≥ 10
বা, 8 + 2a - 8 ≥ 10 - 8
বা, 2a ≥ 2
∴ a ≥ 1

∴ সমাধান সেট = {a ∈ R: a ≥ 1}

৩২২.
। 4x - 2। < 10 হলে, নিচের কোন অসমতাটি সঠিক?
  1. ক
    - 2 < x < 2
  2. খ
    - 1 < x < 3
  3. গ
    - 2 < x < - 3
  4. ঘ
    - 2 < x < 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: । 4x - 2। < 10 হলে  নিচের কোন অসমতাটি সঠিক?

সমাধান:
|4x - 2| < 10

(4x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (4x - 2) < 10 
4x - 2 + 2 < 10 + 2
4x < 12
 x < 3

আবার,
(4x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (4x - 2) > - 10
4x - 2 + 2 > - 10 + 2
4x > - 8
x > - 2

অসমতাটির সমাধান - 2 < x < 3
৩২৩.
।2p - 9। < 11 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    2 < p < 7
  2. খ
    - 1 < p < 10
  3. গ
    - 3 < p < 20
  4. ঘ
    2 > p < - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।2p - 9। < 11 হলে, অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
(2p - 9) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2p - 9) < 11
2p - 9 < 11
⇒ 2p < 11 + 9
⇒ 2p < 20
⇒ p < 20/2
∴ p < 10

(2p - 9) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2p - 9) < 11
- (2p - 9) < 11
⇒ 2p - 9 > - 11
⇒ 2p > 9 - 11
⇒ 2p > - 2
∴ p > - 1

অসমতাটির সমাধান: - 1 < p < 10
৩২৪.
|7x - 2| ≤ 11 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    - 9/7 ≥ x > 13/7
  2. খ
    - 9/7 < x ≤ 13/7
  3. গ
    - 9/7 ≤ x < 13/7
  4. ঘ
    - 9/7 ≤ x ≤ 13/7
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |7x - 2| ≤ 11 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|7x - 2| ≤ 11
বা, - 11 ≤ 7x - 2 ≤ 11
বা, - 11 + 2 ≤ 7x - 2 + 2 ≤ 11 + 2
বা, - 9 ≤ 7x ≤ 13
বা, - 9/7 ≤ x ≤ 13/7
৩২৫.
3 ≤ x ≤ 7 কে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করলে হবে-
  1. ক
    ক) ।x - 5। ≤ 1
  2. খ
    খ) ।x - 5। ≤ 2
  3. গ
    গ) ।x - 5। ≤ 3
  4. ঘ
    ঘ) ।x - 5। ≤ 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 ≤ x ≤ 7 কে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
উভয়পক্ষ হতে,  (3 + 7)/2 বা 5 বিয়োগ করে পাই, 
3 - 5 ≤ x - 5 ≤ 7 - 5
⇒ - 2 ≤ x - 5 ≤ 2
∴ ।x - 5। ≤ 2
৩২৬.
a > b এবং c > 0 হলে কোনটি অবশ্যই সত্য?
  1. ক
    ক) ac > b2
  2. খ
    খ) ac > bc
  3. গ
    গ) -ac > -bc
  4. ঘ
    ঘ) 1/ac > 1/bc
ব্যাখ্যা

ধরি, a = 7, b = 4 এবং c = 5
ac = 35 এবং bc = 20
∴ ac > bc

৩২৭.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন।
- 3 < x < 2
  1. ক
    |x - 1| < 5
  2. খ
    |x + 1| < 5
  3. গ
    |2x + 1| < 5
  4. ঘ
    |2x - 1| < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন। 
- 3 < x < 2 

সমাধান: 
- 3 < x < 2 
বা, - 3 ও 2 এর গড় = (- 3 + 2)/2 = - 1/2 

∴ - 3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2
⇒ - 5/2 < (2x + 1)/2 < 5/2
⇒ - 5 < 2x + 1 < 5
∴ |2x + 1| < 5
৩২৮.
। 2a + 4। < 8 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    - 3 < a < - 2
  2. খ
    - 6 < a < 2
  3. গ
    - 6 < a < - 3
  4. ঘ
    - 4 < a < 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: । 2a + 4। < 8 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
। 2a + 4। < 8
⇒ - 8 < 2a + 4 < 8
⇒ - 8 - 4 < 2a + 4 - 4 < 8 - 4
⇒ - 12 < 2a < 4
⇒ - 6 < a < 2

৩২৯.
সমাধান করুন: |3 + 2x| ≤ 7
  1. ক
    ক) - 2 ≤ x ≤ 2
  2. খ
    খ) - 5 ≤ x ≤ 5
  3. গ
    গ) - 2 ≤ x ≤ 5
  4. ঘ
    ঘ) - 5 ≤ x ≤ 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- সমাধান করুন: |3 + 2x| ≤ 7

সমাধান- 
|3 + 2x| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ 3 + 2x ≤ 7
⇒ - 7 - 3 ≤ 3 + 2x - 3 ≤ 7 - 3
⇒ - 10 ≤ 2x ≤ 4
⇒ - 5 ≤ x ≤ 2
৩৩০.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে - 2 < x < 8 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?
  1. ক
    |x + 3| < 5
  2. খ
    |x - 4| < 6
  3. গ
    |x + 4| < 6
  4. ঘ
    |x - 3| < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে - 2 < x < 8 অসমতাটি প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 2 < x < 8

এখানে,
- 2 < x < 8 অসমতাটি মধ্যবিন্দু = (- 2 + 8)/2
= 6/2
= 3

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে 3 বিয়োগ করে পাই,
- 2 < x < 8
⇒ - 2 - 3 < x - 3 < 8 - 3
⇒ - 5 < x - 3 < 5
⇒ |x - 3| < 5
৩৩১.
x > y এবং z < 0, হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    z/x < z/y
  2. খ
    x/z > y/z
  3. গ
    xz < yz
  4. ঘ
    xz > yz
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x > y এবং z < 0, হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x > y ...…..... (1)
z < 0 ............ (2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা।
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz
৩৩২.
। 2a + 4। < 8 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    - 6 < a < 2
  2. খ
    - 3 < a < - 2
  3. গ
    - 4 < a < 2
  4. ঘ
    - 6 < a < - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: । 2a + 4। < 8 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
। 2a + 4। < 8
⇒ - 8 < 2a + 4 < 8
⇒ - 8 - 4 < 2a + 4 - 4 < 8 - 4
⇒ - 12 < 2a < 4
⇒ - 6 < a < 2
৩৩৩.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 4 < x + 1 < 6
  1. ক
    |x + 1| > 3
  2. খ
    |x + 1| < 5
  3. গ
    |x| > 3
  4. ঘ
    |x| < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 4 < x + 1 < 6

সমাধান:
- 4 < x + 1 < 6
⇒ - 4 - 1 < x + 1 - 1 < 6 - 1
⇒ - 5 < x < 5
∴ |x| < 5
৩৩৪.
যদি x + 1 > 1 - 2x হয়, তবে সমীকরণটির সমাধান হবে - 
  1. ক
    ক) x > 0
  2. খ
    খ) x < 0
  3. গ
    গ) x > 3
  4. ঘ
    ঘ) x < - 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি x + 1 > 1 - 2x হয়, তবে সমীকরণটির সমাধান হবে - 

সমাধান:
x + 1 > 1 - 2x 
বা, x + 2x > 1 - 1 
বা, 3x > 0 
∴ x > 0
৩৩৫.
x2 - 7x + 12 < 0 হয়, তাহলে নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) - 3 < x < 2
  2. খ
    খ) - 4 < x < 4
  3. গ
    গ) 3 < x < 4
  4. ঘ
    ঘ) 2 < x < 6
ব্যাখ্যা
x2 - 7x + 12 < 0 
x2 - 4x - 3x + 12 < 0
x(x - 4) - 3 (x - 4)< 0
 (x - 4)(x - 3) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 3 > 0 এবং x - 4 < 0হয়।           
x - 3 > 0
বা, x > 3
x - 4 < 0
বা, x < 4
x > 3এবং x < 4 অর্থাৎ x এর মান 3 এর চেয়ে বড় এবং 4 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি 3 < x < 4 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 3 < x < 4

আবার, অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 3 < 0 এবং x - 4 > 0 হয়।
x - 3 < 0
বা, x < 3
x - 4 > 0
বা, x > 4
x < 3 এবং x > 4 অর্থাৎ  3 এর চেয়ে ছোট এবং 4 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 3 < x < 4
৩৩৬.
নিচের কোনটি [1/(x - 7)(x - 9)] < 0 অসমতাটির সমাধান?
  1. ক
    12
  2. খ
    - 8
  3. গ
    17 < x < 8
  4. ঘ
    7 < x < 9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি [1/(x - 7)(x - 9)] < 0 অসমতাটির সমাধান?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা:
1 / (x − 7)(x − 9) < 0

যেহেতু লব 1 ধনাত্মক, তাই ভগ্নাংশটি ঋণাত্মক হবে যখন হর ঋণাত্মক হবে।
(x − 7)(x − 9) < 0

সংকটপূর্ণ মান,
x − 7 = 0 ⇒ x = 7
x − 9 = 0 ⇒ x = 9

পরিসর অনুযায়ী চিহ্ন
x < 7 → গুণফল ধনাত্মক
7 < x < 9 → গুণফল ঋণাত্মক
x > 9 → গুণফল ধনাত্মক

[উল্লেখ্য, [1/(x - 7)(x - 9)] < 0 অসমতাটি সত্য হওয়ার জন্য, লব (1) ধনাত্মক হওয়ায়, হর (x - 7)(x - 9) অবশ্যই ঋণাত্মক (< ০) হতে হবে।
একটি গুণফল তখনই ঋণাত্মক হয় যখন একটি উৎপাদক ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হয়।

যদি (x - 7) > 0 এবং (x - 9) < 0 হয়, তবে x > 7 এবং x < 9 , অর্থাৎ, 7 < x < 9

যদি (x - 7) < 0 এবং (x – 9) > 0 হয়, তবে x < 7 এবং x > 9 , যা অসম্ভব (কারণ কোনো সংখ্যা একই সাথে 9-এর চেয়ে বড় এবং 7-এর চেয়ে ছোট হতে পারে না)।]

∴ অসমতার সমাধান হলো: 7 < x < 9 
৩৩৭.
সমাধান করুন: x - 9 > 3x + 1
  1. ক
    x > 5
  2. খ
    x > - 3
  3. গ
    x < 5/2​
  4. ঘ
    x < - 5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন: x - 9 > 3x + 1

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x - 9 > 3x + 1
⇒ x - 9 + 9 > 3x + 1 + 9
⇒ x > 3x + 10
⇒ x - 3x > 3x + 10 - 3x
⇒ - 2x > 10
⇒ (- 2x)/(- 2) < 10/(- 2) ; [উভয়পক্ষকে - 2 দ্বারা ভাগ করায় অসমতার দিক পাল্টে গেছে]
∴ x < - 5

∴ নির্ণেয় সমাধান x < - 5

৩৩৮.
কোন শর্তে ax = bx হলে, a = b হবে?
  1. ক
    a > 0, b > 0 এবং x ≠ 0
  2. খ
    a < 0, b < 0 এবং x = 0
  3. গ
    a > 0, b > 0 এবং x ≠ - 1
  4. ঘ
    a < 0, b < 0 এবং x ≠ 0
ব্যাখ্যা
a > 0, b > 0 এবং x ≠ 0 হলে, ax = bx হলে, a = b হবে।
৩৩৯.
x2 + 3 < 4x অসমতার সমাধান -
  1. ক
    ক) -3 < x < -1
  2. খ
    খ) 1 < x < 3
  3. গ
    গ) x > 1 অথবা x > 3
  4. ঘ
    ঘ) x < 1 অথবা x > 3
ব্যাখ্যা

x2 + 3 < 4x
বা, x2 - 4x + 3 < 0
বা, x2 - 3x - x + 3 < 0
বা, x(x-3) - 1(x-3) < 0
বা, (x-3)(x-1) < 0
∴ 1 < x < 3

৩৪০.
বাস্তব সংখ্যায় |x + 3| ≤ 5 অসমতাটির সমাধান-
  1. ক
    -1 ≤ x ≤ 4
  2. খ
    - 8 ≤ x ≤ 2
  3. গ
    1 ≤ x ≤ 4
  4. ঘ
    - 4 ≤ x ≤ - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |x + 3| ≤ 5 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
|x + 3| ≤ 5
⇒ - 5 ≤ x + 3 ≤ 5
⇒ - 5 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 5 - 3
⇒ - 8 ≤ x ≤ 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: - 8 ≤ x ≤ 2
৩৪১.
যদি 0≤x≤5 এবং y<7 হয় তা হলে নিচের কোনটির মান xy এর মান হতে পারে না?
  1. ক
    ক) -2
  2. খ
    খ) 0
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা

y<7 হল সকল ঋণাত্মক সংখ্যা, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
0≤x≤5 হল 1, 2, 3, 4, 5
∴ y = -1  x = 2 হলে xy = -2
y = 0 x = 2 হলে xy = 0
y = 3 x = 2 হলে xy = 6

৩৪২.
|5x - 4| ≤ 11 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?
  1. ক
    - 7/5 ≤ x < 5
  2. খ
    - 7/5 ≤ x ≤ 3
  3. গ
    - 7/5 < x < 3
  4. ঘ
    7/5 < x < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |5x - 4| ≤ 11 অসমতার সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|5x - 4| ≤ 11
বা, - 11 ≤ 5x - 4 ≤ 11
বা, - 11 + 4 ≤ 5x - 4 + 4 ≤ 11 + 4
বা, - 7 ≤ 5x ≤ 15
∴ - 7/5 ≤ x ≤ 3
৩৪৩.
6x² - 7x - 4 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ে প্রকৃতি কোনটি?
  1. ক
    ক) বাস্তব ও সমান
  2. খ
    খ) বাস্তব ও অসমান
  3. গ
    গ) অবাস্তব
  4. ঘ
    ঘ) পূর্ণ বর্গ সংখ্যা
ব্যাখ্যা

6x2 - 7x - 4 = 0 সমীকরণটির নিশ্চায়ক b2 - 4ac এর সাহায্যে বের করা যায়।

নিশ্চায়ক = (-7)2 - 4x6x(-4) = 49+96 = 145 > 0

যেহেতু নিশ্চায়ক ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা। তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।

৩৪৪.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
- 18 < x < - 6 
  1. ক
    |x + 10| < 5
  2. খ
    |x + 11| < 6
  3. গ
    |x + 12| < 6
  4. ঘ
    |x + 5| < 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
- 18 < x < - 6

সমাধান:
- 18 < x < - 6
∴ গড় = {(- 18) + (- 6)}/2
= - 24/2
= - 12

∴ - 18 + 12 < x + 12 < - 6 + 12
⇒ - 6 < x + 12 < 6
⇒ |x + 12| < 6

৩৪৫.
|x + 3| < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 
  1. ক
    S = {x ∈ R: - 3 < x < 8}
  2. খ
    S = {x ∈ R: 3 < x < - 3}
  3. গ
    S = {x ∈ R: - 8 < x < 2} 
  4. ঘ
    S = {x ∈ R: - 5 < x < 5}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x + 3| < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 3| < 5

এখন,
(x + 3) ধনাত্মক ধরে,
(x + 3) < 5
⇒ x + 3 - 3 < 5 - 3
⇒ x < 2

আবার,
(x + 3) ঋনাত্মক ধরে,
- (x + 3) < 5
⇒ x + 3 > - 5
⇒ x + 3 - 3 > - 5 - 3
⇒ x > - 8

দুইটি শর্ত তুলনা করে প্রাপ্ত অসমতার সমাধান = - 8 < x < 2
∴ S = {x ∈ R: - 8 < x < 2} 

শর্টকাট:
|x + 3| < 5
⇒ - 5 < x + 3 < 5
⇒ (- 5 - 3) < (x + 3 - 3) < (5 - 3)
⇒ - 8 < x < 2
৩৪৬.
5x + 3 ≥ 18 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
     {x ∈ R : x ≥ 5}
  2. খ
    {x ∈ R : x ≤ 3}
  3. গ
    {x ∈ R : x ≤ 5}
  4. ঘ
    {x ∈ R : x ≥ 3}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5x + 3 ≥ 18 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x + 3 ≥ 18 
⇒ 5x + 3 - 3 ≥ 18 - 3 ; [উভয়পাশে 3 বিয়োগ করে পাই] 
⇒ 5x ≥ 15
⇒ 5x/5 ≥ 15/5 ; [উভয়পাশে 5 দ্বারা ভাগ করে পাই] 
∴ x ≥ 3

৩৪৭.
।2x + 5। < 3 অসমতাটির সমাধান- 
  1. ক
    - 6 < x < - 1
  2. খ
    - 6 < x < - 4
  3. গ
    - 4 < x < - 1
  4. ঘ
    - 2 < x < - 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।2x + 5। < 3 অসমতাটির সমাধান- 

সমাধান: 
।2x + 5। < 3
বা, - 3 < 2x + 5 < 3
বা, - 3 - 5 < 2x < 3 - 5
বা, - 8 < 2x < - 2
∴ - 4 < x < - 1
৩৪৮.
যদি xy > 0 এবং yz < 0 হয় নিচের কোনটি অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা?
  1. ক
    xyz
  2. খ
    xyz2
  3. গ
    xy2z
  4. ঘ
    xy2z2
ব্যাখ্যা

xy > 0 এবং yz < 0 হওয়ায় দুটির গুনফল ঋনাত্নক হবে তাই xy × yz = xy2z ঋণাত্মক

৩৪৯.
3 < a < 7  অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন-
  1. ক
    ।a - 5। < 2
  2. খ
    ।a - 4। < 1
  3. গ
    ।a - 3। < 2
  4. ঘ
    ।a - 2। < 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 < a < 7  অসমতাটিকে পরমমান চিহ্নের সাহায্যে প্রকাশ করুন-

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (3 + 7)/2
= 10/2
= 5

গড় যোগের হওয়ায় প্রত্যের থেকে 5  বিয়োগ করতে হবে।
3 < a < 7
⇒ 3 - 5 < a - 5 < 7 - 5
⇒ - 2 < a - 5 < 2
∴ ।a - 5। < 2
৩৫০.
12 ≥ 4 - 4a হলে, a এর মান কত?
  1. ক
    a ≥ - 3
  2. খ
    a ≥ 4
  3. গ
    a ≥ - 2
  4. ঘ
    a ≤ - 2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 ≥ 4 - 4a হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
12 ≥ 4 - 4a
⇒ 12 - 4 ≥ 4 - 4a - 4
⇒ 8 ≥ - 4a
⇒ - 8 ≤ 4a 
⇒ 4a ≥ - 8
⇒ a ≥ - 2
৩৫১.
2x2 + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (3/2) < x < 1
  2. খ
    (- 3/2) < x < - 1
  3. গ
    (- 3/2) ≤ x ≤ - 1
  4. ঘ
    (- 3/2) < x ≤ - 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2x2 + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2x2 + 5x + 3 < 0
⇒ 2x2 + 2x + 3x + 3 < 0
⇒ 2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
⇒ (x + 1)(2x + 3) < 0

2x2 + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি (x + 1) < 0 এবং (2x + 3) > 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x2 + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন, x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3/2 < x < - 1

৩৫২.
| 3x+2 | < 10 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    ক) - 4 < x < (8/3)
  2. খ
    খ) - 5 < x < (7/3)
  3. গ
    গ) - 3 < x < (5/3)
  4. ঘ
    ঘ) - 7 < x < (4/3)
ব্যাখ্যা
। 3x + 2 । < 10
⇒ -10 < 3x + 2  < 10
⇒ - 10 - 2 < 3x + 2 - 2 < 10 - 2
⇒ - 12 < 3x < 8
⇒ (- 12/3) < (3x/3) < (8/3)
⇒ - 4 < x < (8/3) 
৩৫৩.
5 ≤ 3p + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান হচ্ছে:
  1. ক
    [4/3, 5)
  2. খ
    (2, 5/7]
  3. গ
    [2/5, 6)
  4. ঘ
    (4/3, 7]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 ≤ 3p + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান হচ্ছে:

সমাধান:
5 ≤ 3p + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3p + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3p < 15
= 4/3 ≤ p < 15/3
= 4/3 ≤ p < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

৩৫৪.
x2 - 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- ∞, - 5) ∪ (3, ∞)
  2. খ
    (- 5, 3)
  3. গ
    (- ∞, - 3) ∪ (5, ∞)
  4. ঘ
    (- ∞, - 4) ∪ (5, ∞)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x2 - 2x - 15 > 0
⇒ x2 - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু (Critical points) দুটি হলো x = 5 এবং x = - 3

(x - 5)(x + 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন:
উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 5) অথবা
উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 3)

অর্থাৎ, x < - 3 অথবা x > 5
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 3) ∪ (5, ∞)

৩৫৫.
x2 + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত? 
  1. ক
    √2
  2. খ
    2√2
  3. গ
    4√2
  4. ঘ
    3√2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত? 

সমাধান: 
দুইটি মূল সমান হলে নিশ্চায়ক শূন্য হবে। 
∴ b2 - 4ac = 0 
⇒ p2 - 4 × 1 × 8 = 0 
⇒ p2 = 32 
⇒ p = √32
∴ p = 4√2

৩৫৬.
4z + 4 > 16 হলে- 
  1. ক
    z > 1
  2. খ
    z > 2
  3. গ
    z > 3
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4z + 4 > 16 হলে- 

সমাধান: 
4z + 4 > 16
⇒ 4z > 16 - 4
⇒ 4z > 12 
∴ z > 3
৩৫৭.
a>b হলে নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) -a < -b
  2. খ
    খ) 1/a > 1/b
  3. গ
    গ) -a > -b
  4. ঘ
    ঘ) a-b < 0
ব্যাখ্যা
7 > 5 হলে -7 < -5, 1/7 < 1/5 এবং 7-5 > 0
৩৫৮.
|2x - 3| ≤ 1 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত? 
  1. ক
    4
  2. খ
    3
  3. গ
    2
  4. ঘ
    1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x - 3| ≤ 1 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত? 

সমাধান:
|2x - 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 1 + 3 [উভয় পক্ষে 3 যোগ করে]
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4
⇒ 1 ≤ x ≤ 2 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ x এর সর্বনিম্ন মান 1

৩৫৯.
x2 - 7x + 12 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    x < 3 অথবা x > 4
  2. খ
    - 4 < x < - 3
  3. গ
    2 < x < 5
  4. ঘ
    3 < x < 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2 - 7x + 12 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x2 - 7x + 12 < 0
⇒ x2 - 3x - 4x + 12 < 0
⇒ x(x - 3) - 4(x - 3) < 0
⇒ (x - 3)(x - 4) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 3) > 0 এবং (x - 4) < 0
⇒ x > 3 এবং x < 4
⇒ 3 < x < 4

ক্ষেত্র ২: (x - 3) < 0 এবং (x - 4) > 0
⇒ x < 3 এবং x > 4
এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 3 < x < 4

৩৬০.
(4 - x2) ≤ 0 হলে এর সমাধান-
  1. ক
    -2 < x < 2
  2. খ
    -2 ≤ x ≤ 2
  3. গ
    x < -2 অথবা x > 2
  4. ঘ
    x ≤ -2 অথবা x ≥ 2
ব্যাখ্যা

(4 - x2) ≤ 0
বা, x2 - 4 ≥ 0
বা, (x + 2)(x - 2) ≥ 0



চিত্র অনুসারে,
নির্ণেয় সমাধান = x ≤ -2 অথবা x ≥ 2

৩৬১.
12 - 3x ≥ 2x + 17 অসমতার সমাধান কোনটি?
  1. ক
    x ≥ - 1
  2. খ
    x ≤ 1
  3. গ
    x ≥ 1
  4. ঘ
    x ≤ - 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 - 3x ≥ 2x + 17 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
12 - 3x ≥ 2x + 17
⇒ - 3x - 2x ≥ 17 - 12
⇒ - 5x ≥ 5
⇒ x ≤ -1 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

∴ সমাধান হলো x ≤ -1.

৩৬২.
যদি (1/5) (2x + 3) ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 
  1. ক
    6
  2. খ
    4
  3. গ
    3
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 1/5 (2x + 3) ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 

সমাধান: 
1/5 (2x + 3) ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3 
⇒ 2x + 3 ≥ 15 
⇒ 2x ≥  12 
∴ x ≥ 6 

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে = 6 

৩৬৩.
যদি a > b > c এবং x3 - x = (x - a)(x - b)(x - c) হয়, তবে x এর সকল মানের জন্য b = ?
  1. ক
    -3
  2. খ
    -2
  3. গ
    -1
  4. ঘ
    0
ব্যাখ্যা

x3 - x = (x - a)(x - b)(x - c)
বা, x(x2 - 1) = (x - a)(x - b)(x -c)
বা, (x - 0)(x + 1)(x - 1) = (x - a)(x - b)(x - c)
বা, (x - 1)(x - 0)(x + 1) = (x - a)(x - b)(x - c)
∴ a > b > c
∴ x - 1 = x - a,
x - 0 = x - b,
x + 1 = x - c
∴ a = 1
∴ b = 0
∴ c = -1

৩৬৪.
x3 - 1 = 0 সমীকরণের বাস্তব মূলের সংখ্যা -
  1. ক
    ক) ১
  2. খ
    খ) ২
  3. গ
    গ) ৩
  4. ঘ
    ঘ) নাই
ব্যাখ্যা

x3 + 1 = 0
⇒ (x + 1)(x2 - x + 1) = 0
∴ x = -1, যা বাস্তব
আবার,
ax2+ bx + c = 0 সমীকরণের মূল
x = {-b ± √(b2 - 4ac)}/2a
⇒ x = 1 ± √(1 - 4.1.1)/2
⇒ x = {1 ± √(-3)}/2 = 1 ± √(3i)/2
যা দুইটি অবাস্তব সংখ্যা

∴ উক্ত সমীকরণের বাস্তব মূলের সংখ্যা ১ টি। 

৩৬৫.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে -3 < x < 1 অসমতাটির প্রকাশ হবে-
  1. ক
    |x + 1| > 3
  2. খ
    |x + 1| > 4
  3. গ
    |x + 1| < 2
  4. ঘ
    |x + 1| < 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে -3 < x < 1 অসমতাটির প্রকাশ হবে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
-3 < x < 1
এখানে, (-3 + 1)/2
= -2/2
= -1

এখন, প্রদত্ত অসমতার প্রত্যেক পক্ষ হতে -1 বিয়োগ করে পাই,
-3 < x < 1
⇒ -3 - (-1) < x - (-1) < 1 - (-1)
⇒ - 3 + 1 < x + 1 < 1 + 1
⇒ - 2 < x + 1 < 2
⇒ |x + 1| < 2
৩৬৬.
x2+ x - 20 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- ∞, - 5) ∪ (4, ∞)
  2. খ
    (- 5, 4)
  3. গ
    (- 4, 5)
  4. ঘ
    (- ∞, - 4) ∪ (5, ∞)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x2+ x - 20 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
 x2 + x - 20 > 0
⇒ x2 + 5x - 4x - 20 > 0
⇒ x(x + 5) - 4(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 4) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = -5 এবং x = 4।

(x + 5)(x - 4) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন:

উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 4) অথবা
উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < -5)

অর্থাৎ, x < -5 অথবা x > 4।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (-∞, -5) ∪ (4, ∞)

৩৬৭.
a ≤ (a/2) + 3 এর সমাধান কত?
  1. ক
    a ≤ 6 
  2. খ
    a ≤ 3
  3. গ
    a ≤ 2 
  4. ঘ
    a ≤ 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a ≤ (a/2) + 3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
a ≤ (a/2) + 3
⇒ 2a ≤ 2{(a/2) + 3}
⇒ 2a ≤ a + 6
⇒ 2a - a ≤ a + 6 - a
⇒ a ≤ 6
৩৬৮.
1/a < 1/b হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    ক) a = b
  2. খ
    খ) a < b
  3. গ
    গ) a > b
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

1/a < 1/b
∴ a > b
কোন ভগ্নাংশকে বিপরীতকরণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।

৩৬৯.
সমাধান করুন: |2x + 1| ≥ 5
  1. ক
    (- ∞, -3)
  2. খ
    (- ∞, -3] ∪ [2, + ∞)
  3. গ
    [2, + ∞)
  4. ঘ
    [-3, 2]
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |2x + 1| ≥ 5

সমাধান:
নিয়ম অনুযায়ী, এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে ভাগ করতে হবে: 2x + 1 ≤ - 5 এবং 2x + 1 ≥ 5
প্রতিটি অংশ আলাদাভাবে সমাধান করে পাই, 

বাম অংশ:
2x + 1 ≤ - 5
⇒ 2x ≤ - 5 - 1 
⇒ 2x ≤ - 6
∴ x ≤ - 3

ডান অংশ:
2x + 1 ≥ 5
⇒ 2x ≥ 5 - 1
⇒ 2x ≥ 4
∴ x ≥ 2

অসমতাটির সমাধান হলো x ≤ - 3 অথবা x ≥ 2 বা (- ∞, -3] ∪ [2, + ∞)

৩৭০.
পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
5 < x < 13
  1. ক
    |x + 9| < 4
  2. খ
    |x + 9| > 4
  3. গ
    |x - 9| < 4
  4. ঘ
    |x - 9| > 4
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন:
5 < x < 13

সমাধান:
5 < x < 13

∴ গড় = (13 + 5)/2
= 18/2
= 9

∴ 5 - 9 < x - 9 < 13 - 9        [উভয়পক্ষে 9 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < x - 9 < 4
⇒ |x - 9| < 4

৩৭১.
a > b হলে কোনটি অবশ্যই সত্য?
  1. ক
    ক) b > a
  2. খ
    খ) 1/a < 1/b
  3. গ
    গ) 1/a > 1/b
  4. ঘ
    ঘ) -a > -b
ব্যাখ্যা
কোনো ব্যাখ্যা যোগ করা হয়নি।
৩৭২.
|1 - 2a| < 1 এর সমাধান কোনটি?
  1. ক
    0 < a < 1
  2. খ
    - 1 < a < 1
  3. গ
    - 1 < a < 0
  4. ঘ
    - 2 < a < 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  |1 - 2a| < 1 এর সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
|1 - 2a| < 1
⇒ - 1 < 1 - 2a < 1
⇒ - 1 - 1 < 1 - 2a - 1 < 1 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে (- 1) বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < - 2a < 0
⇒ (- 2)/(- 2) > (- 2a)/(- 2) > 0/(- 2) [উভয়পক্ষকে (- 2) দ্বারা ভাগ করে, (-) দ্বারা ভাগ করলে চিহ্ন পরিবর্তন হয়]
⇒ 1 > a > 0
⇒ 0 < a < 1

∴ |1 - 2a| < 1 এর সমাধান: 0 < a < 1
৩৭৩.
|x - 3| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?
  1. ক
    m = 4 এবং n = 22
  2. খ
    m = 8 এবং n = 20
  3. গ
    m = 5 এবং n = 18
  4. ঘ
    m = 3 এবং n = 18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 3| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান:
|x - 3| < 2
বা, - 2 < x - 3 < 2
বা, - 2 + 3 < x - 3 + 3 < 2 + 3
বা, 1 < x < 5
বা, 3 < 3x < 15
বা, 3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
∴ 8 < 3x + 5 < 20

m < 3x + 5 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ m = 8 এবং n = 20
৩৭৪.
- 3x + 15 < - 12 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    x ∈ (9, ∞)
  2. খ
    x ∈ [9, ∞)
  3. গ
    x ∈ (- ∞, 9]
  4. ঘ
    x ∈ [- 9, 10)
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: - 3x + 15 < - 12 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
- 3x + 15 < - 12
⇒ 3x - 15 > 12
⇒ x - 5 > 4
⇒ x > 4 + 5
∴ x > 9

∴ সঠিক উত্তর: x ∈ (9, ∞)
৩৭৫.
4x + 4 > 16 অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় করুন-
  1. ক
    {x ∈ R : x ≤ 3}
  2. খ
    {x ∈ R : x > 4}
  3. গ
    {x ∈ R : x > 3}
  4. ঘ
    {x ∈ R : x > - 2}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4x + 4 > 16 অসমতাটির সমাধান সেট নির্ণয় করুন- 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4x + 4 > 16
⇒ 4x + 4 - 4 > 16 - 4 [উভয়পক্ষ থেকে 4 বিয়োগ করে] 
⇒ 4x > 12
⇒ (4x)/4 > 12/4 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে]
∴ x > 3

∴নির্ণেয় সমাধান x > 3
এবং সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x > 3}

৩৭৬.
যদি 4x - 7 < 2x + 13 হয়, তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে?
  1. ক
    x < 7
  2. খ
    x > 9
  3. গ
    x < 13
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 4x - 7 < 2x + 13 হয়, তাহলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য হবে?

সমাধান:
4x - 7 < 2x + 13
⇒ 4x - 2x < 13 + 7
⇒ 2x < 20 
∴ x < 10

10 থেকে ছোট সকল সংখ্যাই 13 থেকে ছোট।
∴ x < 13 অবশ্যই সত্য।
৩৭৭.
x2 - 2x - 15 > 0 এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?
  1. ক
    S = {x : x > 5 অথবা x < - 3}
  2. খ
    S = {x : x > 5 অথবা x < 3}
  3. গ
    S = {x : x > 5 অথবা x > - 3}
  4. ঘ
    S = {x : x > 5 অথবা x > 3}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x2 - 2x - 15 > 0 এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
x2 - 2x - 15 > 0
⇒ x2 - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0 ...............(1)

(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ধনাত্মক হয়।
x - 5 > 0
∴ x > 5

x + 3 > 0
∴ x > - 3

আবার (1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ঋনাত্মক হয়।
x - 5 < 0
∴ x < 5

x + 3 < 0
∴ x < - 3

কিন্তু,
- 3 < x < 5 এর জন্য 
(x - 5)(x + 3) এর মান ঋণাত্মক হয়। যা গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ x এর সঠিক মান হবে x > 5 অথবা x < - 3
∴ নির্ণেয় সেট S = {x : x > 5 অথবা x < - 3}
৩৭৮.
।x - 4। > 3 অসমতাটির সমাধান কত?  
  1. ক
    ক) x > 4 অথবা x < 3
  2. খ
    খ) x > 6 অথবা x < 4
  3. গ
    গ) x > 3 অথবা x < 2
  4. ঘ
    ঘ) x > 7 অথবা x < 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ।x - 4। > 3 অসমতাটির সমাধান কত?  

সমাধান: 
(x - 4) অঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
x - 4 > 3
x - 4 + 4 > 3 + 4
x > 7

আবার 
(x - 4) ঋণাত্মক হলে আমরা পাই,
- (x - 4) > 3
- x + 4 > 3
- x + 4 - 4 > 3 - 4
- x > - 1
(- x)(- 1) < (- 1)(- 1)
x < 1
৩৭৯.
|2x - 3| < 5 এর সমাধান-
  1. ক
    x < - 1 অথবা x > 4
  2. খ
    - 1 < x < 4
  3. গ
    x ≤ - 1 অথবা x ≥ 4
  4. ঘ
    - 4 < x < 1
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x - 3| < 5 এর সমাধান-

সমাধান:
|2x - 3| < 5
⇒ - 5 < 2x - 3 < 5
⇒ - 5 + 3 < 2x - 3 + 3 < 5 + 3
⇒ - 2 < 2x < 8
⇒ - 2/2 < 2x/2 < 8/2
∴ - 1 < x < 4

৩৮০.
|x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?
  1. ক
    - 2
  2. খ
    - 8
  3. গ
    - 11
  4. ঘ
    - 13
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 8
= - 8 ≤ x + 3 ≤ 8
= - 8 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 8 - 3
= - 11 ≤ x ≤ 5

∴ x এর সর্বনিম্ন মান - 11
৩৮১.
3(x + 1) > 2x - 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    x > - 10
  2. খ
    x < - 10
  3. গ
    - 10 < x < 10
  4. ঘ
    x < - 10 অথবা x > 10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3(x + 1) > 2x - 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
3(x + 1) > 2x - 7
⇒ 3x + 3 > 2x - 7
⇒ 3x - 2x > - 7 - 3
⇒  x > - 10
৩৮২.
(1/।5a - 1।) > 1/9 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    - (8/5) < a < 2
  2. খ
    - (8/5) < a < 1
  3. গ
    (4/5) < a < 2
  4. ঘ
    (4/5) < a < 1
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (1/।5a - 1।) > 1/9 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
(1/।5a - 1।) > 1/9
⇒ ।5a - 1। < 9
⇒ - 9 < 5a - 1 < 9
⇒ - 9 + 1 < 5a - 1 + 1 < 9 + 1
⇒ - 8 < 5a < 10
⇒ - (8/5) < a < 2
৩৮৩.
যদি 0 ≤ x ≤ 4 এবং y < 6 হয় তবে নিচের কোনটি xy এর মান হতে পারে?
  1. ক
    23
  2. খ
    24
  3. গ
    25
  4. ঘ
    26
ব্যাখ্যা

x = 4,
y = 23/4 < 6
∴ xy = 4 × 23/4
= 23

৩৮৪.
|x - 6| ≤ 7 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 4x + 5 ≤ q হবে?
  1. ক
    p = 1 এবং q = 57
  2. খ
    p = - 2 এবং q = 50
  3. গ
    p = 1 এবং q = 45
  4. ঘ
    p = - 3 এবং q = 49
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: |x - 6| ≤ 7 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 4x + 5 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x - 6| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x - 6 ≤ 7
⇒ - 7 + 6 ≤ x - 6 + 6 ≤ 7 + 6
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13
⇒ - 4 ≤ 4x ≤ 52
⇒ - 4 + 5 ≤ 4x + 5 ≤ 52 + 5
⇒ 1 ≤ 4x + 5 ≤ 57

যেখানে, p ≤ 4x + 5 ≤ q
∴ p = 1 এবং q = 57
৩৮৫.
বাস্তব সংখ্যায় |x-3| < 5 অসমতাটির সমাধান কোনটি?
  1. ক
    - 4 < x < -2
  2. খ
    - 2 < x < 8
  3. গ
    - 8 < x < -2
  4. ঘ
    -1 < x < 4
ব্যাখ্যা

|x-3| < 5 অসমতাটির সমাধান:
-5 < x-3 < 5
Or, -5+3 < x-3+3 < 5+3
Or, -2 < x < 8

৩৮৬.
ax2 + bx + c < 0 এর সমাধান - 
  1. ক
    x < { - b + √( b2 - 4ac) } / 2a এবং x > { - b - √( b2 - 4ac) } / 2a
  2. খ
    x < { - b + √( b2 - 4ac) } / 2a অথবা x > { - b - √( b2 - 4ac) } / 2a
  3. গ
    x < { - b + √( b2 + 4ac) } / 2a এবং x > { - b - √( b2 - 4ac) } / 2a
  4. ঘ
    x < { - b + √( b2 - 4ac) } / 2a এবং x > { - b - √( b2 + 4ac) } / 2a
ব্যাখ্যা
ax2 + bx + c < 0 সত্য হবে যদি [x - {- b + √( b2 - 4ac)}/2a] > 0 এবং [x - {- b - √( b2 - 4ac)}/2a] < 0 হয়।
[x - {- b + √( b2 - 4ac)}/2a] > 0 এবং [x - { - b - √( b2 - 4ac) } / 2a] < 0
বা, x > { - b + √( b2 - 4ac) } / 2a এবং x < { - b - √( b2 - 4ac) } / 2a
আবার, অসমতাটি সত্য হবে যদি [x - {- b + √( b2 - 4ac)}/2a] < 0 এবং [x - {- b - √( b2 - 4ac)}/2a] > 0 হয়।
 [x - {- b + √( b2 - 4ac)}/2a] < 0 এবং [x - {- b - √( b2 - 4ac)}/2a] > 0
বা, x < { - b + √( b2 - 4ac) } / 2a এবং x > { - b - √( b2 - 4ac) } / 2a
৩৮৭.
a < b এবং b < c হলে নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    ক) a > b
  2. খ
    খ) a > c
  3. গ
    গ) 1/a < 1/c
  4. ঘ
    ঘ) a < c
ব্যাখ্যা

a < b এবং b < c
∴ a < c

খেয়াল করুন, গ কিছু ক্ষেত্রে সত্যি হলেও সবক্ষেত্রে সত্যি হবে না।
৩৮৮.
p + r > q হলে নিচের কোনটি সত্য?
  1. ক
    p > q + r
  2. খ
    p < q - r
  3. গ
    p < q + r
  4. ঘ
    p > q - r
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: p + r > q হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
p + r > q
⇒ p + r - r > q - c
⇒ p > q - r
৩৮৯.
যদি a > b এবং c > 0 হয়, তবে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক
  1. ক
    a/c = b/c
  2. খ
    a/c > b/c
  3. গ
    a/c < b/c
  4. ঘ
    a/c ≥ b/c
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি a > b এবং c > 0 হয়, তবে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?

সমাধান:
∵ a > b এবং c > 0
∴ a/c > b/c
৩৯০.
a (x + b) < c [a≠0] হলে নিচের কোনটি সঠিক?
  1. ক
    x < (a/c) - b; যদি a > 0 হয়
  2. খ
    x > (c/a) - b; যদি a < 0 হয়
  3. গ
    ক ও খ উভয়ই
  4. ঘ
    অসমতাটির কোনো সমাধান নেই
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: a (x + b) < c [a≠0] হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
৩৯১.
x ≤ (x/4) + 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
  1. ক
    S = {x ∈ R : x ≤ 2}
  2. খ
    S = {x ∈ R : x ≤ 4}
  3. গ
    S = {x ∈ R : x ≥ 4}
  4. ঘ
    S = {x ∈ R : x ≥ 2}
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: x ≤ (x/4) + 3 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতা,
x ≤ (x/4) + 3
বা, 4x ≤ x + 12
বা,  3x ≤ 12
∴ x ≤ 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x ≤ 4}
৩৯২.
।x - 11। < 17 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    ক) - 2 < x < 3
  2. খ
    খ) - 6 < x < 28
  3. গ
    গ) - 4 < x < 16
  4. ঘ
    ঘ) - 2 < x < 16
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : ।x - 11। < 17 অসমতাটির সমাধান কত? 
সমাধান :
।x - 11। < 17
বা, - 17 < x - 11 < 17 
বা, - 17  + 11 < x - 11 + 11< 17 + 11
বা, - 6 < x < 28
৩৯৩.
বাস্তব সংখ্যায় |2x – 3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    1 < x < 2
  2. খ
    অসমতা x ≥ 2
  3. গ
    1 ≤ x ≤ 2
  4. ঘ
    - 1 < x < 2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |2x – 3| ≤ 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|2x – 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2x ≤ 1 + 3 ; [ উভয় পাশে 3 যোগ করে পাই]
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4
∴ 1 ≤ x ≤ 2 ; [উভয় পাশে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই]

৩৯৪.
। 4x - 3 । < 1 অসমতাটির সমাধান কত?
  1. ক
    (2/3) < x < 3
  2. খ
    (1/2) < x < 1
  3. গ
    (1/2) < x < 2
  4. ঘ
    (1/4) < x < 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: । 4x - 3 । < 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
। 4x - 3 । < 1
⇒ - 1 < 4x - 3 < 1
⇒ - 1 + 3 < 4x - 3  + 3 < 1 + 3
⇒ 2 < 4x < 4
⇒ 2/4 < 4x/4 < 4/4
∴ (1/2) < x < 1
৩৯৫.
নিম্নের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করুন:
- 3 < x < 2
  1. ক
    |x + 1/2| < 1/2
  2. খ
    |2x + 1| < 5
  3. গ
    |x - 1| < 5
  4. ঘ
    |2x| < 5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  নিম্নের অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করুন:
- 3 < x < 2

সমাধান: 
- 3 < x < 2
⇒ - 3 + 1/2 < x + 1/2 < 2 + 1/2 [1/2 যোগ করে]
⇒ - 5/2 < x + 1/2 < 5/2
⇒ |x + 1/2| < 5/2
⇒ |2x + 1| < 5
৩৯৬.
8 - 3x ≥ 2x + 18 অসমতার সমাধান কোনটি?
  1. ক
    (- ∞, - 2]
  2. খ
    [- 2, ∞)
  3. গ
    (- ∞, 2]
  4. ঘ
    [- 3, ∞)
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 - 3x ≥ 2x + 18 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 8 - 3x ≥ 2x + 18
⇒ - 3x - 2x ≥ 18 - 8
⇒ - 5x ≥ 10
⇒ x ≤ 10/5 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x ≤ - 2

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

৩৯৭.
xy > 0 এবং x > 0 হলে নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য?
  1. ক
    x > y
  2. খ
    y > x
  3. গ
    x2 < 0
  4. ঘ
    y > 0
ব্যাখ্যা

xy > 0 হলে,
x > 0 অথবা y > 0

৩৯৮.
যদি (1/5)(2x + 3) ≥ 3 হয় তবে এর সমাধান কত?
  1. ক
    x > 6
  2. খ
    x < 6
  3. গ
    x ≤ 6
  4. ঘ
    x ≥ 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি (1/5)(2x + 3) ≥ 3 হয় তবে এর সমাধান কত? 

সমাধান: 
(1/5)(2x + 3) ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3 
⇒ 2x + 3 ≥ 15 
⇒ 2x ≥  12 
∴ x ≥ 6
৩৯৯.
3(x - 2) < 6 অসমতাটির সমাধান সেট-
  1. ক
    S = {x ∈ R : x < 8}
  2. খ
    S = {x ∈ R : x < 6}
  3. গ
    S = {x ∈ R : x < 5}
  4. ঘ
    S = {x ∈ R : x < 4}
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3(x - 2) < 6 অসমতাটির সমাধান সেট- 

সমাধান:
3(x - 2) < 6
⇒ x - 2 < 6/3
⇒ x - 2 < 2
⇒ x - 2 + 2 < 2 + 2
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < 4

∴ সমাধান সেট, S = {x ∈ R : x < 4}

৪০০.
যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    5
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি {(2x + 3)/5} ≥ 3 হয় তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 

সমাধান: 
{(2x + 3)/5} ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3 
⇒ 2x + 3 ≥ 15 
⇒ 2x ≥  12 
∴ x ≥ 6 
∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে = 6  ।