সরল ও দ্বিপদী অসমতা

ধরি, x = 2, y = 3 এবং z = 4
এখন, y-xz = 3-2×4 = -5>0
যা অবশ্যই ভুল।

প্রশ্ন: 3x - 7 ≤ 8 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x - 7 ≤ 8
⇒ 3x - 7 + 7 ≤ 8 + 7 [উভয়পক্ষে 7 যোগ করে]
⇒ 3x ≤ 15
⇒ x ≤ 15/3
∴ x ≤ 5

প্রশ্ন: |4x - 20| = 24 হলে x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধনাত্মক ক্ষেত্রে: 4x - 20 = 24
⇒ 4x = 44
⇒ x = 11

ঋণাত্মক ক্ষেত্রে: -(4x - 20) = 24
⇒ - 4x + 20 = 24
⇒ - 4x = 4
⇒ x = - 1

সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি: 11 + (-1) = 10

∴ x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি = 10

প্রশ্ন: |5x - 4| ≤ 11 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|5x - 4| ≤ 11
⇒ - 11 ≤ 5x -  4 ≤ 11
⇒ - 11 + 4 ≤ 5x - 4 + 4 ≤ 11 + 4
⇒ - 7 ≤ 5x ≤ 15
∴ - 7/5 ≤ x ≤ 3 

প্রশ্ন: 6x - 8 ≤ 4x + 6 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
6x - 8 ≤ 4x + 6
⇒ 6x - 4x ≤ 6 + 8
⇒ 2x ≤ 14
⇒ x ≤ 7

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 7]

(- ∞, 7] বলতে বোঝায় যে, 7 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: |x - 5| < 2 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 4x - 10 < n হবে?

সমাধান:
|x - 5| < 2
⇒ - 2 < x - 5 < 2
⇒ - 2 + 5 < x < 2 + 5
⇒ 3 < x < 7
⇒ 3 × 4 < 4x < 7 × 4
⇒ 12 < 4x < 28
⇒ 12 - 10 < 4x - 10 < 28 - 10
⇒ 2 < 4x - 10 < 18

এখন, m < 4x - 10 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2 এবং n = 18।

AC > BC এবং C < 0
বা, AC/C < BC/C
বা, A < B
বা, 1/A > 1/B

প্রশ্ন: |3x - 9| ≤ 6, যেখানে x ∈ N, অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|3x - 9| ≤ 6
⇒ - 6 ≤ 3x - 9 ≤ 6
⇒ - 6 + 9 ≤ 3x ≤ 6 + 9   [উভয় পক্ষে 9 যোগ করে]
⇒ 3 ≤ 3x ≤ 15
⇒ 1 ≤ x ≤ 5   [উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু x ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যা), সেহেতু x এর মান 1 থেকে 5 এর মধ্যে (1 ও 5 সহ) হতে হবে।
অতএব সমাধান সেট = {1, 2, 3, 4, 5}

উল্লেখ্য:
অপশন ক: (1, 5) ভুল কারণ এটি একটি খোলা ব্যবধি যা কেবল বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে এবং এতে 1 ও 5 অন্তর্ভুক্ত নয়।
অপশন খ: {1, 3, 5, 7} ভুল কারণ এই মানগুলো অসমতার সীমার (1 থেকে 5) বাইরে চলে গেছে এবং সব পূর্ণসংখ্যা অন্তর্ভুক্ত নয়।
অপশন ঘ: (1, 5] ভুল কারণ এটি অর্ধেক খোলা ব্যবধি যা 1 কে বাদ দিয়ে 5 পর্যন্ত সকল বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে।

a = 1/5 হলে,
a² = 1/25 এবং a³ = 1/125
∴ a³ < a² < a

প্রশ্ন: - 2 < x < 8 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে কোনটি হবে? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 2 < x < 8
⇒ - 2 - 3 < x - 3 < 8 - 3
⇒ - 5 < x - 3 < 5
⇒ |x - 3| < 5

∴ সমাধান: |x - 3| < 5

প্রশ্ন: |x - 5| = 6 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
(x - 5) ধনাত্নক হলে,
বা, x - 5 = 6
বা, x - 5 = 6 + 5
x = 11

আবার (x - 5) ঋণাত্নক হলে,
- (x - 5) = 6
x - 5 = - 6
x = - 1
∴নির্ণেয় সমাধান সেট = {- 1, 11}

প্রশ্ন: - 5 < y < 9 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ কী হবে?

সমাধান:
উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 5 + 9)/2 = 4/2 = 2

এখানে,
- 5 < y < 9
⇒ - 5 - 2 < y - 2 < 9 - 2
⇒ - 7 < y - 2 < 7
⇒ |y - 2| < 7

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ |y - 2| < 7

প্রশ্ন: যদি 0 < y < 1  হয়, তবে কোনটি সবচেয়ে ছোট?

সমাধান: 
0 < y < 1 হলে y = 0.1 ধরে পাই, 

ক) y = 0.1

খ) 1/y = 1/0.1 = 10

গ) y² = (0.1)² = 0.01
 
ঘ) 1/y³ = 1/(0.1)³ = 1/0.001 = 1000

সুতরাং সবচেয়ে ছোট মান হলো গ) y²

প্রশ্ন: অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2(x - 4) ≥ 3x - 5
⇒ 2x - 8 ≥ 3x - 5 
⇒ 2x - 3x ≥ -5 + 8
⇒ - x ≥ 3
⇒ x ≤ - 3 [অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুন করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ]

x² - 5x + 6 < 0
⇒ x² - 3x - 2x + 6 < 0
⇒ x (x - 3) - 2 (x - 3) < 0
⇒ (x - 3) (x - 2) < 0
অর্থাৎ, (x - 3) ও (x - 2) এর মধ্যে একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হবে।
2 < x < 3 হলে, x - 3 < 0, এবং x - 2 > 0
∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3

যেহেতু, xyz < 0, z > 0
∴ xy < 0 অর্থাৎ xy ঋণাত্মক।

প্রশ্ন:
 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x পূর্ণসংখ্যা এবং
⇒ - 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5 
⇒ - 7 ≤ (3x - 4) ≤ 35  ; [7 দ্বারা গুণ করে]
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x ≤ 35 + 4 ; [4 যোগ করে]
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13  ; [3 দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু x পূর্ণসংখ্যা,x = - 1, 0, 1, 2, …,13 

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম মান = - 1 এবং বৃহত্তম মান = 13​

প্রশ্ন: |x + 7| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 7| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 7 ≤ 8
⇒ - 8 - 7 ≤ x + 7 - 7 ≤ 8 - 7
⇒ - 15 ≤ x ≤ 1

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 15

x² -11x - 126 = x² -18x + 7x - 126 = x(x - 18) + 7(x - 18) = (x - 18)(x + 7)
x² -11x - 126 > 0 অসমতাটি সত্য হবে যদি (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হয় বা উভয়ই ঋনাত্মক হয়।
(x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হলে, (x - 18) > 0 বা, x > 18 এবং (x + 7) > 0 বা, x > - 7
সুতরাং, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হলে, x > 18 এবং x > - 7
x > 18 হলে, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে কিন্তু x > - 7 হলে, উভয়ই ধনাত্মক হবে না।
আবার, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ঋনাত্মক হলে, (x - 18) < 0 বা, x < 18 এবং (x + 7) < 0 বা, x < -7
সুতরাং, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ঋনাত্মক হলে, x < 18 এবং x < - 7
x < 18 হলে, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে না কিন্তু x < - 7 হলে, উভয়ই ধনাত্মক হবে।
সুতরাং (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে যদি ও কেবল যদি x > 18 ও x < - 7 হয়।
অর্থাৎ (- ∞, -7)∪(18, ∞) হয়।

প্রশ্ন: 10 - 2x ≥ x - 2 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
10 - 2x ≥ x - 2
⇒ - 2x - x ≥ - 2 - 10
⇒ - 3x ≥ - 12
∴ x ≤ 4 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 4]

(- ∞, 4] বলতে বোঝায় যে, 4 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: x² - 2x - 15 > 0 এর সমাধান সেট কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 2x - 15 > 0
⇒ x² - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0 ............... (1) 

(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ধনাত্মক হয়।
x - 5 > 0
∴ x > 5

এবং
x + 3 > 0
∴ x > - 3

আবার, 
(1) সত্য হবে যদি (x - 5), (x + 3) উভয়েই ঋণাত্মক হয়।
x - 5 < 0
∴ x < 5
এবং
x + 3 < 0
∴ x < - 3
কিন্তু, 
- 3 < x < 5 এর জন্য 
(x - 5)(x + 3) এর মান ঋণাত্মক হয় যা গ্রহণযোগ্য নয়। 
∴ x এর সঠিক মান হবে x > 5 অথবা x < - 3

∴ নির্ণেয় সেট S = {x : x > 5 অথবা x < - 3} । 

প্রশ্ন: 3x - 5 < 13 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 3x - 5 < 13
⇒ 3x < 13 + 5
⇒ 3x < 18
⇒ x < 18/3
∴ x < 6

প্রশ্ন: 6 ≤ 2q + 3 < 15 অসমতাটির সমাধান হবে:

সমাধান:
6 ≤ 2q + 3 < 15
⇒ 6 - 3 ≤ 2q + 3 - 3 < 15 - 3
⇒ 3 ≤ 2q < 12
⇒ 3/2 ≤ q < 12/2
⇒ 3/2 ≤ q < 6

∴ অসমতাটির সমাধান = [3/2, 6)

x²-5x+6 > 0
⇒ x²-2x-3x+6 > 0
⇒ x(x-2) - 3(x-2) > 0
⇒ (x-2)(x-3) > 0
x > 0 হবে যদি (x-2) ও (x-3) উভয়ই ধনাত্মক বা উভই ঋনাত্মক হয়। তাই সমাধান হবে (-∞,2) ∪ (3,+∞)।

প্রশ্ন: বাস্তব সংখ্যায় |3x + 2| < 5 অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
|3x + 2| < 5
⇒ - 5 < 3x + 2 < 5
⇒ - 5 - 2 < 3x + 2 - 2 < 5 - 2
⇒ - 7 < 3x < 3
⇒ - 7/3 < 3x/3 < 3/3
⇒ - 7/3 < x < 1

প্রশ্ন: যদি |x + ৩| ≤ ৮ হয়, তবে x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
| x + ৩ | ≤ ৮
বা, - ৮ ≤ x + ৩ ≤ ৮
বা, - ৮ - ৩ ≤ x + ৩ - ৩ ≤ ৮ - ৩
বা, - ১১ ≤ x ≤ ৫
এখানে,
x এর সর্বনিম্ন মান = - ১১
এবং x এর সর্বোচ্চ মান = ৫

প্রশ্ন: x² - 4x - 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 4x - 12 > 0
⇒ x² - 6x + 2x - 12 > 0
⇒ x(x - 6) + 2(x - 6) > 0
⇒ (x + 2)(x - 6) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 2 এবং x = 6।

(x + 2)(x - 6) > 0 এর গুণফল ধনাত্নক হয়,
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 6), অথবা
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < -2)।

অর্থাৎ, x < - 2 অথবা x > 6।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2) ∪ (6, ∞)

$(-\infty ,\; -2)\cup (6,\infty )$ বলতে বোঝায় যে, - $2$এর চেয়ে ছোট অথবা 6 এর চেয়ে বড় সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: a > b এবং ab < 0 হলে, নিচের কোনটি ঋণাত্মক?

সমাধান:
ab < 0 হলে a এবং b এর যে কোনো একটি ঋণাত্মক হবে।

যেহেতু a > b 
সেহেতু b অবশ্যই ঋণাত্মক হবে।

প্রশ্ন: a < b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a < b
c < 0 (অর্থাৎ c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।

একটি অসমতার উভয় পক্ষকে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।

a < b
উভয় পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে পাই,
⇒ a × c > b × c

∴ প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সঠিক অসমতাটি হলো,
ac > bc