সরল ও দ্বিপদী অসমতা

PrepBank · পাতা ১২ / ১২ · ১,১০১–১,১৪৯ / ১,১৬১

১,১০১.

যদি x, y থেকে বড় হয়, তাহলে 1/x, 1/y থেকে-

ক
বড়
খ
ছোট
গ
সমান
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x, y থেকে বড় হয়, তাহলে 1/x, 1/y থেকে-

সমাধান:
যদি x, y থেকে বড় হয়, তাহলে 1/x, 1/y থেকে ছোট হয়।
যেমন:
x = 5 এবং y = 4 হলে,
1/x = 1/5 = 0.20

1/y = 1/4 = 0.25

∴ 1/y > 1/x

১,১০২.

8 < x < 10 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

ক
|x - 9| < 1
খ
|x - 9| ≤ 1
গ
|x - 1| < 1
ঘ
|x - 1| ≥ 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 < x < 10 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (8 + 10)/2
= 18/2
= 9

এখন,
8 < x < 10
⇒ 8 - 9 < x - 9 < 10 - 9 [উভয় পক্ষ থেকে 9 বিয়োগ করে]
⇒ - 1 < x - 9 < 1
⇒ |x - 9| < 1

১,১০৩.

|x + 5| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
s = { x ∈ R: 2 < x < 5 }
খ
s = { x ∈ R: - 5 < x < 5 }
গ
s = { x ∈ R: - 8 < x < - 2 }
ঘ
s = { x ∈ R: - 12 < x < 2 }

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 5| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 5| < 7

এখন,
(x + 5) ধনাত্মক ধরে,
⇒ (x + 5) < 7
⇒ x + 5 - 5 < 7 - 5
⇒ x < 2

আবার,
(x + 5) ঋনাত্মক ধরে,
⇒ - (x + 5) < 7
⇒ x + 5 > - 7
⇒ x + 5 - 5 > - 7 - 5
⇒ x > - 12

দুইটি শর্ত তুলনা করে প্রাপ্ত অসমতার সমাধান = - 12 < x < 2

১,১০৪.

।6 - 2x। < 8 এর সমাধান হলো-

ক
ক) - 2 < x < 9
খ
খ) - 1 < x < 6
গ
গ) - 2 < x < 8
ঘ
ঘ) - 1 < x < 7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।6 - 2x। < 8 এর সমাধান হলো-

সমাধান:
।6 - 2x। < 8
- 8 < 6 - 2x < 8
- 8 - 6 < 6 - 2x - 6 < 8 - 6
- 14 < - 2x < 2
- 14/2 < - 2x/2 < 2/2
- 7 < - x < 1
- 7( - 1) > - x( - 1) > 1( - 1)
7 > x > - 1
- 1 < x < 7

১,১০৫.

অসমতাটির সমাধান করুনঃ (1/|x-2|) < 2

ক
ক) x > 5/2 এবং X < 3/2
খ
খ) x > 5/2 অথবা X < 3/2
গ
গ) x = 5/2, 3/2
ঘ
ঘ) x = (5/2, 3/2)

ব্যাখ্যা

(1/|x-2|) < 2 ধনাত্মক হলে (1/(x-2)) < 2
বা, 2x-4 > 1
2x > 5
x > 5/2
(1/|x-2|) < 2 ঋনাত্মক হলে -(1/(x-2)) < 2
বা, (1/(x-2)) > -2
-2()x-2 < 1
-2x < -3
X < 3/2
∴ নির্ণেয় সমাধান x > 5/2 অথবা X < 3/2.

১,১০৬.

|x + 5| ≤ 9 হলে, x এর সীমানা কত?

ক
[ - 12, - 4]
খ
[- 8, 8]
গ
[ - 14, 4]
ঘ
[ - 11, 3]

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 5| ≤ 9 হলে, x এর সীমানা কত?

সমাধান:
|x + 5| ≤ 9
⇒ - 9 ≤ x + 5 ≤ 9
⇒ - 9 - 5 ≤ x ≤ 9 - 5 [ উভয় পক্ষে 5 বিয়োগ করে]
⇒ - 14 ≤ x ≤ 4

∴ x ∈ [ - 14, 4]

১,১০৭.

7 - 4x > 3x + 21 অসমতার সমাধান কোনটি?

ক
x < - 2
খ
x > - 2
গ
x < 2
ঘ
x > 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 - 4x > 3x + 21 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 7 - 4x > 3x + 21
⇒ - 4x - 3x > 21 - 7
⇒ - 7x > 14
⇒ x < 14/(- 7) [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x < - 2

∴ সমাধান হলো x < - 2

১,১০৮.

x² + 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- 5, 2)
খ
(- ∞, - 5) ∪ (2, ∞)
গ
(- ∞, - 2) ∪ (5, ∞)
ঘ
(- 2, 5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² + 3x - 10 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: x² + 3x - 10 > 0
⇒ x² + 5x - 2x - 10 > 0
⇒ x(x + 5) - 2(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 2) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 5 এবং x = 2

(x + 5)(x - 2) > 0 এর গুণফল ধনাত্নক হয়,
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ধনাত্নক (অর্থাৎ x > 2), অথবা
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 5)।

অর্থাৎ, x < - 5 অথবা x > 2।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 5) ∪ (2, ∞)।

১,১০৯.

x>y এবং z<0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) xz > yz
খ
খ) x/z > y/z
গ
গ) z/x < z/y
ঘ
ঘ) xz < yz

ব্যাখ্যা

যেহেতু z<0 সেহেতু z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা।
দেওয়া আছে, x>y
xz < yz [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে]
z একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বলে এটা দ্বারা উভয় পক্ষকে গুণ করায় > চিহ্ন পরিবর্তিত হয়ে < হয়েছে।

১,১১০.

x > 0 এবং x² = 4x হলে, x এর মান কোনটি?

ক
4
খ
1
গ
2
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x > 0 এবং x² = 4x হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
x² = 4x
⇒ x² - 4x = 0
⇒ x(x - 4) = 0
হয়,
x = 0 [∴ x > 0 বলে x = 0 গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা,
x - 4 = 0
∴ x = 4

১,১১১.

{1/|2x - 5|} < (1/3) অসমতাটির জন্য x এর সমাধান কোনটি হবে?

ক
x < 1 অথবা x > 4
খ
x > 1অথবা x < 4
গ
x < 1 অথবা x < 4
ঘ
1 < x < 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/|2x - 5| < 1/3 অসমতাটির জন্য x এর সমাধান কোনটি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
1/|2x - 5| < 1/3
বা, |2x - 5| > 3
বা, - 3 > 2x - 5 > 3
বা, - 3 + 5 > 2x - 5 + 5 > 3 + 5
বা, 2 > 2x > 8
বা, (2/2) > (2x)/2 > (8/2)
বা, 1 > x > 4

সুতরাং x < 1 , x > 4

১,১১২.

- 8 < x < - 2 অসমতা কে পরমমান দ্বারা প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

ক
|x - 8| < 2
খ
|x + 5| < 3
গ
|x - 3| < 5
ঘ
|x + 8| < 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 8 < x < - 2 অসমতা কে পরমমান দ্বারা প্রকাশ করলে কোনটি পাওয়া যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
- 8 < x < - 2
এখানে
- 8 ও - 2 এর গড় ={ - 8 + (- 2)} /2 =( - 8 - 2 ) /2 = -( 10/2 ) = -5

অসমতার প্রতি পাশে গড় এর ধনাত্মক মান অর্থাৎ +5 যোগ করি,
- 8 + 5 < x + 5 < - 2 + 5
- 3 < x + 5 < 3

এখন, পরমমানের শর্ত অনুযায়ী অসমতার দুই পাশের মান একটি ধনাত্মক ও অন্যটি ঋণাত্মক হবে।
সুতরাং
- 3 < x + 5 < 3 এর পরমমান হবে,
= |x + 5| < 3

১,১১৩.

Ιx + 3Ι < 5 অসমতার সমাধান কোনটি?

ক
ক) s = {x ∈ R: - 8 < x < 2}
খ
খ) s = {x ∈ R: - 3 < x < 3}
গ
গ) s = {x ∈ R: - 8 < x < 3}
ঘ
ঘ) s = {x ∈ R: - 5 < x < 5}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Ιx + 3Ι < 5 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
(x + 3) ধনাত্মক ধরে,
(x + 3) < 5
বা, x + 3 - 3 < 5 - 3
বা, x < 2

আবার,
(x + 3) ঋনাত্মক ধরে,
- (x + 3) < 5
বা, (x + 3) > - 5
বা, x + 3 - 3 > - 5 - 3
বা, x > - 8

∴ নির্ণেয় সমাধান: s = {x ∈ R: - 8 < x < 2}।

১,১১৪.

8 < x < 12 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে-

ক
|x - 10| > 2
খ
|x - 6| < 2
গ
|x - 10| < 2
ঘ
|x - 6| > 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8 < x < 12 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে-

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (8 + 12)/2 = 10

এখন,
8 < x < 12
⇒ 8 - 10 < x - 10 < 12 - 10 [উভয়পক্ষ থেকে 10 বিয়োগ করে]
⇒ - 2 < x - 10 < 2
⇒ |x - 10| < 2

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |x - 10| < 2

১,১১৫.

x²- 15x + 56 < 0 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
ক) 2 < x < 13
খ
খ) 7 < x < 8
গ
গ) 3 < x < 5
ঘ
ঘ) 4 < x < 11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x²- 15x + 56 < 0 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
x² - 15x + 10 < 0
x² - 7x - 8x + 10 < 0
x(x - 7) - 8 (x - 7) < 0
∴ (x - 7)(x - 8) < 0

x² - 15x + 56 < 0 সত্য হবে যদি x - 7 < 0 এবং x - 8 > 0 হয়।
এখন, x - 7 < 0 এবং x - 8 > 0
অর্থাৎ, x < 7 এবং x > 8
7 এর চেয়ে ছোট এবং 8এর চেয়ে বড় x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

আবার,
x² - 15x + 56 < 0 সত্য হবে যদি x - 7 > 0 এবং x - 8 < 0 হয়।
এখন, x - 7 > 0 এবং x - 8 < 0
অর্থাৎ x > 7 এবং x < 8
x এর মান 7 এর চেয়ে বড় এবং 8 এর চেয়ে ছোট।
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.

সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ 7 < x < 8

১,১১৬.

|x - 3| = 5 হলে, x এর একটি মান-

ক
ক) -8
খ
খ) -2
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

|x - 3| = 5
বা, x - 3 = ±5
বা, x = ±5 + 3
∴ x = 8;
x = -2

১,১১৭.

| x - 3 | < 4 হলে p এবং q এর কোন মানের জন্য p < 2x + 5 < q হবে?

ক
ক) p = 2 এবং q = 15
খ
খ) p = 3 এবং q = 19
গ
গ) p = 4 এবং q = 12
ঘ
ঘ) p = 5 এবং q = 20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: | x - 3 | < 4 হলে p এবং q এর কোন মানের জন্য p < 2x + 5 < q হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
| x - 3 | < 4
⇒ - 4 < x - 3 < 4
⇒ - 4 + 3 < x - 3 + 3 < 4 + 3
⇒ - 1 < x < 7
⇒ - 2 < 2x < 14
⇒ - 2 + 5 < 2x + 5 < 14 + 5
⇒ 3 < 2x + 5 < 19

∴ p = 3 এবং q = 19

১,১১৮.

x² + x - 2 > 0 অসমতার সমাধান-

ক
-2 < x < 1
খ
-2 ≤ x ≤ 1
গ
x < -2 অথবা x > 1
ঘ
x ≤ -2 অথবা x ≥ 1

ব্যাখ্যা

x² + x - 2 > 0
বা, x² + 2x - x - 2 > 0
বা, x(x + 2) - 1(x + 2) > 0
বা, (x + 2)(x - 1) > 0

চিত্রানুসারে x < -2 অথবা x > 1

১,১১৯.

5(3 - 2x) ≤ 3(4 - 3x) অসমতার সমাধান কোনটি?

ক
x ≤ 3
খ
- 3 ≤ x ≤ 3
গ
x ≥ 3
ঘ
x ≥ - 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5(3 - 2x) ≤ 3(4 - 3x) অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
5(3 - 2x) ≤ 3(4 - 3x)
⇒ 15 - 10x ≤ 12 - 9x
⇒ - 10x + 9x ≤ 12 - 15
⇒ - x ≤ - 3
∴ x ≥ 3

১,১২০.

x² - 15x + 56 < 0 অসমতাটির সমাধান হলো-

ক
ক) - 7 < x < 8
খ
খ) 7 < x < 8
গ
গ) - 8 < x < 7
ঘ
ঘ) 0 < x < 8

ব্যাখ্যা

x² - 15x + 56 < 0
(x - 7)(x - 8) < 0

অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 7 > 0 এবং x - 8 < 0 হয়।
x - 7 > 0
বা, x > 7
x - 8 < 0
বা, x < 8
x > 7 এবং x < 8 অর্থাৎ x এর মান 7 এর চেয়ে বড় এবং 8 এর চেয়ে ছোট হবে।
অসমতাটি সত্য হবে যদি 7 < x < 8 হয়।
অসমতাটির সমাধানঃ 7 < x < 8

আবার,
অসমতাটি সত্য হবে যদি x - 7 < 0 এবং x - 8 >0 হয়।
x - 7 < 0
বা, x < 7

x - 8 > 0
বা, x > 8
x < 7 এবং x > 8 অর্থাৎ 7 এর চেয়ে ছোট এবং 8 এর চেয়ে বড় এমন সংখ্যা পাওয়া অসম্ভব।
সুতরাং অসমতাটির সমাধানঃ 7 < x < 8

১,১২১.

|x + 3| ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

ক
- 5
খ
3
গ
- 7
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 4 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 3 ≤ 4
⇒ - 4 - 3 ≤ x + 3 - 3 ≤ 4 - 3
⇒ - 7 ≤ x ≤ 1

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 7

১,১২২.

x² - mx + 1 = 0 সমীকরণের মূলগুলো জটিল এবং অসমান হলে, m এর মান-

ক
-2 ≤ m ≤ 2
খ
-2 < m < 2
গ
0 < m < 2
ঘ
0 ≤ m ≤ 2

ব্যাখ্যা

মূল্যগুলো জটিল,
∴ নিশ্চায়ক < ০
বা, m² - 4.1.1 < 0
বা, m² - 4 < 0
বা, (m + 2)(m - 2) < 0

সংখ্যারেখা হতে পাই সমাধান = -2 < m < 2

১,১২৩.

ক
ক) x ≤ 6
খ
খ) x ≥ 6
গ
গ) x ≤ 4
ঘ
ঘ) x ≥ 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,১২৪.

ক
ক) - 1 < x < 4
খ
খ) - 1 < x < - 4
গ
গ) 1 < x < 7
ঘ
ঘ) 1 < x < 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
1/।2x - 5। > 1/3
।2x - 5। < 3

(2x - 5) ধনাত্মক হলে,
2x - 5 < 3
⇒ 2x < 5 + 3
⇒ 2x < 8
∴ x < 4

(2x - 5) ঋণাত্মক হলে,
-(2x - 5) < 3
⇒ 2x - 5 > - 3
⇒ 2x > 5 - 3
⇒ 2x > 2
⇒ x > 1

অসমতাটির সমাধান 1 < x < 4

১,১২৫.

|1 - 2x| < 1 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

ক
- 2 < x < 1
খ
- 1 < x < 0
গ
0 < x < 1
ঘ
- 1 < x < 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |1 - 2x| < 1 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
|1 - 2x| < 1
বা, - 1 < 1 - 2x < 1
বা, - 1 - 1 < 1 - 2x - 1 < 1 - 1
বা, - 2 < - 2x < 0
বা, 2 > 2x >0
বা, 1 > x > 0
∴ 0 < x < 1

১,১২৬.

|x + 1| ≤ 4 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a ≤ 3x - 2 ≤ b হবে?

ক
a = - 13, b = 4
খ
a = - 17, b = 7
গ
a = 5, b = - 13
ঘ
a = 8, b = - 21

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 1| ≤ 4 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a ≤ 3x - 2 ≤ b হবে?

সমাধান:
|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7
যেখানে, a ≤ 3x - 2 ≤ b
∴ a = - 17 এবং b = 7

১,১২৭.

যদি ৩ < X < ৯ এবং ৪ < Y < ১১ হয়, তাহলে XY এর জন্য সম্ভাব্য মান নিচের কোনটি?

ক
ক) ৩ < XY < ৯
খ
খ) ৫ < XY < ১১
গ
গ) ১২ < XY < ৯৯
ঘ
ঘ) ২৫ < XY < ১০০

ব্যাখ্যা

X এর মান - ৩.০১ থেকে ৮.৯৯ এবং Y এর মান = ৪.০১ থেকে ১০.৯৯
তাহলে XY এর সর্বনিম্ন মান (৩.০১×৪.০১) বা, ১২.০৭ এবং সর্বোচ্চ মান (৮.৯৯×১০.৯৯) বা, ৯৮.৮১
অতএব, সম্ভাব্য মান ১২ < XY < ৯৯।

১,১২৮.

x < y এবং xy < 0 হলে নিচের কোনটি সর্বদা ঋণাত্মক?

ক
ক) x²y
খ
খ) x²y²
গ
গ) x²/y²
ঘ
ঘ) x/y

ব্যাখ্যা

x < y এবং xy < 0 হলে,
x < 0, y > 0
∴ x/y < 0

১,১২৯.

x²+x-2 > 0 অসমতাটির সমাধান করুন।

ক
ক) x < -2 অথবা x > 1
খ
খ) -2 > x < 1
গ
গ) -2 > x > 1
ঘ
ঘ) x = -2, 1

ব্যাখ্যা

x²+x-2 > 0
বা, x²+2x-x-2 > 0
বা, x(x+2)-1 (x+2) > 0
বা, (x+2)(x-1) > 0
বা, (x+2) > 0 বা, (x-1) > 0
x < -2 বা x > 1.

১,১৩০.

|4x - 20| = 24 হলে x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি কত?

ক
8
খ
10
গ
12
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |4x - 20| = 24 হলে x এর সম্ভাব্য মানগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
।4x - 20। = 24

(4x - 20) কে ধনাত্মক বিবেচনা করে পাই,
4x - 20 = 24
⇒ 4x = 24 + 20
⇒ 4x = 44
∴ x = 11

(4x - 20) কে ঋণাত্মক বিবেচনা করে পাই,
- (4x - 20) = 24
⇒ - 4x + 20 = 24
⇒ - 4x = 24 - 20
⇒ - 4x = 4
∴ x = - 1

∴ x এর সম্ভাব্য সকল মানের সমষ্টি = 11+ (- 1) = 11 - 1 = 10

১,১৩১.

সমাধান করুন: |3 - x| > 7

ক
x < - 4 অথবা x < 10
খ
x > - 4 অথবা x > 10
গ
x < - 4 অথবা x > 10
ঘ
x < - 4 অথবা x > - 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |3 - x| > 7

সমাধান:
এখন, (3 - x) > 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, 3 - x > 7
⇒ - x > 7 - 3
⇒ - x > 4
⇒ x < - 4 [ -1 দ্বারা গুণ করে ]

আবার, (3 - x) < 0 হলে প্রদত্ত অসমতা, - (3 - x ) > 7
⇒ 3 - x < - 7 [ -1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ - x < - 7 - 3
⇒ - x < - 10
⇒ x > 10

∴ নির্ণেয় সমাধান: x < - 4 অথবা x > 10

১,১৩২.

7 - 4a > 3a + 21 অসমতার সমাধান কোনটি?

ক
a > - 2
খ
a < - 2
গ
a > 2
ঘ
a < 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 - 4a > 3a + 21 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
⇒ 7 - 4a > 3a + 21
⇒ - 4a - 3a > 21 - 7
⇒ - 7a > 14
⇒ a < 14/(- 7) [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ a < - 2

∴ সমাধান হলো a < - 2

১,১৩৩.

|5x - 3| < 12 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
(- 5/4) > x > 6
খ
- 3 < x < 5
গ
5 > x > - 2
ঘ
(- 9/5) < x < 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |5x - 3| < 12 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|5x - 3| < 12
(5x - 3) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (5x - 3) < 12
⇒ 5x - 3 + 3 < 12 + 3
⇒ 5x < 15
∴ x < 3

আবার,
(5x - 3) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় -(5x - 3) < 12
⇒ (5x - 3) > -12
⇒ 5x - 3 + 3 > -12 + 3
⇒ 5x > - 9
∴ x > -9/5
∴ অসমতাটির সমাধান: (-9/5) < x < 3

১,১৩৪.

b < 3 এবং 3x - 2b = 0 হলে, নিচের কোনটি অবশ্যই সত্য?

ক
ক) x < 3
খ
খ) x = 2
গ
গ) x > 2
ঘ
ঘ) x > 3

ব্যাখ্যা

b < 3 এবং 3x - 2b = 0
বা, 3x = 2b
বা, x = 2b/3 < 2.3/3 = 2
∴ x < 2 <3

১,১৩৫.

a > b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সত্য?

ক
ক) -a > -b
খ
খ) a - b < 0
গ
গ) -ac > -bc
ঘ
ঘ) c/a < c/b

ব্যাখ্যা

যেহেতু,
a > b এবং c < 0
∴ ac < bc
বা, -ac > -bc

১,১৩৬.

|x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

ক
m = 3, n = 30
খ
m = 1, n = 10
গ
m = 4, n = 40
ঘ
m = 2, n = 20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান:
|x - 2| < 3
⇒ -3 < x - 2 < 3
⇒ -3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < x < 5
⇒ -3 < 3x < 15
⇒ -3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3x + 5 < 20

যেখানে, m < 3x + 5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20

১,১৩৭.

কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার 5 গুণ, সংখ্যাটির দ্বিগুণ এবং 15 এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট। সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান অসমতায় কত হবে?

ক
ক) 0 < x < 8
খ
খ) 1 < x < 9
গ
গ) 0 < x < 5
ঘ
ঘ) কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

মনে করি সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
5x < 2x + 15
বা, 5x - 2x < 2x + 15 - 2x
বা, 3x < 15
বা, x < 5
যেহেতু সংখ্যাটি ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
∴ সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান 0 < x < 5

১,১৩৮.

x² + x - 2 ≥ 0 অসমতাটির সমাধান -

ক
-2 ≤ x ≤ 1
খ
-2 < x < 1
গ
x ≤ -2 অথবা x ≥ 1
ঘ
x < -2 অথবা x > 1

ব্যাখ্যা

x² + x - 2 ≥ 0
বা, x² + 2x - x - 2 ≥ 0
বা, x(x + 2) - 1(x + 2) ≥ 0
বা, (x + 2)(x - 1) ≥ 0

সংখ্যারেখা অনুসারে x ≤ -2 অথবা x ≥ 1

১,১৩৯.

সমাধান করুন: |2 + 2x| ≤ 8

ক
- 5 ≤ x ≤ 7
খ
- 3 ≤ x ≤ 3
গ
- 5 ≤ x ≤ 2
ঘ
- 5 ≤ x ≤ 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |2 + 2x| ≤ 8

সমাধান:
|2 + 2x| ≤ 8
বা, - 8 ≤ 2 + 2x ≤ 8
বা, - 8 - 2 ≤ 2 + 2x - 2 ≤ 8 - 2
বা, - 10 ≤ 2x ≤ 6
বা, - 10/2 ≤ 2x/2 ≤ 6/2
∴ - 5 ≤ x ≤ 3

১,১৪০.

x একটি পূর্ণসংখ্যা যেখানে |x + 2.5| < 3। x এর কতগুলো মানের জন্য অসমতাটি প্রযোজ্য হবে?

ক
5 টি
খ
6 টি
গ
7 টি
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x একটি পূর্ণসংখ্যা যেখানে |x + 2.5| < 3। x এর কতগুলো মানের জন্য অসমতাটি প্রযোজ্য হবে?

সমাধান:
|x + 2.5| < 3
বা, - 3 < x + 2.5 < 3
বা, - 3 - 2.5 < x < 3 - 2.5
বা, - 5.5 < x < 0.5
যেহেতু x একটি পূর্ণসংখ্যা
∴ x এর মান হতে পারবে - 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0 মোট 6 টি।

১,১৪১.

3(x + 1) > 2x - 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

ক
x > - 10
খ
x < - 10
গ
- 10 < x < 10
ঘ
x < - 10 অথবা x > 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3(x + 1) > 2x - 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
3(x + 1) > 2x - 7
⇒ 3x + 3 > 2x - 7
⇒ 3x - 2x > - 7 - 3
⇒ x > - 10

১,১৪২.

যদি 0 < x < 1 হয় তাহলে নিচের কোনটি সবচেয়ে বড়?

ক
x²
খ
x³
গ
1/x
ঘ
1/x³

ব্যাখ্যা

এখানে 0 < x < 1
তাই, x এর মান একটি ধনাত্নক দশমিক সংখ্যা এবং এটা 1 থেকে ছোট।
আমরা জানি, 1 এর চেয়ে ছোট কোন সংখ্যাকে বর্গ বা ঘন (অন্যভাবে বললে নিজেকে দিয়ে গুণ করলে) করলে সেটা আরো ছোট হয়ে যায়।
অর্থাৎ, ক ও খ বাদ গেল।
আবার, দশমিক সংখ্যাকে যত ছোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা হয় ভাগফল তত বড় সংখ্যা হয়। তাই, 1/x³ সবচেয়ে বড় সংখ্যা হবে।

১,১৪৩.

কোনো পরীক্ষায় বাংলা ১ম ও ২য় পত্রে কমল পেয়েছে যথাক্রমে 5x এবং 6x নম্বর এবং রাফি পেয়েছে 4x এবং 84 নম্বর। কোনো পত্রে কেউ 40 এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে রাফি হয়েছে প্রথম এবং কমল হয়েছে দ্বিতীয়। x এর মান কত?

ক
10 < x < 12
খ
10 ≤ x < 12
গ
10 ≤ x ≤ 12
ঘ
10 > x > 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় বাংলা ১ম ও ২য় পত্রে কমল পেয়েছে যথাক্রমে 5x এবং 6x নম্বর এবং রাফি পেয়েছে 4x এবং 84 নম্বর। কোনো পত্রে কেউ 40 এর নিচে পায়নি। বাংলা বিষয়ে রাফি হয়েছে প্রথম এবং কমল হয়েছে দ্বিতীয়। x এর মান কত?

সমাধান:
রাফির মোট নম্বর 4x + 84
কমলের নম্বর 5x + 6x = 11x

11x < 4x + 84
⇒ 11x - 4x < 84
⇒ 7x < 84
∴ x < 12

কোনো পত্রে কেউ 40 এর নিচে পায়নি।
4x ≥ 40
⇒ x ≥ 10

∴ 10 ≤ x < 12

১,১৪৪.

বাস্তব সংখ্যায় ।5x + 3। < 2 অসমতাটির সমাধান -

ক
- 1 < x < - 1/5
খ
- 1 > x > - 1/5
গ
- 2 < x < - 1/2
ঘ
- 1 < x < - 1/3

ব্যাখ্যা

।5x + 3। < 2
⇒ - 2 < (5x + 3) < 2
⇒ - 2 - 3 < 5x < 2 - 3
⇒ - 5 < 5x < - 1
⇒ - 5/5 < x < - 1/5
⇒ - 1 < x < - 1/5

১,১৪৫.

3q - 7 ≤ - 1 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক
{q ∈ R: x ≤ 2}
খ
{q ∈ R: x > 4}
গ
{q ∈ R: x < 4}
ঘ
{q ∈ R: x ≥ 2}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3q - 7 ≤ - 1 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
3q - 7 ≤ - 1
⇒ 3q - 7 + 7 ≤ - 1 + 7
⇒ 3q ≤ 6
⇒ 3q/3 ≤ 6/3
⇒ q ≤ 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: q ≤ 2
এবং সমাধান সেট, S = {q ∈ R: x ≤ 2}

১,১৪৬.

|2x + 5| ≤ 7 এর সমাধান কোনটি?

ক
x ≤ 1
খ
- 1 ≤ x ≤ 6
গ
x ≥ - 6 এবং x ≥ 1
ঘ
- 6 ≤ x ≤ 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |2x + 5| ≤ 7 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
|2x + 5| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ 2x + 5 ≤ 7
⇒ - 7 - 5 ≤ 2x ≤ 7 - 5
⇒ - 12 ≤ 2x ≤ 2
⇒ - 12/2 ≤ x ≤ 2/2
⇒ - 6 ≤ x ≤ 1

∴ সমাধান হলো - 6 ≤ x ≤ 1

১,১৪৭.

।5a - 4। ≤ 14 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
- 5 ≤ a ≤ 12
খ
- 1 ≤ a ≤ (13/4)
গ
- 4 ≤ a ≤ (12/7)
ঘ
- 2 ≤ a ≤ (18/5)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।5a - 4। ≤ 14 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
।5a - 4। ≤ 14
⇒ - 14 ≤ 5a - 4 ≤ 14
⇒ - 14 + 4 ≤ 5a - 4 + 4 ≤ 14 + 4
⇒ - 10 ≤ 5a ≤ 18
⇒ (- 10/5) ≤ (5a/5) ≤ (18/5)
⇒ - 2 ≤ a ≤ 18/5

১,১৪৮.

।3x - 1। > 5 হলে, অসমতাটির সমাধান-

ক
- 4/3 < x < 2
খ
x > 2 অথবা x < - 4/3
গ
- 2 < x < 4/3
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ।3x - 1। > 5 হলে, অসমতাটির সমাধান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
।3x - 1। > 5

(3x - 1) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়
(3x - 1) > 5
3x - 1 + 1 > 5 + 1
3x > 6
3x/3 > 6/3
x > 2

আবার,
(3x - 1) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়
- (3x - 1) > 5
- 3x + 1 > 5
- 3x + 1 - 1 > 5 - 1
- 3x > 4
- 3x/3 > 4/3
- x > 4/3
(- x)(- 1) < (4/3)(- 1)
x < - 4/3

∴ নির্ণেয় সমাধান: x > 2 অথবা x < - 4/3

১,১৪৯.

x > 2 এবং y > -1 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) xy > -2
খ
খ) -x < 2y
গ
গ) xy < -2
ঘ
ঘ) -x > 2y

ব্যাখ্যা

x এর মান 2 থেকে বড় এবং y এর মান -1 থেকে বড়, সুতরাং -x এর মান 2y এর থেকে ছোট হবে। অন্যদিকে, অনেকে ক কে উত্তর ভাবলেও, x = 5 and y = -0.5
So, xy = -2.5 not greater than -2
অর্থাৎ, কেবল খ ই সঠিক উত্তর হয়।