সরল ও দ্বিপদী অসমতা

প্রশ্ন: 5 ≤ 3x + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
5 ≤ 3x + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3x + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3x < 15
= 4/3 ≤ x < 15/3
= 4/3 ≤ x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

প্রশ্ন: রুমির বয়স তুলির বয়সের 1/2 অংশ। লিনা তুলির চেয়ে 3 বছরের বড়। তাদের বয়সের সমষ্টি অনূর্ধ্ব 25 বছর হলে, লিনার বয়স অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

সমাধান:
ধরি, তুলির বয়স x বছর
রুমির বয়স x/2 বছর
লিনার বয়স x + 3 বছর

প্রশ্নমতে,
x + (x/2) + (x + 3) ≤ 25
⇒ 2x + (x/2) + 3 ≤ 25 
⇒ (4x + x + 6)/2 ≤ 25
⇒ 5x + 6 ≤ 25 × 2
⇒ 5x ≤ 50 - 6
⇒ x ≤ 44/5
⇒ x ≤ 8.8
⇒ x + 3 ≤ 8.8 + 3
∴ x + 3 ≤ 11.8

অতএব, লিনার বয়স ≤ 11.8 বছর

প্রশ্ন: 2x + 5 > 11 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
2x + 5 > 11
⇒ 2x > 11 - 5
⇒ 2x > 6
∴ x > 3

N/M = 1/4
⇒ M/N = 4/1 [ব্যস্তকরণ করে]
⇒ (M+N)/(M-N) = (4+1)/(4-1) [ যোজন-বিয়োজন করে]
= 5/3

প্রশ্ন: 9x - 7 ≤ 5x + 13 অসমতাটির সমাধান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
9x - 7 ≤ 5x + 13
⇒ 9x - 5x ≤ 13 + 7
⇒ 4x ≤ 20
⇒ x ≤ 5

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, 5]

(−∞, 5] বলতে বোঝায় যে, 5 বা তার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: |2 - 2x| < 2 এর সমাধান -

সমাধান:
|2 - 2x| < 2
⇒ - 2 < 2 - 2x < 2
⇒ - 2 - 2 < 2 - 2x - 2 < 2 - 2
⇒ - 4 < - 2x < 0
⇒ 2 > x > 0
⇒ 0 < x < 2

∴ নির্ণেয় সমাধান: 0 < x < 2

প্রশ্ন: যদি 0 < x < 1 হয়, তবে নিচের কোনটি সবচেয়ে বড় হবে? 

সমাধান:
দেওয়া শর্তে,
0 < x < 1 → সবচেয়ে বড় মান হবে ঘ) x + 1

ধরি,
x = 0.5 (0 থেকে 1-এর মধ্যে যেকোনো মান নিলেই একই ফলাফল আসবে)

অপশন ক) x = 0.5
অপশন খ) 2x = 2 × 0.5 = 1.0
অপশন গ) x² = (0.5)² = 0.25
অপশন ঘ) x + 1 = 0.5 + 1 = 1.5

তুলনা করে পাই, 1.5 > 1.0 > 0.5 > 0.25
⇒ x + 1 > 2x > x > x²

সুতরাং, ঘ) x + 1 সবচেয়ে বড় হবে।

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
2x² + 5x + 3 < 0
⇒ 2x² + 2x + 3x + 3 < 0
⇒ 2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
⇒ (x + 1)(2x + 3) < 0

2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি (x + 1) < 0 এবং (2x + 3) > 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধানঃ - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন, x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3/2 < x < - 1

70 টাকা কেজি দরে x কেজি আমের মূল্য 70x টাকা
x খানা 20 টাকার মূল্যমান 20x টাকা
প্রশ্নমতে,
70x + 20x < 500
90x < 500
x < 500/90
x < 5.55
সম্ভাব্য মান 0 < x < 6

x² - 6x + 5 < 0
= x² - 5x - x + 5
= x(x - 5) - 1(x - 5)
= (x - 5)(x - 1)
∴ x² - 6x + 5 < 0
বা, (x - 5)(x - 1) < 0
∴ 1 < x < 5

প্রশ্ন: a ≤ b এবং b ≤ a হলে নিচের কোনটি সত্য? 

 সমাধান:
a ≤ b
⇒ a < b অথবা, a = b

আবার, b ≤ a
⇒ b < a অথবা, b = a,

যেহেতু a < b হলে, b < a হতে পারে না (একই সাথে একটা সংখ্যা অন্য সংখ্যার বড় এবং ছোট হতে পারে না)
∴ a = b

প্রশ্ন: 2x - 5 ≤ 15 হলে, x = ?

সমাধান:
2x - 5 ≤ 15
⇒ 2x ≤ 15 + 5
⇒ 2x ≤ 20
⇒ x ≤ 10
∴ ‍x ≤ 10

যেহেতু xy<0 এবং y>0,সেহেতু y পজিটিভ এবং x নেগেটিভ।
এখানে x এবং y এর মান অপশনগুলোতে ইনপুট করলে দেখা যায়, (2y + 3)/(x - 2) এর মান নেগেটিভ আসে অথচ এখানে বলা আছে 6 এর চেয়ে বেশি যা সম্পূর্ণ পজিটিভ। তাই এই অপশনটি অবশ্যই ভুল।

প্রশ্ন: |2x + 3| ≤ 11 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|2x + 3| ≤ 11
= - 11 ≤ 2x + 3 ≤ 11
= - 11 - 3 ≤ 2x + 3 - 3 ≤ 11 - 3
= - 14 ≤ 2x ≤ 8
= - 7 ≤ x ≤ 4

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 4

প্রশ্ন: ∣2x + 2∣ < 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
∣2x + 2∣ < 6
⇒ - 6 < 2x + 2 < 6
⇒ - 6 - 2 < 2x < 6 - 2
⇒ - 8 < 2x < 4
⇒ - 4 < x < 2 [2 দ্বারা ভাগ করে] 

1/|x - 1| < 1/2
বা, |x - 1| > 2
বা, ±(x - 1) > 2.....(1)
'+' নিয়ে x - 1 > 2
x > 3
আবার,
'-' নিয়ে,
-(x - 1) > 2
বা, -x + 1 > 2
বা, -x > 1
∴ x < -1
∴ নির্ণেয় সমাধান = x < -1 অথবা x > 3
= (-∞, -1) ∪ (3, ∞)

প্রশ্ন: |2x - 5| ≤ 3, x ∈ N অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
|2x - 5| ≤ 3 এবং x ∈ N
⇒ - 3 ≤ 2x - 5 ≤ 3
⇒ - 3 + 5 ≤ x - 5 + 5 ≤ 3 + 5
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 8
⇒ 1 ≤ x ≤ 4

এখন, 
 x ∈ N এর অর্থ হলো x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 1 এর সমান বা 1 থেকে বড় এবং 4 এর সমান বা 4 থেকে ছোট। 
সুতরাং, 1 ≤ x ≤ 4 সীমার মধ্যে স্বাভাবিক সংখ্যা গুলো হলো 1, 2, 3, 4
[1, 4] মানে একটি অবিচ্ছিন্ন ব্যবধান। অর্থাৎ1 থেকে 4 পর্যন্ত সব সংখ্যা, যেমন 1.5, 2.7, 3.2 ইত্যাদিও এর মধ্যে পড়ে।

সুতরাং, সমাধান সেট = {1, 2, 3, 4}

প্রশ্ন: x² - 9 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - 9 ≤ 0 
⇒ x² ≤ 9
⇒ x² ≤ 3²
⇒ x ≤ ± 3
∴ - 3 ≤ x ≤ 3

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3 ≤ x ≤ 3

প্রশ্ন: |2x - 3| < 7 হলে -

সমাধান:
|2x - 3| < 7

(2x - 3) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2x - 3) < 7
2x - 3 + 3 < 7 + 3
2x < 10
x < 5

আবার,
(2x - 3) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (2x - 3) > - 7
2x - 3 + 3 > - 7 + 3
2x >- 4
x > -2

∴ নির্ণেয় অসমতা -2 < x < 5

বা, ।2x - 5। ≤ 3; x ≠ 5/2
বা, -3 ≤ 2x - 5 ≤ 3; x ≠ 5/2
বা, -3 + 5 ≤ 2x ≤ 3 + 5; x ≠ 5/2
বা, 2 ≤ 2x ≤ 8; x ≠ 5/2
∴ 1 ≤ x ≤ 4; x ≠ 5/2
∴ x = [1, 5/2) ∪ (5/2, 4]

x > y ...….....(1)
z < 0............(2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz [ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্নের পরিবর্তন হয়]

|x + 5| = 3
বা, x + 5 = ±3
বা, x = ±3 - 5
∴ x = (3 - 5), (-3 - 5)
= -2, -8

আবার,
|2y - 1|/3 = 5
বা, |2y -1| = 15
বা, 2y - 1 = ±15
বা, 2y = ±15 + 1
বা, 2y = (15 + 1), (-15 + 1)
বা, 2y = 16, -14
∴ y = 8, -7.

x = -2, y = 8 হলে |x + y| = |-2 + 8| = 6
x = -2, y = -7 হলে |x + y| = |-2 - 7| = 9
x = -8, y = 8 হলে |x + y| = |-8 + 8| = 0
x = -8, y = -7 হলে |x + y| = |-8 - 7| = 15

x² < 4x
বা, x² - 4x < 0
বা, x(x - 4) < 0
∴ x < 0
∴ x - 4 > 0
বা, x > 4
∴ x = (4, ∞)

প্রশ্ন: - 1 < x < 5 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে হবে-

সমাধান:
⇒ - 1 < x < 5
⇒ - 1 - 2 < x - 2 < 5 - 2
⇒ - 3 < x - 2 < 3
⇒ |x - 2| < 3

∴ সমাধান: |x - 2| < 3

3x - 3a = 6
বা, 3x = 3a + 6 > 3.3 + 6 = 15
বা, 3x > 15
∴ x > 5

প্রশ্ন: |2x - 7| ≤ 3, যেখানে x ∈ N, অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
|2x - 7| ≤ 3
⇒ -3 ≤ 2x - 7 ≤ 3
⇒ -3 + 7 ≤ 2x ≤ 3 + 7  [উভয় পক্ষে 7 যোগ করে]
⇒ 4 ≤ 2x ≤ 10
⇒ 2 ≤ x ≤ 5  [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু x ∈ N (স্বাভাবিক সংখ্যা), সেহেতু x এর মান 2 থেকে 5 এর মধ্যে (2 ও 5 সহ) হতে হবে।
অতএব সমাধান সেট = {2, 3, 4, 5}।

উল্লেখ্য:
অপশন ক: (2, 5) ভুল কারণ এটি একটি খোলা ব্যবধি যা কেবল বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে এবং এতে 2 ও 5 অন্তর্ভুক্ত নয়।
অপশন খ: {2, 4, 6, 8} ভুল কারণ এই মানগুলো অসমতার সীমার (2 থেকে 5) বাইরে চলে গেছে।
অপশন ঘ: (2, 5] ভুল কারণ এটি অর্ধেক খোলা ব্যবধি যা 2 কে বাদ দিয়ে 5 পর্যন্ত সকল বাস্তব সংখ্যা নির্দেশ করে।

1/a < 1/b
বা, a > b
∴ -a < -b এবং a - b > 0
∴ a - b < 0 ; কখন ও সঠিক নয়।

• x ও y ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হলে-
• x > y হয় তবে 1/x < 1/y হবে।

|x - 1/2| ≤ 1/3
বা, -1/3 ≤ x - 1/2 ≤ 1/3
বা, -1/3 + 1/2 ≤ x ≤ 1/3 + 1/2
বা, 1/6 ≤ x ≤ 5/6

প্রশ্ন: |2x - 4| < 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান: 
(2x - 4) ধনাত্মক হলে, 
2x - 4 < 6
⇒ 2x - 4 + 4 < 6 + 4
⇒ 2x < 10
∴ x < 5

আবার,
(2x - 4) ঋণাত্মক হলে, 
- (2x - 4) < 6
⇒ (2x - 4) > - 6
⇒ 2x - 4 + 4 > - 6 + 4
⇒ 2x > - 2
∴ x > - 1

∴ নির্ণেয় অসমতা  = - 1 < x < 5  । 

প্রশ্ন: x + 3 > 2x - 1 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
এখানে, 
x + 3 > 2x - 1
⇒ 2x - 1 < x + 3
⇒ 2x - x < 3 + 1
⇒ x < 4

∴ নির্ণেয় সমাধান = (- ∞, 4)