সরল ও দ্বিপদী অসমতা

যেহেতু, x > y
∴ x - y > 0

প্রশ্ন: a ≤ b এবং b ≤ a হলে নিচের কোনটি সত্য?

সমাধান:
a ≤ b
⇒ a < b অথবা a = b

আবার, b ≤ a
⇒ b < a অথবা b = a

যেহেতু a < b হলে b < a হতে পারে না (একই সাথে একটি সংখ্যা অন্য সংখ্যার বড় এবং ছোট হতে পারে না), তাই উভয় শর্ত পরিপূর্ণ করতে হলে অবশ্যই
∴ a = b

প্রশ্ন: 9 ≥ 3 - 3a হলে, অসমতাটির সমাধান কী?

সমাধান:
9 ≥ 3 - 3a
⇒ 9 - 3 ≥ 3 - 3a - 3
⇒ 6 ≥ - 3a
⇒ - 6 ≤ 3a [ উভয়পক্ষকে - 1 দ্বারা গুণ করে]
⇒ 3a ≥ - 6
⇒ a ≥ - 6/3
⇒ a ≥ - 2

x-9 < 3x+1
বা, x-9 - x-1 < 3x+1- x-1
বা, -10 < 2x
সুতরাং, x > -5

a = 2; b = 3
|a+b| = |2+3| = 5
এবং |a|+|b| = |2|+|3| = 2+3 = 5

a = -2; b = 3
|a+b| = |-2+3| = 1
এবং |a|+|b| = |-2|+|3| = 2+3 = 5

a = -2; b = -3
|a+b| = |-2-3| = 5
এবং |a|+|b| = |-2|+|-3| = 2+3 = 5

a = 2; b = -3
|a+b| = |2-3| = -1
এবং |a|+|b| = |2|+|-3| = 2+3 = 5

অতএব, a ও b বাস্তব হলে, |a+b| ≤ |a|+|b|

প্রশ্ন: - 1 < 2x + 5 ≤ 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
- 1 < 2x + 5 ≤ 7
- 1 - 5 < 2x + 5 - 5 ≤ 7 - 5
- 6 < 2x ≤ 2
- 6/2 < 2x/2 ≤ 2/2
- 3 < x ≤ 1

∴ অসমতাটির সমাধান (- 3, 1]

প্রশ্ন: 1/|2x - 5| < 1/3 এর সমাধান-

সমাধান:
1/|2x - 5| < 1/3
⇒ |2x - 5| > 3 (উভয়পক্ষকে ব্যস্তানুপাত করায় অসমতার চিহ্ন উল্টে গেছে)

যেহেতু, |a| > b এর সমাধান হলো a > b অথবা a < - b, সেহেতু আমরা পাই,

2x - 5 > 3
⇒ 2x > 3 + 5
⇒ 2x > 8
⇒ x > 4

আবার,
2x - 5 < - 3
⇒ 2x < - 3 + 5
⇒ 2x < 2
⇒ x < 1

সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান হলো x < 1 অথবা x > 4।

প্রশ্ন: x > 0 এবং x² = 4x হলে x এর মান কোনটি?

সমাধান: 
x² = 4x
⇒ x² − 4x = 0
⇒ x(x − 4) = 0
হয়,
x = 0   [∴ x > 0 বলে x = 0 গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা,
x − 4 = 0
∴ x = 4

প্রশ্ন: |x + 7| ≤ 9 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:

|x + 7| ≤ 9
⇒ - 9 ≤ x + 7 ≤ 9
⇒ - 9 - 7 ≤ x + 7 - 7 ≤ 9 - 7 [উভয় পক্ষ থেকে 7 বিয়োগ করে]
⇒ - 16 ≤ x ≤ 2

∴ x এর সর্বনিম্ন মান  - 16 ।

m > n এবং k > o
∴ mk > nk
বা, 1/mk < 1/nk

প্রশ্ন: 2x - 7 < 8 < 3x - 11 হলে, x এর মান পূর্ণ সংখ্যায় কত? 

সমাধান:
এটি দুটি অসমতা একসঙ্গে দেওয়া আছে।
2x - 7 < 8
⇒ 2x < 8 + 7
⇒ 2x < 15
⇒ x < 15/2
∴ x < 7.5

আবার, 
8 < 3x - 11
⇒ 8 + 11 < 3x
⇒ 3x > 19
⇒ x > 19/3
∴ x > 6.33

∴ দুটি অসমতা একত্রে,  6.3 < x < 7.5
এই ব্যাপ্তিতে পূর্ণসংখ্যা 7 ; [অন্য কোনো পূর্ণসংখ্যা (যেমন 6, 8) এই ব্যাপ্তিতে পড়ে না] 

সুতরাং, x-এর মান পূর্ণ সংখ্যায় 7।

প্রশ্ন: − 8 < x < 2 এর পরম মান কত? 

সমাধান: 
− 8 < x < 2 
বা, − 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3 
বা, − 5 < x + 3 < 5 
∴ |x + 3| < 5

প্রশ্ন: |x - 5| < 2, x ∈ IN অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
|x - 5| < 2 এবং x ∈ N
⇒ - 2 < x - 5 < 2
⇒ - 2 + 5 < x - 5 + 5 < 2 + 5
⇒ 3 < x < 7

এখন, 
 x ∈ N এর অর্থ হলো x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 3 থেকে বড় এবং 7 থেকে ছোট। 
সুতরাং, 3 < x < 7 সীমার মধ্যে স্বাভাবিক সংখ্যা গুলো হলো 4, 5, 6

সুতরাং, সমাধান সেট = {4, 5, 6}

x+3 > 2x−1
⇒ 2x-1 < x+3
⇒ 2x-x < 3+1
∴ x<4
∴ নির্ণেয় সমাধান সেটঃ (-∞,4)

|2x - 5| <3
- 3 <2x - 5 < 3
- 3 + 5 <2x < 3 + 5
2 < 2x < 8
1 < x < 4
∴ নির্ণেয় সমাধান = 1 < x < 4 

x/3 + x/4 + x/5 > 47/60
(20x + 15x + 12X)/60 > 47/60
47x/60 > 47/60
x > 1

প্রশ্ন: Ι3x  - 1Ι < 2 এর সমাধান সেট হবে: 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
|3x - 1| < 2
⇒ - 2 < 3x - 1 < 2
⇒ - 2 + 1 < 3x - 1 + 1 < 2 + 1  ; [উভয় পাশে 1 যোগ করে পাই]
⇒ - 1 < 3x < 3
⇒ - 1/3 < x < 3/3  ; [উভয় পাশে 3 দ্বারা ভাগ করে পাই]
∴ - 1/3 < x < 1

সমাধান সেট:
x ∈ (- 1/3, 1)

প্রশ্ন: x² - 8x + 15 < 0 হলে, x এর মান কোনটি?

সমাধান:
x² - 8x + 15 < 0
⇒ x² - 5x - 3x + 15 < 0
⇒ x(x - 5) - 3(x - 5) < 0
⇒ (x - 5)(x - 3) < 0

উপরের গাণিতিক বাক্যটি সত্য হবে যদি একটি উৎপাদক ধনাত্মক ও অপরটি ঋণাত্মক হয়। অর্থাৎ, x এর মান 3 ও 5 এর মাঝখানে হবে।

অর্থাৎ 3 < x < 5

প্রশ্ন: |x - 4| ≤ 10 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:  
দেওয়া আছে, 
|x - 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ x - 4 ≤ 10
⇒ - 10 + 4 ≤ x ≤ 10 + 4
⇒ - 6 ≤ x ≤ 14 

x এর সর্বনিম্ন মান - 6

নিশ্চায়ক শূন্য হলে মূলদ্বয় সমান ও বাস্তব হয়।
∴ সমীকরণটির নিশ্চায়ক = √(p² - 4.6.1)
⇒ √(p² - 24) = 0
⇒ p2 = 24
⇒ p = ±√24
∴ p = √24 [p>0]

│x+1│< 3
⇒ -3 < x+1< 3
⇒ -3-1 < x+1-1 < 3-1
⇒ -4 < x < 2

প্রশ্ন: যদি (2 + √x) > 2√x হয়, তাহলে নিচের কোন বিবৃতিটি মিথ্যা হতে পারে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2 + √x) > 2√x
⇒ 2 + √x - √x > 2√x - √x  ; [উভয় পক্ষ থেকে √x বিয়োগ করে পাই] 
⇒ 2 > √x
⇒ 2² > (√x)² ; [বর্গ করে পাই] 
∴ x < 4

প্রশ্ন: 8 - 6x ≤ 20 এর সমাধান কত?

সমাধান:
8 - 6x ≤ 20
= 8 - 6x - 8 ≤ 20 - 8 [ উভয়পক্ষে (- 8) যোগ করে ]
= - 6x ≤ 12
= 6x ≥ - 12 [ উভয়পক্ষে - 1 দ্বারা গুণ করলে অসমতা চিহ্ন পরিবর্তিত হয়] 
= x ≥ - 12/6
= x ≥ - 2

x এর মান হবে - 2 সমান বা - 2 থেকে অসীম (∞) পর্যন্ত। 

∴ নির্ণেয় সমাধান = [- 2, ∞)

প্রশ্ন: যদি 3x - 7 < 2x + 5 হয়, তবে অসমতাটির সমাধান হবে -

সমাধান:
3x - 7 < 2x + 5
⇒ 3x - 2x < 5 + 7
⇒ x < 12

প্রশ্ন: |x + 4| ≤ 8 হলে, x এর সীমানা কত?

সমাধান:
|x + 4| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 4 ≤ 8
⇒ - 8 - 4 ≤ x ≤ 8 - 4 [ উভয় পক্ষে 4 বিয়োগ করে]
⇒ - 12 ≤ x ≤ 4

∴ x ∈ [ - 12, 4]

প্রশ্ন: - 8 < x < 2 এর পরম মান কোনটি? 

সমাধান: 
- 8 < x < 2 
বা, - 8 + 3 < x + 3 < 2 + 3 
বা, - 5 < x + 3 < 5 
∴ |x + 3| < 5

|3 - x| < 5
বা, -5 < 3 - x < 5
বা, - 5 - 3 < -x < 5 - 3
বা, -8 < -x < 2
∴ -2 < x < 8

ধরি,
x = -(1/2)
তাহলে,
1/x = -2,
x² = 1/4,
1/x² = 4
∴ -2 < -(1/2) < 1/4 < 4
বা, 1/x < x < x² < 1/x²

প্রশ্ন: - 3 < Y < 5 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ করলে কত হবে? 

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (- 3 + 5)/2 = 1

এখন,
-3 < Y < 5
⇒ - 3 - 1 < Y - 1 < 5 - 1 [উভয়পক্ষ থেকে 1 বিয়োগ করে]
⇒ - 4 < Y - 1 < 4
⇒ |Y - 1| < 4

∴ পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ: |Y - 1| < 4

প্রশ্ন: 4(3 - 2y) < 2(5 - 3y) অসমতার সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
4(3 - 2y) < 2(5 - 3y)
⇒ 12 - 8y < 10 - 6y
⇒ - 8y + 6y < 10 - 12
⇒ - 2y < - 2
⇒ y > (- 2)/(- 2) ; [উভয় পাশে - 2 দিয়ে ভাগ করে] 
∴ y > 1

সুতরাং সমাধান সেট: y > 1 
অর্থাৎ, {y ∈ R: y > 1}

প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান:
|x - 2| < 3
⇒ -3 < x - 2 < 3
⇒ -3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
⇒ -1 < x < 5
⇒ -3 < 3x < 15
⇒ -3 + 5 < 3x + 5 < 15 + 5
∴ 2 < 3x + 5 < 20

যেখানে, m < 3x + 5 < n
∴ m = 2 এবং n = 20