সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ৯ / ৩২ · ৮০১–৯০০ / ৩,১৭২

৮০১.

2187 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
9
খ
7
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2187 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
2187 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম = log₃2187
= log₃3⁷
= 7 log₃3
= 7 × 1
= 7

৮০২.

log_3√254√2 × log_√77√7 × log_2√324√3 = ?

ক
18
খ
27
গ
9
ঘ
36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_3√254√2 × log_√77√7 × log_2√324√3 = ?

সমাধান:
log_3√254√2 × log_√77√7 × log_2√324√3
= log_3√2(3√2)³× log_√7(√7)³× log_2√3(2√3)³
= 3 × 3 × 3
= 27

৮০৩.

যদি 5^{x - 2}= 1/125 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
1
খ
- 1
গ
2
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^{x - 2}= 1/125 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
5^{x - 2}= 1/125
⇒ 5^{x - 2}= 5 ^{- 3}⇒ x - 2 = - 3
⇒ x = - 3 + 2
⇒ x = - 1

৮০৪.

log₃(1/27) এর মান কত?

ক
3
খ
- 3
গ
2
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(1/27) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/27)
= log₃(1/3³)
= log₃3^-3
= - 3 log₃3
= - 3 × 1
= - 3

৮০৫.

3^x+3^x+3^x = ?

ক
ক) 9x
খ
খ) 3^x+1
গ
গ) 3^3x
ঘ
ঘ) 3x²

ব্যাখ্যা

3^x+3^x+3^x
= 3.3^x
= 3^x.3
= 3^x+1

৮০৬.

ক
1
খ
a
গ
0
ঘ
a²

ব্যাখ্যা

সমাধান:
a^{p + q}/a^2r × a^{q + r}/a^2p × a^{r +p}/a^2q
= a^{p + q - 2r} × a^{q + r - 2p}× a^{r + p - 2q}
= a^{p + q - 2r + q + r - 2p + r + p - 2q}
= a⁰
= 1

৮০৭.

log₂3 × log₃2 এর মান কত?

ক
log6
খ
1
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂3 × log₃2 এর মান কত?

সমাধান:
log₂3 × log₃2
= log₂3 × (1/log₂3)
= log₂3/log₂3
= 1

৮০৮.

3^x = 81 হলে x =?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^x = 81 হলে x =?

সমাধান:
3^x = 81
⇒ 3^x = 3⁴
∴ x = 4 [a^m = aⁿ হলে, m = n]

৮০৯.

3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

ক
√3
খ
2/3
গ
3²
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
3√3 এর 3 ভিত্তিক লগ
=log₃3√3
=log₃3 +log₃√3
= 1 + log₃3^1/2
= 1 + (1/2)log₃3
= 1 + (1/2)
= (2 + 1)/2
= 3/2

৮১০.

log2 + log4 + log8 + log16 + ................ ধারাটির প্রথম পনেরটি পদের সমষ্টি কত?

ক
55log2
খ
120log2
গ
210log2
ঘ
245log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + log16 + ................ ধারাটির প্রথম পনেরটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম পনেরটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + log16 +............... + প্রথম পনেরটি পদের সমষ্টি
= log2¹+ log2² + log2³ + log2⁴ +............... + প্রথম পনেরটি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 + 4log2 + ............... + প্রথম পনেরটি পদের সমষ্টি
=(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 15) log2
= {15(15 + 1)/2}log2
= 120log2

৮১১.

যদি (2/3)^{2x - 1} × (3/2)^{x + 2} = (2/3)^{- 3} হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
0
খ
3
গ
-3
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (2/3)^{2x - 1} × (3/2)^{x + 2} = (2/3)^{- 3} হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2/3)^{2x - 1} × (3/2)^{x + 2}= (2/3)^{- 3}
⇒ (2/3)^{2x - 1}× (2/3) ^{- (x + 2)}= (2/3)^{- 3}
⇒ 2x - 1 - x - 2 = - 3
⇒ x - 3 = - 3
⇒ x = 0

৮১২.

x^m=y, yⁿ=z এবং z^p=x হলে mnp = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) x
ঘ
ঘ) xyz

ব্যাখ্যা

x^m = y
বা, (z^p)^m = y
বা, z^pm = y
বা, (yⁿ)^pm = y
বা, y^mnp = y
∴ mnp = 1

৮১৩.

যদি 3^x + 3^x+ 3^x = 3ⁿহয় তবে, n এর প্রেক্ষিতে x এর মান কত?

ক
n + 1
খ
n + 2
গ
n - 1
ঘ
n - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^x + 3^x+ 3^x = 3ⁿহয় তবে, n এর প্রেক্ষিতে x এর মান কত?

সমাধান:
3^x + 3^x + 3^x =3n
3^x(1 + 1 + 1) = 3ⁿ
3^x.3 = 3ⁿ
3^{x + 1} = 3ⁿ
x + 1 = n
x = n - 1

৮১৪.

125(√5)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) -4
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) -3

ব্যাখ্যা

125(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/125
বা, (√5)^2x = 1/(5×5×5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁶
বা, (√5)^2x = (√5)^-6
বা, 2x = -6
বা, x = -3

৮১৫.

(√5)^{x + 1} = 5^{2x - 1} হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (√5)^{x + 1} = 5^{2x - 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(√5)^{x + 1} = 5^{2x - 1}
⇒ (√5)^{x + 1} = {(√5)²}^{2x - 1}
⇒ (√5)^{x + 1} = (√5)^{4x - 2}
⇒ x + 1 = 4x - 2
⇒ 4x - x = 2 + 1
⇒ 3x = 3
∴ x = 1

৮১৬.

0.3x = √0.009 হলে, 1/x = ?

ক
ক) √10
খ
খ) 1/√10
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 1/10

ব্যাখ্যা

0.3x = √0.009
বা, 0.09x² = 0.009
বা, 0.09x² = 0.009
বা, 90x² = 9 [1000 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 9/90 = 1/10
বা, x = 1/√10
∴ 1/x = √10

৮১৭.

4logx + 4logy = log 16 হলে xy এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 4logx + 4logy = log 16 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
4log x + 4log y = log16
⇒ logx⁴ + logy⁴ = log2⁴
⇒ logx⁴y⁴ = log2⁴
⇒ (xy)⁴ = 2⁴
⇒ xy = 2

৮১৮.

3^{x + 1} = 9 হলে, logx এর মান কত?

ক
1
খ
0
গ
3
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x + 1} = 9 হলে, logx এর মান কত?

সমাধান:
3^{x + 1} = 9
বা, 3^{x + 1} = 3²
বা, x + 1 = 2
বা, x = 2 - 1
∴ x = 1

logx = log1
= 0

৮১৯.

যদি (m/n)^{5x - 8} = (n/m)^{2x + 1} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
3
খ
- 2
গ
1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (m/n)^{5x - 8} = (n/m)^{2x + 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(m/n)^{5x - 8} = (n/m)^{2x + 1}
⇒ (m/n)^{5x - 8} = (m/n)^{- (2x + 1)}
⇒ 5x - 8 = - (2x + 1)
⇒ 5x - 8 = -2x - 1
⇒ 5x + 2x = -1 + 8
⇒ 7x = 7
∴ x = 7/7 = 1

৮২০.

25^x^{+ 2} = 125 হলে x = কত?

ক
ক) 7/2
খ
খ) 1/2
গ
গ) - 1/2
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25^x^{+ 2} = 125 হলে x = কত?

সমাধান:
25^x^{+ 2} = 125
⇒ (5²)^{x + 2} = 5³
⇒ 5^2x^{+ 4} = 5³
⇒ 2x + 4 = 3
⇒ 2x = - 1
∴ x = - 1/2

৮২১.

4^{x + 1} = 2^{x - 2}হলে x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 6
গ
গ) - 4
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 2^{x - 2}হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 1} = 2^{x - 2}
(2²)^{x + 1} =2^{x - 2}
2^{2x + 2}= 2^{x - 2}
2x + 2 = x - 2
2x - x = - 2 - 2
x = - 4

৮২২.

x^a = y, y^b = z, z^c = x হলে abc এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x^a = y, y^b = z, z^c = x হলে abc এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
z^c = x
বা, (y^b)^c = x [z = y^b]
বা, (x^a)^bc = x [y = x^a]
বা, x^abc = x¹
∴ abc = 1

৮২৩.

ক
ক) x^1/2
খ
খ) x^1/3
গ
গ) x^2/3
ঘ
ঘ) x^3/2

ব্যাখ্যা

সমাধান:
= [{(x³)^1/3}^1/3]
= x^1/3

৮২৪.

9³ × 81² ÷ 27³ = 3^?

ক
3
খ
5
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9³ × 81² ÷ 27³ = 3^?

সমাধান:
ধরি,
9³ × 81² ÷ 27³ = 3^a
⇒ (3²)³ × (3⁴)² ÷ (3³)³ = 3^a
⇒ 3⁶ × 3⁸ ÷ 3⁹= 3^a
⇒ 3^{6 + 8 - 9} = 3^a
⇒ 3⁵ = 3^a
∴ a = 5

৮২৫.

5 log3 - log9 = ?

ক
log27
খ
log3
গ
3 log2
ঘ
5 log2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 log3 - log9 = ?

সমাধান:
5 log3 - log9
= 5 log3 - log3²
= 5 log3 - 2 log3
= (5 - 2) log3
= 3 log3
= log3³
= log27

৮২৬.

9^{x + 2} = 81 হলে x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
0
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^{x + 2} = 81 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
9^{x + 2}= 81
বা, (3²)^{x + 2} = 3⁴
বা, 3^{2x + 4} = 3⁴
বা, 2x + 4 = 4
বা, 2x = 4 - 4
বা, 2x = 0
বা, x = 0/2
∴ x = 0

৮২৭.

x⁰ + y⁰ + z¹ = ?

ক
ক) 1
খ
খ) 2 + z
গ
গ) 1 + z
ঘ
ঘ) z

ব্যাখ্যা

x⁰ + y⁰ + z¹
= 1 + 1 + z
= 2 + z

৮২৮.

0.125 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
- 4
খ
- 3
গ
- 2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.125 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:

0.125 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম =log₂(0.125)

= log₂(125/1000)

= log₂(1/8)

= log₂(1/2³)

= log₂2^-3

= - 3log₂2

= - 3 .1

= - 3

৮২৯.

625(√5)^7x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
9/4
খ
-3
গ
-8/7
ঘ
-7

ব্যাখ্যা

625(√5)^7x = 1
(√5)^7x = 1/625
5^7x/2 = 5^-4
7x/2 = -4
X = -8/7

৮৩০.

x^-3 = 0.000001 = 0 হলে, x² = ?

ক
10²
খ
10⁴
গ
10⁶
ঘ
10³

ব্যাখ্যা

x^-3 = 0.000001
or, 1/x3 = 1/1000000
or, 1/x³ = 1/(100)³
or, x³ = 100³
or, x = 100
or, x = 10²
∴ x² = 10⁴

৮৩১.

(৩ + ৪)^২ নিচের কোনটির সমান?

ক
২৫
খ
১৪
গ
৪৯
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (৩ + ৪)^২ নিচের কোনটির সমান?

সমাধান:
(৩ + ৪)^২
= ৭^২
= ৪৯

৮৩২.

log_√24 + log₃√3 =?

ক
1/2
খ
9/2
গ
7
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√24 + log₃√3 =?

সমাধান:
log_√24 + log₃√3
= log_√2(√2)⁴ + log₃(3)^1/2
= 4log_√2√2 + (1/2)log₃3
= 4 + 1/2
= 9/2

৮৩৩.

যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 4
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
(a/b)^{x - 3} = (a/b)^{5 - x}
x - 3 = 5 - x
2x = 8
x = 4

৮৩৪.

8^{2x + 3} = 2^{3x + 6} হলে, x এর মান -

ক
ক) - 3
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^{2x + 3} = 2^{3x + 6} হলে, x এর মান -

সমাধান:
8^{2x + 3} = 2^{3x + 6}
⇒ 2^{3(2x + 3)} = 2^{3x + 6}
⇒ 6x + 9 = 3x + 6
⇒ 3x = - 3
∴ x = - 1

৮৩৫.

4^x+1 = 256 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 4
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

4^x+1 = 256
or, 4^x+1 = 4⁴
or, x + 1 = 4
or, x = 3

৮৩৬.

log₂(1/32) = কত?

ক
- 4
খ
- 5
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(1/32) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log2(1/32)
= log₂(1/2⁵)
= log₂(2^{- 5})
= - 5 × log₂2
= - 5 × 1
= - 5

৮৩৭.

(√2)^m = 64 হলে, m এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 4
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (√2)^m = 64 হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
(√2)^m = 64
⇒ (√2)^m = 2⁶
⇒ (√2)^m = (√2)^{2 × 6}
∴ m = 12

৮৩৮.

4^x = 8 হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^x = 8
⇒ (2²)^x = 2³
⇒ 2^2x = 2³
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

৮৩৯.

ক
2/9
খ
9/4
গ
2/3
ঘ
4/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮৪০.

যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
⇒ x - 3 = 5 - x
⇒ x + x = 3 + 5
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

৮৪১.

2¹²+ 2¹² + 2¹² + 2¹² = কত?

ক
ক) 12²
খ
খ) 13¹²
গ
গ) 2¹²
ঘ
ঘ) 2¹⁴

ব্যাখ্যা

2¹²+ 2¹² + 2¹² + 2¹²
= 2¹²(1 + 1 + 1 + 1)
= 2¹² .4
= 2¹² .2²
= 2^{12 + 2}
= 2¹⁴

৮৪২.

log₂(8/32) এর মান কত?

ক
- 2
খ
1/2
গ
5
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(8/32) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(8/32)
= log₂(1/4)
= log₂(1/2²)
= log₂(2^{- 2})
= - 2 × log₂2 [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= - 2 × 1 [log_aa = 1]
= - 2

৮৪৩.

ক
1/2
খ
1/3
গ
3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
log₃∛3
= log₃3^1/3
= 1/3 log₃3
= 1/3 × 1 [∴ log_aa = 1]
= 1/3

৮৪৪.

3^x+2 = 81 হলে 3^x−2 এর মান কত হবে?

ক
ক) 3
খ
খ) 2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

3^x+2 = 81
⇒ 3^x+2 = 3⁴
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 2
∴ 3²⁻² = 3⁰ = 1

৮৪৫.

log₂(1/8) = কত?

ক
- 2
খ
- 3
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(1/8) = কত?

সমাধান:

৮৪৬.

log₁₀3 = a হলে log₁₀(1/30) এর মান কত?

ক
ক) (a + 1)
খ
খ) - a + 1
গ
গ) a - 1
ঘ
ঘ) - (a + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀3 = a হলে log₁₀(1/30) এর মান কত?

সমাধান:
log10(1/30)
= log₁₀1- log₁₀30
=- log₁₀(3 × 10)
=- (log₁₀3 + log₁₀10)
=- (a + 1)

৮৪৭.

ক
3
খ
5
গ
3/2
ঘ
2
ঙ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮৪৮.

2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^?

সমাধান:
ধরি,
2³ × 3⁴ × 1080 ÷ 15 = 6^p
⇒ 2³ × 3⁴ × 72 = 6^p
⇒ 2³ × 3⁴ × 2 × 6² = 6^p
⇒ 2⁴ × 3⁴ × 6² = 6^p
⇒ (2 × 3)⁴ × 6² = 6^p
⇒ 6⁴ × 6²= 6^p
⇒ 6^{4 + 2}= 6^p
⇒ 6⁶= 6^p
∴ p = 6

৮৪৯.

x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3/5
ঘ
ঘ) 5/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে, 72.3^{3x - 5} = 2³ হবে?

সমাধান:
72.3^{3x - 5} = 2³
বা, 2³.3².3^{3x - 5} = 2³
বা, 3².3^{3x - 5}= 2³/2³
বা, 3^{2 + 3x - 5} = 1
বা, 3^{3x - 3} = 3⁰
বা, 3x - 3 = 0
বা, 3x = 3
বা, x = 3/3
∴ x = 1

৮৫০.

log_ba² · log_cb² · log_ac² এর মান কত?

ক
8
খ
10
গ
6
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ba² · log_cb² · log_ac² এর মান কত?

সমাধান:
log_ba². log_cb² . log_ac²
= 2log_ba . 2log_cb . 2log_ac
= 8 × log_ba(log_cb × log_ac)
= 8 × log_ba × log_ab [log_bm × log_ab = log_am]
= (8 × 1)
= 8

৮৫১.

যদি log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + 1 হয় তবে a এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
3
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + 1 হয় তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5a + 1) = log₁₀(a + 5) + log₁₀10
⇒ log₁₀{5(5a + 1)} = log₁₀{10(a + 5)}
⇒ 5(5a + 1) = 10(a + 5)
⇒ 5a + 1 = 2a + 10
⇒ 3a = 9
∴ a = 3

৮৫২.

(x/2)^{a + 1} = 1 হলে a এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/2)^{a + 1} = 1 হলে a-এর মান কত?

সমাধান:
(x/2)^{a + 1} = 1
বা, (x/2)^{a + 1} = (x/2)⁰
বা, a + 1 = 0
∴ a = - 1

৮৫৩.

৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
৩
খ
৪
গ
৫
ঘ
৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩২ এর ২ ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂32
= log₂2⁵
= 5 log₂2 [log_aa = 1]
= 5 × 1
= 5

৮৫৪.

log₁₀p = - 3 হলে, p এর মান কত?

ক
0.1
খ
0.001
গ
0.0001
ঘ
0.00001

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀p = - 3 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀p = - 3
⇒ p = 10^{- 3}
⇒ p = 1/10³
⇒ p = 1/1000
∴ p = 0.001

৮৫৫.

^mn√x^m/xⁿ ⁿ√xⁿ/x^m ^ln√x^l/x^m = কত?

ক
ক) x^p
খ
খ) x^m
গ
গ) x^l
ঘ
ঘ) 1

৮৫৬.

5log3 - log9 = কত?

ক
ক) log8
খ
খ) log5
গ
গ) log10
ঘ
ঘ) log27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = কত?

সমাধান:
5log3 - log9
= log3⁵ - log3²
= log(3⁵ ÷ 3²)
= log(3³)
= log27

৮৫৭.

log₃(log₂x) = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 9
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(log₂x) = 1 হলে, x এর মান কত হবে?

সমাধান:
log₃(log₂x) = 1
log₂x = 3¹
log₂x = 3
x = 2³
x = 8

৮৫৮.

x√(0.16) = 2 হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x√(0.16) = 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x√(0.16) = 2
⇒ x√(16/100) = 2
⇒ x × (4/10) = 2
⇒ x = 2 × (10/4)
⇒ x = 5
∴ x = 5

৮৫৯.

5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 5/2
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 2/3

ব্যাখ্যা

log₅5√5
= log₅(5.5^½)
= log₅5^3/2
= 3/2 log₅5
= 3/2 × 1
= 3/2

৮৬০.

log₂(log₅625) এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
- 1
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(log₅625) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(log₅625)
= log₂(log₅5⁴)
= log₂(4log₅5)
= log₂4
= log₂2²
= 2 log₂2
= 2

৮৬১.

সমাধান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: সমাধান কত?

সমাধান:

৮৬২.

ক
10/3
খ
5/3
গ
11/3
ঘ
12/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮৬৩.

(log₅√5 ÷ log₅5) × 2 এর সমাধান নিচের কোনটি?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (log₅√5/log₅5) × 2 এর সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(log₅√5/log₅5) × 2
= (log₅5^1/2/log₅5) × 2
= (1/2) × (log₅5/log₅5) × 2
= (1/2) × 2
= 1

৮৬৪.

2^x + 2^{2 - x} = 5 হলে, x = কত?

ক
ক) (1 , 0)
খ
খ) (0 , 2)
গ
গ) (2 , 1)
ঘ
ঘ) (3 , 2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^x + 2^{2 - x} = 5 হলে, x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^x + 2^{2 - x}= 5
⇒ 2^x + (2²/2^x )= 5
⇒ a + (4/a) = 5 [ ধরি 2^x= a ]
⇒ a² + 4 = 5a
⇒ a² - 5a + 4 = 0
⇒ a² - 4a - a + 4 = 0
⇒ a(a - 4) -1(a - 4) = 0
∴ (a - 1) (a - 4) = 0

এখন,
a - 1 = 0
⇒ a = 1
⇒ 2^x = 1
⇒ 2^x = 2⁰
∴ x = 0

আবার,
a - 4 = 0
⇒ a = 4
⇒ 2^x = 4
⇒ 2^x = 2²
∴ x = 2

∴ x = (0 , 2)

৮৬৫.

27 × 27 × 27 = 3^x হলে, x এর মান কত?

ক
3
খ
6
গ
9
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27 × 27 × 27 = 3^x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ 27 × 27 × 27 = 3^x
⇒ 3³ × 3³ × 3³ = 3^x
⇒ 3^{(3 + 3 + 3)} = 3^x
⇒ 3⁹ = 3^x
∴ x = 9

৮৬৬.

যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয় তবে 5^x = কত?

ক
1
খ
5
গ
1/5
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয় তবে 5^x = কত?

সমাধান:
(25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}

⇒ (5²)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}

⇒ 5^{4x + 6} = 5^{3x + 6}

∴ 4x + 6 = 3x + 6

⇒ 4x - 3x = 6 - 6

∴ x = 0

∴ 5^x = 5⁰ = 1

৮৬৭.

{2^{n + 4} - 2(2ⁿ)}/2(2^{n + 3}) এর মান কত?

ক
7/8
খ
5/8
গ
3/8
ঘ
2/7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {2^{n + 4} - 2(2ⁿ)}/2(2^{n + 3}) এর মান কত?

সমাধান:
{2^{n + 4}- 2(2ⁿ)}/2(2^{n + 3})
= (2^{n + 4} - 2^{n + 1})/2^{n + 4}
= (2^{n + 4}/2^{n + 4}) - (2^{n + 1}/2^{n + 4})
= 1 - 2^{(n + 1) - (n + 4)}
= 1 - 2^{- 3}
= 1 - 1/8
= 7/8

৮৬৮.

7log₁₀2 + log₁₀2 + log₁₀3 = ?

ক
ক) log₁₀384
খ
খ) log₁₀768
গ
গ) log₁₀120
ঘ
ঘ) log₁₀1536

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 7log₁₀2 + log₁₀2 + log₁₀3 = ?

সমাধান :
⇒ log₁₀2⁷ + log₁₀2 + log₁₀3
⇒ log₁₀128 + log₁₀2 + log₁₀3
⇒ log₁₀(128 × 2 × 3)
⇒ log₁₀768

৮৬৯.

ক
25
খ
5
গ
9/5
ঘ
125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
log₃[log₂(log₅a)] = 0
⇒ log₂(log₅a) = 3⁰ [log_bM = c ⇒ M = b^c]
⇒ log₂(log₅a) = 1
⇒ log₅a = 2¹
⇒ log₅a = 2
⇒ a = 5²
⇒ a = 25
∴ a = 25

৮৭০.

(1/log₄120) + (1/log₅120) + (1/log₆120) = ?

ক
1
খ
1/2
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/log₄120) + (1/log₅120) + (1/log₆120) = ?

সমাধান:
(1/log₄120) + (1/log₅120) + (1/log₆120) = ?)
= log₁₂₀ 4 + log₁₂₀ 5 + log₁₂₀ 6
= log₁₂₀ (4 × 5 × 6)
= log₁₂₀ 120
= 1

৮৭১.

log₆ 6√6 = কত?

ক
1/2
খ
1
গ
3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₆ 6√6 = কত?

সমাধান:
ধরি,
log₆ 6√6 = a
⇒ 6^a= 6√6
⇒ 6^a = 6¹ × 6^(1/2)
⇒ 6a = 6^{{1 + (1/2)}}
⇒ a = 1 + (1/2)
∴ a = 3/2

৮৭২.

log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) =log₁₀(x + 5) + 1 হলে, x এর মান কত?

ক
4
খ
1
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) =log₁₀(x + 5) + 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1
⇒ log₁₀{5(5x + 1)} = log₁₀(x+5)
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
∴ x = 3

৮৭৩.

12 × 27^x = 2² × 9^{x + 4} হলে, x এর মান কত?

ক
- 2
খ
3
গ
9
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 × 27^x = 2² × 9^{x + 4} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
12 . 27^x = 2² . 9^{x + 4}
⇒ 2² × 3 × (3³)^x = 2² × (3²)^{x + 4}
⇒ 3 × 3^3x = 3^{2x + 8}
⇒ 3^{3x + 1} = 3^{2x + 8}
⇒ 3x + 1 = 2x + 8
⇒ 3x - 2x = 8 - 1
∴ x = 7

৮৭৪.

যদি 2^{a - 6} = 1/64 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2^{a - 6} = 1/64 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
2^{a - 6} = 1/64
⇒ 2^{a - 6} = 1/2⁶
⇒ 2^{a - 6} = 2^{- 6}
⇒ a - 6 = - 6
∴ a = 0

৮৭৫.

ক
ক)
খ
খ)
গ
গ)
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮৭৬.

50⁷ × 20⁷ সংখ্যাটি 10⁸ এর 10^x গুণ হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 13
খ
খ) 14
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

প্রশ্নমতে,
50⁷ × 20⁷ = 10⁸ × 10^x
বা, (50×20)⁷ = 10^(x+8)
বা, (1000)⁷ = 10^(x+8)
বা, (10³)⁷ = 10^(x+8)
বা, 10²¹ = 10^x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

৮৭৭.

সমাধান করুনঃ x^y = y^x, x = 2y (x ≠ 0, y ≠ 0)

ক
ক) (x, y) = (4, 2)
খ
খ) (x, y) = (6, 3)
গ
গ) (x, y) = (2, 1)
ঘ
ঘ) (x, y) = (8, 4)

ব্যাখ্যা

x^y = y^x
or, x = y^x/y
or, 2y = y² [ x = 2y]
অতএব, y = 2
অতএব, x = 4

৮৭৮.

(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হয়, তবে x -এর মান কত হবে?

ক
1
খ
2
গ
1/2
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3} হয়, তবে x -এর মান কত হবে?

সমাধান:
(a/b)^{x - 1} = (b/a)^{x - 3}
বা, (a/b)^{x - 1} = (a/b)^{- (x - 3)}
বা, x - 1 = - (x - 3)
বা, x - 1 = - x + 3
বা, x + x = 3 + 1
বা, 2x = 4
বা, x = 4/2
∴ x = 2

৮৭৯.

(10x)⁰+10x⁰ এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 10
খ
খ) 2
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 20

ব্যাখ্যা

(10x)⁰+10x⁰
=1+10×1
=11

৮৮০.

যদি log_x(1/16)⁡ = - 2 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
8
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_x(1/16)⁡=−2 হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
log_x1/16 = 2
⇒ x ^{- 2} = 1/16
⇒ 1/x²= 1/16
⇒ x²= 16
⇒ x = ± 4

লগের ভিত্তি ধনাত্মক হওয়ায়, x = 4

৮৮১.

(2²)^{x + 3} = 256 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

ক
1
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2²)^{x + 3} = 256 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
(2²)^{x + 3} = 256
⇒ 2^{2(x + 3)} = 2⁸⇒ 2(x + 3) = 8
⇒ 2x + 6 = 8
⇒ 2x = 8 - 6
⇒ 2x = 2
⇒ x = 1

অতএব, x = 1

৮৮২.

যদি log₅(x + 1) + log₅3 = log₅(2x - 1) + 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
11/7
খ
8/7
গ
5/8
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₅(x + 1) + log₅3 = log₅(2x - 1) + 1 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
log₅(x + 1) + log₅3 = log₅(2x - 1) + 1
⇒ log₅{(x + 1) × 3} = log₅(2x - 1) + log₅ 5¹ [log_aM + log_aN = log_a(MN) এবং 1 = log₅5]
⇒ log₅(3x + 3) = log₅{5(2x - 1)}
⇒ log₅(3x + 3) = log₅(10x - 5)
⇒ 3x + 3 = 10x - 5
⇒ 3x - 10x = - 5 - 3
⇒ - 7x = - 8
∴ x = 8/7

৮৮৩.

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮৮৪.

100.2^{3x - 8} = 5² হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 100.2^{3x - 8} = 5² হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
100.2^{3x - 8} = 5²
বা, 100.2^{3x - 8} = 25
বা, 2^{3x - 8} = 25/100
বা, 2^{3x - 8} =1/4
বা, 2^{3x - 8}=1/2²
বা, 2^{3x - 8} =2^{- 2}
বা, 3x - 8 = - 2
বা, 3x = 8 - 2
বা, 3x = 6
x = 2

৮৮৫.

(১২৫/৬৪)^-২/৩ এর মান কত?

ক
ক) ১২৫/৬৪
খ
খ) ৬৪/১২৫
গ
গ) ১৬/২৫
ঘ
ঘ) ২৫/১৬

ব্যাখ্যা

(১২৫/৬৪)^-২/৩
= {(৫/৪)^৩}^-২/৩
= (৫/৪)^-২
= (৪/৫)^২
= ১৬/২৫

৮৮৬.

∛[∛{(p^m)³}] = কত?

ক
ক) p^m/9
খ
খ) p^m/6
গ
গ) p^m/3
ঘ
ঘ) p^3m

ব্যাখ্যা

∛[∛{(p^m)³}]
= ∛{(p^m)³}^1/3
= ∛(p^m)
= (p^m)^1/3
= p^m/3

৮৮৭.

ক
10
খ
20
গ
18
ঘ
30

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮৮৮.

যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয় তবে x = কত?

ক
0
খ
1
গ
- 1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6} হয় তবে x = কত?

সমাধান:
(25)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
বা, (5²)^{2x + 3} = 5^{3x + 6}
বা, 5^{4x + 6} = 5^{3x + 6}
বা, 4x + 6 = 3x + 6
বা, 4x - 3x = 6 - 6
∴ x = 0

৮৮৯.

(m/n)^{x - 3} = (n/m)^{x - 5}হলে, x² এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 16
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

(m/n)^{x - 3} = (n/m)^{x - 5}
(m/n)^{x - 3} = (m/n)^{- (x - 5)}
x - 3 = - (x - 5)
x - 3 = 5 - x
x + x = 5 + 3
2x = 8
x = 4

x² = 4² = 16

৮৯০.

(2^-1 - 3^-1)^-2 = ?

ক
-6
খ
6
গ
36
ঘ
-36

ব্যাখ্যা

2^-1 - 3^-1
= 1/2 - 1/3
= (3 - 2) /6
= 1/6
∴ (2^-1 - 3^-1)^-2
= (1/6)^-2
= (6^-1)^-2
= 6²
= 36

৮৯১.

27^{x + 7} = 9^{2x + 9} হলে x এর মান কত ?

ক
3
খ
- 2
গ
1
ঘ
- 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27^{x + 7} = 9^{2x + 9} হলে x এর মান কত?

সমাধান:
27^{x + 7} = 9^{2x + 9}
⇒ (3³)^{x + 7} = (3²)^{2x + 9}
⇒ 3^{3x + 21} = 3^{4x +18}
⇒ 3x + 21 = 4x + 18
⇒ 3x - 4x = 18 - 21
⇒ - x = - 3
∴ x = 3

৮৯২.

ক
1
খ
5
গ
1/5
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৮৯৩.

সরল করুনঃ (12)^-1/2 × ∛54

ক
ক) √3/∛4
খ
খ) √4/∜3
গ
গ) 2/∛4
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

(12)^-1/2 × ∛54
(2²×3)^-1/2 × (3³×2)^1/3
(2^-1×3^-1/2 ) × (3×2^1/3 )
(2^-1+1/3) ×(3^1-1/2)
(2^-2/3 ) × (3^1/2)
√3/∛4

৮৯৪.

3^-3 এর মান কত?

ক
ক) 1/9
খ
খ) 1/3
গ
গ) 1/27
ঘ
ঘ) √3

ব্যাখ্যা

3^-3
= 1/3³
= 1/27

৮৯৫.

a ≠ 0 হলে, a⁰ এর মান কত?

ক
0
খ
a
গ
1
ঘ
1/a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a ≠ 0 হলে, a⁰ এর মান কত?

সমাধান:
সাধারণভাবে, a^m÷ aⁿ= a^m-n যেখানে m ও n স্বাভাবিক সংখ্যা এবং m >n, a ≠ 0. এই প্রক্রিয়াকে ভাগের সূচক বিধি বলা হয়।
লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে,
a ≠ 0 হলে,
a^m ÷ a^m
= a^m/a^m
= a^m-m
= a⁰

আবার,
a^m ÷ a^m
= a^m/a^m
= 1
∴ a⁰ = 1 (a ≠ 0).

৮৯৬.

2^x + 3^y = 31, 2^x - 3^y = - 23 হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (2,3)
খ
খ) (3,3)
গ
গ) (2,2)
ঘ
ঘ) (2,1)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
2^x + 3^y = 31..............(1)
2^x - 3^y = - 23..............(2)
(1) নং এবং (2)নং যোগ করে পাই,
2^x + 3^y + 2^x - 3^y =31 - 23
2.2^x = 8
2^x = 4
2^x = 2²
x = 2

(1) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই
2^x + 3^y = 31
2² + 3^y = 31
4 + 3^y = 31
3^y = 31 - 4
3^y = 27
3^y= 3³
y = 3

নির্ণেয় সমাধান (x, y) =(2,3)

৮৯৭.

কোন শর্তে a⁰= 1 হয়?

ক
ক) a = 0
খ
খ) a ≠ 0
গ
গ) a > 0
ঘ
ঘ) a ≠ 1

ব্যাখ্যা

a ≠ 0 শর্তে a⁰ = 1 হয়।

৮৯৮.

log₂32 + log₂8 এর মান কত?

ক
8
খ
2
গ
5
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂32 + log₂8 এর মান কত?

সমাধান:
log₂32 + log₂8
= log₂2⁵ + log₂2³
= 5log₂2 + 3log₂2 [∵ log_amⁿ = nlog_am]
= (5 × 1) + (3 × 1) [∵ log_aa = 1]
= 5 + 3
= 8

৮৯৯.

log₄X = 1/2 হলে X = ?

ক
0
খ
4
গ
2
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

log₄X = 1/2
বা, X = 4^1/2
= √4
= 2

৯০০.

log₂256 = কত?

ক
5
খ
7
গ
8
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂256 = কত?

সমাধান:
log₂256
= log₂2⁸
= 8log₂2
= (8 × 1)
= 8