সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ৭ / ৩২ · ৬০১–৭০০ / ৩,১৭২

৬০১.

log₃27 = কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃27 = কত?

সমাধান:
log327
= log₃3³
= 3log₃3
= 3 × 1
= 3

৬০২.

a^log_ab = ?

ক
b
খ
1/b
গ
1/a
ঘ
a

ব্যাখ্যা

মনে করি, log_ab = x
⇒ a^x = b
⇒ a^log_ab = b

৬০৩.

ক
3
খ
6
গ
9
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬০৪.

3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2} = ?

ক
2^{n + 1}
খ
2^{n - 1}
গ
3
ঘ
2ⁿ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2} = ?

সমাধান:
3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2² × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2² ^{+ n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ(3 - 1)
= 2ⁿ× 2
= 2^{n + 1}

৬০৫.

যদি (p/q)^{y - 3} = (q/p)^{y - 7}হয় তবে y এর মান কত?

ক
5
খ
- 2
গ
3
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (p/q)^{y - 3} = (q/p)^{y - 7}হয় তবে y এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (p/q)^{y - 3} = (q/p)^{y - 7}
⇒ (p/q)^{y - 3} = (p/q)^{- y + 7}
⇒ y - 3 = - y + 7
⇒ y + y = + 7 + 3
⇒ 2y = 10
⇒ y = 10/2
∴ y = 5

৬০৬.

(x/2)^{a + 3} = 1 হলে a-এর মান কত?

ক
- 2
খ
- 3
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x/2)^{a + 3} = 1 হলে a-এর মান কত?

সমাধান:
(x/2)^{a + 3} = 1
বা, (x/2)^{a + 3} = (x/2)⁰
বা, a + 3 = 0
∴ a = - 3

৬০৭.

a^{- n}= 1/aⁿকোন শর্তে সত্য?

ক
ক) a = 0
খ
খ) a ≠ 0
গ
গ) a > 0
ঘ
ঘ) a < 0

৬০৮.

log_x(3/5) = - 1/4 হলে, x এর মান-

ক
125/27
খ
625/81
গ
5/9
ঘ
25/81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(3/5) = - 1/4 হলে, x এর মান-

সমাধান:
log_x(3/5) = - 1/4
⇒ x^{(- 1/4)} = 3/5
⇒ 1/x^(1/4) = 3/5
⇒ x^(1/4) = 5/3
⇒ (x^1/4)⁴ = (5/3)⁴
∴ x = 625/81

৬০৯.

4^x = 8 হলে x এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
1/3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^x = 8
⇒ (2²)^x = 2³
⇒ 2^2x = 2³
⇒ 2x = 3
⇒ x = 3/2

৬১০.

ক
3
খ
5
গ
8
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬১১.

যদি 49^{2x + 4} = 7^{3x + 3} হয়, তবে 2^x এর মান কত?

ক
- 32
খ
1/64
গ
- 10
ঘ
1/32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 49^{2x + 4} = 7^{3x + 3} হয়, তবে 2^x এর মান কত?

সমাধান:

49^{2x + 4} = 7^{3x + 3}

⇒ (7²)^{2x + 4} = 7^{3x + 3}

⇒ 7^{4x + 8} = 7^{3x + 3}

⇒ 4x + 8 = 3x + 3

⇒ 4x - 3x = 3 - 8

∴ x = - 5

2^x = 2^{- 5} = 1/2⁵ = 1/32

৬১২.

P = log₄96 - log₄24 হলে, P এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P = log₄96 - log₄24 হলে, P এর মান কত?

সমাধান:
p = log₄96 - log₄24
⇒ p = log₄(96/24)
⇒ p = log₄4
∴ p = 1

৬১৩.

যদি 5^10x = 4900 এবং 2^√y = 25 হলে, [{5^{(x - 1)}}⁵] / (4^{- √y}) এর মান কত?

ক
14/5
খ
14
গ
28/5
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^10x = 4900 এবং 2^√y = 25 হলে, [{5^{(x - 1)}}⁵]/(4^{- √y}) এর মান কত?

সমাধান:
5^10x = 4900
⇒ (5^5x)² = 70²
∴ 5^5x = 70

এখন
[{5^{(x - 1)}}⁵] / (4^{- √y})
= [{5^{(x - 1)}}⁵] × (4^√y)
= (5^x . 5^{- 1})⁵ × (2 ^√y)²
= 5^5x . 5 ^{- 5} × (25)²
= 70 . 5^{- 5}× (5²)²
= 70 × 5^{- 5 + 4}
= 70 × (1/5)
= 14

৬১৪.

log₂(log₃81) এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) - 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

log₂(log₃81)
= log₂(log₃3⁴)
= log₂(4log₃3)
=log₂4
= log₂2²
= 2log₂2
= 2 .1
= 2

৬১৫.

log_x324 = 4 হলে, 1/x এর মান কত?

ক
2√3
খ
1/3√2
গ
1/2√3
ঘ
3√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x324 = 4 হলে, 1/x এর মান কত?

সমাধান:
log_x324 = 4
⇒ x⁴ = 324
⇒ x⁴ = 81 × 4
⇒ x⁴= 3⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 3⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (3√2)⁴
⇒ x = 3√2
∴ x = 1/3√2

৬১৬.

324 এর x ভিত্তিক লগ 4 হলে, x = ?

ক
2√3
খ
4√2
গ
9√2
ঘ
3√2

ব্যাখ্যা

log_x324 = 4
x⁴ = 324
x⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 × 2 × 2
x4 = 3⁴2²
x⁴ = (3√2)⁴
x = 3√2

৬১৭.

log_√749 + log₃27 = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 7
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

log_√749 + log₃27
= log_(√7)(√7)⁴ + log₃3³
= 4log_√7√7 + 3log₃3
= 4 + 3 [যেহেতু log_a^a= 1]
= 7

৬১৮.

log₉59049 = x হলে, x এর মান কত?

ক
9
খ
8
গ
7
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₉59049 = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₉59049 = x
⇒ 9^x = 59049
⇒ 9^x = 9⁵
∴ x = 5

৬১৯.

8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান কোনটি?

ক
2^{3x + 1}
খ
4^{x + 1}
গ
8^{x + 4}
ঘ
2^{3x + 2}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^x + 8^x + 8^x + 8^x এর মান কোনটি?

সমাধান:
8^x + 8^x + 8^x + 8^x
= 8^x(1 + 1 + 1 + 1)
= 8^x × 4
= (2³)^x × 2²
= 2^3x × 2²
= 2^{3x + 2}

৬২০.

যদি log_x2 = a এবং log_x6 = b হয়, তাহলে log_x72= কত?

ক
a + 3b
খ
a + 2b
গ
a - b
ঘ
a + b

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_x2 = a এবং log_x6 = b হয়, তাহলে log_x72= কত?

সমাধান:
log_x72
= log_x(2 × 36)
= log_x(2 × 6²)
= log_x2 + log_x6²= log_x2 + 2log_x6
= a + 2b [মান বসিয়ে]

৬২১.

a = 3/2 হলে a^{- 4} = কত?

ক
14/81
খ
16/81
গ
10/27
ঘ
8/27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 3/2 হলে a^{- 4} = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 3/2

প্রদত্ত রাশি,
a^{- 4}
= (3/2)^{- 4}
= 1/(3/2)⁴
= 1/(81/16)
= 16/81

৬২২.

3log₃(81) + 2log₄(64) + 5log₂(16) এর মান কত?

ক
18
খ
26
গ
38
ঘ
55

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3log₃(81) + 2log₄(64) + 5log₂(16) এর মান কত?

সমাধান:
3log₃(81) + 2log₄(64) + 5log₂(16)
= 3 × log₃(3⁴) + 2 × log₄(4³) + 5 × log₂(2⁴)
= 3 × 4 × log₃(3) + 2 × 3 × log₄(4) + 5 × 4 × log₂(2) [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= 12 + 6 + 20 [log_a(a) = 1]
= 38

৬২৩.

ক
ক) 2/3
খ
খ) 1
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 4/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন :

সমাধান:

= log₁₆(4¹× 4^1/3)
= log₁₆4^{(1 + 1/3)}
= log₁₆4^4/3
= log₁₆(16^1/2)^4/3
= log1616^2/3
= (2/3)log₁₆16
= (2/3) × 1
= 2/3

৬২৪.

9^{x + 2} = 81 হলে x এর মান কত?

ক
1
খ
0
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^{x + 2} = 81 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
9^{x + 2} = 81
বা, (3²)^{x + 2} = 3⁴
বা, 3^{2x + 4} = 3⁴
বা, 2x + 4 = 4
বা, 2x = 4 - 4
বা, 2x = 0
বা, x = 0/2
∴ x = 0

৬২৫.

x^{x^√x} = (x√x)^x হয়, তবে x এর মান কত?

ক
ক) 3/2
খ
খ) 4/9
গ
গ) 9/4
ঘ
ঘ) 2/3

ব্যাখ্যা

x^{x^√x} = (x√x)^x
(x^x)^√x = (x.x^1/2)^x = (x^3/2)^x = (x^x)^3/2
(x^x)^√x = (x^x)^3/2
√x = 3/2
x = (3/2)² = 9/4

৬২৬.

log_ab = 1, log_ac = 2 এবং log_ad = 3 হলে, log_a(b³c³/d) এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ab = 1, log_ac = 2 এবং log_ad = 3 হলে, log_a(b³c³/d) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ab = 1 ⇒ a = b
log_ac = 2 ⇒ a² = c
log_ad = 3 ⇒ a³ = d

∴ log_a(b³c³/d) = log_a{a³ ⋅ (a²)³}/a³
= log_aa⁶
= 6log_aa
= 6 × 1
= 6

৬২৭.

9^x+2 = 81 হলে x = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

9^x+2 = 81
⇒ 3^2(x+2) = 3⁴
⇒ 3^2x+4 = 3⁴
⇒ 2x + 4 = 4
⇒ 2x = 4-4
⇒ x = 0

৬২৮.

যদি log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) হয়, তবে-

ক
x - y = 1
খ
x² - y² = 1
গ
x = y
ঘ
x + y = 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(x/y) + log(y/x) = log(x + y) হয়, তবে-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log(x/y) + log(y/x) = log(x + y)
⇒ log{(x/y) × (y/x)} = log(x + y) [আমরা জানি, log M + log N = log(MN)]
⇒ log1 = log(x + y)
⇒ x + y = 1 [উভয় পক্ষ থেকে log বর্জন করে]

৬২৯.

log(a - 2) = loga - log2 হলে, a এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log(a - 2) = loga - log2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log(a - 2) = loga - log2
⇒ log(a - 2) = log(a/2)
⇒ a - 2 = a/2
⇒ a = (a/2) + 2
⇒ a = (a + 4)/2
⇒ 2a = a + 4
⇒ 2a - a = 4
∴ a = 4

৬৩০.

log₃ 243 + log₃ 27 - log₃ 81 এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

log₃ 243 + log₃ 27 - log₃ 81
= log₃ 3⁵ + log₃ 3³ - log₃ 3⁴
= 5 log₃ 3 + 3 log₃ 3 - 4 log₃ 3
= 5 × 1 + 3 × 1 - 4 × 1 [log_a a = 1]
= 5 + 3 - 4
= 4

৬৩১.

5^{2x - 1}= 125 হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{2x - 1} = 125 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 1} = 125
⇒ 5^{2x - 1} = 5³
⇒ 2x - 1 = 3
⇒ 2x = 4
⇒ x = 2

৬৩২.

ক
1
খ
5
গ
3
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

⇒ (7^1/2)^{x + 1} = (7^1/3)^{2x - 1}
⇒ 7^{(x + 1)/2} = 7^{(2x - 1)/3}
⇒ (x + 1)/2 = (2x - 1)/3
⇒ 2(2x - 1) = 3(x + 1)
⇒ 4x - 2 = 3x + 3
⇒ 4x - 3x = 3 + 2
∴ x = 5

৬৩৩.

log₂log_√ee² এর মান কত?

ক
1
খ
4
গ
2
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂log_√ee² এর মান কত?

সমাধান:
log₂log_√ee²
= log₂log_√e(√e)⁴
= log₂4 log_√e√e
= log₂2² × 1
= 2 log₂2
= 2 × 1
= 2

৬৩৪.

log₁₀(x + 3) = log₁₀x + log₁₀4 হলে x = কত?

ক
0
খ
1
গ
3
ঘ
3/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀(x + 3) = log₁₀x + log₁₀4 হলে x = কত?

সমাধান:
log₁₀(x + 3) = log₁₀x + log104
বা, log₁₀(x + 3) = log₁₀(x × 4)
বা, log₁₀(x + 3) = log₁₀4x
বা, x + 3 = 4x
বা, 3x = 3
∴ x = 3/3
x = 1

৬৩৫.

a^{- n}= 1/aⁿকোন শর্তে সত্য?

ক
a = 0
খ
a ≠ 0
গ
a > 0
ঘ
a < 0

৬৩৬.

2^x. 3^y = 18, 2^2x.3^y = 36 হলে (x,y) এর মান কত?

ক
ক) (2,2)
খ
খ) (1,2)
গ
গ) (1,1)
ঘ
ঘ) (3,2)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
2^x. 3^y = 18.......................(1)
2^2x.3^y= 36.......................(2)

(2)নং কে (1)নং দ্বারা ভাগ করে পাই
2^2x.3^y/2^x. 3^y = 36/18
2^{2x - x} . 3^{y - y} = 2
2^x .3⁰ = 2
2^x = 2¹
x = 1

2^x. 3^y = 18
2¹. 3^y = 18
2.3^y = 18
3^y = 9
3^y = 3²
y = 2

নির্ণেয় সমাধান (x,y) =(1,2)

৬৩৭.

81(√3)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) - 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 81(√3)^2x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
81(√3)^2x = 1
বা, (√3)^2x = 1/81
বা, (3^1/2)^2x = 1/3⁴
বা, 3^x = 3^{- 4}
x = - 4

৬৩৮.

(16)^0.16 × (16)^0.09 = ?

ক
0
খ
2
গ
- 3
ঘ
2√2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (16)^0.16 × (16)^0.09 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= (16)^0.16 × (16)^0.09
= (16)^{0.16 + 0.09}
= (16)^0.25
= (2⁴)^(1/4)
= 2

৬৩৯.

5^a + 6·5^a + 18·5^a = 1 হলে, a এর মান কত?

ক
- 1
খ
1/2
গ
- 2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^a + 6·5^a + 18·5^a = 1 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
5^a + 6 · 5^a + 18 · 5^a = 1
⇒ 25 · 5^a = 1
⇒ 5²· 5^a = 5⁰ [a⁰ = 1 অনুসারে 1 = 5⁰]
⇒ 5^{2 + a} = 5⁰
⇒ 2 + a = 0
∴ a = - 2

৬৪০.

ক
1
খ
3
গ
9
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬৪১.

log 2 = 0.3010 এবং log 3 = 0.4771 হলে, log 6 এর মান কত?

ক
0.7781
খ
0.8066
গ
0.1436
ঘ
0.6991

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log 2 = 0.3010 এবং log 3 = 0.4771 হলে, log 6 এর মান কত?

সমাধান:
log 6 = log(2 × 3)
= log 2 + log 3
= 0.3010 + 0.4771
= 0.7781

৬৪২.

(2²)^{a + 3} = 256 হলে, a = কত?

ক
ক) - 2
খ
খ) 2
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 1

ব্যাখ্যা

(2²)^{a + 3} = 256
2^{2a + 6} = 2⁸
2a + 6 = 8
2a = 8 - 6
2a = 2
a = 1

৬৪৩.

a⁵ = a⁴ হলে, a এর মান-

ক
২
খ
১
গ
৩
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a⁵ = a⁴হলে, a এর মান-

সমাধান:
a⁵ = a⁴
বা, a⁵/a⁴ = a⁴/a⁴
∴ a = 1

৬৪৪.

5^z + 5^{1 - z} = 6 হলে, z = কত?

ক
ক) 1, 2
খ
খ) 1, 0
গ
গ) 2, 3
ঘ
ঘ) -1, 2

ব্যাখ্যা

5^z + 5^{1 - z} = 6
⇒ 5^z + 5¹/5^z = 6
⇒ 5^z + 5/5^z = 6
⇒ a + 5/a = 6 [ 5^z = a ]
⇒ a² + 5 = 6a
⇒ a² - 6a + 5 = 0
⇒ a² -5a - a + 5 = 0
⇒ a(a - 5) - 1(a - 5) = 0
⇒ (a - 5)(a - 1) = 0
∴ a - 5 = 0
⇒ a = 5
⇒ 5^z = 5¹
⇒ z = 1
অথবা,
a - 1 = 0
⇒ a = 1
⇒ 5^z = 5⁰
⇒ z = 0

৬৪৫.

3^{(x - 3)} = 9^{(x - 5)} হলে, x এর মান কত?

ক
0
খ
7
গ
3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{(x - 3)} = 9^{(x - 5)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(x - 3)} = 9^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3)} = 3^{2(x - 5)}
⇒ x - 3 = 2x - 10
⇒ 2x - x = 10 - 3
∴ x = 7

৬৪৬.

p^-2 - 0.01 = 0 হলে, p এর মান কত?

ক
100
খ
10
গ
1/10
ঘ
1/100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p^-2 - 0.01 = 0 হলে, p² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p^-2 - 0.01 = 0
⇒ 1/p² = 1/100
⇒ p² = 100
∴ p = 10

৬৪৭.

প্রশ্ন:

ক
- 2log
খ
log2
গ
2
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬৪৮.

যদি 5^a = 625 হয়, তবে 5^{(a - 3)} এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 125
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^a = 625 হয়, তবে 5^{(a - 3)} এর মান কত?

সমাধান:
5^a = 625
5^a = 5⁴
a = 4

5^{(a - 3)}= 5^{(4 - 3)} = 5¹ = 5

৬৪৯.

(11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

ক
1
খ
11
গ
3
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰
=1 + (11 × 1) + 1
= 1 + 11 + 1
= 13

৬৫০.

ক
0
খ
1
গ
x^{a - b - c}
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬৫১.

x^y = y^x, x = 2y হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (10,5)
খ
খ) (4,2)
গ
গ) (6,3)
ঘ
ঘ) (2,1)

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x^y = y^x .............(1)
x = 2y.................(2)

(1) নং হতে পাই,
(2y)^y = y^2y
2^y y^y = y^2y
2^y = y^2y/y^y
2^y = y^y
y = 2

(2) নং হতে পাই,
x = 2 × 2
x = 4

৬৫২.

log₁₀7 = a হলে, log₁₀(1/70) = কত?

ক
- (1 + a)
খ
(1 + a)^-1
গ
a/10
ঘ
1/10a

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀7 = a হলে, log₁₀(1/70) = কত?

সমাধান:
log₁₀(1/70)
= log₁₀1 - log₁₀70
= - log₁₀( 7 × 10)
= - (log₁₀7 + log₁₀10)
= - (a + 1)

৬৫৩.

x² = (x^ab . x^ab)^c হলে abc এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² = (x^ab . x^ab)^c হলে abc এর মান কত?

সমাধান:
x² = (x^ab . x^ab)^c
⇒ x² = (x^2ab)^c
⇒ x² = x^2abc
∴ 2 = 2abc
∴ abc = 1

৬৫৪.

log_2√5400 + log_3√2324 = কত?

ক
ক) 20
খ
খ) 15
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_2√5400 + log_3√2324 = কত?

সমাধান:
log_2√5400+ log_3√2324
= log_2√5(2√5)⁴ + log_3√2(3√2)⁴
= 4 log_2√5(2√5) + 4 log_3√2(3√2)
= 4 + 4
= 8

৬৫৫.

যদি log_xy = 100 এবং log₂x = 10 হয়, তাহলে y এর মান কত?

ক
ক) 2¹⁰⁰⁰
খ
খ) 2¹⁰⁰
গ
গ) 2¹⁰
ঘ
ঘ) 2^{- 100}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_xy = 100 এবং log₂x = 10 হয়, তাহলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₂x = 10
∴ x = 2¹⁰

log_xy = 100
বা, y = x¹⁰⁰বা, y = (2¹⁰)¹⁰⁰ [x এর মান বসিয়ে]
∴ y = 2¹⁰⁰⁰

৬৫৬.

x³ = 64 হলে, log₂x এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ = 64 হলে, log₂x এর মান কত?

সমাধান:
x³ = 64
⇒ x³ = 4³
∴ x = 4

log₂x
= log₂4
= log₂2²
= 2log₂2
= 2 × 1
= 2

৬৫৭.

(3/4)^{x - 1} = (4/3)^{x - 3} হলে x = ?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

(3/4)^{x - 1} = (4/3)^{x - 3}
বা, (3/4)^{x - 1} = (3/4)^{-x + 3}
বা, x - 1 = -x + 3
বা, 2x = 4
∴ x = 2

৬৫৮.

400 এর কত ভিত্তিক লগ 4 এর সমান?

ক
√3
খ
√5
গ
2√5
ঘ
3√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 400 এর কত ভিত্তিক লগ 4 এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
ভিত্তি = a

প্রশ্নমতে,
log_a400 = 4
বা, a⁴ = 400
বা, a⁴ = (20)²
বা, a⁴ = (4 × 5)²
বা, a⁴ = 2⁴ (√5)⁴
বা, a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5

∴ ভিত্তি = 2√5 ।

৬৫৯.

16 × 16 = 4^x হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 × 16 = 4^x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ 16 × 16 = 4^x
⇒ 4² × 4² = 4^x
⇒ 4⁴ = 4^x
∴ x = 4

৬৬০.

X⁰ = কত?

ক
১
খ
০
গ
অসীম
ঘ
x এর মানের উপর নির্ভরশীল

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X⁰ = কত?

সমাধান:
ঘাত শূন্য হলে ফলাফল ১ হয়
X⁰ = 1

৬৬১.

যদি (a/b)^{x- 1} = (b/a)^{x- 3} হয়, x এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) 1
গ
গ) - 2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

(a/b)^{x- 1} = (b/a)^{x- 3}
(a/b)^{x- 1} = (a/b)^{-(x- 3)}
x- 1 = -(x- 3)
x - 1 = - x + 3
x + x = 3 +1
2x = 4
x = 2

৬৬২.

log_x(3/2) = - 1/2 হলে, x এর মান-

ক
4/9
খ
9/4
গ
√3/2
ঘ
√2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(3/2) = - 1/2 হলে, x এর মান-

সমাধান:
log_x(3/2) = - 1/2
বা, x^{- 1/2} = 3/2
বা, 1/x^1/2 = 3/2
বা, x^1/2 = 2/3
বা, (x^1/2)² = (2/3)²
∴ x = 4/9

৬৬৩.

2^2x = 1024 হলে, 2^x = কত?

ক
64
খ
128
গ
256
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^2x = 1024 হলে, 2^x = কত?

সমাধান:
2^2x = 1024
⇒ 2^2x = 2¹⁰⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2
∴ x = 5

∴ 2^x = 2⁵ = 32

৬৬৪.

p^{- 4}= 0.20 হলে p¹² মান কত?

ক
144
খ
216
গ
81
ঘ
125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p^{- 4}= 0.20 হলে p¹² মান কত?

সমাধান:
p^{- 4} = 0.20
⇒ (1/p)⁴= 0.20
⇒ p⁴= 1/0.20
⇒ p⁴ = 5
⇒ (p⁴)³ = 5³
∴ p¹² = 125

৬৬৫.

log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
6
খ
2
গ
1
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√216 = 3/2
⇒ a^(3/2) = √216
⇒ (a^3/2)² = (√216)²
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

৬৬৬.

⁴√x³ = 8 হলে x = ?

ক
0
খ
2
গ
8
ঘ
16

ব্যাখ্যা

⁴√x³ = 8
বা, x³ = (8)⁴ = (2⁴)³
বা, x = 2⁴
= 16

৬৬৭.

(2x^{- 1})² ÷ x^{- 5} = কত?

ক
2x
খ
3x
গ
4x²
ঘ
4x³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2x^{- 1})² ÷ x^{- 5} = কত?

সমাধান:
(2x^{- 1})² ÷ x^{- 5}
= 2² × x^{- 2} ÷ x^{- 5}
= 4 × x^{- 2 - (- 5)}
= 4 × x^{- 2 + 5}
= 4 × x³
= 4x³

৬৬৮.

ক
9
খ
125
গ
27
ঘ
18

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৬৬৯.

{(x²y^-1)/(x^-2y)}² এর মান কত?

ক
x⁸/y⁴
খ
x²
গ
x⁸/y²
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(x²y^-1)/(x^-2y)}² এর মান কত?

সমাধান:
{(x²y^-1)/(x^-2y)}²
= {(x²/y)/(y/x²)}²
= {(x²/y) × (x²/y)}²
= (x⁴/y²)²
= x⁸/y⁴

৬৭০.

3^{x + 1} = 9 হলে, logx এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) - 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x + 1} = 9 হলে, logx এর মান কত?

সমাধান:
3^{x + 1} = 9
বা, 3^{x + 1} = 3²
বা, x + 1 = 2
বা, x = 2 - 1
∴ x = 1

logx = log1
= 0

৬৭১.

x এর মান কত হলে 2^{4x - 12} = 16 হবে?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 2^{4x - 12} = 16 হবে?

সমাধান:
2^{4x - 12} = 16
বা, 2^{4x - 12} = 2⁴
বা, 4x - 12 = 4
বা, 4x = 4 + 12
বা, 4x = 16
বা, x = 16/4
∴ x = 4

৬৭২.

216(√6)^-^2x = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 216(√6)^-^2x = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
216(√6)^-^2x = 1
বা, (√6)^{- 2x} = 1/216
বা, (√6)^{- 2x} = 1/(√6)⁶
বা, (√6)^{- 2x} = (√6)^{- 6}
বা, - 2x = - 6
∴ x = 3

৬৭৩.

16^{n - (1/2)} = 64 হলে, n এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16^{n - (1/2)} = 64 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
16^{n - (1/2)} = 64
⇒ (2⁴)^{n - (1/2)} = 2⁶
⇒ 2^{4n - 2} = 2⁶
⇒ 4n - 2 = 6
⇒ 4n = 6 + 2
⇒ 4n = 8
⇒ n = 8/4
∴ n = 2

৬৭৪.

256 এর √2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
8
খ
16
গ
20
ঘ
32

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 256 এর √2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
256 এর √2 ভিত্তিক লগারিদম = log_√2256
= log_√22⁸
= 8 × log_√22
= 8 × log_√2(√2)²
= 2 × 8 × log_√2√2
= 2 × 8 × 1
= 16

৬৭৫.

a^{3x² - 27} = b^{3x² - 27} হলে, x = ?

ক
-3
খ
-2
গ
0
ঘ
2

ব্যাখ্যা

a^{3x² - 27} = b^{3x² - 27}
বা, a^{3x² - 27}/b^{3x² - 27} = 1
বা, (a/b)^{3x² - 27} = (a/b)⁰
বা, 3x² - 27 = 0
বা, 3x² = 27
বা, x² = 9
∴ x = ±3

৬৭৬.

যদি (64)^2/3 + (25)^1/2 = 3k হয় তবে k = কত?

ক
9
খ
7
গ
18
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি (64)^2/3 + (25)^1/2 = 3k হয় তবে k = কত?

সমাধান:
(64)^2/3 + (25)^1/2 = 3k
⇒ (2⁶)^2/3 + (5²)^1/2 = 3k
⇒ 2^{{6 × (2/3)}} = 5^{{2 × (1/2)}} = 3k
⇒ 2⁴ + 5 = 3k
⇒ 16 + 5 = 3k
⇒ 21 = 3k
∴ k = 7

৬৭৭.

হলে, x = কত?

ক
5
খ
3
গ
4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে, x = কত?

সমাধান:

৬৭৮.

log_0.50.125 + log₂64 এর মান কত?

ক
6
খ
7
গ
9
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_0.50.125 + log₂64 এর মান কত?

সমাধান:
log_0.50.125 + log264
= log_0.5(0.5)³ + log226
= 3log_0.5(0.5) + 6log₂2
= 3 × 1 + 6 × 1
= 3 + 6
= 9

৬৭৯.

4^{a + 1} = 64 হলে, a এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{a + 1} = 64 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
4^{a + 1} = 64
⇒ (2²)^{a + 1} = 2⁶
⇒ 2^{2a + 2} = 2⁶
⇒ 2a + 2 = 6
⇒ 2a = 6 - 2
⇒ 2a = 4
⇒ a = 4/2
∴ a = 2

৬৮০.

³√2:³√4 = 7:___?

ক
ক) 14
খ
খ) 10
গ
গ) 7.³√2
ঘ
ঘ) 7√2
ঙ
ঙ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

³√2:³√4 = 7:x
বা, ³√2/³√4 = 7/x
বা, x = (7.³√4)/³√2
বা, x = (7.³√2.³√2)/³√2
বা, x = 7.³√2

৬৮১.

x এর মান কত হলে 5^{x + 2} = 1/125 হবে?

ক
- 5
খ
- 1
গ
3
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 5^{x + 2} = 1/125 হবে?

সমাধান:
5^{x + 2} = 1/125
⇒ 5^{x + 2} = 1/(5³)
⇒ 5^{x + 2} = 5^{- 3}⇒ x + 2 = - 3
⇒ x = - 3 - 2
∴ x = - 5

৬৮২.

25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x এর মান কোনটি?

ক
625
খ
5^{(2x + 1)}
গ
125^x
ঘ
5^{(x + 5)}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x এর মান কোনটি?

সমাধান:
25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x
= 25^x(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 25^x × 5
= (5²)^x × 5¹
= 5^2x × 5¹
= 5^{(2x + 1)}

৬৮৩.

ক
ক) 16
খ
খ) 64
গ
গ) 128
ঘ
ঘ) 256

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
(√2)⁸ × (³√2)⁹
= (2^1/2)⁸ × (2^1/3)⁹
= 2^8/2 × 2^9/3
=2⁴ × 2³
= 16 × 8
= 128

৬৮৪.

log₁₀x - log₁₀y = log₁₀(x + y) হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) x = y²/(1 - y)
খ
খ) y = x²(1 - x)
গ
গ) x = y/(1 - y)
ঘ
ঘ) x = y(1 - y)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀x - log₁₀y = log₁₀(x + y) হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
log10x - log10y = log10(x + y)
log10(x/y) = log10(x + y)
x/y = x + y
x = y(x + y)
x = xy + y²
x - xy = y²
x(1 - y) = y²
x = y²/(1 - y)

৬৮৫.

log_x(1/64) = - 2 হলে, x এর মান কত?

ক
4
খ
8
গ
16
ঘ
14

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/64) = - 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/64) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/64
⇒ 1/x² = 1/64
⇒ x² = 64
⇒ x² = 8²
∴ x = 8

৬৮৬.

(m/n)^{a - 5} = (n/m)^{a - 7}হলে a এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 6
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (m/n)^{a - 5} = (n/m)^{a - 7}হলে a এর মান কত?

সমাধান:
(m/n)^{a - 5} = (n/m)^{a - 7}
(m/n)^{a - 5} =(m/n)^{- (a - 7)}
a - 5 = - a + 7
a + a = 7 + 5
2a = 12
a = 6

৬৮৭.

log₁₀√2 কে 2 ভিত্তিতে পরিবর্তন করলে নিচের কোনটি সঠিক হবে

ক
ক) log₂2×log₁₀2
খ
খ) log₁₀√2×log₁₀2
গ
গ) log₂√2×log₁₀2
ঘ
ঘ) log₂√3×log₂4

ব্যাখ্যা

আমরা জানি, লগের ভিত্তি পরিবর্তন log_aM=log_bM×log_ab; অনুরূপ ভাবে log₁₀√2=log₂√2×log₁₀2

৬৮৮.

36√6 এর 6 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
3/2
খ
5/2
গ
3
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 36√6 এর 6 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₆36√6 = x
⇒ 6^x = 36√6
⇒ 6^x = 6² . 6^1/2
⇒ 6^x = 6^{2 + (1/2)}
⇒ 6^x = 6^5/2
⇒ x = 5/2

৬৮৯.

64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂64
= log₂2⁶
= 6 log₂2 [log_aa = 1]
= 6 × 1
= 6

৬৯০.

log₂log_√ee² = ?

ক
1
খ
2
গ
- 2
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂log_√ee² = ?

সমাধান:
log₂log√ee2
= log₂log_√e(√e)⁴
= log₂4log_√e√e
= log₂4
= log₂2²
= 2log₂2
= 2

৬৯১.

(xyz)° =?

ক
2
খ
3x
গ
xz
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (xyz)° = ?

সমাধান:
(xyz)° = 1

৬৯২.

3log₁₀2 + log₁₀5 এর মান কত?

ক
log₁₀13
খ
log₁₀40
গ
log₅20
ঘ
40

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3log₁₀2 + log₁₀5 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3log₁₀2 + log₁₀5
= log₁₀2³ + log¹⁰5
= log₁₀8 + log₁₀5
= log₁₀(8 × 5)
= log₁₀40

৬৯৩.

যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে-

ক
a - b = 1
খ
a = b
গ
a + b = 1
ঘ
ab = 1
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে-

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b)
⇒ log1 = log(a + b)
⇒ a + b = 1

৬৯৪.

log(x²/yz) + log(y²/xz) + log(z²/xy) = কত?

ক
xyz
খ
1/xyz
গ
1
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log(x²/yz) + log(y²/xz) + log(z²/xy) = কত?

সমাধান:
log(x²/yz) + log(y²/xz) + log(z²/xy)
= log {(x²/yz) × (y²/xz) × (z²/xy)}
= log 1
= 0

৬৯৫.

3^{x - 5} = 9a^{x - 7} হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 5
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x - 5} = 9a^{x - 7} হলে x এর মান কত?

সমাধান:
3^{x - 5} = 9a^{x - 7}
⇒ 3^{x - 5}/9 = a^{x - 7}
⇒ 3^{x - 5}/3² = a^{x - 7}
⇒ 3^{x - 7} = a^{x - 7}
⇒ 3^{x - 7}/a^{x - 7}= 1
⇒ (3/a)^{x - 7}= (3/a)⁰
⇒ x - 7= 0
∴ x = 7

৬৯৬.

log_√381 এর মান কত?

ক
4
খ
6
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√381 এর মান কত?

সমাধান:
log_√381
= log_√33⁴
= log_√3(√3)^{2 × 4}
= log_√3(√3)⁸
= 8log_√3√3
= 8 .1
= 8

৬৯৭.

log6 = 0.7781 এবং log3 = 0.4771 হলে, log 18 এর মান কত?

ক
1.1761
খ
0.3712
গ
1.2552
ঘ
0.3010

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log6 = 0.7781 এবং log3 = 0.4771 হলে, log 18 এর মান কত?

সমাধান:
log18 = log(6 × 3)
= log6 + log3
= 0.7781 + 0.4771
= 1.2552

৬৯৮.

256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
5
খ
7
গ
8
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
256 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম = log₂256
= log₂2⁸
= 8 log₂2
= 8 × 1
= 8

৬৯৯.

log_a(√3) = 1/8 হলে, a =কত?

ক
81
খ
64
গ
27
ঘ
72

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a(√3) = 1/8 হলে, a =কত?

সমাধান:
log_a(√3) = 1/8
⟹ a^1/8 = √3
⟹ (a^1/8)⁸ = (√3)⁸
⟹ a = 3^8/2
⟹ a = 3⁴
∴ a = 81

৭০০.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 16 এবং ষষ্ঠ পদটি 128 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
2
খ
4
গ
8
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 16 এবং ষষ্ঠ পদটি 128 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r
তৃতীয় পদ =16
ar² = 16 ............ (1)
ষষ্ঠ পদ = 128
ar⁵ = 128 ............ (2)

(2) ÷ (1) ⇒
ar⁵/ar² = 128/16
⇒ r³ = 8
⇒ r = 2

(1) ⇒
a(2)² = 16
⇒ 4a = 16
⇒ a = 4