সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ২৪ / ৩২ · ২,৩০১–২,৪০০ / ৩,১৭২

২,৩০১.

(9ⁿ - 1)/(3ⁿ- 1) এর মান কত?

ক
3ⁿ + 1
খ
1/(3ⁿ + 1)
গ
9ⁿ + 1
ঘ
3ⁿ - 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (9ⁿ - 1)/(3ⁿ- 1) এর মান কত?

সমাধান:
(9ⁿ- 1)/(3ⁿ- 1)
= {(3ⁿ)² - 1²}/(3ⁿ - 1)
= {(3ⁿ + 1)(3ⁿ - 1)}/(3ⁿ - 1)
= 3ⁿ + 1

২,৩০২.

ক
4
খ
8
গ
15
ঘ
25

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩০৩.

log₁₀a - 5log₁₀3 = - 2 হলে, a এর মান কত?

ক
0.81
খ
1.25
গ
2.43
ঘ
0.27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀a - 5log₁₀3 = - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀a - 5log₁₀3 = - 2
⇒ log₁₀a - log₁₀3⁵ = - 2
⇒ log₁₀(a/3⁵) = - 2
⇒ a/243 = 10^-2
⇒ a/243 = 1/100
⇒ a = 243/100
∴ a = 2.43

২,৩০৪.

(4^{a + 4} - 4^{a + 3})/(4^{a + 2} ÷ 4) = কত?

ক
38
খ
42
গ
48
ঘ
52

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4^{a + 4} - 4^{a + 3})/(4^{a + 2} ÷ 4) = কত?

সমাধান:
(4^{a + 4} - 4^{a + 3})/(4^{a + 2} ÷ 4)
= (4^a · 4⁴ - 4^a · 4³)/(4^{a + 2 - 1})
= (4^a · 4⁴ - 4^a · 4³)/(4^a · 4¹)
= {4^a(4⁴ - 4³)}/4^a · 4¹
= (256 - 64)/4
= 192/4
= 48

২,৩০৫.

(log√8)/(log8) = ?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) √2
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

(log√8) / (log8)
= (log8^1/2) / (log8)
= (1/2)(log8) / (log8)
= 1/2

২,৩০৬.

13√13 এর 13 ভিত্তিক লগ কত?

ক
3/2
খ
13/2
গ
13
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 13√13 এর 13 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
13√13 এর 13 ভিত্তিক লগ
= log₁₃13√13
= log₁₃13 +log₁₃√13
= 1 + log₁₃13^1/2
= 1 + (1/2)log₁₃13
= 1 + (1/2)
= (2 + 1)/2
= 3/2

২,৩০৭.

log₁₀(x + 3) + log₁₀5 = log₁₀(2x + 1) + 1 হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
2/3
গ
4
ঘ
1/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀(x + 3) + log₁₀5 = log₁₀(2x + 1) + 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀(x + 3) + log₁₀5 = log₁₀(2x + 1) + 1
⇒ log₁₀{(x + 3) × 5} = log₁₀(2x + 1) + log₁₀10 [∵ log_bA + log_bB = log_b(AB)]
⇒ log₁₀{5(x + 3)} = log₁₀{10(2x + 1)}
⇒ 5(x + 3) = 10(2x + 1)
⇒ 5x + 15 = 20x + 10
⇒ 15x = 5
⇒ x = 5/15
∴ x = 1/3

২,৩০৮.

log_ab = 1, log_ac = 2 এবং log_ad = 3 হলে log_a(b³c³/d) এর মান কত?

ক
8
খ
6
গ
4
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_ab = 1, log_ac = 2 এবং log_ad = 3 হলে log_a(b³c³/d) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ab = 1 ⇒ a = b
log_ac = 2 ⇒ a² = c
log_ad = 3 ⇒ a³ = d

∴ log_a(b³c³/d) = log_a{a³⋅ (a²)³}/a³
= log_aa⁶
= 6log_aa
= 6

২,৩০৯.

ক
3
খ
5
গ
8
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩১০.

কোন শর্তে log_a 1 = 0?

ক
ক) a > 0, a ≤ 1
খ
খ) a ≥ 0, a ≠ 1
গ
গ) a > 0, a ≠ 1
ঘ
ঘ) a < 0, a ≠ -1

ব্যাখ্যা

a > 0, a ≠ 1 শর্তে,
log_a 1 = 0

২,৩১১.

2^{2a - 1} = 1/ 8^{a - 3} হলে, a এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) - 2
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) - 1

ব্যাখ্যা

2^{2a - 1} = 1/ 8^{a - 3}
2^{2a - 1} = 1/(2³)^{a - 3}
2^{2a - 1} = 1/2^{3a - 9}
2^{2a - 1} = 2^{- (3a - 9)}
2a - 1 = - (3a - 9)
2a - 1 = - 3a + 9
2a + 3a = 9 +1
5a = 10
a = 10/5
a = 2

২,৩১২.

3^{x + 2} = 27^{x - 1} হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
5/2
গ
3
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x + 2} = 27^{x - 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^{x + 2} = 27^{x - 1}
⇒ 3^{x + 2} = (3³)^{x - 1}
⇒ 3^{x + 2} = 3^{3(x - 1)}
⇒ 3^{x + 2} = 3^{3x - 3}
⇒ x + 2 = 3x - 3
⇒ 2x = 5
∴ x = 5/2

২,৩১৩.

2ⁿ+1 নিচের কোনটির সমান?

ক
ক) x+2
খ
খ) 4ⁿ-1
গ
গ) (4ⁿ-1)/(2ⁿ-1)
ঘ
ঘ) (4ⁿ-1)/(2ⁿ)

ব্যাখ্যা

2ⁿ+1
={(2ⁿ+1)(2ⁿ-1)}/(2ⁿ-1)
=(4ⁿ-1)/(2ⁿ-1)

২,৩১৪.

log₁₀2 = a এবং log₁₀3 = b হলে log₁₀12 = ?

ক
ক) 2a + b
খ
খ) a + 2b
গ
গ) 2(a + b)
ঘ
ঘ) 2/(a + b)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀2 = a এবং log₁₀3 = b হলে log₁₀12 = ?

সমাধান:
log₁₀2 = a
log₁₀3 = b

log₁₀12
= log₁₀(4 × 3)
= log₁₀4 + log₁₀3
= log₁₀2² + log₁₀3
= 2log₁₀2 + log₁₀3
= 2a + b

২,৩১৫.

log7 + log49 + log343 + ......... ধারার প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি কত?

ক
36log10
খ
55log7
গ
36log7
ঘ
45log8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log7 + log49 + log343 + ......... ধারার প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
= log7 + log49 + log343 + .......
= log7+log7²+log7³+........
= log7 + 2log7 + 3log7 +.......
= (1 + 2 + 3 + ....)log7

এখন,
প্রথম 8টি সংখ্যার সমষ্টি = 1 + 2 + 3 +⋯+ 8
= 8(8 + 1)/2
= (8 × 9)/2
= 72/2
= 36

সুতরাং, প্রথম 8টি সংখ্যার সমষ্টি = 36log7

২,৩১৬.

x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত?

ক
12
খ
10
গ
13
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x√(0.36) = 9 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x√(0.36) = 9
⇒ x√(36/100) = 9
⇒ x × (6/10) = 9
⇒ x = 9 × (10/6)
⇒ x = 15

২,৩১৭.

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) -3
খ
খ) -2
গ
গ) -1
ঘ
ঘ) -(1/2)

ব্যাখ্যা

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
বা, 25.5^x = 1
বা, 5².5^x = 1
বা, 5^x+2 = 5⁰
বা, x + 2 = 0
∴ x = -2

২,৩১৮.

2log₂₀5 + log₂₀8 + (1/2)log₂₀4 = কত?

ক
2
খ
3
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₂₀5 + log₂₀8 + (1/2)log₂₀4 = কত?

সমাধান:
2log₂₀5 + log₂₀8 + (1/2)log₂₀4
= log₂₀(5²) + log₂₀8 + log₂₀(2²)^1/2
= log₂₀25 + log₂₀8 + log₂₀2
= log₂₀(25 × 8 × 2)
= log₂₀400
= log₂₀20²
= 2log₂₀20
= 2

২,৩১৯.

x এর মান নির্ণয় কর যদি, 27^{x - (1/3)} = 243 হয়।

ক
2
খ
3
গ
5
ঘ
7
ঙ
কোনটি নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x এর মান নির্ণয় কর যদি, 27^{x - (1/3)} = 243 হয়।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
27^{x - (1/3)} = 243
⇒ (3³)^{x - (1/3)} = 3⁵
⇒ 3^{3x - 1} = 3⁵
⇒ 3x - 1 = 5
⇒ 3x = 5 + 1
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

২,৩২০.

(³√3 × √2)⁶ = ?

ক
ক) 36
খ
খ) 72
গ
গ) 144
ঘ
ঘ) 108

ব্যাখ্যা

(³√3 × √2)⁶
= (3^1/3 × 2^1/2)⁶
= 3² × 2³
= 9 × 8
= 72

২,৩২১.

log₃√12 + log₃√(3/4) = ?

ক
12
খ
18
গ
1
ঘ
24

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃√12 + log₃√(3/4) = ?

সমাধান:
log₃√12 + log₃√(3/4)
= log₃√{12 × (3/4)} [log_aM + log_aN = log_a(M × N)]
= log₃(√9)
= log₃3
= 1

২,৩২২.

5^{3m - 5} = 3^{3m - 5} হলে, m এর মান কত?

ক
5/3
খ
2/3
গ
3/4
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{3m - 5} = 3^{3m - 5} হলে, m এর মান কত?

সমাধান:
5^{3m - 5} = 3^{3m - 5}
⇒ 5^{3m - 5}/3^{3m - 5} = 1
⇒ (5/3)^{3m - 5} = (5/3)⁰
⇒ 3m - 5 = 0
⇒ 3m = 5
∴ m = 5/3

২,৩২৩.

2^{2n - 1} = 1/(8^{n - 3}) হলে n এর মান কত?

ক
2
খ
- 2
গ
1
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

2^{2n - 1} = 1/(8^{n - 3})
2^{2n - 1}=8 ^{- (n - 3)}
2^{2n - 1} = (2³)^{- (n - 3)}
2^{2n - 1} =2^{- 3(n - 3)}
2n - 1 = - 3(n - 3)
2n - 1 = - 3n + 9
2n + 3n = 9 + 1
5n = 10
n = 2

২,৩২৪.

log₁₀(x) - 5log₁₀3 = - 2 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 0.8
খ
খ) 0.81
গ
গ) 1.25
ঘ
ঘ) 2.43

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀(x) - 5log₁₀3 = - 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀(x) - 5log₁₀3 = - 2
⇒ log₁₀x - log₁₀3⁵ = - 2
⇒ log₁₀(x/3⁵) = - 2
⇒ log₁₀(x/243 ) = - 2
⇒ x/243 = 10^{- 2}⇒ x = 243/100
= 2.43

২,৩২৫.

log₃√15 + log₃√(3/5) = ?

ক
ক) 0
খ
খ) 1/2
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

log₃√15 + log₃√(3/5)
= log₃√(3 × 5) + log_3⁽√3/√5)
= log₃√3 + log₃√5 + log₃√3 - log₃√5
= 2 log ₃√3
= 2 log ₃3^1/2
= 2 × 1/2 log₃3
= 1 × 1
= 1

২,৩২৬.

[2log₁₀(5log₁₀100)]³ =?

ক
2
খ
1
গ
8
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: [2log₁₀(5log₁₀100)]³ =?

সমাধান:
= [2log₁₀(5log₁₀100)]3 =?
= [2log₁₀{5log₁₀(10)²}]³
= [2log₁₀(5 × 2)]³
= (2log₁₀10)³
= 2³
= 8

২,৩২৭.

log₅(x + 1) - log₅(x - 3) = 1 সমীকরণের সমাধান নিচের কোনটি?

ক
7
খ
8
গ
5
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₅(x + 1) - log₅(x - 3) = 1 সমীকরণের সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ log₅(x + 1) - log₅(x - 3) = 1
⇒ log₅{(x + 1)/(x - 3)} = 1
⇒ (x + 1)/(x - 3) = 5¹
⇒ (x + 1)/(x - 3) = 5
⇒ x + 1 = 5(x - 3)
⇒ x + 1 = 5x - 15
⇒ 1 + 15 = 5x - x
⇒ 4x = 16
⇒ x = 16/4 = 4
∴ x = 4

২,৩২৮.

2√(√8) এর 2 ভিত্তিক লগ কত?

ক
4
খ
7
গ
4/7
ঘ
7/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2√(√8) এর 2 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
= log₂2√(√8)
= log₂{2 × (2^3/2)^1/2}
= log₂(2¹ × 2^3/4)
= log₂2^{(1 + 3/4)}
= (1 + 3/4) log₂2
= 7/4 ; [ log₂2 = 1 ]

২,৩২৯.

log_√66 + log₂₅5 = কত?

ক
3/2
খ
5/2
গ
25/2
ঘ
6/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : log_√66 + log₂₅5 = কত?

সমাধান :
log_√66 + log₂₅5
= log_√6(√6)² + log₂₅√25
= 2.log_√6(√6) + (1/2)log₂₅25
= 2.1 + (1/2).1
= 2 + 1/2
= 5/2

২,৩৩০.

log_0.10.001 + log_3√5135√5 = ?

ক
3
খ
4
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_0.10.001 + log_3√5135√5 = ?

সমাধান:
log_0.10.001 + log_3√5135√5
= log_0.1(0.1)³ + log_3√5(3√5)³
= 3 + 3
= 6

২,৩৩১.

a = 2 হলে, 2log(a/2) - log(5 - 2a) =

ক
2
খ
1
গ
0
ঘ
- 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 2 হলে, 2log(a/2) - log(5 - 2a) =?

সমাধান:
2log(a/2) - log (5 - 2a)
= 2 log(2/2) - log {5 - (2 × 2)}
= 2 × log1 - log1
= 2 × 0 - 0
= 0

২,৩৩২.

যদি log_a25 = 2 হয়, তবে a এর মান কত?

ক
1
খ
3
গ
5
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_a25 = 2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a25 = 2
⇒ a² = 25
⇒ a² = 5²
∴ a = 5

২,৩৩৩.

(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হলে, x এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
⇒ (a/b)^{x - 3} = (a/b)^{5 - x}
[বেস এর সংখ্যা উল্টো করে লিখলে পাওয়ার-এ মাইনাস আসে]
⇒ x - 3 = 5 - x
⇒ x + x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

২,৩৩৪.

(5⁵+ 0.01)² - (5⁵ - 0.01)² = 5^x হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (5⁵+ 0.01)² - (5⁵ - 0.01)² = 5^x হলে x এর মান কত?

সমাধান:
(5⁵ + 0.01)² - (5⁵ - 0.01)² = 5^x [(a + b)² - (a - b)² = 4ab]
⇒ 4 × 5⁵ × 0.01 = 5^x [a = 5⁵, b = 0.01]
⇒ 4 × 5⁵ × 1/100 = 5^x
⇒ 5⁵ × 1/25 = 5^x
⇒ 5⁵ × 5^{- 2} = 5^x
⇒ 5^{5 - 2} = 5^x
⇒ 5^x= 5³
⇒ x = 3

২,৩৩৫.

125√5 এর 5 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
2/7
খ
2/5
গ
5/2
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 125√5 এর 5 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
125√5 এর 5 ভিত্তিক লগারিদম = log₅125√5
= log₅(5³.5^1/2)
= log₅5^{3 + 1/2}
= log₅5^{(6 + 1)/2}
= log₅5^7/2
= (7/2)log₅5
= 7/2

২,৩৩৬.

ক
50
খ
1
গ
0
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩৩৭.

যদি log₃(x - 5)⁵ = 15 হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
32
খ
- 2
গ
15
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₃(x - 5)⁵ = 15 হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₃(x - 5)⁵ = 15
⇒ 5log₃(x - 5) = 15
⇒ log₃(x - 5) = 15/5
⇒ log₃(x - 5) = 3
⇒ (x - 5) = 3³
⇒ x = 27 + 5
∴ x = 32

২,৩৩৮.

2log₄x + 5log₄y - (1/2)log₄z =?

ক
2x + 5y - z/2
খ
x² + y⁵ - √z
গ
log₄(x².y⁵)/√z
ঘ
log₄(x².y⁵ .√z)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₄x + 5log₄y - (1/2)log₄z =?

সমাধান:
2log₄x + 5log₄y - (1/2)log₄z
= log₄x² + log₄y⁵ - log₄z^1/2
= log₄(x².y⁵)/√z

২,৩৩৯.

400 এর কত ভিত্তিক log এর মান 4 হবে?

ক
ক) √5
খ
খ) 2√5
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 10

ব্যাখ্যা

ধরি,
ভিত্তি = a
∴ log_a400 = 4
বা, a⁴ = 400
বা, a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5

২,৩৪০.

(25)^7.5 × (5)^2.5 ÷ (125)^1.5 = 5^x হলে, x এর মান কত?

ক
17.5
খ
16
গ
13
ঘ
8.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (25)^7.5 × (5)^2.5 ÷ (125)^1.5 = 5^x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:

২,৩৪১.

3^{a + 2} = 81 হয় তবে 3^{a - 2} = কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 0
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{a + 2} = 81 হয় তবে 3^{a - 2} = কত?

সমাধান:
3^{a + 2} = 81
বা, 3^{a + 2} = 3⁴
বা, ‍a + 2 = 4
বা, a = 4 - 2
∴ a = 2

এখন, 3^{a - 2} = 3^{2 - 2}
= 3⁰ = 1

২,৩৪২.

যদি 2^x = 3^y = 6^-z হয় তবে (1/x + 1/y + 1/z) এর মান নির্ণয় করুন।

ক
ক) 2/z
খ
খ) -1/z
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) -1/z²

ব্যাখ্যা

ধরি, 2^x = 3^y = 6^-z = k
তাহলে, 2 = k^1/x, 3 = k^1/y এবং 6 = k^-1/z
যেহেতু, 2 × 3 = 6
সেহেতু, k^1/x × k^1/y = k^-1/z
⇒ k^{(1/x + 1/y)} = k^-1/z
⇒ (1/x + 1/y) = -1/z

∴ (1/x + 1/y + 1/z)
= -1/z + 1/z
= 0

২,৩৪৩.

যদি হয় তবে x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 12
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি হয় তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 9}
⇒ (a/b)^{x - 3} = (a/b) ^{- (x - 9)}
⇒ x - 3 = - (x - 9)
⇒ x - 3 = - x + 9
⇒ 2x = 9 + 3
⇒ x = 12/2
∴ x = 6

২,৩৪৪.

log_√1010 =?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√10 10 =?

সমাধান:
log_√10 10
= log_√10 (√10)²
= 2 log_√10√10
= 2

২,৩৪৫.

, What is value of x?

ক
3/5
খ
5/3
গ
4/3
ঘ
3/4

ব্যাখ্যা

Question: , What is value of x?

Solution:

∴ x= 4/3

২,৩৪৬.

3^(x-y) = 27 এবং 3^(x+y) = 243 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

3^(x-y) = 27
বা, 3^(x-y) = 3³
বা, x-y = 3
আবার,
3^(x+y) = 243
বা, 3^(x+y) = 3⁵
বা, x+y = 5
∴ x = 4.

২,৩৪৭.

log₃(1/81) =?

ক
- 2
খ
- 1
গ
- 4
ঘ
- 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(1/81) =?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃3^-4
= - 4 log₃3
= - 4

২,৩৪৮.

(64)^2/3 + (256)^1/2 = 2^k হলে k = ?

ক
0
খ
-5
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

(64)^2/3 + (256)^1/2 = 2^k
বা, (2⁶)^2/3 + (2⁸)^1/2 = 2^k
বা, 2⁴ + 2⁴ = 2^k
বা, 2.2⁴ = 2^k
বা, 2⁵ = 2^k
∴ k = 5

২,৩৪৯.

x এর মান কত হলে, 24.3^{2x - 5} = 2³ হবে?

ক
ক) 1
খ
খ) 0
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) ½

ব্যাখ্যা

24.3^{2x - 5} = 2³
⇒ 2³.3¹.3^2x-5 = 2³
⇒ 3^2x-4 = 3⁰
⇒ 2x - 4 =0
∴ x = 2

২,৩৫০.

3^(mx-1) = 3a^(mx-2) হলে x এর মান কত?

ক
ক) 3/m
খ
খ) 2/m
গ
গ) 4/m
ঘ
ঘ) 1/m

ব্যাখ্যা

3^(mx-1) = 3a^(mx-2)
⇒ 3^{(mx -1)}/3 = a^(mx-2)
⇒ 3^(mx-2) = a^(mx-2)
⇒ (3/a)^(mx-2) = (3/a)⁰
⇒ mx - 2 = 0
∴ x = 2/m

২,৩৫১.

3^-3 এর মান নিচের কোনটি?

ক
1/9
খ
27
গ
1/81
ঘ
1/(√3)⁶

ব্যাখ্যা

এখানে, 3^-3
= 1/3³
= 1/(√3×√3)³
= 1/(√3)⁶

২,৩৫২.

2^{x - 4} = 4a^{x - 6} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{x - 4} = 4a^{x - 6} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
2^{x - 4} = 4a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4} = 2² ⋅ a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4}/2² = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 4 - 2} = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6} = a^{x - 6}
⇒ 2^{x - 6}/a^{x - 6} = 1
⇒ (2/a)^{x - 6} = (2/a)⁰ [∵ (2/a)⁰= 1]
⇒ x - 6 = 0
∴ x = 6

২,৩৫৩.

log₄ 2 = b হলে b এর মান কত?

ক
2
খ
1/2
গ
2√2
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₄ 2 = b হলে b এর মান কত?

সমাধান:
log₄ 2 = b
⇒ 4^b = 2
⇒ (2²)^b = 2
⇒ 2^2b = 2¹
⇒ 2b = 1
⇒ b = 1/2

২,৩৫৪.

log₂(1/8) এর পরম মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) -3
ঘ
ঘ) None of the above

ব্যাখ্যা

log₂(1/8)
= log₂(1/23)
= log₂2^-3
= -3log₂2
= -3
-3 এর পরমমান |3|

২,৩৫৫.

a^{- 3} - 0.001 = 0 হলে, a² এর মান কত?

ক
10
খ
100
গ
1000
ঘ
10000

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a^{- 3} - 0.001 = 0 হলে, a² এর মান কত?

সমাধান:
a^{- 3} - 0.001 = 0
⇒ a^{- 3}= 0.001
⇒ 1/a³ = 1/1000
⇒ (1/a)³= (1/10)³
⇒ 1/a = 1/10
⇒ a = 10
∴ a² = 100

২,৩৫৬.

log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হলে, a + b = কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হলে, a + b = কত?

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log(a + b) = log{(a/b)×(b/a)}
⇒ log(a + b) = log1
∴ a + b = 1

২,৩৫৭.

5^log₅2 + 7^log₇9 = কত?

ক
ক) 9
খ
খ) 10
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

5^log₅2 + 7^log₇9
= 2 + 9 [ a^log_ab = b ]
= 11

২,৩৫৮.

সমাধান করুনঃ 4^x+1 = 32

ক
2
খ
2/3
গ
3/2
ঘ
3/4

ব্যাখ্যা

সমাধানঃ 4^x+1 = 32
⇒ (2²)^x+1 = 2⁵
⇒ 2^2x+2 = 2⁵ [a^x = a^y হলে, x = y]
⇒ 2x + 2 = 5
⇒ 2x = 3
∴ x = 3/2

২,৩৫৯.

[3^-1 - (2^-1)]^-1 = কত?

ক
ক) 6
খ
খ) - 6
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) - 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: [3^-1 - (2^-1)]^-1 = কত?

সমাধান :
[3^-1 - (2^-1)]^-1
= [(1/3) - (1/2)]^-1
= [(2 - 3)/6]^-1
= [- 1/6]^-1
= - {1/(1/6)}
= - 6

২,৩৬০.

log_x(1/8) = - 2 হলে, x = কত?

ক
2
খ
√2
গ
2√2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/8) = - 2 হলে, x = কত?

সমাধান:
log_x(1/8) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/8
⇒ 1/x² = 1/8
⇒ x² = (2√2)²
⇒ x = 2√2

২,৩৬১.

log√8/log4 এর মান কত?

ক
1/2
খ
2/3
গ
3/4
ঘ
8/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log√8/log4 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= log√8/log4
= log(2³)^1/2/log2²
= {(3/2)log2}/(2log2)
= (3/2)/2
= 3/4

২,৩৬২.

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩৬৩.

5^a = 3125 হলে, 5^{(a - 3)} এর মান কত?

ক
5
খ
1/5
গ
25
ঘ
125

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^a = 3125 হলে, 5^{(a - 3)} এর মান কত?

সমাধান:
5^a = 3125
⇒ 5^a = 5⁵
⇒ a = 5

∴ 5^{(a - 3)}
= 5^{(5 - 3)}
= 5²
= 25

২,৩৬৪.

(√2.√3)⁴এর মান কত?

ক
ক) 23
খ
খ) 25
গ
গ) 36
ঘ
ঘ) 49

ব্যাখ্যা

(√2.√3)⁴
= (2.3)²
= 6²
= 36

২,৩৬৫.

ক
0
খ
1
গ
abc
ঘ
1/abc

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩৬৬.

[2^-1 - (3^-1)]^-1 = কত?

ক
ক) 1/6
খ
খ) 6
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: [2^-1 - (3^-1)]^-1 = কত?

সমাধান:
[2^-1 - (3^-1)]^-1
= [1/2 - 1/3]^-1
= [(3 - 2)/6]^-1
= [1/6]^-1
= 1/(1/6)
= 6

২,৩৬৭.

5(1 - x) + 3(2 - x) = -29 সমীকরণে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

5(1 - x) + 3(2 - x) = -29
বা, 5 - 5x + 6 - 3x = -29
বা, -8x = -29-11
বা, -8x = -40
বা, x = -40/-8
বা, x = 5

২,৩৬৮.

2log₁₀5 + log₁₀36 - log₁₀9 - log₁₀100 =?

ক
0
খ
4
গ
1000
ঘ
1/100

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2log₁₀5 + log₁₀36 - log₁₀9 - log₁₀100 =?

সমাধান:
2log₁₀5 + log₁₀36 - log₁₀9 - log₁₀100
= log₁₀5² + log₁₀6² - log₁₀3² - log₁₀10² [ plog_kM = log_kM^p]
= log₁₀ {(5² × 6²)/(3² × 10²} [log_kM + log_kN = log_k(MN), log_kM - log_kN = log_k(M/N)]
= log₁₀{(25 × 36)/(9 × 100)}
= log₁₀1
= 0

২,৩৬৯.

যদি log_x 1024 = 5 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_x1024 = 5 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_x1024 = 5
⇒ x⁵ = 1024
⇒ x⁵ = 2¹⁰
⇒ x^5/5 = 2^10/5 ; [Power বা ঘাতকে 5 দ্বারা ভাগ করে]
⇒ x = 2²
∴ x = 4

২,৩৭০.

log_a324 = 4 হলে, a এর মান কত?

ক
3√2
খ
1/√2
গ
2√5
ঘ
2√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a324 = 4 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_a324 = 4
⇒ a⁴ = 324
⇒ a⁴ = 81 · 4
⇒ a⁴ = 3⁴ · (√2)⁴
⇒ a⁴ = (3√2)⁴
∴ a = 3√2

২,৩৭১.

সরল করঃ (3.2ⁿ - 4.2^n-2) / (2ⁿ - 2^n-1)

ক
3
খ
3ⁿ
গ
4
ঘ
2^n-3

ব্যাখ্যা

এখানে, (3.2ⁿ - 4.2^n-2) / (2ⁿ - 2^n-1)
= (3.2ⁿ - 2².2^n-2) / (2ⁿ - 2ⁿ.2^-1)
= (3.2ⁿ - 2^2+n-2) / (2ⁿ - 2ⁿ.1/2)
= (3.2ⁿ - 2ⁿ)) / (2ⁿ - 2ⁿ.1/2)
= 2^n.(3 - 1) / 2ⁿ.(1 - 1/2)
= 2 / (1/2)
= 2 × (2/1)
= 4

২,৩৭২.

2^x - 2^{(x - 1)} = 1 হলে, x = কত?

ক
1
খ
0
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^x - 2^{(x - 1)} = 1 হলে, x = কত?

সমাধান:
2^x - 2^{(x - 1)} = 1
⇒ 2^x - 2^x/2 = 1
⇒ a - a/2 = 1 [ 2^x = a ধরি]
⇒ (2a - a)/2 = 1
⇒ a = 2
⇒ 2^x = 2¹
∴ x = 1

২,৩৭৩.

2^{x - 6} = 4a^{x - 8} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, x² এর মান কত?

ক
36
খ
49
গ
25
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{x - 6} = 4a^{x - 8} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, x² এর মান কত?

সমাধান:
2^{x - 6} = 4a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 6} = 2² ⋅ a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 6}/2² = a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 6 - 2} = a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 8} = a^{x - 8}
⇒ 2^{x - 8}/a^{x - 8} = 1
⇒ (2/a)^{x - 8} = (2/a)⁰ [∵ (2/a)⁰= 1]
⇒ x - 8 = 0
⇒ x = 8
∴ x² = 64

২,৩৭৪.

ক
1
খ
c^-5
গ
b^-3
ঘ
a³

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩৭৫.

x⁴ = 81 হলে, log_√3x এর মান কত?

ক
1/2
খ
1
গ
1/3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ = 81 হলে, log_√3x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x⁴ = 81
⇒ x⁴ = 3⁴
∴ x = 3

এখন,
log_√3x
= log_√33
= log_√3(√3)²
= 2log_√3√3 ;[log_aa = 1]
= 2 × 1
= 2

২,৩৭৬.

একটি সংখ্যার লগারিদম ২ হলে, সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১০০
খ
খ) ০.০০১
গ
গ) ১০
ঘ
ঘ) ০.০১

ব্যাখ্যা

ধরি, সংখ্যাটি x
logx = 2
x = antilog(2) = 100

২,৩৭৭.

5^{n + 2} + 35 × 5^{(n - 1)} ÷ 4 × 5ⁿ এর মান কত?

ক
2
খ
6
গ
8
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{n + 2} + 35 × 5^{(n - 1)} ÷ 4 × 5ⁿ এর মান কত?

সমাধান:
5^{n + 2} + 35 × 5^{n - 1} ÷ 4 × 5ⁿ
= 5ⁿ × 5² + 7 × 5 × 5^{n - 1} ÷ 4 × 5ⁿ
= 5ⁿ × 25 + 7 × 5^{1 + n - 1} ÷ 4 × 5ⁿ
= 5ⁿ × 25 + 7 × 5ⁿ ÷ 4 × 5ⁿ
= 5ⁿ (25 + 7)/(4 × 5ⁿ)
= 32/4
= 8

২,৩৭৮.

a এর মান কত হলে, 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³ হবে?

ক
0
খ
1
গ
3/5
ঘ
5/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a এর মান কত হলে, 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³ হবে?

সমাধান:
72 ⋅ 3^{3a - 5} = 2³
⇒ 72 ⋅ 3^{3a - 5} = 8
⇒ 3^{3a - 5} = 8/72
⇒ 3^{3a - 5} = 1/9
⇒ 3^{3a - 5} = 1/3²
⇒ 3^{3a - 5} = 3^{- 2}
⇒ 3a - 5 = - 2
⇒ 3a = - 2 + 5
⇒ 3a = 3
⇒ a = 3/3
∴ a = 1

২,৩৭৯.

ক
4
খ
8
গ
2ⁿ
ঘ
2^{n + 1}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩৮০.

যদি 64^1/3+ 625^1/4 = 3k হয়, তবে k এর মান-

ক
ক) - 3
খ
খ) 3
গ
গ) 1/3
ঘ
ঘ) 2/3

ব্যাখ্যা

64^1/3+ 625^1/4 = 3k
=> (4³)^1/3+ (5⁴)^1/4 = 3k
=> 4 + 5 = 3k
=> 9 = 3k
=> k = 9/3
∴ k = 3

২,৩৮১.

log _2√5 400 = x হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 5
গ
গ) 2√5
ঘ
ঘ) 4√5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log _2√5 400 = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান: এখানে
log _2√5400 = x 400
বা, (2√5)^x = 400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5
বা,(2√5)^x = (2√5)⁴ = 2⁴ × 5² =
বা, x = 4 = 2⁴ × (√5)⁴
= (2√5)⁴

২,৩৮২.

X⁰ + Y⁰ + Z⁰ = কত?

ক
ক) X + Y + Z
খ
খ) XYZ
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X⁰+ Y⁰+ Z⁰ = কত?

সমাধান:
X⁰ + Y⁰ + Z⁰ = 1 + 1 + 1
= 3

২,৩৮৩.

log₂(1/32) = x হলে, x এর মান কত?

ক
5
খ
- 5
গ
4
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂(1/32) = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log₂(1/32) = x
⇒ 2^x = 1/32
⇒ 2^x= 1/2⁵
⇒ 2^x = 2^{- 5}
∴ x = - 5

২,৩৮৪.

ক
1
খ
a
গ
1/a
ঘ
1/a²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩৮৫.

128 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂128
= log₂2⁷
= 7 log₂2
= 7 · 1
= 7

২,৩৮৬.

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩৮৭.

log₁₀x = - 1 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 0.1
গ
গ) 0.01
ঘ
ঘ) 0.001

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀x = -1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
log10x = -1
⇒ x = 10^-1
⇒ x = 1/10
∴ x = 0.1

২,৩৮৮.

15a + 2 [3b + 3 {2a - 2(2a + b)}] = ?

ক
ক) 3b - 6a
খ
খ) 6a - 3b
গ
গ) 3a - 6b
ঘ
ঘ) 6b - 3a

ব্যাখ্যা

15a + 2 [3b + 3 {2a - 2(2a + b)}]
=15a + 2 [3b + 3 {2a - 4a - 2b}]
=15a + 2 [3b + 6a - 12a - 6b]
=15a + 6b + 12a - 24a - 12b
=3a - 6b

২,৩৮৯.

যদি 3^x+2 = 243 হয় তবে 3^x-2 এর মান-

ক
ক) 2
খ
খ) 1
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

3^x+2 = 243
or, 3^x+2 = 243
or, 3^x.3² = 243
or, 3^x = 243/9
or, 3^x = 27
or, 3^x = 3³
or, x = 3

অতএব, 3^x-2 = 3^3-2
= 3 (ans)

২,৩৯০.

2^{x + 1} = 64 হলে, 2^{2x - 6} এর মান কত?

ক
ক) 32
খ
খ) 2
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 8

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে
2^{x + 1}= 64
2^{x + 1} = 2⁶
x + 1 = 6
x = 6 - 1
x = 5

এখন
2^{2x - 1} = 2^{2× 5 - 6}
= 2^{10 - 6}
= 2⁴
= 16

২,৩৯১.

log₃(a² + a) - log₃(a + 1) = 2 হলে a এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 1
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₃(a² + a) - log₃(a + 1) = 2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
log₃(a² + a) - log₃(a + 1) = 2
log₃{(a² + a)/(a + 1)} = 2
log₃{a(a + 1)/(a + 1)} = 2
log₃a = 2
a = 3²
a = 9

২,৩৯২.

5log3 - log9 = কত?

ক
ক) log8
খ
খ) log27
গ
গ) log5
ঘ
ঘ) log10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = কত?

সমাধান:
5log3 - log9
= 5log3 - log3²
= 5log3 - 2log3
= 3log3
= log3³
= log27

২,৩৯৩.

x + z = 2y, b² = ac হলে a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y} =?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + z = 2y, b² = ac হলে a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y} =?

সমাধান:
x + z = 2y
⇒ x + z = y + y
∴ x - y = y - z

এখন,
a^{y - z}. b^{z - x}.c^{x - y}
= a^{x - y} × b^{z - x} × c^{x - y} [y - z = x - y]
= (ac)^{x - y} × b^{z - x}
= (b²)^{x - y} × b^{z - x}
= b^{2x - 2y + z - x}
= b^{x + z - 2y}
= b^{2y - 2y}
= b⁰
= 1

২,৩৯৪.

3^{x - 2} = 9^{x - 4} হলে, x এর মান কত?

ক
6
খ
4
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{x - 2} = 9^{x - 4} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
3^{x - 2} = 9^{x - 4}
⇒ 3^{x - 2} = (3²)^{x - 4}
⇒ 3^{x - 2} = 3²^{x - 8}
⇒ x - 2 = 2x - 8
⇒ 2x - x = 8 - 2
∴ x = 6

২,৩৯৫.

9^x + 9^x + 9^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
3
খ
3^{2x - 1}
গ
3^{2x + 1}
ঘ
9^{2x + 1}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^x + 9^x + 9^x এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
9^x + 9^x + 9^x
= 3×9^x
= 3.3^2x
= 3 ^{2x + 1}

২,৩৯৬.

ক
ক) 7/3
খ
খ) 3
গ
গ) 27
ঘ
ঘ) 1/27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

২,৩৯৭.

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
- 3
খ
- 2
গ
- 1
ঘ
- (1/2)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
বা, 25.5^x = 1
বা, 5².5^x = 1
বা, 5^{x + 2} = 5⁰
বা, x + 2 = 0
∴ x = - 2

২,৩৯৮.

2^3x = 512 হলে, 3^x = কত?

ক
81
খ
3
গ
9
ঘ
27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^3x = 512 হলে, 3^x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^3x = 512
⇒ 2^3x=2⁹
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

∴ 3^x = 3³ = 27

২,৩৯৯.

যদি 2^{(x - 6)}= 1/64 হয় তবে x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2^{(x - 6)} = 1/64 হয় তবে x এর মান কত?

সমাধান:
2^{(x - 6)} = 1/64
⇒ 2^{(x - 6)} = 1/(2⁶)
⇒ 2^{(x - 6)} = 2^{- 6}
⇒ x - 6 = - 6
∴ x = 0

২,৪০০.

(2²)^{m + 2} = 256 হলে, m = কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) - 2
ঘ
ঘ) - 1

ব্যাখ্যা

(2²)^{m + 2} = 256
2^{2m + 4} = 2⁸
2m + 4 = 8
2m = 8 - 4
2m = 4
m= 2