সূচক ও লগারিদম

PrepBank · পাতা ১৩ / ৩২ · ১,২০১–১,৩০০ / ৩,১৭২

১,২০১.

(log√11)/(log11) = কত?

ক
1
খ
1/2
গ
3
ঘ
11

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (log√11)/(log11) = কত?

সমাধান:
log√11/log11
= log(11)^1/2/log11
= (1/2)log11/log11
= (1/2) × 1
= 1/2

১,২০২.

(6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216 , তবে 2^x এর মান কত?

ক
1
খ
0
গ
3
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216 , তবে 2^x এর মান কত?

সমাধান:
(6^{x - 1}) · (36^{x + 2}) = 216
⇒ (6^{x - 1}) · 6^{2(x + 2)} = 216
⇒ (6^{x - 1}) · (6^{2x + 4}) = 6³
⇒ 6^{x - 1 + 2x + 4} = 6³
⇒ x - 1 + 2x + 4 = 3
⇒ 3x + 3 = 3
⇒ 3x = 3 - 3
⇒ 3x = 0
⇒ x = 0

∴ 2^x= 2⁰= 1

১,২০৩.

যদি log_√2 x = 12 হয়, তবে x এর মান কত?

ক
64
খ
125
গ
256
ঘ
√27

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_√2 x = 12 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_√2x = 12
⇒ x = (√2)¹² [log_aM = n ⇒ aⁿ = M]
⇒ x = (2^1/2)¹²
⇒ x = 2^{(1/2) × 12}
⇒ x = 2⁶
∴ x = 64

১,২০৪.

3^x + 3^x + 3^x = কত?

ক
ক) 9^x
খ
খ) 3^{x + 1}
গ
গ) 3^3x
ঘ
ঘ) 3^x3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^x+ 3^x+ 3^x = কত?

সমাধান:
3^x + 3^x+ 3^x
= 3^x(1 + 1 + 1)
= 3^x. 3
= 3^{x + 1}

১,২০৫.

ক
7
খ
14
গ
5
ঘ
21

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২০৬.

x^a = y, y^b = z, z^c = x হলে abc এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x^a = y, y^b= z, z^c = x হলে abc এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
z^c = x
বা, (y^b)^c = x [z = y^b]
বা, (x^a)^bc = x
বা, x^abc = x¹
∴ abc = 1

১,২০৭.

ক
12
খ
48
গ
36
ঘ
144

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২০৮.

(4^x - 1)/(2^x - 1) এর মান কোনটি?

ক
(2^x - 1)
খ
(2^x + 1)
গ
(2^{x + 1})
ঘ
(2^{x - 1})

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (4^x - 1)/(2^x - 1) এর মান কোনটি?

সমাধান:
(4^x - 1)/(2^x - 1)
= {(2²)^x - 1}/(2^x - 1)
= {(2^x)² - 1}/(2^x - 1)
= {(2^x)² - (1)²}/(2^x - 1)
= {(2^x + 1)(2^x - 1)}/(2^x - 1)
= (2^x + 1)

১,২০৯.

8^{2x - 3} = 2^{3x + 6} হলে, x এর মান -

ক
ক) 1
খ
খ) 3
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8^{2x - 3} = 2^{3x + 6} হলে, x এর মান -

সমাধান:
8^{2x - 3} = 2^{3x + 6}
⇒ 2^{3(2x - 3)} = 2^{3x + 6}
⇒ 6x - 9 = 3x + 6
⇒ 3x = 15
∴ x = 5

১,২১০.

3^x+ 8.3^x+ 18.3^x = 1 হলে x² এর মান কত?

ক
ক) - 3
খ
খ) 9
গ
গ) - 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^x+ 8.3^x+ 18.3^x = 1 হলে x² এর মান কত?

সমাধান:
3^x + 8.3^x + 18.3^x = 1
3^x(1 + 8 + 18) = 1
3^x . 27 = 1
3^x.3³ = 1
3^{x + 3} = 3⁰
x + 3 = 0
x = - 3

x² = (- 3)² = 9

১,২১১.

যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5) হয়, তবে x এর মান কত?

ক
3
খ
5
গ
5/8
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5) হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - 1 = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) - log₁₀(10) = log₁₀(x + 5)
⇒ log₁₀{5(5x + 1)/10} = log₁₀(x + 5)
⇒ (5x + 1)/2 = x + 5
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

১,২১২.

এর মান কত?

ক
x^1/2
খ
x²
গ
x⁴
ঘ
x

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
এর মান কত?

সমাধান:

১,২১৩.

4^x + 4^{1 - x} = 4 হলে x = ?

ক
ক) 3/4
খ
খ) 1/3
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^x+ 4^{1 - x} = 4 হলে x = ?

সমাধান:
4^x + 4^{1 - x} = 4
⇒ 4^x + 4¹ . 4^{- x}= 4
⇒ 4^x + 4/4^x = 4
⇒ a + 4/a = 4 [ধরি 4^x = a]
⇒ a² + 4 = 4a
⇒ a² - 4a + 4 = 0
⇒ a² - 2. 2. a + 2² = 0
⇒ (a - 2)² = 0
⇒ a - 2 = 0
⇒ a = 2
⇒ 4^x = 2
⇒ (2²)^x = 2
⇒ 2^2x = 2¹
⇒ 2x = 1
x = 1/2

১,২১৪.

4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 1} = 32
(2²)^{x + 1} = 2⁵
2^{2x + 2} =2⁵
2x + 2 = 5
2x = 5 - 2
2x = 3
x = 3/2

১,২১৫.

9.3^{x - 1} = 27^x এর মান কত?

ক
1
খ
1/2
গ
2
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9.3^{x - 1} = 27^x এর মান কত?

সমাধান:
9.3^{x - 1} = 27^x
বা, 3² × 3^{x - 1} = (3³)^x
বা, 3^{2 + x - 1} = 3^3x
বা, 2 + x - 1 = 3x
বা, 1 + x = 3x
বা, 3x - x = 1
বা, 2x = 1
∴ x = 1/2

১,২১৬.

যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে x^{a + b} = ?

ক
1
খ
x
গ
0
ঘ
x + 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে x^{a + b} = ?

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b)
⇒ log1 = log(a + b)
⇒ a + b = 1

এখন, x^{a + b}
= x¹
= x

১,২১৭.

(25)^7.5 × (5)^2.5 ÷ (125)^1.5 = 5^?

ক
17
খ
13
গ
11
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (25)^7.5 × (5)^2.5 ÷ (125)^1.5 = 5^?

সমধান:

১,২১৮.

Log _2√2x = 4 হলে x = ?

ক
16
খ
32
গ
64
ঘ
112

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: Log _2√2x = 4 হলে x = ?

সমাধান:
Log_2√2x = 4
⇒ Log _2√2x = 4
⇒ x = (2√2)⁴
⇒ x = 2⁴(√2)⁴
⇒ x = 2⁴ {(√2)²}²
⇒ x = 16 × 2²
⇒ x = 16 × 4
∴ x = 64

১,২১৯.

4x + 2y = 20 সমীকরণের সমাধান কতটি?

ক
ক) একটি
খ
খ) দুইটি
গ
গ) কোনো সমাধান নেই
ঘ
ঘ) অসংখ্য সমাধান

ব্যাখ্যা

এখানে, চলক দু'টি কিন্তু সমীকরণ একটি।
তাই অসীম সংখ্যক সমাধান পাওয়া যাবে।

১,২২০.

3log2 + log5 = ?

ক
3log5
খ
log13
গ
log45
ঘ
log40

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3log2 + log5 = ?

সমাধান:
3log2 + log5
= log2³ + log5
= log8 + log5
= log(8 × 5)
= log 40

১,২২১.

4^{x + 1} = 512 হলে, x এর মান কত?

ক
1/5
খ
3/2
গ
5/2
ঘ
7/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 512 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 1} = 512
⇒ (2²)^{x + 1} = 2⁹
⇒ 2^{2x + 2} = 2⁹
⇒ 2x + 2 = 9
⇒ 2x = 9 - 2
⇒ 2x = 7
∴ x = 7/2

১,২২২.

log_x 1/9 = - 2 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) ± 3
খ
খ) ± 1/3
গ
গ) - 3
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x 1/9 = - 2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x 1/9 = - 2
x^{- 2} = 1/9
1/x² = 1/9
x² = 9
x² = 3²
x = 3

১,২২৩.

log_√3243 =?

ক
5
খ
25
গ
10
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√3243 =?

সমাধান:
log_√3243
= log_√33⁵
= 5 × log_√33
= 5 × log_√3(√3)²
= 5 × 2 log_√3√3
= 10 × 1
= 10

১,২২৪.

log_a(1/27) = - 3 হলে, a এর মান কত?

ক
2
খ
3
গ
6
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a(1/27) = - 3 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_a(1/27) = - 3
⇒ a^{- 3} = 1/27
⇒ 1/a³ = 1/27
⇒ a³ = 27
⇒ a³ = 3³
∴ a = 3

১,২২৫.

27^{2a - 5} a^{6a - 15} = 9a², হলে a =?

ক
17
খ
17/6
গ
13
ঘ
21/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 27^{2a - 5} a^{6a - 15} = 9a², হলে a =?

সমাধান :
দেয়া আছে,
27^{2a - 5} a^{6a - 15} = 9a²
বা, 3^{3(2a - 5)}a^{6a - 15} = 3²a²
বা, 3^{6a - 15}a^{6a - 15} = (3a)²
বা, (3a)^{6a - 15} = (3a)²
বা, 6a - 15 = 2
বা, 6a = 17
বা, a = 17/6

১,২২৬.

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3
ঙ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২২৭.

log₂₇x + log₂₇(1/6) = 1/3 হলে x এর মান কত?

ক
12
খ
15
গ
18
ঘ
21

ব্যাখ্যা

log₂₇x + log₂₇(1/6) = 1/3
log₂₇{x(1/6)} = 1/3
log₂₇(x/6)=1/3
x/6 = (27)^1/3
x/6= (3³)^1/3
x/6 = 3
x = 18

১,২২৮.

a⁷ × a^-5 × a³ × a^-9 × a³ = ?

ক
ক) a³
খ
খ) a
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 1/a

ব্যাখ্যা

a⁷ × a^-5 × a³ × a^-9 × a⁴
= a^(7-5+3-9+4)
= a^(14-14)
= a⁰
= 1

১,২২৯.

যদি log₂[log₃(log₂a)] = 1, তাহলে a এর মান কত?

ক
512
খ
496
গ
144
ঘ
48

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₂[log₃(log₂a)] = 1, তাহলে a এর মান কত?

সমাধান:
log₂[ log₃( log₂a)] = 1
⇒ log₃(log₂a) = 2¹⇒ log₃(log₂a) = 2
⇒ log₂a = 3²
⇒ log₂a = 9
⇒ a = 2⁹
∴ a = 512

১,২৩০.

log_k(aⁿ/bⁿ) + log_k(bⁿ/cⁿ) + log_k(cⁿ/aⁿ) = ?

ক
0
খ
b/c
গ
log(a/c)
ঘ
loga

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_k(aⁿ/bⁿ) + log_k(bⁿ/cⁿ) + log_k(cⁿ/aⁿ) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_k(aⁿ/bⁿ) + log_k(bⁿ/cⁿ) + log_k(cⁿ/aⁿ)
= log_kaⁿ - log_kbⁿ + log_kbⁿ - log_kcⁿ + log_kcⁿ - log_kaⁿ
= 0

১,২৩১.

log_p(1/25) = - 2 হলে, p এর মান কত?

ক
5
খ
1/5
গ
2/5
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_p(1/25) = - 2 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
log_p(1/25) = - 2
⇒ p^-2= 1/25
⇒ p^{- 2}= 1/5²
⇒ p^-2= 5^{- 2}
⇒ p = 5

১,২৩২.

ক
25
খ
100
গ
125
ঘ
50

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২৩৩.

ক
1
খ
a
গ
1/a
ঘ
1/a²

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২৩৪.

y = 3 হলে √y³ এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 2/3
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 1/3

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে
y = 3

√y³ এর 3 ভিত্তিক লগারিদম
=log₃(√y³)
= log₃(√3³)
= log₃{(3³)^1/2}
= log₃3^3/2
= (3/2) log₃3
= (3/2) .1
= 3/2

১,২৩৫.

ক
3
খ
2
গ
1
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২৩৬.

যদি log₄x = 5 হয়, তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।

ক
1024
খ
512
গ
500
ঘ
2048

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log₄x = 5 হয়, তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
log₄x = 5
⇒ x = 4⁵
⇒ x = 1024

১,২৩৭.

log₂256 এর মান কত?

ক
2
খ
4
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂256 এর মান কত?

সমাধান:
log₂256
= log₂2⁸
= 8log₂2
= 8 · 1
= 8

১,২৩৮.

27^{2a + 3} = 3^{3a + 6} হলে, a এর মান কত?

ক
- 1
খ
- 1/2
গ
1
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27^{2a + 3} = 3^{3a + 6} হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
27^{2a + 3} = 3^{3a + 6}
⇒ 3^{3(2a + 3)} = 3^{3a + 6}
⇒ 3^{6a + 9} = 3^{3a + 6}
⇒ 6a + 9 = 3a + 6
⇒ 6a - 3a = 6 - 9
⇒ 3a = - 3
∴ a = - 1

১,২৩৯.

k এর মান কত হলে 2^{4k - 10} = 1024 হবে?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: k এর মান কত হলে 2^{4k - 10} = 1024 হবে?

সমাধান:
2^{4k - 10}= 1024
⇒ 2^{4k - 10}= 2¹⁰
⇒ 4k - 10 = 10
⇒ 4k = 10 + 10
⇒ k = 20/4
∴ k = 5

১,২৪০.

যদি 4^x = 8^{x - 1}, তবে x এর মান কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 4^x = 8^{x - 1}, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
4^x = 8^{x - 1}
⇒ (2²)^x= (2³)^{x - 1}
⇒ 2^2x = 2^{3(x - 1)}
⇒ 2x = 3x - 3
⇒ - x = - 3
∴ x = 3

১,২৪১.

9^{x + 3} = 27^{x + 1} হলে, x এর মান কত?

ক
2
খ
- 3
গ
3
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9^{x + 3} = 27^{x + 1} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
9^{x + 3} = 27^{x + 1}
⇒ (3²)^{x + 3} = (3³)^{x + 1}
⇒ 3^{2x + 6} = 3^{3x + 3}
⇒ 2x + 6 = 3x + 3
⇒ 3x - 2x = 6 - 3
∴ x = 3

১,২৪২.

যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে-

ক
a + b = 1
খ
a - b = 1
গ
a = b
ঘ
a² - b² = 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log(a/b) + log(b/a) = log(a + b) হয়, তবে-

সমাধান:
log(a/b) + log(b/a) = log(a + b)
⇒ log{(a/b) × (b/a)} = log(a + b)
⇒ log1 = log(a + b)
⇒ a + b = 1

১,২৪৩.

log_x(1/512) = - 3 হলে, x এর মান কত?

ক
3
খ
5
গ
6
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/512) = - 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/512) = - 3
বা, x^{- 3} = 1/512 [log_ba = c হলে, b^c = a হয়]
বা, 1/(x³) = 1/512
বা, x³ = 512
বা, x³ = 8³
∴ x = 8

১,২৪৪.

= কত?

ক
x
খ
x²
গ
x³
ঘ
x⁴

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:
= কত?

সমাধান:

১,২৪৫.

(√5)^{a+ 5} = (5^1/3)^{2a + 5} এ a এর মান কত?

ক
1/5
খ
- 5
গ
5
ঘ
2/5

ব্যাখ্যা

(√5)^{a +5} = (5^1/3)^{2a + 5}
(5^1/2)^{a +5} =(5^1/3)^{2a + 5}
5^{(a +5)/2} = 5^{(2a + 5)/3}
(a + 5)/2=(2a + 5)/3
4a + 10 = 3a + 15
4a - 3a = 15 - 10
a = 5

১,২৪৬.

(2401)^0.16 × (2401)^0.09 = ?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2401)^0.16 × (2401)^0.09 = ?

সমাধান:
(2401)^0.16 × (2401)^0.09
= (2401)^{(0.16 + 0.09)}
= (2401)^0.25
= (2401)^(25/100)
= (7⁴)(1/4)
= 7^{4 × (1/4)}
= 7¹
= 7

১,২৪৭.

(100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ = ?

ক
100
খ
3
গ
102
ঘ
103

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰ = ?

সমাধান:
(100x)⁰ + 100x⁰ + (100x)⁰
= 1 + (100 × 1) + 1
= 1 + 100 + 1
= 102

১,২৪৮.

(√2)^{a + 5} = (2^1/3)^{2a + 5} হলে, a এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

(√2)^{a + 5} = (2^1/3)^{2a + 5}
2^{(a + 5)/2} = 2^{(2a + 5)/3}
(a + 5)/2 = (2a + 5)/3
3a + 15 = 4a + 10
4a - 3a = 15 - 10
a = 5

১,২৪৯.

9.3^{x - 1} = 27^x হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
2
গ
1/2
ঘ
2/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9.3^{x - 1} = 27^x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
9.3^{x - 1} = 27^x
বা, 3².3^{x - 1} = (3³)^x
বা, 3^{2 + x - 1} = 3^3x
বা, 2 + x - 1 = 3x
বা, 1 + x = 3x
বা, 3x - x = 1
বা, 2x = 1
∴ x = 1/2

১,২৫০.

{(x + y)^{- 1} - (x - y)^{- 1}} ÷ {2y(x² - y²)^{- 1}} রাশিটির মান কত?

ক
0
খ
2
গ
- 2
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: {(x + y)^{- 1} - (x - y)^{- 1}} ÷ 2y(x² - y²)^{- 1} রাশিটির মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
{(x + y)^{- 1} - (x - y)^{- 1}} ÷ 2y(x² - y²)^{- 1}
= {1/(x + y) - 1/(x - y)} ÷ 2y × {1/(x² - y²)}
= {(x - y - x - y)/(x + y)(x - y)} ÷ 2y/(x² - y²)
= {- 2y/(x² - y²)} × (x² - y²)/2y
= - 1

১,২৫১.

যদি x^y= 64 হয়, যেখানে x, y পূর্ণমান, নিচের কোনটি x + y এর মান হবে?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 9

ব্যাখ্যা

x^y = 64 = 4³
x = 4
y = 3
x + y = 4 + 3 = 7

১,২৫২.

log_x(8) = 3/2 হলে x এর মান কত?

ক
5
খ
1
গ
4
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(8) = 3/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(8) = 3/2
⇒ x^3/2 = 8 [log_ab = c ⇒ a^c = b]
⇒ (x^1/2)³ = 8
⇒ √x³ = 2³
⇒ √x = 2
⇒ (√x)² = 2²
∴ x = 4

১,২৫৩.

log₁₀ (x² -6x + 10) = 0 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) - 3
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) - 2

ব্যাখ্যা

log₁₀ (x² -6x + 10) = 0
x² -6x + 10 = 10⁰
x²-6x + 10 = 1
x² - 6x + 10 -1 = 0
x² - 6x + 9 = 0
x² - 2.x.3 + 3² = 0
(x - 3)² = 0
x - 3 = 0
x = 3

১,২৫৪.

2^x + 2^1-x = 3, x = কত?

ক
1, 2
খ
0, 2
গ
1, 3
ঘ
0, 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^x + 2^1-x = 3, x = কত?

সমাধান:
2^x + 2^{1 - x} = 3
⇒ 2^x + (2¹/2^x) = 3
⇒ p + (2/p) = 3 [2^x = p ধরে]
⇒ (p² + 2)/p = 3
⇒ p² - 3p + 2 = 0
⇒ p² - 2p - p + 2= 0
⇒ p(p - 2) -1(p - 2) = 0
⇒ (p - 2)(p - 1) = 0
হয়, p - 2 = 0
⇒ p = 2
⇒ 2^x = 2¹
∴ x = 1
অথবা, p - 1 = 0
⇒ p = 1
⇒ 2^x = 2⁰
∴ x = 0
অতএব, x = 0, 1

১,২৫৫.

30 − {5^-1(2−3)^-3}^-2= কত?

ক
ক) 31
খ
খ) 20
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 29

ব্যাখ্যা

30 − {5^-1(2−3)^-3}^-2
= 30 - {1/5 (-1)^-3}^-2
= 30 - {(1/5 × (-1)}^-2
= 30 - (- 1/5)^-2
= 30 - 5²
= 5

১,২৫৬.

ক
ক) 6/5
খ
খ) 3/5
গ
গ) 7/6
ঘ
ঘ) 5/6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
= log₇(7^1/2 . 7^1/3)
= log₇7^{(1/2 + 1/3)}
= log₇7^5/6
= (5/6) × log₇7
= (5/6) × 1
= 5/6

১,২৫৭.

Log (1/3)⁸¹ = x হলে x এর মান কত?

ক
ক) -2
খ
খ) -4
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) -3

ব্যাখ্যা

Log (1/3)⁸¹ = x
বা, (1/3)^x = 81
বা, (1/3)^x = 3⁴
বা, (1/3)^x = (3)⁴
বা, (1/3)^x = (1/3)^-4
বা, x = -4

১,২৫৮.

2401(√7)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
1
খ
- 2
গ
3
ঘ
- 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2401(√7)^2x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
⇒ (√7)^2x = 1/2401
⇒ (√7)^2x = 1/(7⁴)
⇒ (√7)^2x = 7^{- 4}
⇒ (√7)^2x = {(√7)²}^{- 4}⇒ (√7)^2x = (√7)^{- 8}
⇒ 2x = - 8
⇒ x = (- 8/2)
⇒ x = - 4

১,২৫৯.

256(√2)^3x = 1024 হলে, x = ?

ক
1
খ
4
গ
3/4
ঘ
4/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন : 256(√2)^3x = 1024 হলে, x = ?

সমাধান :
256(√2)^3x = 1024
⇒ 2⁸(2^1/2)^3x = 1024
⇒ 2⁸(2^3x/2) = 1024
⇒ 2⁽^{8 + 3x)/2} = 1024
⇒ 2^{(16 + 3x)/2} = 2¹⁰
⇒ (16 + 3x)/2 = 10
⇒ 16 + 3x = 20
⇒ 3x = 20 -16
⇒ 3x = 4
⇒ x = 4/3

১,২৬০.

প্রশ্ন:

ক
25/12
খ
25
গ
13/12
ঘ
13

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২৬১.

log_0.1 0.01 = x হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_0.1 0.01 = x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_0.1 0.01 = x
বা, log_0.1 (0.1)² = x
বা, 2log0.1^0.1 = x
∴ x = 2

১,২৬২.

= ?

ক
ক) 1
খ
খ) 2
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

= 2ⁿ(2⁴ - 4 . 2¹)/2ⁿ(2²/2)
= 8/2
= 4

১,২৬৩.

log_x(1/16) = - 2 হলে 3x/2 এর মান কত?

ক
ক) 4
খ
খ) 6
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_x(1/16) = - 2 হলে 3x/2 এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/16) = - 2
বা, x^{- 2}= 1/16
বা, 1/x² = 1/16
বা, x² = 16
বা, x² = 4²
বা, x = 4
বা, 3x = 12
বা, 3x/2 = 12/2
3x/2 = 6

১,২৬৪.

(25)^{3x + 2} = 5^{2x + 6} হয় তবে x = কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 1/2
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (25)^{3x + 2} = 5^{2x + 6} হয় তবে x = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(25)^{3x + 2}= 5^{2x + 6}
⇒ (5²)^{3x + 2} = 5^{2x + 6}
⇒ 5^{6x + 4} = 5^{2x + 6}
⇒ 6x + 4 = 2x + 6
⇒ 6x - 2x = 6 - 4
⇒ 4x = 2
⇒ x = 2/4
∴ x = 1/2

১,২৬৫.

ক
0
খ
1
গ
3
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২৬৬.

3^x + 8.3^x + 18.3^x = 1 হলে, x এর মান কত?

ক
- 3
খ
1
গ
1/3
ঘ
- 9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^x + 8.3^x + 18.3^x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^x + 8.3^x + 18.3^x = 1
বা, 27.3^x = 1
বা, 3³.3^x= 1
বা, 3^{x + 3} = 3⁰
বা, x + 3 = 0
∴ x = - 3

১,২৬৭.

81^0.16 × 81^0.09 = কত?

ক
3
খ
4
গ
2
ঘ
1/4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 81^0.16 × 81^0.09 = কত?

সমাধান:
81^0.16 × 81^0.09
= 81^{0.16 + 0.09}
= 81^0.25
= 81^25/100
= (3⁴)^1/4
= 3¹
= 3

১,২৬৮.

যদি 4^{(x - y)} = 64 এবং 4^{(x + y)} = 1024 হলে, x এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 4^{(x - y)} = 64 এবং 4^{(x + y)} = 1024 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
4^{(x - y)} = 64
বা, 4^{(x - y}) = 4³
বা, x - y = 3 ........................(1)

আবার,
4^{(x + y)} = 4⁵
বা, x + y = 5 .......................(2)

(1) + (2) হতে পাই,
2x = 8
∴ x = 4

১,২৬৯.

5.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = কত?

ক
2^{n + 1}
খ
2^{n + 2}
গ
2²ⁿ
ঘ
2^{3n + 1}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5.2ⁿ - 4.2^{n - 2} = কত?

সমাধান:
5.2ⁿ - 4.2^{n - 2}
= 5 × 2ⁿ - 2² × 2^{n - 2}
= 5 × 2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 5 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ(5 - 1)
= 2ⁿ .4
= 2ⁿ.2²
= 2^{n + 2}

১,২৭০.

9^x+9^x+9^x এর মান নিচের কোনটি?

ক
ক) 3^2x+1
খ
খ) 3^2x+2
গ
গ) 3^2x
ঘ
ঘ) 2^2x+1

ব্যাখ্যা

9^x+9^x+9^x = 9^x(1+1+1)=3^2x×3¹=3^2x+1

১,২৭১.

√(3^x) = 81 হলে x এর মান কত?

ক
6
খ
12
গ
2
ঘ
8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: √(3^x) = 81 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
√(3^x) = 81
⇒ (3^x)^1/2 = 81
⇒ 3^x/2 = 3⁴
⇒ x/2 = 4
∴ x = 8

১,২৭২.

এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
1/2
ঘ
a^{(m + n)}

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:

১,২৭৩.

log (a³/b³) + 3logb = কত?

ক
ক) loga
খ
খ) 2loga
গ
গ) 3loga
ঘ
ঘ) 4loga

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log (a³/b³) + 3log b = কত?

সমাধান:
log (a³/b³) + 3log b
= log (a³/b³) + log b³
= log {(a³/b³) × b³)
= log a³
= 3log a

১,২৭৪.

4^{a + 2} = 2^{2a + 1} + 28 হলে a এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

4^{a + 2} = 2^{2a + 1} + 28
4^a.4² = 2^2a . 2¹ + 28
16. 4^a= 4^a . 2 + 28
4^a(16 - 2) = 28
4^a .14 = 28
4^a = 2
(2²)^a = 2¹
2^2a = 2¹
2a = 1
a = 1/2

১,২৭৫.

log_√32a = 6/5 হলে, a এর মান কত?

ক
3
খ
8
গ
√7
ঘ
√3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√32a = 6/5 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_√32a = 6/5
⇒ x = (√32)^6/5
⇒ x = (√2⁵)^6/5
= (2^5/2)6/5
= 2^{(5/2) × (6/5)}
= 2³
= 8

১,২৭৬.

যদি 3^{(n + 4)} - 3^{(n + 2)} = 8 হয়, তাহলে (n + 1) এর মান -

ক
ক) -1
খ
খ) 2
গ
গ) -2
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^{(n + 4)} - 3^{(n + 2)} = 8 হয়, তাহলে (n + 1) এর মান -

সমাধান:

3^{(n + 4)} - 3^{(n + 2}) = 8
⇒ 3ⁿ. 3⁴ - 3ⁿ.3² = 8
⇒ 3^n.3². 3² - 3^n.3² = 8
⇒ 3ⁿ. 3²(3² - 1) = 8
⇒ 3ⁿ. 9. 8 = 8
⇒ 3ⁿ= 1/9
⇒ 3ⁿ = 1/3² = 3^{- 2}
∴ n = - 2

n + 1 = - 2 + 1 = - 1

১,২৭৭.

হলে x এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 16
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে x এর মান কত?

সমাধান:

১,২৭৮.

(১২৫/২৭)^-২/৩ এর সহজ প্রকাশ-

ক
১/২৫
খ
৫/২০
গ
৯/২৫
ঘ
৩/২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (১২৫/২৭) ^{- ২/৩} এর সহজ প্রকাশ-

সমাধান:
(১২৫/২৭)^{- ২/৩}
= ১/{(১২৫/২৭)}^২/৩
= (২৭/১২৫)^২/৩
= {(৩/৫)^৩)^২/৩
= (৩/৫)^২
= ৯/২৫

১,২৭৯.

(1/2) (logx + logy) = log [(x + y) / 2] হবে যদি -

ক
ক) y = 0
খ
খ) x = √y
গ
গ) x = y
ঘ
ঘ) x = y/2

ব্যাখ্যা

1/2 (logx + logy) = log[(x+y)/2]
⇒1/2 log(xy) = log [(x+y)/2]
⇒ log(xy)^1/2= log [(x+y)/2]
⇒ (xy)^1/2= [(x+y)/2]
⇒ xy = [(x+y)/2]²
⇒ 4xy = x²+ y²+ 2xy
⇒ x² + y² − 2xy = 0
⇒ (x−y)²= 0
⇒ x − y = 0
⇒ x = y

১,২৮০.

log_a25 = 2 হলে, a এর মান কত?

ক
√5
খ
1/5
গ
25
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_a25 = 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
log_a25 = 2
⇒ a² = 25
⇒ a = √25
∴ a = 5

১,২৮১.

যদি 2^4a = 256 হয়, তবে (√3)^a এর মান কত?

ক
3
খ
8
গ
4
ঘ
9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2^4a = 256 হয়, তবে (√3)^a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2^4a = 256
⇒ 2^4a = 2⁸
⇒ 4a = 8
⇒ a = 8/4
∴ a = 2

প্রদত্ত রাশি,
= (√3)^a
= (√3)²
= 3

১,২৮২.

log_√327 = কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_√327 = কত?

সমাধান:
log√₃27
= log_√33³
= log_√3(√3)⁶
= 6 log_√3√3
= 6 × 1
= 6

১,২৮৩.

log₁₀x - 4log₁₀4 = - 2 হলে x এর মান কত হবে?

ক
ক) 25.6
খ
খ) .256
গ
গ) 2.56
ঘ
ঘ) 256

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀x - 4log₁₀4 = - 2 হলে x এর মান কত হবে?

সমাধান:
log₁₀x - 4log₁₀4 = - 2
বা, log₁₀x - log₁₀4⁴ = - 2
বা, log₁₀x - log₁₀256 = - 2
বা, log₁₀(x/256) = - 2
বা, x/256 = 10^-2
বা, x/256 = 1/100
বা, x = 256/100
x = 2.56

১,২৮৪.

যদি log⁡₃x = 2 + log⁡₃y এবং xy = 81, তবে x-এর মান কত?

ক
9
খ
18
গ
27
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log⁡₃x = 2 + log⁡₃y এবং xy = 81, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log⁡₃x = 2 + log⁡₃y এবং xy = 81
এখন,
log⁡₃x - log⁡₃y = 2
⇒ log⁡₃(x/y) = 2
⇒ x/y = 3²
⇒ x/y = 9
∴ x = 9y ......(1)

আবার,
xy = 81
⇒ 9y . y = 81
⇒ 9y² = 81
⇒ y² = 9
∴ y = 3

y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
x = 9y = 9 × 3 = 27

১,২৮৫.

ক
1
খ
2
গ
5
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১,২৮৬.

2^{p - 4} = 4a^{p - 6} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, p³ এর মান কত?

ক
125
খ
216
গ
343
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{p - 4} = 4a^{p - 6} এবং a > 0, a ≠ 2 হলে, p³ এর মান কত?

সমাধান:
2^{p - 4} = 4a^{p - 6}
⇒ 2p - 4 = 2² ⋅ a^{p - 6}
⇒ 2^{p - 4}/2² = a^{p - 6}
⇒ 2^{p - 4 - 2} = a^{p - 6}
⇒ 2^{p - 6} = a^{p - 6}
⇒ 2^{p - 6/}a^{p - 6}= 1
⇒ (2/a)^{p - 6} = (2/a)⁰ [∵ (2/a)⁰ = 1]
⇒ p - 6 = 0
⇒ p = 6

∴ p³= 6³= 216

১,২৮৭.

5^{2x - 1}= 625 হলে, x এর মান কত?

ক
3/2
খ
5/2
গ
2/5
ঘ
3/5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5^{2x - 1}= 625 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
5^{2x - 1}= 625
⇒ 5^{2x - 1}= 5⁴
⇒ 2x - 1 = 4
⇒ 2x = 4 + 1
⇒ 2x = 5
⇒ x = 5/2

১,২৮৮.

y এর মান কত হলে 3^{8y - 5} = 243^{y - 2}হবে?

ক
1/2
খ
- 5/3
গ
5/3
ঘ
1

ব্যাখ্যা

3^{8y - 5} = 243^{y - 2}

or, 3^{8y - 5}= (3⁵)^{y - 2}
or, 3^{8y - 5} = 3^{5y - 10}
or, 8y - 5 = 5y - 10
3y = - 5
y = - 5/3

১,২৮৯.

log₂log_√xx² = কত?

ক
3
খ
- 2
গ
1
ঘ
2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₂log_√xx² = কত?

সমাধান:
log₂log_√xx²
= log₂log_√x(√x)⁴
= log₂4
= log₂2²
= 2

১,২৯০.

(log₁₀x) - (log₁₀4) = 1 হলে x এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 4
গ
গ) 40
ঘ
ঘ) 0.4

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
log₁₀x - log₁₀4 = 1
log₁₀(x/4) = 1
x/4 = 10¹
x/4 = 10
x = 40

১,২৯১.

যদি 2^{2x - 6} = 1/8^{x - 3} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 5

ব্যাখ্যা

2^{2x - 6} = 1/8^{x - 3}
2^{2x - 6} = 1/(2³)^{x - 3}2^{2x - 6} = 1/2^{3(x - 3)}
2^{2x - 6} = 2^{-3(x - 3)}
2x - 6 = -3(x - 3)
2x - 6 =- 3x + 9
2x + 3x = 9 + 6
5x = 15
x= 15/5
x = 3

১,২৯২.

8² × 8⁰ = কত?

ক
0
খ
- 8
গ
16
ঘ
64

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8² × 8⁰ = কত?

সমাধান:
8² × 8⁰
= 64 × 8⁰
= 64 × 1
= 64

১,২৯৩.

যদি a^x = b এবং b^y = a হয়, তাহলে xy এর মান নির্ণয় করুন।

ক
x
খ
y
গ
1
ঘ
0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a^x = b এবং b^y = a হয়, তাহলে xy এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a^x = b ........ (1)

b^y = a
⇒ (a^x)^y = a [ (1) নং এর সাহায্যে]
⇒ a^xy = a
∴ xy = 1

১,২৯৪.

2^{t + 7} = 4^{t + 2} এর মান কত?

ক
3
খ
1/3
গ
2
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2^{t + 7} = 4^{t + 2} এর মান কত?

সমাধান:
2^{t + 7} = 4^{t + 2}
⇒ 2^{t + 7} = 2^2(t+2)
⇒ 2^{t + 7} =2^{2t + 4}
⇒ t + 7 = 2t + 4
⇒ 2t - t = 7 - 4
⇒ t = 3

১,২৯৫.

যদি 3^{(x + 1)} = 9^{(x + 1)} হয়, তবে x এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
- 1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 1} = 9^{x + 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3^{x + 1} = 9^{x + 1}
⇒ 3^{x + 1} = (3²)^{x + 1}
⇒ 3^{x + 1} = (3)^{2x + 2}
⇒ x + 1 = 2x + 2
⇒ 2x - x = 1 - 2
∴ x = - 1

১,২৯৬.

হলে a = কত?

ক
ক) 18
খ
খ) 27
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 81

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: হলে a = কত?

সমাধান:
log_a√3 = 1/6
⇒ ‍a^1/6= √3
⇒ a^{(1/3. 1/2)} = 3^1/2
⇒ a^1/3 = 3
⇒ a = 3³
∴ a = 27

১,২৯৭.

1/81 এর 3√3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

ক
- 4
খ
- 1/2
গ
- 4/3
ঘ
- 8/3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/81 এর 3√3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
ধরি,
log_3√3(1/81) = x
⇒ (3√3)^x = 1/81
⇒ (3¹.3^1/2)^x = 1/3⁴
⇒ (3^3/2)^x = 3^{- 4}
⇒ 3x/2 = - 4
⇒ 3x = - 8
∴ x = - 8/3

১,২৯৮.

7^{2x - 6}= 2^{2x - 6}হলে x/3 এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 2
গ
গ) 1
ঘ
ঘ) 0

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7^{2x - 6}= 2^{2x - 6}হলে x/3 এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
7^{2x - 6}= 2^{2x - 6}
7^{2x - 6}/2^{2x - 6}= 1
(7/2)^{2x - 6} = 1
(7/2)^{2x - 6}= (7/2)⁰
2x - 6 = 0
2x = 6
x = 3
x/3 = 3/3 = 1

১,২৯৯.

log₆(1/36) = কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) - 3
গ
গ) - 2
ঘ
ঘ) - 4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₆(1/36) = কত?

সমাধান:
log₆(1/36)
= log₆(1/6²)
= log₆6^{- 2}
= - 2 log₆6
= - 2 × 1
= - 2

১,৩০০.

400 এর 4; ভিত্তি কত?

ক
ক) 2√7
খ
খ) 2√5
গ
গ) 3√8
ঘ
ঘ) 2

ব্যাখ্যা

log_a400=4
⇒a⁴=20²
⇒a⁴=(4×5)²
⇒a⁴=2⁴×(√5)⁴
⇒a=2√5