সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম
= log₂64
= log₂2⁶
= 6log₂2
= 6 × 1
= 6

প্রশ্ন: 4log₁₀2 + log₁₀5 =?

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি, 4log₁₀2 + log₁₀5
= log₁₀2⁴ + log₁₀5                [∵ log_aM^r = rlog_aM ]
= log₁₀16 + log₁₀5
= log₁₀(16 × 5)                      [∵ log_a(MN) = log_aM + log_aN]
= log₁₀80

দেওয়া আছে, x^1/6 = √2
বা, x^1/6 = 2^1/2
বা, x^{1/6 × 6} = 2^{1/2 × 6}
বা, x = 2³
বা, x = 8

log_(3√2)324 = x
বা, x = log_(3√2)(3√2)⁴ = 4 log_(3√2)3√2
= 4.1
= 4

প্রশ্ন: যদি 2401 × (7 ^{- 2x}) = 1 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, 
2401 (7^-2x) = 1 
⇒ 7^-2x = 1/2401
⇒ 7^-2x = 1/7⁴
⇒ 7^-2x = 7^-4
⇒ -2x = -4
∴ x = 2

8^2/3 + 81^1/4 = 7k
⇒ 2^6/3 + 3^4/4 = 7k
⇒ 4+3 = 7k
⇒ k = 1

প্রশ্ন:

সমাধান: 

log_x324 = 4
x⁴ = 324
x⁴ = (3√2)⁴
x = 3√2

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 2} = 81 হয়,  তাহলে 10^{x - 2} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3^{x + 2} = 81
⇒ 3^{x + 2} = 3⁴
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 4 - 2
∴ x = 2
প্রদত্ত রাশি, 
10^{x - 2}
= 10^{2 - 2}
= 10⁰
= 1

প্রশ্ন: 5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x এর মান কত?

সমাধান:
5^x + 5^x + 5^x + 5^x + 5^x
= 5^x(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^x . 5
= 5^x . 5¹
= 5^{x + 1}

প্রশ্ন: যদি x^2/3 - 1 = 15 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x^2/3 - 1 = 15
⇒ x^2/3 = 16
⇒ x = 16^3/2 [উভয় পাশে 3/2 ঘাত নিয়ে, কারণ (x^2/3)^3/2 = x ]
⇒ x = (√16​)³ 
⇒ x = (4)³
⇒ x = 64

প্রশ্ন: যদি x > 0, y > 0 এবং log(x²/y) + log(y²/x) = log(x + y) হয়, তবে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log(x²/y) + log(y²/x) = log(x + y)
⇒ log{(x²/y) × (y²/x)} = log(x + y)  [লগের যোগফলের সূত্র অনুযায়ী]
⇒ log(xy) = log(x + y) 
⇒ xy = x + y [উভয় পক্ষ থেকে log বর্জন করে]

প্রশ্ন: যদি 2^{a - 1} + 2^{a + 1} = 320 হয়, তবে a এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2^{a - 1} + 2^{a + 1} = 320
⇒ 2^{a - 1} [1 + 2^{{a + 1 - (a - 1)}}] = 320
⇒ 2^{a - 1} (1 + 2²) = 320
⇒ 2^{a - 1} × 5 = 320
⇒ 2^{a - 1} = 320/5
⇒ 2^{a - 1} = 64
⇒ 2^{a - 1} = 2⁶
⇒ a - 1 = 6
⇒ a = 6 + 1
∴ a = 7

প্রশ্ন: 8 × 16 × 32 × 64 = 2^{(x + y)} হলে, x এবং y-এর গড় কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
8 × 16 × 32 × 64 = 2^{(x + y)} 
⇒ 2³ × 2⁴ × 2⁵ × 2⁶ = 2^{(x + y)} 
⇒ 2¹⁸ = 2^{(x + y)} 
⇒ 18 = x + y

∴ x এবং y এর গড় = (x + y)/2 = 18/2 = 9

প্রশ্ন: (8x)⁰ + 8x⁰ -এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(8x)⁰ + 8x⁰
= 1 + (8 × 1) [a⁰ = 1]
= 1 + 8
= 9

প্রশ্ন: যদি 3ln(1/x) = ln8 হয়, তাহলে x = ?

সমাধান:
3ln (1/x) = ln8
⇒ ln(1/x)³ = ln8
⇒ ln(1/x)³ = ln8
⇒ (1/x)³ = 8
⇒ x^-3 = 8
⇒ (x^-3)^-1/3 = 8^-1/3
⇒ x = 1/2

প্রশ্ন: log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀ (x + 6) - log₁₀ (x + 2) = log₁₀ x 
⇒ log₁₀ {(x + 6)/(x + 2)} = log₁₀ x 
⇒ (x + 6)/(x + 2) = x
⇒ x² + 2x = x + 6
⇒ x² + 2x - x - 6 = 0
⇒ x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3) = 0
⇒ (x + 3)(x - 2) = 0
⇒ x = 2, - 3
∴ x = - 3; log₁₀(- 3) যা অসম্ভব ⇒ গ্রহণযোগ্য নয়

∴ x = 2

log₂√20 + log₂√4/5
= log₂√(4 × 5) + log₂√4/5
= log₂√4 × √5 + log₂√4/√5
= log₂√4 + log₂√5 + log₂√4 - log₂√5
= log₂2 + log₂2
= 1 + 1 = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 3log₇49 + 2log₅25 + 4log₈512 এর মান কত?

সমাধান:
3log₇49 + 2log₅25 + 4log₈512
= 3log₇(7²) + 2log₅(5²) + 4log₈(8³)
= 3 × 2log₇7 + 2 × 2log₅5 + 4 × 3log₈8
= (3 × 2 × 1) + (2 × 2 × 1) + (4 × 3 × 1) [ ∵ log _aa = 1]
= 6 + 4 + 12
= 22

প্রশ্ন:  = ?

সমাধান:

প্রশ্ন: log₁₀​(0.001) এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান:
log₁₀​(0.001)
= log₁₀(1/1000)
= log₁₀10^{- 3}
= - 3 log₁₀10
= - 3 × 1  ; [log₁₀10 = 1]

∴ log₁₀​(0.001) এর মান - 3

প্রশ্ন: (4.2^{n - 2}) ÷ 2^{n + 1} = কত?

সমাধান: 
4.2^{n - 2} ÷ 2^{n + 1}
= (2² . 2^{n - 2}) / 2^{n + 1}
= 2^{2 + n - 2} / 2^{n + 1}
= 2ⁿ / 2^{n + 1}
= 2^{n - n - 1}
= 2^-1
= 1/2

প্রশ্ন: log₂ log₃ (log₃27³) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₂ log₃ (log₃27³)
= log₂ log₃(3log₃3³)
= log₂ log₃(9log₃3)
= log₂ log₃9 ; [log_aa = 1]
= log₂ (log₃3²)
= log₂ (2log₃3)
= log₂2
= 1