সূচক ও লগারিদম

প্রশ্ন: 3^y + 3^{2 - y} = 10 হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
3^y + 3^{2 - y} = 10
⇒ 3^y + 3²/3^y = 10
⇒ q + (9/q) = 10 [ধরি, 3^y = q]
⇒ (q² + 9)/q = 10
⇒ q² - 10q + 9 = 0
⇒ q² - 9q - q +9 = 0
⇒ q(q - 9) - 1(q - 9) = 0
⇒ (q - 9)(q - 1) = 0

অর্থাৎ, q = 9 অথবা q = 1

যদি q = 9, তাহলে 3^y = 9
⇒ 3^y = 3²
⇒ y = 2

যদি q = 1, তাহলে 3^y = 1
⇒3^y =  3⁰
⇒ y = 0

অতএব, y = 0, 2

প্রশ্ন: 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₂32
= log₂(2⁵)
= 5 × log₂2
= 5 × 1
= 5

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন:


সমাধান: 

³√{³√(a^-27)}
= ³√{(a^-27)^1/3}
= ³√(a^-9)
= (a^-9)^1/3
= a^-3
= 1/a³

(a/b)^{(x - 5)} = (b/a)^{(x - 7)}
⇒ (a/b)^{(x - 5)} = (a/b)^{(7 - x)}
⇒ x - 5 = 7 - x
⇒ 2x = 12
⇒ x = 6

(2/3)^n-3 = (8/27)^n-4
বা, (2/3)^n-3 = {(2/3)³}^n-4
বা, (2/3)^n-3 = (2/3)^{3n - 12}
বা, n - 3 = 3n - 12
বা, 2n = 9
∴ n = 9/2

প্রশ্ন: 3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2} = ?

সমাধান:
3 × 2ⁿ - 4 × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2² × 2^{n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2^{2 + n - 2}
= 3 × 2ⁿ - 2ⁿ
= 2ⁿ(3 - 1)
= 2ⁿ × 2 
= 2^{n + 1}

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
⇒ (a/b)^{x - 3}  = (a/b)^{- (x - 5)}
⇒ x - 3 = - x + 5
⇒ x + x = 5 + 3
⇒ 2x = 8
∴ x = 4

x√0.09 = 3
⇒x = 3/√0.09
⇒x² = 9/0.09 [বর্গ করে]
⇒x² =100
∴x = 10

প্রশ্ন: যদি 3^2x - 3^{x + 2} = 3^{x + 1} - 27 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3^2x - 3^{x + 2} = 3^{x + 1} - 27
⇒ (3^x)² - (3^x × 3²) = (3^x × 3¹) - 27

ধরি, 3^x = p
⇒ p² - 9p = 3p - 27
⇒ p² - 12p + 27 = 0
⇒ p² - 9p - 3p + 27 = 0
⇒ p(p - 9) - 3(p - 9) = 0
⇒ (p - 9)(p - 3) = 0
হয়, 
p - 9 = 0 
⇒ p = 9 
⇒ 3^x = 3²   ;   [p এর মান বসিয়ে পাই]
∴ x = 2

অথবা, 
p - 3 = 0
⇒ p = 3 
⇒ 3^x = 3¹     ; [p এর মান বসিয়ে পাই]
∴ x = 1

সুতরাং, x এর মান (1, 2) 

দেওয়া আছে,
(100000)^(x/5) = 100
বা, (10⁵)^(x/5) = (10)²
বা, (10)^x = (10)²
বা, x = 2

প্রশ্ন: log_xy⁸ = 4a এবং log_yx⁹ = 6b হলে, ab = কত?

সমাধান:
log_xy⁸ = 4a
⇒ 8 log_xy = 4a
⇒ log_xy = 4a/8
⇒ log_xy = a/2 ......(1)

আবার, log_yx⁹ = 6b
⇒ 9 log_yx = 6b
⇒ log_yx = 6b/9
⇒ log_yx = 2b/3 .......(2)

আমরা জানি, log_xy × log_yx = 1
∴ (a/2) × (2b/3) = 1
⇒ 2ab/6 = 1
⇒ ab/3 = 1
⇒ ab = 3

(a^-2)^-1 = (1/a²)^-1
= 1/(1/a²)
= 1 × a²/1
= a²

প্রশ্ন: log_x1/256 = - 8 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
log_x1/256 = - 8
বা, x ^{- 8} = 1/256
বা, 1/x⁸ = 1/256 
বা, x⁸ = 256
বা, x⁸ = 2⁸
∴ x = 2

(2¹⁰)^2/5 = 2¹⁰ × ^2/5
= 2⁴
= 16

প্রশ্ন: 5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y এর মান কত?

সমাধান:
5^y + 5^y + 5^y + 5^y + 5^y
= 5^y(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 5^y × 5¹
= 5^{y + 1}

125(√5)^2x = 1
(√5)^2x = 1/125
(√5)^2x = 1/(√5)⁶
(√5)^2x = (√5)^-6
2x = − 6
x = -  3

প্রশ্ন: 81(√3)^4x = 1 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
81(√3)^4x = 1
⇒3⁴ × (3^1/2)^4x = 1
⇒ 3⁴ × 3^2x = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 1
⇒ 3^{4 + 2x} = 3⁰
⇒ 4 + 2x = 0
⇒ 2x = - 4
⇒ x = - 2

প্রশ্ন: মান নির্ণয় করুন:
log_3√2(1/18) = ?

সমাধান:
log_3√2(1/18)
= log_3√2{1/(3√2)²}
= log_3√2 (3√2)⁻²
= (−2)log_3√23√2
= −2

P^bc×Q^-ca
=(x^a)^bc×(x^b)^-ca
=x^abc-abc
=x⁰=1

প্রশ্ন: 
 

প্রশ্ন: যদি log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5x + 1) = log₁₀(x + 5) + log₁₀10
⇒ log₁₀[5(5x + 1)] = log₁₀[10(x + 5)]
⇒ 5(5x + 1) = 10(x + 5)
⇒ 5x + 1 = 2x + 10
⇒ 5x - 2x = 10 - 1
⇒ 3x = 9
⇒ x = 9/3
∴ x = 3

প্রশ্ন: b^x = 64 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
b^x = 64
লগারিদমের সূত্র ব্যবহার করলে:
b^x = y
⇒ x = log_b​y
⇒ x = log_b64

প্রশ্ন: যদি log_x144 = 4 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_x144 = 4
⇒ x⁴ = 144 [loga^M =n হলে, aⁿ = M]
⇒ x⁴ = 16 × 9
⇒ x⁴ = 2⁴ × 3²
⇒ x⁴ = 2⁴ × (√3)⁴
⇒ x⁴ = (2√3)⁴
∴ x = 2√3

প্রশ্ন: 3^{(2x - 1)} = 27^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(2x - 1)} = 27^{(x + 1)}
⇒ 3^{(2x - 1)} = 3^{3(x + 1)}
⇒ 3^{(2x - 1)} = 3^{(3x + 3)}
⇒ 2x - 1 = 3x + 3
⇒ 2x - 3x = 3 + 1
⇒ - x = 4
∴ x = - 4

(5.3ⁿ-27.3^n-2)/(3ⁿ-3^n-1) = (5.3ⁿ - 27.3ⁿ.3^-2)/(3ⁿ - 3ⁿ.3^-1) = 3ⁿ(5-27.1/3²)/3ⁿ(1 -1/3) = (5 - 3)/(2/3) = 2/2/3 = 3

প্রশ্ন:  এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 

x√0.04 = 2
বা, x²(0.04) = 4 [বর্গ করে]
বা, 4x² = 400 [100 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 100
∴ x = 10