বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার সমষ্টি ৯৫। বৃহত্তম সংখ্যার এক তৃতীয়াংশ ৩৫ অপেক্ষা যত কম ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটির চারগুণ ৭০ অপেক্ষা তত বেশি। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, বৃহত্তম সংখ্যা = x
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - x

প্রশ্নমতে,
৩৫ - (x/৩) = ৪(৯৫ - x) - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩৮০ - ৪x - ৭০
⇒ (১০৫ - x)/৩ = ৩১০ - ৪x
⇒ ১০৫ - x = ৩(৩১০ - ৪x)
⇒ ১০৫ - x = ৯৩০ - ১২x
⇒ ১২x - x = ৯৩০ - ১০৫
⇒ ১১x = ৮২৫
⇒ x = ৮২৫/১১
∴ x = ৭৫

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৭৫
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৯৫ - ৭৫ = ২০

সুতরাং, সংখ্যা দুইটি হলো ৭৫ এবং ২০

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাটি ৩ এবং ৭ উভয়ই দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে? 

সমাধান: 
৩ ও ৭ এর ল.সা.গু = ২১ 
২১ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাটিই ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। 

অপশন টেস্ট অনুযায়ী, 
৩৯৯/২১= ১৯
∴ ৩৯৯ সংখ্যাটি ৩ ও ৭ উভয়ের দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

অন্যদিকে,
৩০৩,৩৪১ ও ৪০৬ সংখ্যাগুলো ২১ দ্বারা বিভাজ্য বিভাজ্য নয়।

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১২, ১৮ ও ৩০ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১২, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু. থেকে ৭ কম।
সবগুলো সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
১২ = ২ × ২ × ৩
১৮ = ২ × ৩ × ৩
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ ১২, ১৮ ও ৩০ এর ল.সা.গু = ২^২ × ৩^২ × ৫ = ১৮০ 

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = (১৮০ - ৭) = ১৭৩

প্রশ্ন: ৯০০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:

৯০০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^২ × ৩^২ × ৫^২

এখানে,
২ এর সূচক = ২
৩ এর সূচক = ২
৫ এর সূচক = ২

কোনো সংখ্যার মোট ভাজকের সংখ্যা বের করার সূত্র হলো, তার মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাতের সাথে ১ যোগ করে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলো গুণ করা।

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (২ + ১) × (২ + ১)
= ৩ × ৩ × ৩
= ২৭

∴ ৯০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা হলো ২৭।

প্রশ্ন: প্রথম ১০টি ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম সংখ্যা = ১
শেষ সংখ্যা = ১০
পদ সংখ্যা = ১০

সমষ্টি = {(১ম পদ + শেষ পদ) × পদ সংখ্যা}/২
= {(১ + ১০) × ১০}/২
= (১১ × ১০)/২
= ৫৫

∴ প্রথম ১০টি সংখ্যার গড় = ৫৫ ÷ ১০
= ৫.৫

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ । 

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ১৮০ ও ২৫২ কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ১২  ভাগশেষ থাকবে?

সমাধান: 
বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে (১৮০ - ১২) = ১৬৮ এবং (২৫২ - ১২) = ২৪০ এর গ.সা.গু এর সমান।

∴ ১৬৮ এবং ২৪০ এর গ.সা.গু হলো = ২৪

∴  নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
অমূলদ সংখ্যা (Irrational Number): যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও ৭ পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা।
যেমন √২ = ১.৪১৪২১৩....., √৩ = ১.৭৩২....... ইত্যাদি। 

এখন, অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ১৬/২৫ = ০.৬৪
এটি একটি ভগ্নাংশ, এবং এটি মূলদ সংখ্যা। 

খ) √১২১ = ১১ ; এটি মূলদ সংখ্যা।

গ) ৩√৪/২
= (৩ × ২)/২
= ৩  ; এটি মূলদ সংখ্যা
অর্থাৎ, এখানে কোন অমূলদ সংখ্যা নাই। 

সুতরাং, সঠিক উত্তর কোনটিই নয়। 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
√x + ১০ = ১৬ 
বা, √x = ১৬ - ১০ 
বা, √x = ৬ 
বা, (√x)^২ = (৬)^২ 
∴ x = ৩৬ 

∴ সংখ্যাটি = ৩৬ । 

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদাই নিচের কোন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

কারণ হলো:
2 দ্বারা বিভাজ্যতা: পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি জোড় সংখ্যা থাকে, যা 2 দ্বারা বিভাজ্য।  
3 দ্বারা বিভাজ্যতা: পরপর তিনটি স্বাভাবিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য।  
6 দ্বারা বিভাজ্যতা: যেহেতু গুণফলটি 2 এবং 3 উভয় দ্বারাই বিভাজ্য, তাই এটি 2 × 3 = 6 দ্বারাও বিভাজ্য হবে।  
 
যেমন:
1 × 2 × 3 = 6 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)
2 × 3 × 4 = 24 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)
3 × 4 × 5 = 60 (যা 6 দ্বারা বিভাজ্য)

সুতরাং, তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল সর্বদা 6 দ্বারা বিভাজ্য হয়। 

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ? 

সমাধান: 
ক) ২/৯ = ০.২২২ (বৃহত্তম)
খ) ৭/৩৬ = ০.১৯৪ (বৃহত্তম) 
গ) ৫/২৭ = ০.১৮৫ (ক্ষুদ্রতম) 
ঘ) ১১/৪৫ = ০.২৪৪ (বৃহত্তম) 

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫/২৭ । 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
• কোনো সংখ্যা ৬ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে তা অবশ্যই ২ এবং ৩ উভয় সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

ক) ২৫৪৬১২: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ২ + ৫ + ৪ + ৬ + ১ + ২ = ২০, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ৩৪৭৮১০: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৩ + ৪ + ৭ + ৮ + ১ + ০ = ২৩, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

গ) ৪২১৫৩০: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৪ + ২ + ১ + ৫ + ৩ + ০ = ১৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য (১৫ ÷ ৩ = ৫)। যেহেতু সংখ্যাটি ২ এবং ৩ উভয় দ্বারা বিভাজ্য, তাই এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।

ঘ) ৫৬২৭১৪: জোড় সংখ্যা, তাই ২ দ্বারা বিভাজ্য। অঙ্কগুলোর যোগফল = ৫ + ৬ + ২ + ৭ + ১ + ৪ = ২৫, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়। সুতরাং এটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

∴ সঠিক উত্তর: গ) ৪২১৫৩০

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্বক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x
গুণাত্বক বিপরীত সংখ্যা = 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 1

প্রশ্ন: কোনো শ্রেণীতে শিক্ষক ও ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১২ বছর। ২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় ১০ বছর হলে, শিক্ষকের বয়স কত? 

সমাধান: 
শিক্ষক + ২০ জন ছাত্র = ২১ জন 
২১ জনের বয়সের গড় = ১২ বছর
∴ ২১ জনের মোট বয়স = (২১ × ১২) বছর
= ২৫২ বছর

আবার, 
২০ জন ছাত্রের বয়সের গড় = ১০ বছর
∴ ২০ জন ছাত্রের মোট বয়স = (২০ × ১০) বছর
= ২০০ বছর

∴ শিক্ষকের বয়স = (২৫২ - ২০০) বছর
= ৫২ বছর।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল ৭২০। সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু ২৪০ হলে, গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ৭২০
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = ২৪০

আমরা জানি, 
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৭২০ = ২৪০ × গ.সা.গু
⇒ গ.সা.গু = ৭২০/২৪০
∴ গ.সা.গু = ৩

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১২৩ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x, x + ১ ও x + ২
∴ তাদের যোগফল = x + (x + ১) + (x + ২) 
= ৩x + ৩ 

প্রশ্নমতে, 
৩x + ৩ = ১২৩ 
বা, ৩x = ১২৩ - ৩ 
বা, ৩x = ১২০ 
বা, x = ১২০/৩ 
∴ x = ৪০ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৪০ । 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: ১০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান: 
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ 
= ২^২ × ৩^৩
এখানে,
২ এর সূচক ২ এবং ৩ এর সূচক ৩

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) (৩ + ১)
= ৩ × ৪ = ১২

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ১২ 

প্রশ্ন: কোনো বাসস্ট্যান্ড থেকে ৪টি বাস একত্রে যাত্রা শুরু করার একটি নির্দিষ্ট সময় পর যথাক্রমে ৭ কি.মি., ১৪ কি.মি., ২১ কি.মি. ও ৩৫ কি.মি. পথ অতিক্রম করে। কমপক্ষে কত দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে?

সমাধান:
৭, ১৪, ২১ ও ৩৫ এর ল.সা.গু.র সমান দূরত্ব অতিক্রম করার পর বাস চারটি একত্রে মিলিত হবে।

এখন,
৭  = ১ × ৭ 
১৪ = ২ × ৭
২১ =  ৭ × ৩
৩৫ = ৫ × ৭

৭, ১৪, ২১ ও ৩৫ এর ল.সা.গু. = ৩ × ৫ × ৭ × ২  = ২১০ 

অর্থাৎ বাস চারটি পুনরায় একত্রে মিলিত হবে = ২১০ কি.মি. দূরত্ব অতিক্রম করার পর।

প্রশ্ন: √(- 2) × √(- 18) এর মান কত?

সমাধান:
√(- 2) × √(- 18)
= √(- 1 × 2) × √(- 1 × 18)
= (√(- 1) × √2) × (√(- 1) × √18)
= i√2 × i√18   ; [যেহেতু √(- 1) = i]
= i² × √(2 × 18)
= (- 1) × √36    ; [যেহেতু i² = - 1]
= (- 1) × 6
= - 6

প্রশ্ন: রাকিব ইংরেজি ও গণিতে মোট ১৭৬ নম্বর পেয়েছে। সে ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে ১০ নম্বর বেশি পেয়েছে। সে গণিতে কত পেয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
ইংরেজিতে পেয়েছে ক নম্বর।
তাহলে গণিতে পেয়েছে = ক + ১০ নম্বর।

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১০) = ১৭৬
⇒ ২ক  + ১০  = ১৭৬ 
⇒ ২ক = ১৬৬
∴ ক = ৮৩ 

∴ গণিতে নম্বর = ৮৩  + ১০ = ৯৩ 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার দ্বিগুণের সঙ্গে ৭ যোগ করলে ফলাফল সংখ্যাটির তিনগুণের সমান হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ২ক + ৭ = ক × ৩
বা, ২ক + ৭ = ৩ক
বা, ৩ক - ২ক = ৭
∴  ক = ৭

∴ সংখ্যাটি = ৭ ।

প্রশ্ন: ৮৪০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
প্রথমে সংখ্যাটির মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করতে হবে।
৮৪০  = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭ 
= ২^৩ × ৩^১ × ৫^১ × ৭^১

আমরা জানি, 
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴ ৮৪০ -এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)× (১ + ১)
= ৪ × ২ × ২ × ২
= ৩২ 

সুতরাং, ৮৪০ সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা = ৩২

প্রশ্ন: ১৩৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৩৫০ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই, 
১৩৫০ = ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫ × ৫
 = ২ × ৩^৩  × ৫^২ 
জোড়া গঠন করে পাই = ২ × (৩ × ৩) × ৩ × (৫ × ৫)

এখানে, জোড়া বিহীন সংখ্যা = ২ × ৩ = ৬ 
সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৩৫০ কে ৬ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৬ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু-এর গুণফল 240। সংখ্যা দুটির পার্থক্য 8 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি x এবং y

প্রশ্নমতে,
xy = 240 (ল.সা.গু * গ.সা.গু = সংখ্যা দুটির গুণফল)
এবং
সংখ্যা দুটির পার্থক্য, x - y = 8 .........(1) 

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 8² + 4 × 240 = 64 + 960 = 1024
⇒ (x + y)² = 32²
∴ x + y = 32 .......... (2)

এখন,
(1) + (2)
⇒ x + y + x - y = 32 + 8
⇒ 2x = 40
∴ x = 20
(2) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
y = 32 - 20
∴  y = 12

সংখ্যা দুটি 20 ও 12

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা: 
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ, মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি। 
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা ২৫ টি। যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭। 

∴ ৪৭ একটি মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: ২২০ সংখ্যাটির ভাজকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
২২০ এর মৌলিক উৎপাদকসমূহ = ২ × ২ × ৫ × ১১
= ২^২ × ৫^১ × ১১^১ 

আমরা জানি, কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করার সূত্র হলো এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর ঘাত বা পাওয়ারের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণফল নির্ণয় করা।
এখানে ঘাতসমূহ হলো ২, ১ এবং ১।

∴ ভাজক সংখ্যা = (২ + ১) × (১ + ১) × (১ + ১)
= ৩ × ২ × ২
= ১২ টি

প্রশ্ন: ২০/২১ এর মধ্যে ২০/৬৩ কতবার আছে?

সমাধান:
(২০/২১) ÷ (২০/৬৩)
= (২০/২১) × (৬৩/২০)
= ৬৩/২১
= ৩

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৩/২, ৩/৪, ১.৩ ইত্যাদি

অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৩, π ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ২/৭ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √১৪৪ = ১২ এটি একটি পূর্ণসংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) ৭/৩ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √৫; ৫ একটি মৌলিক সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ নয়। √৫ = ২.২৩৬০৬৭৯৭৭........... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, √৫ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: m ও n উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড়?

সমাধান:
ধরি, m = 1 এবং n = 3, দুটোই বিজোড় সংখ্যা।
এখন,
ক) mn = 1 × 3 = 3  ⇒ বিজোড়
খ) mn + 2 = (1 × 3) + 2 = 5  ⇒ বিজোড়
গ) mn + 4 = (1 × 3) + 4 = 7  ⇒ বিজোড়
অতএব 
সঠিক উত্তর: ঘ)সবকটি

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ২/৫ অংশ লাল, ১/৪ অংশ কাল ও ১/৩ সবুজ কাগজে আবৃত এবং অবশিষ্ট অংশ ৩ মিটার হলে, বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত ? 

সমাধান: 
মনে করি সম্পূর্ণ বাঁশটি ১ অংশ 

এখন, 
লাল, কাল ও সবুজ কাগজে আবৃত আছে = (২/৫ ) + (১/৪) + (১/৩) অংশ
= (২৪ + ১৫ + ২০)/৬০ 
= ৫৯/৬০ অংশ

∴ অবশিষ্ট রইল  = ১ - (৫৯/৬০) = ১/৬০ অংশ

প্রশ্নমতে,
১/৬০ অংশ = ৩ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৩ × ৬০ = ১৮০ মিটার

অতএব, বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ১৮০ মিটার।

প্রশ্ন: ৫টি সংখ্যার সমষ্টি ১০০ যার প্রথম ৩টি সংখ্যার গড় ২০ এবং শেষ তিনটি সংখ্যার গড় ১৫ হলে, তৃতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাগুলো যথাক্রমে a, b, c, d, e
∴ a + b + c + d + e = ১০০

a + b + c = (২০ × ৩) = ৬০ 
​এবং, c + d + e = (১৫ × ৩) = ৪৫

∴ (a + b + c) + (c + d + e) - (a + b + c + d + e) = ৬০ + ৪৫ - ১০০
∴ c = ৫  

​অর্থাৎ তৃতীয় সংখ্যাটি = ৫

প্রশ্ন: n একটি বিজোড় সংখ্যা হলে, নিচের কোনটি অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
মনে করি, n = 3 (একটি বিজোড় সংখ্যা)

অপশন ক) 2n + 1 = (2 × 3) + 1 = 6 + 1 = 7 ⇒ বিজোড়
অপশন খ) n² = 3² = 9 ⇒ বিজোড়
অপশন গ) 3n + 1 = (3 × 3) + 1 = 9 + 1 = 10 ⇒ জোড়
অপশন ঘ) 3n = 3 × 3 = 9 ⇒ বিজোড়

সঠিক উত্তর: (গ) 3n + 1

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৫' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
এককের স্থানে ৫ আছে: ৫, ১৫, ২৫, ৩৫, ৪৫, ৫৫, ৬৫, ৭৫, ৮৫, ৯৫ (১০টি)
দশকের স্থানে ৫ আছে: ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৫৯ (১০টি)

৫৫ সংখ্যাটিতে ৫ অংকটি দুইবার (একক ও দশক উভয় স্থানে) আছে। উপরের তালিকা দুটিতে ৫৫ সংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এর দুটি ৫-কেই গণনা করা হয়েছে।

∴ মোট ৫ আসার সংখ্যা = ১০ + ১০ = ২০ বার

প্রশ্ন: কোনো ভাগ অঙ্কের ভাজক ৭৮, ভাগফল ২৫ এবং ভাগশেষ ০ হলে ভাজ্য কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ভাজক = ৭৮  
ভাগফল = ২৫  
ভাগশেষ = ০  

আমরা জানি, 
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
ভাজ্য = ৭৮ × ২৫ + ০  
= ৭৮ × ২৫
= ১৯৫০

প্রশ্ন: কোনো একটি শ্রেণিতে ১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ বছর। ৫ শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় হলো ১৩ বছর। নতুন ৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি কত বছর?

সমাধান:
১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ বছর
∴ ১৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (১৪ × ১৫) বছর = ২১০ বছর

২০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৩ বছর
∴ ২০ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (১৩ × ২০) বছর = ২৬০ বছর

∴ ৫ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = (২৬০ - ২১০) বছর
= ৫০ বছর

প্রশ্ন: ১৫৬ এর সাথে কত যোগ করলে সংখ্যাটি ৬, ৮ এবং ১০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
সংখ্যাটি এমন হবে যাতে ১৫৬ এর সাথে যোগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যা ৬, ৮ এবং ১০ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
অর্থাৎ ৬, ৮ এবং ১০ এর ল.সা.গু বের করে ১৫৬ এর সাথে তার নিকটবর্তী গুণিতকের পার্থক্য নির্ণয় করতে হবে।
এখন, ৬, ৮ এবং ১০ এর ল.সা.গু = ১২০
১৫৬ কে ১২০ দ্বারা ভাগ করলে,
১২০ × ১ = ১২০ 

অবশিষ্ট = ১৫৬ - ১২০ = ৩৬
যেহেতু ১২০ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য করতে হবে,
তাই যোগ করতে হবে = ১২০ - ৩৬ = ৮৪

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ৮৪

প্রশ্ন: পরীক্ষায় সাকিবের প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে ৭০, ৮৫ ও ৭৫। চতুর্থ পরীক্ষায় তাকে কত নম্বর পেতে হবে যেন তার গড় প্রাপ্ত নম্বর ৮০ হয়? 

সমাধান: 
ধরি,
চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ক

প্রশ্নমতে,
(৭০ + ৮৫ + ৭৫ + ক)/৪ = ৮০
বা, ২৩০ + ক = ৩২০
বা, ক = ৩২০ - ২৩০
∴ ক = ৯০

∴ চতুর্থ পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ৯০।

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১৪ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।
∴ কাদায় আছে = ক এর ১/৫ = ক/৫ মিটার
∴ পানিতে আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার

কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (ক/৫ + ক/৩) মিটার
= (৩ক/১৫ + ৫ক/১৫) মিটার
= ৮ক/১৫ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (৮ক/১৫) মিটার
= (১৫ক - ৮ক)/১৫ মিটার
= ৭ক/১৫ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ = ১৪ মিটার
∴ ৭ক/১৫ = ১৪
⇒ ৭ক = ১৪ × ১৫
⇒ ক = (১৪ × ১৫)/৭
⇒ ক = ২ × ১৫
⇒ ক = ৩০

∴ বাঁশটির মোট দৈর্ঘ্য = ৩০ মিটার।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল ২১০ হলে, সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, ধারাবাহিক সংখ্যাগুলো হলো পর্যায়ক্রমিক।

২১০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো বের করি:
২১০ = ২ × ৩ × ৫ × ৭

এখন, এই উৎপাদকগুলো থেকে তিনটি ধারাবাহিক সংখ্যা তৈরি করি:
৫ × (২ × ৩) × ৭ = ২১০
⇒ ৫ × ৬ × ৭ = ২১০

এখানে সংখ্যা তিনটি হলো ৫, ৬ এবং ৭।

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৫ + ৬ + ৭
∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১৮

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
যে সংখ্যাকে ১ ও সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে। যেমন: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭ ইত্যাদি। সবচেয়ে ক্ষুদ্র মৌলিক সংখ্যা হলো ২ ।

এখানে,
৯১ ÷ ৭ = ১৩ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।
৮১ ÷ ৩ = ২৭ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।
৮৯ ÷ ১ = ৮৯ ; মৌলিক সংখ্যা।
৭৭ ÷ ১১ = ৭ ; মৌলিক সংখ্যা নয়।

৮৯ কে ১ এবং ৮৯ ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা ছাড়া ভাগ করা যায় না, তাই ৮৯ একটি মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলো হলো –
২/৭ , ৩/৬ , ৫/২১ , ১/৩

হরগুলোর ল.সা.গু = ৪২

এখন সব ভগ্নাংশকে ৪২ সমহরে রূপান্তর করি—

২/৭ = (২×৬)/(৭×৬) = ১২/৪২
৩/৬ = (৩×৭)/(৬×৭) = ২১/৪২
৫/২১ = (৫×২)/(২১×২) = ১০/৪২
১/৩ = (১×১৪)/(৩×১৪) = ১৪/৪২

এখন ভগ্নাংশগুলো হলো—
১২/৪২ , ২১/৪২ , ১০/৪২ , ১৪/৪২

এখানে লবগুলোর মধ্যে ১০ সবচেয়ে ছোট।

অতএব ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ = ১০/৪২ = ৫/২১

প্রশ্ন: 100 এর সকল গুণনীয়কের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথমে, 100 এর গুণনীয়ক বের করব।
গুণনীয়ক হলো সেই সংখ্যাগুলো যারা 100 কে নিঃশেষে ভাগ করে। 
100 এর গুণনীয়কগুলো হলো-
1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

∴ সমষ্টি = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 25 + 50 + 100 = 217

প্রশ্ন: ৫০ সংখ্যাটির চেয়ে ছোট মৌলিক সংখ্যা কতটি আছে? 

সমাধান: 
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে। 
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি। 

আমরা জানি, 
১ থেকে ৫০ পর্যন্ত ১৫ টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। 
যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩ এবং ৪৭।