বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

PrepBank · পাতা ৬ / ২১ · ৫০১–৬০০ / ২,০৫২

৫০১.

একটি ভগ্নাংশের হর ও লবের অনুপাত ৫ : ২। লব থেকে ৮ বাদ দিলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ১/৫। ভগ্নাংশটির হর কত?

ক
১৫
খ
২৫
গ
৩০
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের হর ও লবের অনুপাত ৫ : ২। লব থেকে ৮ বাদ দিলে যে ভগ্নাংশটি পাওয়া যায় সেটি মূল ভগ্নাংশের ১/৫। ভগ্নাংশটির হর কত?

সমাধান:
ধরি,
ভগ্নাংশের হর = ৫ক
ভগ্নাংশের লব = ২ক
∴ ভগ্নাংশটি = ২ক/৫ক

প্রশ্নমতে,
(২ক - ৮)/৫ক = (২ক/৫ক) × (১/৫)
⇒ (২ক - ৮)/৫ক = (২ক/২৫ক)
= ২ক - ৮ = (২/২৫) × ৫ক
⇒ ৫ × (২ক - ৮) = ২ক/৫
⇒ ৫ × (২ক - ৮) = ২ক
⇒ ১০ক - ৪০ = ২ক
⇒ ১০ক - ২ক = ৪০
⇒ ৮ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/৮
⇒ ক = ৫

∴ ভগ্নাংশটির হর = ৫ × ৫ = ২৫

৫০২.

নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক?

ক
১০৫
খ
৫৩
গ
২১
ঘ
১২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
১ এর চেয়ে বড় যে সকল সংখ্যাকে শুধু ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না, তাদেরকে মৌলিক সংখ্যা বলে।
অর্থাৎ মৌলিক সংখ্যার উৎপাদক হবে দুইটি: ১ এবং শুধুমাত্র সেই সংখ্যাটি।

৫৩ সংখ্যাটি মৌলিক সংখ্যা।

৫০৩.

৩২৬৯ থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে ?

ক
৬৯
খ
৪৯
গ
২০
ঘ
৯৫
ঙ
১৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩২৬৯ থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রদত্ত সংখ্যা = ৩২৬৯
৩২৬৯ এর বর্গমূল ৪ দশিমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করে পাই = ৫৭.১৭৫২

অর্থাৎ, ৩২৬৯ দুইটি পূর্ণ বর্গসংখ্যার মধ্যে রয়েছে:
১. ( ৫৭ × ৫৭ ) = ৩২৪৯
২. ( ৫৮ × ৫৮ ) = ৩৩৬৪
৩২৬৯ থেকে একটি ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল অবশ্যই ৩২৪৯ এর সমান হতে হবে যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

ধরি,
৩২৬৯ থেকে ”ক” বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে।

প্রশ্নমতে,
৩২৬৯ - ক = ৩২৪৯
⇒ ৩২৬৯ - ৩২৪৯ = ক
⇒ ২০ = ক

∴ ৩২৬৯ থেকে ২০ বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে।

৫০৪.

দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 31 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

ক
14, 17
খ
15, 16
গ
20, 21
ঘ
19, 20

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর 31 হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
একটি সংখ্যা x
অপর সংখ্যাটি x + 1

প্রশ্নমতে,
(x + 1)² - x² = 31
⇒ (x + 1 + x)(x + 1 - x) = 31
⇒ 2x + 1 = 31
⇒ 2x = 30
⇒ x = 15

∴ একটি সংখ্যা= 15 এবং অপর সংখ্যাটি = x + 1 = 15 + 1 = 16

শর্টকাট:
বড় সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য + 1)/2
ছোট সংখ্যাটি = (সংখ্যাদ্বয়ের বর্গের পার্থক্য - 1)/2

∴ বড় সংখ্যাটি = (31 + 1)/2 = 16 এবং ছোট সংখ্যাটি = (31 - 1)/2 = 15

৫০৫.

যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

ক
3n + 2
খ
n + 1
গ
2n + 1
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয়, তবে নিচের কোনটি অবশ্যই বিজোড় সংখ্যা হবে?

সমাধান:
যেহেতু n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা, সুতরাং 2n অবশ্যই জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা হবে।

∴ 2n + 1 হবে বিজোড় পূর্ণসংখ্যা।

উদাহরণ:
2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7
2 × 4 + 1 = 8 + 1 = 9

৫০৬.

৩৩ থেকে ৮৫ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার ব্যবধান কত?

ক
৪৬
খ
৩৫
গ
৪৮
ঘ
৫৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৩ থেকে ৮৫ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩৩ থেকে ৮৫ এর মধ্যবর্তী,
বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৩৭
ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৮৩

∴ পার্থক্য = ৮৩ - ৩৭ = ৪৬

৫০৭.

তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৩ : ২ এবং ল.সা.গু ৯৬ হলে তাদের গ.সা.গু কত?

ক
১৫
খ
৮
গ
৪
ঘ
১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৩ : ২ এবং ল.সা.গু ৯৬ হলে তাদের গ.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ল.সা.গু = ৯৬

ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৮ক, ৩ক এবং ২ক

এখন,
৮ক, ৩ক এবং ২ক এর গ.সা.গু = ক
৮ক, ৩ক এবং ২ক এর ল.সা.গু = ২৪ক

প্রশ্নমতে,
⇒ ২৪ক = ৯৬
⇒ ক = ৯৬/২৪
∴ ক = ৪

∴নির্ণেয় গ.সা.গু = ৪

৫০৮.

৪ × ৫ × ১ × ০ × ৬ = ?

ক
১২০
খ
০
গ
১০০
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪ × ৫ × ১ × ০ × ৬ = ?

সমাধান:
৪ × ৫ × ১ × ০ × ৬ = ০

৫০৯.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ২/৩ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
২০
খ
৩০
গ
১০
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু ৬০ এবং গ.সা.গু ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ২/৩ অংশ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২= ১০০
∴ ক = ১০

অতএব,
ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১০ = ২০

৫১০.

১.১, .০১, ও .০০১১-এর সমষ্টি কত?

ক
০.০১১১১
খ
১.১১১১
গ
১১.১১০১
ঘ
১.১০১১১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১.১, .০১, ও .০০১১-এর সমষ্টি কত?

সমাধান:
১.১ + ০.০১ + ০.০০১১
= ১.১১১১

৫১১.

ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়?

ক
৩/১০
খ
৭/২০
গ
২/৫
ঘ
৪/১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি সবচেয়ে বড়?

সমাধান:
এখানে,
২/৫ = ০.৪
৩/১০ = ০.৩
৪/১৫ = ০.২৬৭
৭/২০ = ০.৩৫

∴ ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ২/৫ ভগ্নাংশটি সবচেয়ে বড়।

৫১২.

কোন সংখ্যার ৬০% এর সাথে ৩৬ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটির সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

ক
৬০
খ
৭৫
গ
৮০
ঘ
৯০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ৬০% এর সাথে ৩৬ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটির সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৬০% + ৩৬ = ক
⇒ ক × (৬০/১০০) + ৩৬ = ক
⇒ (৩ক/৫) + ৩৬ = ক
⇒ ৩৬ = ক - (৩ক/৫)
⇒ ৩৬ = (৫ক - ৩ক)/৫
⇒ ৩৬ = ২ক/৫
⇒ ২ক = ৩৬ × ৫
⇒ ক = ১৮০/২
∴ ক = ৯০

৫১৩.

নিচের কোনটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ?

ক
১৯/২৫
খ
১৭/৯
গ
৫/১৩
ঘ
১১/২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অপ্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
• প্রকৃত ভগ্নাংশ:
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর বড় তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎ প্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব < হর।
সুতরাং প্রকৃত ভগ্নাংশ < ১।

• অপ্রকৃত ভগ্নাংশ:
যে ভগ্নাংশের লব অপেক্ষা হর ছোট তাকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
অর্থাৎঅপ্রকৃত ভগ্নাংশের ক্ষেত্রে, লব > হর।
সুতরাং অপ্রকৃত ভগ্নাংশ > ১।

১৭/৯ = অপ্রকৃত ভগ্নাংশ
১৯/২৫ = প্রকৃত ভগ্নাংশ
৫/১৩ = প্রকৃত ভগ্নাংশ
১১/২০ = প্রকৃত ভগ্নাংশ

৫১৪.

যদি একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের এক-তৃতীয়াংশ ৪৮ হয়, তবে ঐ সংখ্যাটির দুই-অষ্টমাংশ কত হবে?

ক
২২২
খ
১৪৪
গ
১২৪
ঘ
৫৭৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি একটি সংখ্যার এক-চতুর্থাংশের এক-তৃতীয়াংশ ৪৮ হয়, তবে ঐ সংখ্যাটির দুই-অষ্টমাংশ কত হবে?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(১/৪) × (১/৩) × ক = ৪৮
বা, ক/১২ = ৪৮
বা, ক = ৫৭৬

∴ ৫৭৬ এর দুই-অষ্টমাংশ = ৫৭৬ × (২/৮)
= ১৪৪

৫১৫.

দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৩। বড় সংখ্যাটি কত?

ক
১৬
খ
১৭
গ
১৫
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৩৩
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৩৩
বা, ২ক + ১ = ৩৩
বা, ২ক = ৩৩ - ১
বা, ২ক = ৩২
বা, ক = ৩২/২
∴ ক = ১৬

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৬ + ১ = ১৭

৫১৬.

১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

ক
৫০
খ
৫০.৫
গ
৫১
ঘ
৪৯.৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ক্রমিক সংখ্যার গড় নির্ণয়ের সূত্র:
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/২

এখানে, প্রথম পদ = ১, শেষ পদ = ১০০

অতএব, গড় = (১ + ১০০)/২
= ১০১/২
= ৫০.৫

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় হল ৫০.৫

৫১৭.

কোন সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৫ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে?

ক
৩৬
খ
৪০
গ
১৮
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৫ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে?

সমাধান:
মনেকরি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
⇒ (ক/২) + ৫ = ২ক/৩
⇒ (২ক/৩) - (ক/২) = ৫
⇒ (৪ক - ৩ক)/৬ = ৫
∴ ক = ৩০

∴ সংখ্যাটি হলো ৩০

৫১৮.

দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৭ এবং গুণফল ৭২ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
৯
খ
৮
গ
৬
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার যোগফল ১৭ এবং গুণফল ৭২ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
a ও b দুটি সংখ্যা যেখানে a > b
a + b = ১৭
ab = ৭২

এখন, আমরা জানি
(a - b)^২ = {(a + b)^২ - ৪ × ab}
বা, (a - b) = √{(১৭)^২ - ৪ × ৭২}
বা, (a - b) = √(২৮৯ - ২৮৮)
বা, (a - b) = √১
∴ a - b = ১

এখন,
a + b = ১৭
a - b = ১
--------------------
(-) করে, ২b = ১৬
∴ b = ৮

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৮

৫১৯.

২৫ থেকে ৬৫ এর মধ্যে কয়টি মৌলক সংখ্যা আছে?

ক
৮ টি
খ
৭ টি
গ
৯ টি
ঘ
১১ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৫ থেকে ৬৫ এর মধ্যে কয়টি মৌলক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
২৫ থেকে ৬৫ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১

∴ মোট ৯টি মৌলিক সংখ্যা আছে।

৫২০.

7টি পুরস্কার 5 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে?

ক
35
খ
7⁵
গ
5⁷
ঘ
12

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7টি পুরস্কার 5 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে?

সমাধান:
বালকের সংখ্যা n = 5 জন
পুরস্কার r = 7টি

পুরস্কার বিতরণ করা যেতে পারে = n^r
= 5⁷

৫২১.

i¹²¹ এর মান কত?

ক
i
খ
- 1
গ
- i
ঘ
1

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: i¹²¹ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
i¹ = i, i² = - 1, i³ = - i, i⁴ = 1

প্রদত্ত রাশি,
i¹²¹
= i^{(4 × 30) + 1}
= i^{(4 × 30)} × i¹
= (i⁴)³⁰ × i¹
= 1 × i¹ ; [i⁴ = 1 , 1³⁰= 1]
= i

৫২২.

নিচের কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

ক
৭/১৩
খ
৩/৭
গ
৫/৯
ঘ
৩/৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৭/১৩ = ০.৫৪
৩/৭ = ০.৪৩
৫/৯ = ০.৫৬
৩/৪ = ০.৭৫

এখানে,
০.৪৩ < ০.৫৪ < ০.৫৬ < ০.৭৫
∴ ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশটি = ৩/৭

৫২৩.

দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯২ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
১৮
খ
২০
গ
২৪
ঘ
৩২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯২ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ২

প্রশ্নমতে,
(ক + ২)^২ - ক^২ = ৯২
⇒ ক^২ + ৪ক + ৪ - ক^২ = ৯২
⇒ ৪ক = ৯২ - ৪
⇒ ৪ক = ৮৮
⇒ ক = ৮৮/৪
⇒ ক = ২২

∴ ছোট সংখ্যাটি = ২২
এবং বড় সংখ্যাটি = ২২ + ২ = ২৪

৫২৪.

P-কে যদি ১৮ এবং ১৬ দিয়ে ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ যথাক্রমে ৪ এবং ১০ হয়। P -এর মান কত হতে পারে?

ক
৫৪
খ
৬২
গ
৫৮
ঘ
৬৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: P-কে যদি ১৮ এবং ১৬ দিয়ে ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ যথাক্রমে ৪ এবং ১০ হয়। P -এর মান কত হতে পারে?

সমাধান:
ধরি
উভয় ক্ষেত্রে ভাগফল = ক
এখন
P = ১৮ ক + ৪
আবার
P = ১৬ক + ১০

সুতরাং
১৮ ক + ৪ = ১৬ক + ১০
১৮ক - ১৬ক = ১০ - ৪
২ক = ৬
ক = ৩

∴ P এর মান = ১৮ × ৩ + ৪
= ৫৮

৫২৫.

৫০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুইটির অন্তর কত?

ক
১৬
খ
২৬
গ
৩২
ঘ
১৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুইটির অন্তর কত?

সমাধান:
৫০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম ও বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা হলো যথাক্রমে ৫৩ ও ৭৯
∴ সংখ্যা দুইটির অন্তর = (৭৯ - ৫৩)
= ২৬ ।

৫২৬.

যদি 'ক' এবং 'খ' দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয় এবং ৫ক + ৩খ = ১৭ হয়, তাহলে নিচের কোনটি 'খ' এর মান হতে পারে?

ক
২
খ
৩
গ
৪
ঘ
৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 'ক' এবং 'খ' দুইটি স্বাভাবিক সংখ্যা হয় এবং ৫ক + ৩খ = ১৭ হয়, তাহলে নিচের কোনটি 'খ' এর মান হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
ক = ১ এবং
খ = ৪

এখন,
৫ক + ৩খ
= (৫ × ১) + (৩ × ৪)
= ৫ + ১২
= ১৭

∴ 'খ' এর মান = ৪ ।

৫২৭.

১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ এর গড় কত?

ক
৫/২
খ
৪/৫
গ
৮/৫
ঘ
৫/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১/২, ৫/৬, ৩/৪, ৫/১২ এর গড় কত?

সমাধান:
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১/২ + ৫/৬ + ৩/৪ + ৫/১২
= (৬ + ১০ + ৯ + ৫)/১২
= ৩০/১২
= ৫/২

∴ সংখ্যাগুলোর গড় = (৫/২)/৪
= (৫/২) × (১/৪)
= ৫/৮ ।

৫২৮.

৭৫৬ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
১৪
খ
২১
গ
৩০
ঘ
৩৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭৫৬ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৭৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^৩ × ৭^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত ৩ (বিজোড়) এবং ৭ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ৩ × ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।

অর্থাৎ, ৭৫৬ × ২১ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ২১ দ্বারা গুণ করতে হবে।

৫২৯.

একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ৭। লবের সাথে ১ যোগ করলে হরের সমান হবে। ভগ্নাংশটি কত?

ক
২/৩
খ
২/৫
গ
৩/৪
ঘ
৫/৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ৭। লবের সাথে ১ যোগ করলে হরের সমান হবে। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশটির লব x হলে হর হবে (৭ - x)
∴ ভগ্নাংশটি = x/(৭ - x)

শর্তমতে,
x + ১ = ৭ - x
বা, x + x = ৭ - ১
বা, ২x = ৬
বা, x = ৬/২
∴ x = ৩

∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটি = ৩/(৭ - ৩)
= ৩/৪ ।

৫৩০.

একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১। লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ১/৫ হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

ক
৭/৮
খ
৩/৭
গ
৩/৮
ঘ
৩/৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১। লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান ১/৫ হয়। ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
একটি ভগ্নাংশের লব ও হরের সমষ্টি ১১
লব থেকে ১ বিয়োগ এবং হরের সাথে ২ যোগ করলে ভগ্নাংশের মান হয় ১/৫

মনে করি,
ভগ্নাংশের লব ক
ভগ্নাংশের হর খ

∴ ভগ্নাংশটি = ক/খ

শর্ত মতে,
ক + খ = ১১................. (১)

আবার,
(ক - ১)/(খ + ২) = ১/৫
বা , ৫ক - ৫ = খ + ২
বা, ৫ক - খ = ৭ .................(২)

সমীকরণ (১) ও সমীকরণ (২) যোগ করে পাই,
ক + খ + ৫ক - খ = ১১ + ৭
বা, ৬ক = ১৮
বা, ক = ১৮/৬
∴ ক = ৩

ক এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই,
৩ + খ = ১১
বা, খ = ১১ - ৩
∴ খ = ৮

∴ ভগ্নাংশটি = ৩/৮ ।

৫৩১.

√3 এবং 5 এর মাঝে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

ক
1টি
খ
2টি
গ
3টি
ঘ
4টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: √3 এবং 5 এর মাঝে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান:
√3 = 1.73205080757

সুতরাং √3 এবং 5 এর মাঝে 2 , 3 , 4 এই তিনটি পূর্ণসংখ্যা আছে।

৫৩২.

এক ব্যক্তি মাসিক বেতনের ১/২৫ অংশ মহার্ঘ ভাতা পান। তার মাসিক বেতন ৬২৫০ টাকা হলে তার মহার্ঘ ভাতা কত?

ক
২৬০ টাকা
খ
২৫০ টাকা
গ
২০০ টাকা
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি মাসিক বেতনের ১/২৫ অংশ মহার্ঘ ভাতা পান। তার মাসিক বেতন ৬২৪০ টাকা হলে তার মহার্ঘ ভাতা কত?

সমাধান:
মাসিক বেতন ৬২৫০ টাকা
∴ তার মহার্ঘ ভাতা = ৬২৫০ × (১/২৫) টাকা
= ২৫০ টাকা

৫৩৩.

এর মান কত?

ক
০.৬
খ
৫০
গ
৬০
ঘ
৭০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এর মান কত?

সমাধান:
(০.০২ × ০.৩ × ০.৪)/(০.১ × ০.২ × ০.০০২)
= ০.০০২৪/০.০০০০৪
= ৬০

৫৩৪.

ক
7/11
খ
3/5
গ
2/9
ঘ
13/8

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫৩৫.

দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭ হলে, সংখ্যা দুটি কত?

ক
১৮, ১৯
খ
২৪, ২৫
গ
৩১, ৩২
ঘ
২৩, ২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭ হলে, সংখ্যা দুটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দুটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে, n এবং n + ১

প্রশ্নমতে,
(n + ১)^২ - n^২ = ৪৭
n^২ + ২n + ১ - n^২ = ৪৭
⇒ ২n + ১ = ৪৭
⇒ ২n = ৪৬
⇒ n = ৪৬/২ = ২৩
∴ n = ২৩

সুতরাং সংখ্যা দুটি হলো ২৩ এবং ২৪

৫৩৬.

দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা অপরটির ৫/৩ গুণ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

ক
৬০
খ
৪৮
গ
৩৬
ঘ
৪৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু ১২ এবং ল.সা.গু ১৮০। একটি সংখ্যা অপরটির ৫/৩ গুণ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক, বড় সংখ্যাটি = ৫ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
⇒ ক × ৫ক/৩ = ১২ × ১৮০
⇒ ক^২ = (১২ × ১৮০ × ৩)/৫
⇒ ক^২ = ১২৯৬ = ৩৬^২
∴ ক = ৩৬

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩৬
∴ বড় সংখ্যাটি = ৩৬ × (৫/৩) = ৬০

৫৩৭.

৫২ - ক = ৩০ হলে, ‘ক’ এর মান কত?

ক
২০
খ
২১
গ
২২
ঘ
২৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫২ - ক = ৩০ হলে, ‘ক’ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৫২ - ক = ৩০
⇒ - ক = ৩০ - ৫২
⇒ - ক = - ২২
∴ ক = ২২

৫৩৮.

দুটি ক্রমিক বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৬৪ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
১৩
খ
১৫
গ
১৭
ঘ
১৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক বিজোড় পূর্ণ সংখ্যার বর্গের অন্তর ৬৪ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ২

প্রশ্নমতে,
(ক + ২)^২ - ক^২ = ৬৪
⇒ ক^২+ ২ · ক · ২ + ২^২- ক^২= ৬৪
⇒ ৪ক = ৬৪ - ৪
⇒ ক = ৬০/৪
∴ ক = ১৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ১৫ + ২ = ১৭

৫৩৯.

দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৬০ এবং ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

ক
১৫
খ
২০
গ
২৫
ঘ
৩০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার ল.সা.গু এবং গ.সা.গু যথাক্রমে ৬০ এবং ১০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার দুই-তৃতীয়াংশ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ৩ক
তাহলে ছোট সংখ্যাটি = ২ক

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
∴ ৩ক × ২ক = ৬০ × ১০
⇒ ৬ক^২ = ৬০০
⇒ ক^২ = ১০০
∴ ক = ১০
অতএব, ছোট সংখ্যাটি = ২ × ১০ = ২০

৫৪০.

m সংখ্যক ছাত্রের গড় নম্বর 35 এবং n সংখ্যক ছাত্রের গড় নম্বর 42 হলে, তাদের সমষ্টিগত গড় নম্বর কত?

ক
(42m + 35n)/(m + n)
খ
(35m + 42n)/77
গ
77mn/(m + n)
ঘ
(35m + 42n)/(m + n)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m সংখ্যক ছাত্রের গড় নম্বর 35 এবং n সংখ্যক ছাত্রের গড় নম্বর 42 হলে, তাদের সমষ্টিগত গড় নম্বর কত?

সমাধান:
m সংখ্যক ছাত্রের মোট নম্বর = 35m
n সংখ্যক ছাত্রের মোট নম্বর = 42n

গড় = (35m + 42n)/(m + n)

৫৪১.

একটি সংখ্যাকে ৫৫৫ এবং ৪৪৫ এর যোগফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল, দুটি সংখ্যার পার্থক্যের দ্বিগুণ হয় এবং ভাগশেষ ৩০ পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

ক
২২০৩০
খ
১২২০
গ
১২৫০
ঘ
২২০০৩০
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যাকে ৫৫৫ এবং ৪৪৫ এর যোগফল দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল, দুটি সংখ্যার পার্থক্যের দ্বিগুণ হয় এবং ভাগশেষ ৩০ পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
যোগফল = ৫৫৫ + ৪৪৫ = ১০০০
ভাগফল = ২(৫৫৫ - ৪৪৫) = ২২০

∴ সংখ্যাটি = (২২০ × ১০০০) + ৩০
= ২২০০০০ + ৩০
= ২২০০৩০

৫৪২.

একটি বাঁশের ০.১২৫ অংশ কাদায়, ৩/৭ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ২৫ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

ক
৩৬ মিটার
খ
৫৬ মিটার
গ
৭২ মিটার
ঘ
৬০ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ০.১২৫ অংশ কাদায়, ৩/৭ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ২৫ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
কাদায় আছে = ০.১২৫ অংশ = ১২৫/১০০০ অংশ = ১/৮ অংশ।
পানিতে আছে = ৩/৭ অংশ।

ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

প্রশ্নমতে,
ক - (ক/৮) - (৩ক/৭) = ২৫
⇒ (৫৬ক - ৭ক - ২৪ক)/৫৬ = ২৫
⇒ ২৫ক/৫৬ = ২৫
⇒ ২৫ক = ২৫ × ৫৬
⇒ ক = (২৫ × ৫৬)/২৫
∴ ক = ৫৬

সুতরাং সম্পূর্ণ বাঁশের দৈর্ঘ্য = ৫৬ মিটার।

৫৪৩.

চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৫ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজাতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

ক
৭৫ সেকেন্ড
খ
৫৫ সেকেন্ড
গ
৪৫ সেকেন্ড
ঘ
৬০ সেকেন্ড

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একত্রে বেজে পরে যথাক্রমে ৬, ১২, ১৫ ও ২০ সেকেন্ড অন্তর বাজাতে লাগলো। কতক্ষণ পরে ঘণ্টাগুলো পুনরায় একত্রে বাজবে?

সমাধান:
৬, ১২, ১৫ ও ২০ এর ল.সা.গু = ৬০ সেকেন্ড

∴ চারটি ঘণ্টা ৬০ সেকেন্ড পরে পুনরায় একত্রে বাজবে।

৫৪৪.

১১ থেকে ৩০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
১৬.৫০
খ
১৮.৬৭
গ
১৫.৬৭
ঘ
১৮.৪৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১১ থেকে ৩০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
থেকে ও মধ্যে কথাটি উল্লেখ থাকলে ১ম টিকে নিতে হয় আর শেষটিকে বাদ দিতে হয় ।
সুতরাং ১১ থেকে ৩০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলোর, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯

গড় = (১১ + ১৩ + ১৭ + ১৯ + ২৩ + ২৯)/৬
= ১১২/৬
= ১৮.৬৭

৫৪৫.

৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড়ের অর্ধেকের মান কত?

ক
২৫
খ
২৭
গ
৩৫
ঘ
৪২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড়ের অর্ধেকের মান কত?

সমাধান:
৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৬১
৬০ থেকে ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৭৯

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = (৬১ + ৭৯)/২
= ১৪০/২ = ৭০

∴ অর্ধেকের মান = ৭০/২ = ৩৫

৫৪৬.

৪.৫ + (৬.৪ ÷ ০.৮ × ১.৫) - ৯ × ২ ÷ ৬ + ১.৫ = ?

ক
১২
খ
১৫
গ
১৮
ঘ
১০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪.৫ + (৬.৪ ÷ ০.৮ × ১.৫) - ৯ × ২ ÷ ৬ + ১.৫ = ?

সমাধান:

৫৪৭.

যদি ১৫ জন ছাত্র ইংরেজীতে গড়ে শতকরা ৭৫ নম্বর পায় এবং ১০ জন ছাত্র গড়ে ৮৫ নম্বর পায়, তাহলে ২৫ জন ছাত্রের শতকরা হিসেবে গড় নম্বর কত?

ক
৭৮
খ
৭৯
গ
৮০
ঘ
৮১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ১৫ জন ছাত্র ইংরেজীতে গড়ে শতকরা ৭৫ নম্বর পায় এবং ১০ জন ছাত্র গড়ে ৮৫ নম্বর পায়, তাহলে ২৫ জন ছাত্রের শতকরা হিসেবে গড় নম্বর কত?

সমাধান:
২৫ জন ছাত্রের শতকরা হিসেবে গড় নম্বর = {(১৫ × ৭৫) + (১০ × ৮৫)}/২৫
= (১১২৫ + ৮৩০)/২৫
= ৭৯

৫৪৮.

৭ কোটি সমান কত?

ক
৭ বিলিয়ন
খ
৭০০ মিলিয়ন
গ
৭০ লক্ষ
ঘ
৭০ মিলিয়ন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ কোটি সমান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ কোটি = ১০০ লক্ষ
∴ ৭ কোটি = (৭ × ১০০) লক্ষ
= ৭০০ লক্ষ

আবার,
১০ লক্ষ = ১ মিলিয়ন
∴ ১ লক্ষ = ১/১০ মিলিয়ন
∴ ৭০০ লক্ষ = ৭০০/১০ মিলিয়ন
= ৭০ মিলিয়ন

সুতরাং, ৭ কোটি = ৭০০ লক্ষ = ৭০ মিলিয়ন।

৫৪৯.

তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩০। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?

ক
৯০
খ
৯৬
গ
১০০
ঘ
১২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩০। ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে x - ১, x এবং x + ১

প্রশ্নমতে,
x - ১ + x + x + ১ = ৩০
বা, ৩x = ৩০
বা, x = ৩০/৩
∴ x = ১০
তিনটি ক্রমিক সংখ্যা যথাক্রমে ৯, ১০ এবং ১১

∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গুণফল = (৯ × ১০)
= ৯০ ।

৫৫০.

ক
৩.৩
খ
৪.৫
গ
৩.৭৫
ঘ
৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৫৫১.

কোন সংখ্যার ২/৭ অংশ ৬৪-এর সমান?

ক
১৮২৭
খ
২৪৮
গ
২১৭
ঘ
২২৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার (২/৭) অংশ ৬৪ এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ২/৭ = ৬৪
বা, ২ক/৭ = ৬৪
বা, ২ক = ৬৪ × ৭
বা, ক = (৬৪ × ৭)/২
∴ ক = ২২৪

৫৫২.

নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?

ক
√27/3
খ
√121
গ
2/3
ঘ
1/2

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি মূলদ সংখ্যা নয়?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যেসব সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q ≠ 0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে।
- শূণ্য, সব স্বাভাবিক সংখ্যা ও ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণসংখ্যা মূলদ সংখ্যা।
- সব পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা। যেমন: √4, √36.
- সব পূর্ণ ঘন সংখ্যার ঘনমূল মূলদ সংখ্যা।
- দশমিকের পরের অঙ্কগুলো যদি সসীম আকারে থাকে তাহলে সংখ্যাটি মূলদ সংখ্যা। যেমন: 5.66, 7.75.

∴ √27/3 = 3√3/3 = √3 = 1.732....; যা একটি অমূলদ সংখ্যা।

৫৫৩.

দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭। বড় সংখ্যাটি কত?

ক
২৩
খ
২২
গ
২৪
ঘ
২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪৭। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪৭
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪৭
বা, ২ক + ১ = ৪৭
বা, ২ক = ৪৬
∴ ক = ২৩

∴ বড় সংখ্যাটি = ২৩ + ১ = ২৪

৫৫৪.

.০৩ × .০০৬ × .০০৭ = ?

ক
.০০০১২৬
খ
.০০০০০১২৬
গ
.০০০১২৬০
ঘ
.১২৬০০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: .০৩ × .০০৬ × .০০৭ = ?

সমাধান:
.০৩ × .০০৬ × .০০৭ = ০.০০০০০১২৬

৫৫৫.

একটি বাঁশের ১/৫ অংশ কাঁদায়, ২/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৮ মিটার
খ
১৫ মিটার
গ
২১ মিটার
ঘ
২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ কাঁদায়, ২/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = x মিটার

প্রশ্নমতে,
x - (x/৫ + ২x/৫) = ৬
বা, x - (x + ২x)/৫ = ৬
বা, x - (৩x/৫) = ৬
বা (৫x - ৩x)/৫ = ৬
বা, ২x/৫ = ৬
বা, ২x = ৩০
বা, x = ৩০/২
∴ x = ১৫

∴ বাঁশটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ১৫ মিটার।

৫৫৬.

একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার চার গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার পাঁচ গুণ যোগ করলে ৯১ হয়। প্রথম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাটি কত?

ক
৯
খ
১১
গ
১৩
ঘ
৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার চার গুণের সাথে পরবর্তী বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার পাঁচ গুণ যোগ করলে ৯১ হয়। প্রথম বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম বিজোড় সংখ্যা = ক
∴ পরবর্তী বিজোড় সংখ্যা = ক + ২

শর্তমতে,
৪ক + ৫(ক + ২) = ৯১
⇒ ৪ক + ৫ক + ১০ = ৯১
⇒ ৯ক = ৯১ - ১০
⇒ ৯ক = ৮১
⇒ ক = ৮১/৯
⇒ ক = ৯

∴ প্রথম বিজোড় পূর্ণসংখ্যাটি ৯

৫৫৭.

৯ টি ক্রমিক সংখ্যার গড় ৪৫ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

ক
৩৯
খ
৪১
গ
৪৩
ঘ
৪৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯ টি ক্রমিক সংখ্যার গড় ৪৫ হলে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা ক হলে,
ক্রমিক সংখ্যাগুলো হবে: ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩), (ক + ৪), (ক + ৫), (ক + ৬), (ক + ৭), (ক + ৮)

ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪) + (ক + ৫) + (ক + ৬) + (ক + ৭) + (ক + ৮)
= ৯ক + (১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ + ৭ + ৮)
= ৯ক + ৩৬
= ৯(ক + ৪)

শর্তমতে,
৯(ক + ৪) = ৪৫ × ৯
⇒ ক + ৪ = (৪৫ × ৯) / ৯
⇒ ক + ৪ = ৪৫
⇒ ক = ৪৫ - ৪ = ৪১

অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ক = ৪১

৫৫৮.

নিচের কোন জোড়াটি পরস্পর সহমৌলিক?

ক
১৮, ৪৫
খ
৩১, ৪৩
গ
১২, ৩৩
ঘ
২৭, ৯৯

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি পরস্পর সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ক): ১৮, ৪৫
১৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮
৪৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ৯, ১৫, ৪৫
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯

∴ ১৮, ৪৫ সহমৌলিক নয়।

অপশন (খ): ৩১, ৪৩
৩১-এর গুণনীয়ক: ১, ৩১ (৩১ একটি মৌলিক সংখ্যা)
৪৩-এর গুণনীয়ক: ১, ৪৩ (৪৩ একটি মৌলিক সংখ্যা)
সাধারণ গুণনীয়ক: কেবল ১

∴ ৩১, ৪৩ পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (গ): ১২, ৩৩
১২-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২
৩৩-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ১১, ৩৩
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩

∴ ১২, ৩৩ সহমৌলিক নয়।

অপশন (ঘ): ২৭, ৯৯
২৭-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ২৭
৯৯-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ১১, ৩৩, ৯৯
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯

∴ ২৭, ৯৯ সহমৌলিক নয়।

সঠিক উত্তর: (খ) ৩১, ৪৩

৫৫৯.

√1.2 এর বর্গমূল-

ক
√30/5
খ
√6
গ
30/√5
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: √1.2 এর বর্গমূল-

সমাধান:
√1.2 এর বর্গমূল = 1.0466
√30/5 = 1.095

৫৬০.

১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

ক
২৪
খ
২৮
গ
৩০
ঘ
৩২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০৮ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১
এখানে,
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) × (২ + ১) × (১ + ১)
= ৫ × ৩ × ২
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০।

৫৬১.

৫০ ও ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

ক
৭৪
খ
৭৫
গ
৭৬
ঘ
৭৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫০ ও ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

সমাধান:
৫০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৭
৫০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ৫৩
গড় = (৯৭ + ৫৩)/২ = ১৫০/২ = ৭৫

৫৬২.

একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১৩২ হলে, ভাজ্য কত?

ক
৫৭৮০
খ
৫৮৩০
গ
৫৮৬০
ঘ
৫৯২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের এক-তৃতীয়াংশ ভাজক, ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১৩২ হলে, ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাজক = ভাগফলের এক তৃতীয়াংশ = ১৩২/৩ = ৪৪
ভাগশেষ = ভাজকের অর্ধেক = ৪৪/২ = ২২

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (৪৪ × ১৩২) + ২২
= ৫৮০৮ + ২২
= ৫৮৩০

৫৬৩.

৮১ থেকে ৯১ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

ক
১ টি
খ
২ টি
গ
৩ টি
ঘ
৪ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮১ থেকে ৯১ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা:
• ১ হতে বৃহত্তর যে সকল সংখ্যার ১ ও ঐ সংখ্যা ছাড়া অপর কোনো গুণনীয়ক থাকে না, তাদের মৌলিক সংখ্যা বলে।
যেমন- ২, ৩, ৫, ৭ ইত্যাদি।
৮১ থেকে ৯১ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা = ২ টি।
যথা- (৮৩, ৮৯)।

১ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৪ টি (২, ৩, ৫, ৭)
১১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৪ টি (১১, ১৩, ১৭, ১৯)
২১ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২ টি (২৩, ২৯)
৩১ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২ টি (৩১, ৩৭)
৪১ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩ টি (৪১, ৪৩, ৪৭)
৫১ থেকে ৬০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২ টি (৫৩, ৫৯)
৬১ থেকে ৭০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২ টি (৬১, ৬৭)
৭১ থেকে ৮০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩ টি (৭১, ৭৩, ৭৯)
৮১ থেকে ৯০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২ টি (৮৩, ৮৯)
৯১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ১ টি (৯৭)
____________________________________________
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা = ২৫ টি ।

৫৬৪.

তিনটি ক্রমিক জোড় পূর্ণ সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বৃহত্তম সংখ্যাটির তিনগুণ অপেক্ষা ৪০ কম। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

ক
১০
খ
১৪
গ
৮
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় পূর্ণ সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বৃহত্তম সংখ্যাটির তিনগুণ অপেক্ষা ৪০ কম। ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, ক + ২ এবং ক + ৪

প্রশ্নমতে,
৩(ক + ৪) - ক = ৪০
⇒ ৩ক + ১২ - ক = ৪০
⇒ ২ক = ৪০ - ১২
⇒ ক = ২৮/২
∴ ক = ১৪

৫৬৫.

কোন ভগ্নাংশটি বড়?

ক
৩/৫
খ
৪/৯
গ
২/৭
ঘ
১/৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশটি বড়?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোকে দশমিক আকারে লিখলে:
৩/৫ = ০.৬
৪/৯ = ০.৪৪৪....
২/৭ = ০.২৮৬.....
১/৩ = ০.৩৩৩৩....

ভগ্নাংশগুলোর মাঝে ৩/৫ বড়

৫৬৬.

৬ ফুট দীর্ঘ একটি খুঁটিকে ভেঙ্গে এমনভাবে দুইভাগ করা হলো যেন খুঁটির একটি ভাগ অন্যটির ১/২ অংশ হয়। খুঁটির ছোট ভাগটির দৈর্ঘ্য কত ইঞ্চি?

ক
১২ ইঞ্চি
খ
১৮ ইঞ্চি
গ
২৪ ইঞ্চি
ঘ
৩৬ ইঞ্চি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬ ফুট দীর্ঘ একটি খুঁটিকে ভেঙ্গে এমনভাবে দুইভাগ করা হলো যেন খুঁটির একটি ভাগ অন্যটির ১/২ অংশ হয়। খুঁটির ছোট ভাগটির দৈর্ঘ্য কত ইঞ্চি?

সমাধান:
আমরা জানি,
১ ফুট = ১২ ইঞ্চি
∴ ৬ ফুট = (১২ × ৬) = ৭২ ইঞ্চি

ধরি,
খুঁটির বড় ভাগের দৈর্ঘ্য = ক ইঞ্চি
ছোট ভাগের দৈর্ঘ্য = ক/২ ইঞ্চি

প্রশ্নমতে,
ক + (ক/২) = ৭২
(২ক + ক)/২ = ৭২
৩ক/২ = ৭২
৩ক = ৭২ × ২ = ১৪৪
ক = ১৪৪/৩ = ৪৮

∴ ছোট ভাগটির দৈর্ঘ্য = ৪৮/২ = ২৪ ইঞ্চি

৫৬৭.

দুইটি সংখ্যার বিয়োগফলের অর্ধেক ২। বড় সংখ্যাটির সঙ্গে ছোট সংখ্যাটির দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল ১৬ হয়। সংখ্যা দুইটি কত?

ক
৬ ও ৪
খ
৮ ও ৬
গ
৮ ও ৪
ঘ
১০ ও ৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বিয়োগফলের অর্ধেক ২। বড় সংখ্যাটির সঙ্গে ছোট সংখ্যাটির দ্বিগুণ যোগ করলে যোগফল ১৬ হয়। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যাটি = ক
ছোট সংখ্যাটি = খ

যেহেতু,
দুইটি সংখ্যার বিয়োগফলের অর্ধেক ২
∴ (ক - খ)/২ = ২
বা, (ক - খ) = ৪
বা, ক = ৪ + খ

প্রশ্নমতে,
ক + ২খ = ১৬
বা, ৪ + খ + ২খ = ১৬
বা, ৩খ = ১৬ - ৪
বা, ৩খ = ১২
বা, খ = ১২/৩
বা, খ = ৪

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৪
ও বড় সংখ্যাটি , ক = (৪ + খ) = (৪ + ৪) = ৮

৫৬৮.

একটি ৬০ ফুট লম্বা রশি এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের এক-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

ক
১৫ ফুট
খ
১০ ফুট
গ
২০ ফুট
ঘ
২৫ ফুট

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ৬০ ফুট লম্বা রশি এমনভাবে কেটে দু'ভাগ করা হল যেন ছোট অংশ বড় অংশের এক-তৃতীয়াংশ হয়, ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি,
বড় অংশ = ক ফুট
∴ ছোট অংশ = (ক এর ১/৩)
= ক/৩ ফুট

প্রশ্নমতে,
ক + (ক/৩) = ৬০
বা, (৩ক + ক)/৩ = ৬০
বা, ৪ক = ৬০ × ৩
বা, ৪ক = ১৮০
বা, ক = ১৮০/৪
∴ ক = ৪৫

∴ ছোট অংশের দৈর্ঘ্য = ৪৫/৩
= ১৫ ফুট ।

৫৬৯.

০. ৫ × ০. ০০০৫ = কত?

ক
০. ০০২৫
খ
০. ০০০২৫
গ
০. ০২৫
ঘ
০. ২৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০. ৫ × ০. ০০০৫ = কত?

সমাধান:
০. ৫ × ০. ০০০৫ = ০. ০০০২৫

৫৭০.

দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৫ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

ক
১৫
খ
১৮
গ
১৯
ঘ
১২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৩৫ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
বড় সংখ্যাটি = (ক + ১)
এবং ছোট সংখ্যাটি = ক

∴ প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৩৫
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৩৫
⇒ ২ক = ৩৫ - ১
⇒ ২ক = ৩৪
∴ ক = ১৭
বড় সংখ্যাটি = (ক + ১) = (১৭ + ১) = ১৮

৫৭১.

তিনটি কাঠের টুকরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার। এগুলোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটলে একেকটি তক্তার সর্বাধিক দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

ক
১৫ মিটার
খ
১৭ মিটার
গ
১৩ মিটার
ঘ
১১ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি কাঠের টুকরোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার। এগুলোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটলে একেকটি তক্তার সর্বাধিক দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

সমাধান:
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
এখন,
১৪৩ = ১৩ × ১১
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩

∴ গ.সা.গু হল = ১৩

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

৫৭২.

অমূলদ সংখ্যা কোনটি?

ক
√49
খ
√7
গ
√8/18
ঘ
0.5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: অমূলদ সংখ্যা কোনটি?

সমাধান:
অমূলদ সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায় না এবং যার দশমিক অংশ অনন্ত ও অপরাবর্তক।

এখানে,
√49 = 7 ⇒ মূলদ সংখ্যা
√7 ⇒ পূর্ণবর্গ নয়, তাই অমূলদ সংখ্যা
√(8/18) = √(4/9) = 2/3 ⇒ মূলদ সংখ্যা
0.5 = 1/2 ⇒ মূলদ সংখ্যা

∴ অমূলদ সংখ্যা √7

৫৭৩.

১১ টি সংখ্যার যোগফল ৩৯৬। তাদের প্রথম ৬ টি সংখ্যার গড় ২৮.৫ এবং শেষ ৬ টি সংখ্যার গড় ৪৩.৫ হলে, ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

ক
২২
খ
২৮
গ
৩৬
ঘ
৩৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১১ টি সংখ্যার যোগফল ৩৯৬। তাদের প্রথম ৬ টি সংখ্যার গড় ২৮.৫ এবং শেষ ৬ টি সংখ্যার গড় ৪৩.৫ হলে, ষষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট ১১টি সংখ্যার যোগফল = ৩৯৬

প্রথম ৬ টি সংখ্যার গড় ২৮.৫
∴ এদের সমষ্টি = (২৮.৫ × ৬) = ১৭১

শেষ ৬ টি সংখ্যার গড় ৪৩.৫
∴ এদের সমষ্টি = (৪৩.৫ × ৬) = ২৬১

এখানে, মোট ১২ টি সংখ্যার সমষ্টি = (২৬১ + ১৭১) = ৪৩২

∴ ষষ্ঠ সংখ্যাটি = (৪৩২ - ৩৯৬) = ৩৬

৫৭৪.

দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 9 এবং তাদের ল.সা.গু 189। সংখ্যা দুটি কী কী?

ক
35 এবং 45
খ
21 এবং 27
গ
14 এবং 18
ঘ
28 এবং 36

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত 7 : 9 এবং তাদের ল.সা.গু 189। সংখ্যা দুটি কী কী?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি 7x এবং 9x.
∴ সংখ্যা দুইটির গ.সা.গু. = x
এবং সংখ্যা দুইটির গুণফল = 63x²

আমরা জানি,
দুইটির গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু. × গ.সা.গু.
63x² = 189 × x
63x = 189
∴ x = 3
∴ সংখ্যা দুইটি যথাক্রমে 3 × 7 = 21 এবং 3 × 9 = 27

৫৭৫.

একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ কাঁদায় এবং অবশিষ্ট ৪ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির কত মিটার কাঁদায় ও পানিতে আছে?

ক
২৬ মিটার
খ
২৮ মিটার
গ
৩০ মিটার
ঘ
৩২ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৫ অংশ পানিতে, ২/৩ অংশ কাঁদায় এবং অবশিষ্ট ৪ মিটার পানির উপরে আছে। বাঁশটির কত মিটার কাঁদায় ও পানিতে আছে?

সমাধান:
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ১ অংশ

পানিতে ও কাঁদায় আছে = (১/৫) + (২/৩) অংশ
= (৩ + ১০)/১৫ অংশ
= ১৩/১৫ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ১ - (১৩/১৫) অংশ
= (১৫ - ১৩)/১৫ অংশ
= ২/১৫ অংশ

প্রশ্নমতে,
২/১৫ অংশ = ৪ মিটার
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৪ × (১৫/২) মিটার
= ৩০ মিটার

∴ বাঁশটির দৈর্ঘ্য ৩০ মিটার।
∴ কাঁদায় ও পানিতে আছে (৩০ - ৪) মিটার
= ২৬ মিটার

৫৭৬.

দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 14 এবং সংখ্যা দুটির গুণফল 2√10 হলে সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর কত?

ক
8
খ
6
গ
12
ঘ
4

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 14 এবং সংখ্যা দুটির গুণফল 2√10 হলে সংখ্যা দুটির বর্গের অন্তর কত?

সমাধান:
ধরি, একটি সংখ্যা x এবং অপরটি y

প্রশ্নমতে,
x² + y² = 14
xy = 2√10

আমরা জানি,
⇒ (x² - y²)² = (x² + y²)² - 4x²y²
⇒ (x² - y²)² = (x² + y²)² - 4(xy)²
⇒ (x² - y²)² = 14² - 4(2√10)²
⇒ (x² - y²)² = 196 - 160
⇒ (x² - y²)² = 36
⇒ x² - y² = √36
∴ x² - y² = 6

৫৭৭.

যদি দুটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৫ হয়, তবে নিচের কোন সংখ্যাটি ঐ দুটি সংখ্যার যোগফল হতে পারবে না?

ক
৫২
খ
১০৫
গ
১৪৩
ঘ
কোনোটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি দুটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৫ হয়, তবে নিচের কোন সংখ্যাটি ঐ দুটি সংখ্যার যোগফল হতে পারবে না?

সমাধান:
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৮ : ৫
অনুপাতের রাশিগুলোর যোগফল = ৮ + ৫ = ১৩

এখানে
৫২/১৩ = ৪
১০৫/১৩ = ৮.০৭৬
১৪৩/১৩ = ১১

প্রদত্ত অপশনের সংখ্যাগুলোর মধ্যে ১০৫ কে প্রদত্ত দুইটি সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায় না।

৫৭৮.

তিনটি ক্রমিক জোড় পূর্ণ সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বৃহত্তম সংখ্যাটির তিনগুণ অপেক্ষা ৫৬ কম। সংখ্যা তিনটির সমষ্টি কত?

ক
৬৮
খ
৭২
গ
৭৮
ঘ
৮৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় পূর্ণ সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বৃহত্তম সংখ্যাটির তিনগুণ অপেক্ষা ৫৬ কম। সংখ্যা তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম সংখ্যাটি = ক
২য় সংখ্যাটি = (ক + ২)
৩য় সংখ্যাটি = (ক + ৪)

শর্তমতে,
৩(ক + ৪) - ক = ৫৬
⇒ ৩ক + ১২ - ক = ৫৬
⇒ ২ক = ৫৬ - ১২
⇒ ক = ৪৪/২
∴ ক = ২২

এখন,
১ম সংখ্যাটি = ২২
২য় সংখ্যাটি = (২২ + ২) = ২৪
৩য় সংখ্যাটি = (২৪ + ২) = ২৬

∴ সংখ্যা তিনটির সমষ্টি = (২২ + ২৪ + ২৬) = ৭২

৫৭৯.

নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

ক
৫/৬
খ
৩/৫
গ
৭/৯
ঘ
১১/১৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক আকারে প্রকাশ করি:
৫/৬ = ০.৮৩৩...
৩/৫ = ০.৬
৭/৯ = ০.৭৭৭...
১১/১৫ = ০.৭৩৩...

তুলনা করলে পাই,
০.৮৩৩ > ০.৭৭৭ > ০.৭৩৩ > ০.৬
অর্থাৎ, ৫/৬ > ৭/৯ > ১১/১৫ > ৩/৫

∴ ৫/৬ ভগ্নাংশটি বৃহত্তম।

৫৮০.

বাঁশের ৪/৯ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং বাকি ১০ মিটার পানির উপরে। বাঁশের দৈর্ঘ্য কত?

ক
৭২ মিটার
খ
৫৪ মিটার
গ
৬০ মিটার
ঘ
৪৫ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: বাঁশের ৪/৯ অংশ কাদায়, ১/৩ অংশ পানিতে এবং বাকি ১০ মিটার পানির উপরে। বাঁশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

কাদায় ও পানিতে আছে= {(৪ক/৯) + (ক/৩)} অংশ
= {(৪ক + ৩ক)/৯} অংশ
= ৭ক/৯ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৭ক/৯)
= (৯ক - ৭ক)/৯ অংশ
= ২ক/৯ অংশ

প্রশ্নমতে,
২ক/৯ = ১০ মিটার
⇒ ২ক = ৯ × ১০
⇒ ২ক = ৯০
⇒ ক = ৯০/২
⇒ ক = ৪৫

অর্থাৎ সম্পূর্ণ বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ৪৫ মিটার

৫৮১.

৩৪৩ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

ক
২
খ
৩
গ
৫
ঘ
৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩৪৩ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
৩৪৩ = ৭ × ৭ × ৭ = ৭^৩

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ৭ এর ঘাত ৩ (বিজোড়)।
তাই ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।
অর্থাৎ, ৩৪৩ × ৭ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটিকে ৭ দ্বারা গুণ করতে হবে।

৫৮২.

একটি খুঁটির ১/৩ অংশ কাদায়, ১/৪ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১০ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

ক
৩০ মিটার
খ
১৬ মিটার
গ
১৮ মিটার
ঘ
২৪ মিটার

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/৩ অংশ কাদায়, ১/৪ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ১০ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার।
কাদায় আছে = ক এর ১/৩ = ক/৩ মিটার
পানিতে আছে = ক এর ১/৪ = ক/৪ মিটার

∴ খুঁটিটির কাদায় ও পানিতে মোট আছে = (ক/৩ + ক/৪) মিটার
= (৪ + ৩)/১২ মিটার
= ৭ক/১২ মিটার

∴ পানির উপরে অবশিষ্ট আছে = ক - (৭ক/১২) মিটার
= (১২ক - ৭ক)/১২ মিটার
= ৫ক/১২ মিটার

প্রশ্নমতে, পানির উপরে অবশিষ্ট অংশ ১০ মিটার।
∴ ৫ক/১২ = ১০
⇒ ৫ক = ১০ × ১২
⇒ ৫ক = ১২০
⇒ ক = ২৪

∴ খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ২৪ মিটার।

৫৮৩.

০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কোনটি?

ক
২০৮৭
খ
২২৮৭
গ
২৩৮৭
ঘ
২১৮৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কোনটি?

সমাধান:
০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের অর্থবোধক বৃহত্তম সংখ্যা = ৩২১০

আবার,
০, ১, ২ এবং ৩ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের অর্থবোধক ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩

∴ বিয়োগফল = (৩২১০ - ১০২৩)
= ২১৮৭ ।

৫৮৪.

রহিম একটি কাজ ২০ দিনে এবং করিম ৩০ দিনে করতে পারে। তারা একদিনে একত্রে কাজ করে ৫০০ টাকা পায়। করিম কত টাকা পাবে?

ক
১০০
খ
২০০
গ
৩০০
ঘ
৪০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: রহিম একটি কাজ ২০ দিনে এবং করিম ৩০ দিনে করতে পারে। তারা একদিনে একত্রে কাজ করে ৫০০ টাকা পায়। করিম কত টাকা পাবে?

সমাধান:

রহিম ১ দিনে করে কাজটির = ১/২০ অংশ

করিম ১ দিনে করে = ১/৩০ অংশ

∴ দুইজন একত্রে ১ দিনে করতে পারে = (১/২০) + (১/৩০) অংশ

প্রশ্নমতে,

(১/২০) + (১/৩০) অংশ = ৫০০ টাকা

⇒ (৩ + ২)/৬০ অংশ = ৫০০ টাকা

⇒ ১/১২ অংশ = ৫০০ টাকা

⇒ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৬০০০ টাকা

∴ করিম পায় = (১/৩০) × ৬০০০ টাকা = ২০০ টাকা

৫৮৫.

৩ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল হবে -

ক
৩৫
খ
৯৮
গ
১০০
ঘ
১০৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল হবে -

সমাধান:
আমরা জানি,
৩ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩ টি
যথা- ৩, ৫, এবং ৭
∴ ৩ থেকে ১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল = (৩ × ৫ × ৭)
= ১০৫ ।

৫৮৬.

একটি সংখ্যার বর্গ তার বর্গমূলের চেয়ে ৭৮ বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

ক
১২
খ
৯
গ
৪
ঘ
৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গ তার বর্গমূলের চেয়ে ৭৮ বেশি হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে,
ক^২ = √ক + ৭৮

এখন, যদি আমরা অপশন মেলাই তাহলে কেবল ৯ দ্বারাই শর্ত মিলে। অর্থাৎ,
⇒ ৯^২ = √৯ + ৭৮
⇒ ৮১ = ৩ + ৭৮
∴ ৮১ = ৮১

অন্য অপশনগুলো শর্ত সিদ্ধ করে না।

সুতরাং, সঠিক উত্তর ৯।

৫৮৭.

তিন অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

ক
৯৯৮
খ
৯৮৮
গ
৮৯৯
ঘ
৮৮৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: তিন অংকের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত?

সমাধান:
তিন অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯
তিন অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০

তাদের বিয়োগফল = ৯৯৯ - ১০০ = ৮৯৯

∴ পার্থক্য = ৮৯৯

৫৮৮.

পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪১ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর। মাতার বয়স কত?

ক
৪৪ বছর
খ
৩৮ বছর
গ
৪৩ বছর
ঘ
৪৮ বছর

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: পিতা, মাতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪১ বছর। আবার পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪০ বছর। মাতার বয়স কত?

সমাধান:
পিতা মাতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ৩ × ৪১ = ১২৩ বছর
পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = ২ × ৪০ = ৮০ বছর

∴ মাতার বয়স = ১২৩ - ৮০ = ৪৩ বছর

৫৮৯.

জুলাই মাসের দৈনিক বৃষ্টিপাতের গড় ০.৬৫ সে.মি. ছিল। ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ কত?

ক
২০.২৫ সে.মি.
খ
২০.১৫ সে.মি.
গ
২০.৩৫ সে.মি.
ঘ
২৫ সে.মি.

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: জুলাই মাসের দৈনিক বৃষ্টিপাতের গড় ০.৬৫ সে.মি. ছিল। ঐ মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ কত?

সমাধান:
জুলাই মাস ৩১ দিনে হয়।

∴ জুলাই মাসের মোট বৃষ্টিপাতের পরিমাণ = (৩১ × ০.৬৫) সে.মি.
= ২০.১৫ সে.মি.

৫৯০.

720 সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

ক
5
খ
11
গ
2
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 720 সংখ্যাটিকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
720 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
= (2 × 2) × (2×2) × (3 × 3) × 5

এখানে,
5 জোড়া বিহীন।
∴ 720 সংখ্যাকে 5 দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৫৯১.

ভাজক ভাগফলের চেয়ে ১০ বেশি এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ। ভাগফল ৪০ হলে ভাজ্য কত?

ক
২৫৫০
খ
২০১০
গ
২১৩০
ঘ
২৩০৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের চেয়ে ১০ বেশি এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ। ভাগফল ৪০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ভাগফল = ৪০

প্রশ্নমতে,
ভাজক = ৪০ + ১০ = ৫০
ভাগশেষ = ৫০ × (১/৫) = ১০

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাগফল × ভাজক) + ভাগশেষ
= (৪০ × ৫০) + ১০
= ২০০০ + ১০

∴ ভাজ্য = ২০১০

৫৯২.

দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল ৮০ এবং সংখ্যা দুইটির পার্থক্যের বর্গ ১৬ হলে, সংখ্যার দুটির গুণফল কত?

ক
২৬
খ
৩৮
গ
২৮
ঘ
৩২

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল ৮০ এবং সংখ্যা দুইটির পার্থক্যের বর্গ ১৬ হলে, সংখ্যার দুটির গুণফল কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x ও y

প্রশ্নমতে,
x² + y² = ৮০
এবং (x - y)² = ১৬

এখন,
(x - y)² = ১৬
⇒ x² - ২xy + y² = ১৬
⇒ x² + y² - ২xy = ১৬
⇒ ৮০ - ২xy = ১৬ [x² + y² = 80]
⇒ ২xy = ৮০ - ১৬ = ৬৪
⇒ xy = ৩২

৫৯৩.

১১ টি সংখ্যার গড় ৩০ । প্রথম পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৫ ও শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৮। ৬ষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

ক
৬০
খ
৫৫
গ
৬৫
ঘ
৭৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১১ টি সংখ্যার গড় ৩০ । প্রথম পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৫ ও শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ২৮। ৬ষ্ঠ সংখ্যাটি কত?

সমাধান:

৫৯৪.

১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

ক
২২টি
খ
১৮টি
গ
২১টি
ঘ
২৫টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যা (Prime Number): ১ থেকে বড় যে সকল সংখ্যাকে ১ এবং ঐ সংখ্যা ব্যতীত অন্য কোন সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যায় না এবং শুধুমাত্র দুটি উৎপাদক থাকবে তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

এখন,
১০০ থেকে ২০০ পর্যন্ত মোট মৌলিক সংখ্যা আছে ২১টি। যথা
১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১, ১৩৭, ১৩৯, ১৪৯, ১৫১, ১৫৭, ১৬৩, ১৬৭, ১৭৩, ১৭৯, ১৮১, ১৯১, ১৯৩, ১৯৭, ১৯৯

৫৯৫.

10 টি সংখ্যার যোগফল 380। এদের প্রথম 4 টির গড় 40 এবং শেষ 5 টির গড় 30 হলে; ৫ম সংখ্যাটি কত?

ক
50
খ
60
গ
70
ঘ
80

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 টি সংখ্যার যোগফল 380। এদের প্রথম 4 টির গড় 40 এবং শেষ 5 টির গড় 30 হলে; ৫ম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম 4টি সংখ্যার গড় = 40
প্রথম 4টি সংখ্যার যোগফল = 40 × 4
= 160

শেষ 5টি সংখ্যার গড় = 30
শেষ 5টি সংখ্যার যোগফল = 30 × 5
= 150

9টি সংখ্যার যোগফল = 160 + 150
= 310

৫ম সংখ্যাটি = 380 - 310
= 70

৫৯৬.

৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

ক
৬১
খ
৬৯
গ
৭১
ঘ
৭৫

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় কত?

সমাধান:
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭

আবার,
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১

∴ নির্ণেয় মৌলিক সংখ্যাদ্বয়ের গড় = (৯৭ + ৪১)/২
= ১৩৮/২
= ৬৯ ।

৫৯৭.

০, ১, ২, ৩, ৪ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগফল কত?

ক
৫৩৪৪২
খ
৫৩৪৪৪
গ
৫৩৪৪৮
ঘ
৫৩৪৪০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০, ১, ২, ৩, ৪ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৪৩২১০
০, ১, ২, ৩ ও ৪ দ্বারা গঠিত পাঁচ অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০২৩৪

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার যোগফল = (৪৩২১০ + ১০২৩৪)
= ৫৩৪৪৪ ।

৫৯৮.

নিচের কোন দুটি সহ মৌলিক সংখ্যা?

ক
২৮,৫৬
খ
৬৫, ৯৫
গ
৮১,২১
ঘ
৫২, ৯৭

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোন দুটি সহ মৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
সহমৌলিক সংখ্যা:
দুটি সংখ্যার মধ্যে যদি ১ ছাড়া আর কোনো সাধারণ গুণনীয়ক না থাকে, তবে সেই সংখ্যা দুটিকে সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়। সহজ ভাষায়, দুটি সংখ্যার গসাগু (গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক) যদি ১ হয়, তবে তারা সহমৌলিক হবে।

প্রদত্ত অপশনে (ঘ) ৫২,৯৭ ক্রমজোড়টি সহমৌলিক।
কারণ, ৫২ = ১ × ২ × ২ × ১৩ এবং ৯৭ = ১ × ৯৭
দেখা যাচ্ছে ৫২ ও ৯৭ এর ১ ভিন্ন অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। সুতরাং এরা পরস্পর সহমৌলিক।

৫৯৯.

2n + 1 সর্বদা মৌলিক সংখ্যা না হলে, n এর ক্ষুদ্রতম মান কত? (যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা)

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2n + 1 সর্বদা মৌলিক সংখ্যা না হলে, n এর ক্ষুদ্রতম মান কত? (যেখানে n একটি স্বাভাবিক সংখ্যা)

সমাধান:
এখানে
n স্বাভাবিক সংখ্যা
⇒ n = 1, 2, 3,….........

n = 1 হলে: 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3 (মৌলিক)
n = 2 হলে: 2n + 1 = 2(2) + 1 = 5(মৌলিক)
n = 3 হলে: 2n + 1 = 2(3) + 1 = 7 (মৌলিক)
n = 4 হলে: 2n + 1 = 2(4) + 1 = 9(মৌলিক নয়)

n-এর ক্ষুদ্রতম মান = 4

৬০০.

১ ÷ (৮/৯){(৫/৮) + (৩/৮)} = কত ?

ক
১/৯
খ
৯/৮
গ
১
ঘ
১/৮

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ ÷ (৮/৯){(৫/৮) + (৩/৮)} = কত ?

সমাধান:
১ ÷ (৮/৯){(৫/৮) + (৩/৮)}
= ১ ÷ (৮/৯){(৫ + ৩)/৮}
= ১ ÷ (৮/৯)×(৮/৮)
= ১ ÷ (৮/৯)
= ১ × (৯/৮)
= ৯/৮