PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ২১ / ২১ · ২,০০১–২,০৪২ / ২,০৫২
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৫১৩ থেকে যত বড় ৬৫১ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক - ৫১৩ = ৬৫১ - ক
⇒ ক + ক = ৬৫১ + ৫১৩
⇒ ২ক = ১১৬৪
⇒ ক = ১১৬৪/২
∴ ক = ৫৮২
∴ সংখ্যাটি হলো = ৫৮২ ।
প্রশ্ন: যদি দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬, সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু এবং ল.সা.গু এর গুণফল ১০৮০ হয়, তবে সংখ্যা দুইটির সমষ্টি কত?
সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুইটি = ৫ক ও ৬ক
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ৩০ক২
আমরা জানি,
সংখ্যা দুইটির গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ৩০ক২ = ১০৮০
⇒ ক২ = ৩৬
⇒ ক = √৩৬
⇒ ক = ৬
∴ সংখ্যা দুইটির সমষ্টি = ৬ক + ৫ক
= (৬ × ৬) + (৫ × ৬)
= ৩৬ + ৩০
= ৬৬
প্রশ্ন: ২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭ তাদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
২০ থেকে ৮০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৭, সেগুলো হলো: ৩৭, ৪৭, এবং ৬৭।
সুতরাং, নির্ণেয় সমষ্টি = ৩৭ + ৪৭ + ৬৭ = ১৫১
প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৯০টি লাল এবং ১৫০টি নীল বল আছে। সর্বাধিক কতগুলো প্যাকেটে ভাগ করা যাবে যেন প্রতিটি প্যাকেটে সমান সংখ্যক লাল ও নীল বল থাকে?
সমাধান:
৯০ = ২ × ৩ × ৩ × ৫
১৫০ = ২ × ৩ ×৫ × ৫
∴ ৯০ ও ১৫০ এর গ.সা.গু = ৩০
∴ মার্বেলগুলো সর্বাধিক ৩০টি প্যাকেটে রাখা যাবে।
প্রশ্ন: একটি বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের ড্রিল করার সময় ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ বিদ্যালয়ে কমপক্ষে কতজন শিক্ষার্থী আছে?
সমাধান:
১২, ১৮ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ৭২
= (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩
যা বর্গাকারে সাজানো সম্ভব নয়।
(২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ কে বর্গাকার সংখ্যা করতে হলে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।
∴ ১২, ১৮ এবং ২৪ সারিতে এবং বর্গাকারে সাজানোর জন্য শিক্ষার্থীর সংখ্যা হবে
= (২ × ২ × ২ × ২) × (৩ × ৩) জন
= ১৬ × ৯
= ১৪৪ জন
অতএব, বিদ্যালয়ে কমপক্ষে ১৪৪ জন শিক্ষার্থী আছে।
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩১ থেকে যত বেশি ৫৫ থেকে তত কম, তবে সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
x - ৩১ = ৫৫ - x
বা, x + x = ৫৫ + ৩১
বা, ২x = ৮৬
বা, x = ৮৬/২
∴ x = ৪৩
∴ সংখ্যাটি = ৪৩।
প্রশ্ন: তিনটি পূর্ণ সংখ্যার গড় ১৬০ এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুইটির গড় ১৩০। বৃহত্তম সংখ্যাটি কত ?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
তিনটি সংখ্যার গড় = ১৬০
∴ তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ১৬০ × ৩ = ৪৮০
আবার,
ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির গড় = ১৩০
∴ ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দুটির সমষ্টি = ১৩০ × ২ = ২৬০
∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৪৮০ - ২৬০ = ২২০
প্রশ্ন: তিনটি পরপর জোড় সংখ্যা নেওয়া হয়েছে। তাদের সমষ্টি প্রথম সংখ্যার ৪ গুণ। মাঝের সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, তিনটি পরপর জোড় সংখ্যা হলো,
x, (x + ২), (x + ৪) ; [যেখানে x একটি জোড় সংখ্যা]
প্রশ্নানুসারে,
তাদের সমষ্টি = প্রথম সংখ্যার ৪ গুণ
⇒ x + (x + ২) + (x + ৪) = ৪x
⇒ ৩x + ৬ = ৪x
⇒ ৪x - ৩x = ৬
∴ x = ৬
তাহলে তিনটি সংখ্যা হলো ৬, ৮, ১০
∴ মাঝের সংখ্যা = ৮
প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭২০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?
সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
ক - ৭২০ = ৮২০ - ক
⇒ ক + ক = ৮২০ + ৭২০
⇒ ২ক = ১৫৪০
∴ ক = ৭৭০
প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যা p ও q (যেখানে q ≠ 0) এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, সসীম দশমিক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৫/৩, ২.৫, √৯ = ৩ ইত্যাদি।
অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৭, √১১ ইত্যাদি।
এখানে,
ক) √১৪৪ = ১২। এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ১৪৪ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) ৭/১১ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) √৫০ = √(২৫ × ২) = ৫√২। এখানে √২ একটি অমূলদ সংখ্যা এবং ২ পূর্ণবর্গ নয়।
√৫০ = ৭.০৭১০৬৭৮১১৮...... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।
ঘ) ৪.২৫ = ৪২৫/১০০ = ১৭/৪, এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
সুতরাং, √৫০ অমূলদ সংখ্যা।
প্রশ্ন: P ও Q উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?
সমাধান:
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।
ধরি,
বিজোড় সংখ্যা দুইটি P = 5 এবং Q = 7,
ক) PQ = (5 × 7) = 35 (বিজোড় সংখ্যা),
খ) PQ + 2 = (5 × 7) + 2 = 35 + 2 = 37 (বিজোড় সংখ্যা),
গ) P + Q = (5 + 7) = 12 (জোড় সংখ্যা) এবং
ঘ) P + Q + 1 = (5 + 7 + 1) = 13 (বিজোড় সংখ্যা)।
∴ (P + Q) জোড় সংখ্যা হবে।
প্রশ্ন: ০.৫ × ০.০৩ × ০.০৪ = কত?
সমাধান:
প্রশ্ন: a ও b উভয়ই বিজোড় সংখ্যা হলে কোনটি জোড় সংখ্যা হবে?
সমাধান:
দুইটি বিজোড় সংখ্যার যোগফল সর্বদাই জোড় সংখ্যা হয়।
ধরি,
বিজোড় সংখ্যা দুইটি a = 3 এবং b = 5,
ক) ab = (3 × 5) = 15 (বিজোড় সংখ্যা),
খ) ab + 2 = (3 × 5) + 2 = 15 + 2 = 17 (বিজোড় সংখ্যা),
গ) a + b = (3 + 5) = 8 (জোড় সংখ্যা) এবং
ঘ) a + b + 1 = (3 + 5 + 1) = 9 (বিজোড় সংখ্যা)।
∴ (a + b) জোড় সংখ্যা হবে।
প্রশ্ন: ১০ থেকে ৫০ পর্যন্ত যে সকল মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ১ তাদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
১০ থেকে ৫০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৪ আছে এমন সংখ্যা তিনটি।
সংখ্যাগুলো হলো = ১১, ৩১ এবং ৪১।
তাদের যোগফল = ১১ + ৩১ + ৪১
= ৮৩
প্রশ্ন: একটি বাঁশের অর্ধাংশ মাটির নিচে, এক-তৃতীয়াংশ পানির মধ্যে এবং ৪ মিটার পানির উপরে, বাঁশটির দৈর্ঘ্য কত?
সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার
মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/২) + (ক/৩) অংশ
= (৩ক + ২ক)/৬ অংশ
= ৫ক/৬ অংশ
আবার,
পানির উপরে আছে = ক - (৫ক/৬) = ক/৬ অংশ
শর্তমতে,
ক/৬ = ৪ মিটার
∴ ক = ২৪ মিটার
অতএব, বাঁশের মোট দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার।
প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে ৩, ৫ ও ৬ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে ১?
সমাধান:
নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৩, ৫, ৬ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ বেশি
∴ ৩, ৫, ৬ এর ল.সা.গু = ৩০
∴ নির্ণেয় সংখ্যা ৩০ + ১ = ৩১
প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ১৬ গুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?
সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, ক + ১, ক + ২
প্রশ্নমতে,
ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬(ক + ক + ১ + ক + ২)
⇒ ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬(৩ক + ৩)
⇒ ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬ × ৩(ক + ১)
⇒ ক(ক + ২) = ৪৮
⇒ ক২ + ২ক - ৪৮ = ০
⇒ ক২ + ৮ক - ৬ক - ৪৮ = ০
⇒ (ক + ৮)(ক - ৬) = ০
হয়, ক = ৬ অথবা, ক = - ৮ ; [ক = - ৮ গ্রহণযোগ্য নয়]
তাহলে,
ক = ৬ হলে সংখ্যা তিনটির গড় = (ক + ক + ১ + ক + ২) ÷ ৩
= (৩ক + ৩)/৩
= ২১/ ৩
= ৭
প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?
সমাধান:
৪/৫ = ০.৮
৮/১৩ = ০.৬১৫
৮/৯ = ০.৮৮৯
৬/৭ = ০.৮৫৭
যেহেতু, ০.৮৮৯> ০.৮৫৭ > ০.৮ > ০.৬১৫
অতএব, প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ৮/৯ সবচেয়ে বৃহত্তম।
প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৮ হলে, তাদের ল.সা.গু কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং গ.সা.গু. = ৮
ধরি, দুটি সংখ্যা = ৫ক এবং ৬ক
অর্থাৎ ৫ক এবং ৬ক-এর গ.সা.গু. = ক × গ.সা.গু.(৫, ৬)
= ক × ১
= ক
∴ গ.সা.গু., ক = ৮
সুতরাং, দুটি সংখ্যা হলো,
৫ × ৮ = ৪০ এবং ৬ × ৮ = ৪৮
এখন ৪০ এবং ৪৮ এর ল.সা.গু. = ২৪০