বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক ও ৬ক 

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০ 
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩

∴ বড় সংখ্যাটি = ৬ক
= ৬ × ৩
= ১৮ ।

সরল করুন: ১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৮ - ৪) × ২}]

সমাধান:
১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৮ - ৪) × ২}]
= ১ - [১ - {২ + (- ১) × ২}]
= ১ - [১ - {২ - ২}]
= ১ - [১ - ০]
= ১ - ১
= ০

সমাধান:
নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা হবে ৭২ এবং ১০৮ এর গ. সা. গু
৭২ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩
১০৮ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩

∴ গ. সা. গু = ২ × ২ × ৩ × ৩ = ৩৬ 

সুতরাং নির্ণেয় সর্বোচ্চ মার্বেল সংখ্যা ৩৬ টি।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ. সা. গু এবং ল. সা. গু যথাক্রমে ১৫ ও ২২৫। একটি সংখ্যা ৪৫ হলে অপরটি কত?

সমাধান:
দুইটি সংখ্যার গ সা গু ১৫
ল সা গু ২২৫
এবং একটি সংখ্যা ৪৫ 

আমরা জানি,
গ. সা. গু × ল. সা. গু = ১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা
১৫ × ২২৫ = ৪৫ × ২য় সংখ্যা
∴ ২য় সংখ্যা = (১৫ × ২২৫)/৪৫ 
= ৭৫ 

অতএব, অপর সংখ্যা = ৭৫

প্রশ্ন: 7 টি ক্রমিক সংখ্যার গড় 33 হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
সবচেয়ে ছোট ক্রমিক সংখ্যা x হলে -
ক্রমিক সংখ্যাগুলো যথাক্রমে x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), (x + 4), (x + 5), (x + 6)

∴ ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + (x + 4) + (x + 5) + (x + 6)
= x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 + x + 6
= 7x + 21
= 7(x + 3)

শর্তমতে, 
7(x + 3) = 33 × 7
বা, x + 3 = (33 × 7)/7
বা, x + 3 = 33
বা, x = 33 - 3
∴ x = 30

∴ নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যা = x + 6
= 30 + 6
= 36

প্রশ্ন: কোনো খুঁটির এক-চতুর্থাংশ ভূমির নিচে, এক-পঞ্চমাংশ পানির মধ্যে এবং ৫.৫ মিটার পানির উপরে দৃশ্যমান হলে খুঁটিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত হবে? 

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/৪) + (ক/৫) অংশ
= (৫ক + ৪ক)/২০ অংশ
= ৯ক/২০ অংশ

আবার, পানির উপরে আছে = ক - (৯ক/২০)
= ১১ক/২০ অংশ

শর্তমতে,
১১ক/২০ = ৫.৫ মিটার
⇒ ক = (৫.৫ × ২০)/১১
⇒ ক = ১১০/১১ 
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।

সমাধান:
এখানে, সংখ্যা দুটি ৫x এবং ৬x এর গ. সা. গু = x ∴ গ. সা. গু. x = ৪

এখন,
সাধারণ নিয়মে প্রথম সংখ্যটি ৫ × ৪ = ২০ এবং ২য় সংখ্যাটি ৬ × ৪ = ২৪

∴ ২০ ও ২৪ এর ল. সা. গু = ১২০

সমাধান:
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = (১০০ × ৭০) = ৭০০০
এবং ৬০ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (৭৫ × ৬০) = ৪৫০০

∴ ছাত্র সংখ্যা = (১০০ - ৬০) = ৪০ জন
∴ ৪০ জন ছাত্রের মোট নম্বর = (৭০০০ - ৪৫০০) = ২৫০০

∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = ২৫০০/৪০ = ৬২.৫

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল.সা.গু ১২০ এবং গ.সা.গু ২০। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৩/২ গুণ হলে ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ৩ক/২ = ১.৫ক
∴ সংখ্যা দুইটির গুণফল = ১.৫ক^২

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = ল.সা.গু × গ.সা.গু
⇒ ১.৫ক^২ = ১২০ × ২০ 
⇒ ১.৫ক^২ = ২৪০০ 
⇒ ক^২ = ২৪০০/১.৫
⇒ ক^২ = ১৬০০ 
⇒ ক = √১৬০০
∴ ক = ৪০

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৪০

প্রশ্ন: ১২^৩ কে সর্বনিম্ন কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
১২^৩
= (৩ × ৪)^৩
= (৩^৩) × (৪^৩)
= (৩^৩) × (২^২)^৩
= (৩^৩) × (২^৬)
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
∴ ২^৬ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ ,
কিন্তু ৩^৩ সংখ্যাটির ঘাত বিজোড় হওয়ায় তা পূর্ণবর্গ নয়।

৩^৩ এর সাথে ৩ গুণ করলে গুণফল হবে,
 (৩^৩) × ৩
= ৩^৪  যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 

∴ ১২^৩ কে সর্বনিম্ন ৩ দ্বারা গুণ করলে গুণফল পূর্ণবর্গ হবে।

প্রশ্ন: If you count 1 to 100, how many 5's will you pass on the way?

সমাধান:
1 থেকে 100 পর্যন্ত গণনা করলে কতবার 5 আসবে তা বের করতে হবে।

একক স্থানে 5: 
5, 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95
= 10টি

দশক স্থানে 5:
50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59
= 10টি

মোট = 10 + 10 = 20টি

(এখানে, 55 সংখ্যাটিতে '5' অঙ্কটি এককের স্থানে এবং দশকের স্থানে, উভয় জায়গাতেই একবার করে আছে, তাই এটিকে উভয় গণনায় ধরা হয়েছে।)
∴ উত্তর: ক) 20

প্রশ্ন: যদি ক এবং খ জোড় সংখ্যা ও গ  বিজোড় সংখ্যা হয়, নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা হতে পারবে না ?

সমাধান:
ধরি,
ক = ২, খ = ৪ এবং গ = ৩

এখন, 
ক) তে আছে, ক × খ = ২ × ৪ = ৮ হবে । 
খ) তে আছে, ক × গ  = ২ × ৩ = ৬ হবে । 
ঘ) তে আছে, গখ/ক = (৩ × ৪)/২ = ৬ হবে ।

কিন্তু,
গ) তে আছে, গ/ক = ৩/২  হবে না।(কারণ বিজোড় সংখ্যা জোড় সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে পূর্ণসংখ্যা হয় না)
তাই জোড় হতে পারবে না। 

সঠিক উত্তর - গ) গ/ক

প্রশ্ন: P সংখ্যক সংখ্যার গড় M এবং Q সংখ্যক সংখ্যার গড় N হলে সবগুলো সংখ্যার গড় কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
P সংখ্যক সংখ্যার গড় = M
∴ P সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = PM 

আবার, 
Q সংখ্যক সংখ্যার গড় = N 
∴ Q সংখ্যক সংখ্যার সমষ্টি = QN 

মোট সংখ্যা = P + Q 
তাদের সমষ্টি = PM + QN 
∴ তাদের গড় = (PM + QN)/(P + Q) 

প্রশ্ন: একটি খুঁটির ১/২ অংশ মাটির নিচে, ১/৩ অংশ পানির মধ্যে এবং বাকি ২ মিটার পানির উপরে আছে। খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
খুটির দৈর্ঘ্য = x মিটার 

তাহলে, মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (১/২ + ১/৩) × x অংশ
= (৫x/৬) অংশ
আবার,
পানির উপরে আছে = (x - ৫x/৬)
= (x/৬) অংশ 

প্রশ্নমতে, 
x/৬ = ২ 
∴ x = ১২ 

∴ খুটির দৈর্ঘ্য = ১২ মিটার।

প্রশ্ন: যদি ১৫, ২৮ ও ৩৩ এই তিনটি সংখ্যার গুণফল z হয়, তবে নিচের কোনটি একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
z = ১৫ × ২৮ × ৩৩

এখন, 
ক) z/২১ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৩ × ৭) = ৪ × ৫ × ৩ × ১১  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা]
খ) z/২৪ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৩ × ৮) = (৪ × ৫ × ৭ × ৩ × ১১)/৮  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা হবে না]
গ) z/৫৫ = {(৩ × ৫) (৪ × ৭) (৩ × ১১)}/(৫ × ১১) = ৩ × ৪ × ৩ × ৭  ; [যা একটি পূর্ণসংখ্যা]

সুতরাং, সঠিক উত্তর: খ) z/২৪

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
যে সংখ্যাগুলো ১ এবং সেই সংখ্যাটি ব্যতীত অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য নয়, তারাই মৌলিক সংখ্যা।

৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো:
৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯
মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা = ৭ টি।
সুতরাং, ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা হলো ৭ টি।

নোট:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (মোট ২৫টি):
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

প্রশ্ন: (১/৮) : (১/৪) : (১/২) অনুপাতটি নিচের কোন অনুপাতের সমান?

সমাধান:
(১/৮) : (১/৪) : (১/২)
= (৮/৮) : (৮/৪) : (৮/২)  
= ১ : ২ : ৪

প্রশ্ন: তেলভর্তি একটি পাত্রের ওজন ১৮ কেজি। পাত্রের এক-তৃতীয়াংশ তেলভর্তি হলে তার ওজন ৮ কেজি। খালি পাত্রের ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
খালি পাত্রের ওজন = x কেজি
পূর্ণ তেলের ওজন = y কেজি

প্রথম শর্ত অনুসারে: x + y = ১৮ ...... (1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুসারে: x + y/৩ = ৮ ...... (2)

সমীকরণ (1) - সমীকরণ (2) ⇒
(x + y) - (x + y/৩) = ১৮ - ৮
বা, y - y/৩ = ১০
বা, (৩y - y)/৩ = ১০
বা, ২y/৩ = ১০
বা, y = ১০ × ৩/২
বা, y = ১৫ কেজি

সমীকরণ (1) থেকে:
x + ১৫ = ১৮
বা, x = ১৮ - ১৫
বা, x = ৩ কেজি

সুতরাং, খালি পাত্রের ওজন = ৩ কেজি

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪১। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৪১
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৪১
⇒ ২ক + ১ = ৪১
⇒ ২ক = ৪১ - ১
⇒ ২ক = ৪০
⇒ ক = ৪০/২
∴ ক = ২০

∴ বড় সংখ্যাটি = ২০ + ১ = ২১ 

প্রশ্ন: ১ - ০.০৯৯৯ = ? 

সমাধান:
১ - ০.০৯৯৯
= ০.৯০০১

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: নিচের কোন দুইটি সংখ্যা সহমৌলিক?

সমাধান:
যদি দুইটি সংখ্যার মধ্যে ১ ব্যতীত কোন সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক না থাকে, তাহলে সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
১১ ও ১৩ সংখ্যা দুটির মধ্যে ১ ব্যতীত সাধারণ গুণনীয়ক নেই।
অতএব ১১ ও ১৩ সংখ্যা দুইটি পরস্পর সহমৌলিক।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার গুণফল তাদের যোগফলের ১৬ গুণ। সংখ্যা তিনটির গড় কত?

সমাধান:
ধরি,
ক্রমিক সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ক, ক + ১, ক + ২

প্রশ্নমতে,
ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬(ক + ক + ১ + ক + ২)
⇒ ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬(৩ক + ৩)
⇒ ক(ক + ১)(ক + ২) = ১৬ × ৩(ক + ১)
⇒ ক(ক + ২) = ৪৮ 
⇒ ক^২ + ২ক - ৪৮ = ০ 
⇒ ক^২ + ৮ক - ৬ক - ৪৮ = ০
⇒ (ক + ৮)(ক - ৬) = ০ 
হয়, ক = ৬ অথবা, ক = - ৮    ; [ক = - ৮ গ্রহণযোগ্য নয়]

তাহলে,
ক = ৬ হলে সংখ্যা তিনটির গড় = (ক + ক + ১ + ক + ২) ÷ ৩
= (৩ক + ৩)/৩
= ২১/ ৩ 
= ৭ 

প্রশ্ন: কোনো একটি শ্রেণিতে ৮ জন শিক্ষার্থীর বয়সের গড় ১৪ জন বছর। ৪ জন শিক্ষার্থী নতুন ভর্তি হওয়ায় বয়সের গড় হলো ১৫ বছর। নতুন ৪ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি কত বছর?

সমাধান:
৮ জন শিক্ষার্থীর গড় বয়স = ১৪ বছর
∴ তাদের মোট বয়স =৮ × ১৪ = ১১২ বছর

৪ শিক্ষার্থী নতুন আসায় মোট শিক্ষার্থী = ৮ + ৪ জন
= ১২ জন

নতুন গড় বয়স = ১৫ বছর
∴ ১২ জনের মোট বয়স = ১২ × ১৫ = ১৮০ বছর

∴ নতুন ৪ জন শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = ১৮০ - ১১২ বছর
= ৬৮ বছর

∴ নতুন ৪ শিক্ষার্থীর বয়সের সমষ্টি = ৬৮ বছর

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ?

সমাধান:
প্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব ছোট এবং হর বড় সেইসকল ভগ্নাংশকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৩/৫, ৪/৭ ইত্যাদি।

অপ্রকৃত ভগ্নাংশ: যে ভগ্নাংশের লব বড় এবং হর ছোট সেইসকল ভগ্নাংশকে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - ৫/৩, ৯/৫ ইত্যাদি।

মিশ্র ভগ্নাংশ: পূর্ণ সংখ্যা এবং ভগ্নাংশ মিলে যে ভগ্নাংশ হয় তাকে মিশ্র ভগ্নাংশ বলে।
যেমন - 

প্রশ্ন: a ∈ N হলে, a² + 2a + 1 কোন ধরনের সংখ্যা?

সমাধান: 
কারণ a² + 2a + 1 রাশিটিকে (a + 1)² হিসাবে লেখা যায়।
এখানে a একটি স্বাভাবিক সংখ্যা (N), তাই (a + 1) ও একটি স্বাভাবিক সংখ্যা হবে।

আমরা জানি, 
কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ সর্বদা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয়।

উদাহরণস্বরূপ,
যদি a = 1 হয়, তবে (1 + 1)² = 2² = 4, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
যদি a = 2 হয়, তবে (2 + 1)² = 3² = 9, যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি প্রকৃত ভগ্নাংশ ?

সমাধান: 
আমরা জানি,
যে ভগ্নাংশের লব, হর অপেক্ষা ছোট তাকে প্রকৃত ভগ্নাংশ বলে।

এখানে,
ক) ১.৫= ৩/২ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
খ) ১.০৭ =১০৭/১০০[অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
গ) ১.৮  = ১৮/১০ [অপ্রকৃত ভগ্নাংশ]
ঘ)০.০৭ = ৭/১০০[প্রকৃত ভগ্নাংশ]

সুতরাং, প্রকৃত ভগ্নাংশ ০.০৭ । 

প্রশ্ন: সাতটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার প্রথম চারটি সংখ্যার যোগফল ৪২ হলে, শেষ চারটি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ধরি প্রথম চারটি সংখ্যার মধ্যে ১ম সংখ্যা = ক
∴ ২য় সংখ্যা = ক + ১
∴ ৩য় সংখ্যা = ক + ২
∴ ৪র্থ সংখ্যা = ক + ৩

প্রথম চারটির যোগফল = ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) = ৪ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৪ক + ৬ = ৪২
⇒ ৪ক = ৩৬
⇒ ক = ৯

অর্থাৎ প্রথম চারটি সংখ্যা: ৯, ১০, ১১, ১২

যেহেতু সংখ্যা ক্রমিক, সাতটি সংখ্যা হবে: ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫

∴ শেষ চারটি সংখ্যা = ১২, ১৩, ১৪, ১৫
∴ শেষ চারটির গড় = (১২ + ১৩ + ১৪ + ১৫)/৪ = ১৩.৫

প্রশ্ন: একটি ভাগ অঙ্কের ভাগফলের অর্ধেক হলো ভাজক এবং ভাগশেষ ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ। ভাগফল ৪০ হলে ভাজ্য কত?

সমাধান:
ভাজক = ভাগফলের অর্ধেক = ৪০/২ = ২০
ভাগশেষ = ভাজকের এক-পঞ্চমাংশ = ২০/৫ = ৪

আমরা জানি,
ভাজ্য = (ভাজক × ভাগফল) + ভাগশেষ
= (২০ × ৪০) + ৪
= ৮০০ + ৪
= ৮০৪

∴ ভাজ্য = ৮০৪

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় ক। এদের মধ্যে তিনটি সংখ্যার গড় খ এবং অবশিষ্ট তিনটি সংখ্যার গড় গ হলে, নিচের কোনটি সত্য? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ছয়টি সংখ্যার গড় = ক
∴ ছয়টি সংখ্যার সমষ্টি = ৬ক 

তিনটি সংখ্যার গড় = খ
∴ তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ৩খ 
এবং 
অবশিষ্ট তিনটি সংখ্যার গড় = গ
∴ অবশিষ্ট তিনটি সংখ্যার সমষ্টি = ৩গ 

প্রশ্নমতে, 
৬ক = ৩খ + ৩গ
⇒ ক = ৩(খ + গ)/৬ 
⇒ ক = (খ + গ)/২ 
∴ ২ক = খ + গ 

সুতরাং, সঠিক উত্তর: খ) ২ক = খ + গ