বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: (৩ + √৫) কোন ধরনের সংখ্যা? 

সমাধান: 
(৩ + √৫) একটি অমূলদ সংখ্যা।

কারণ, এখানে ৩ একটি মূলদ সংখ্যা।
এবং √৫ একটি অমূলদ সংখ্যা, কারণ ৫ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।

গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী,
একটি মূলদ সংখ্যার সাথে একটি অমূলদ সংখ্যা যোগ করলে যোগফল সবসময় একটি অমূলদ সংখ্যা হয়। 
যেহেতু √৫-এর মান একটি অসীম অনাবৃত দশমিক (২.২৩৬০৬৭৯...), তাই (৩ + √৫)-এর মানও হবে একটি অসীম দশমিক, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়। তাই এটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৩টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৩টির গড় ২১। সমষ্টিগত ভাবে ১০টি সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৭টি সংখ্যার গড় ৪০
∴ ৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৪০ = ২৮০

এবং 
৩ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩ × ২১ = ৬৩

∴ ১০ টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৮০ + ৬৩ = ৩৪৩

∴ ১০ টি সংখ্যার গড় = ৩৪৩/১০ = ৩৪.৩

প্রশ্ন: করিম তার স্ত্রীকে সম্পত্তির ১/৩ অংশ এবং ৩ পুত্রের প্রত্যেককে ১/৩ অংশ করে দান করেন। যদি তার স্ত্রী ও দুই পুত্রের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট পরিমাণ ৩৫০০০০ টাকা হয় তাহলে করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ক টাকা 
তার স্ত্রী পান = ক/৩ টাকা 
অবশিষ্ট সম্পত্তি = ক - (ক/৩) = (৩ক - ক)/৩ = ২ক/৩ টাকা 

প্রত্যেক পুত্র পায় = (২ক/৩) এর (১/৩) অংশ
= ২ক/৯ টাকা 

প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ২(২ক/৯) = ৩৫০০০০
⇒ (ক/৩) + (৪ক/৯) = ৩৫০০০০
⇒ (৩ক + ৪ক)/৯ = ৩৫০০০০
⇒ ৭ক/৯ = ৩৫০০০০
⇒ ৭ক = (৩৫০০০০ × ৯)
⇒ ক = (৩৫০০০০ × ৯)/৭
⇒ ক = ৪৫০০০০ 

∴ করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ৪৫০০০০ টাকা। 

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত? 

সমাধান: 
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩ 
∴ মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১ × ১৩ 
= ৬ × ৩৫ × ১৪৩  
= ২১০ × ১৪৩  
= ৩০০৩০ ।

প্রশ্ন: ৭, ৮ ও ৯ এর গাণিতিক গড় ৬, ১০ ও নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
(৭ + ৮ + ৯)/৩ = (৬ + ১০ + x)/৩
বা, ২৪/৩ = (১৬ + x)/৩
বা, ৮ = (১৬ + x)/৩
বা, ১৬ + x = ২৪
বা, x = ২৪ - ১৬ 
∴ x = ৮

∴ ৭, ৮ ও ৯ এর গাণিতিক গড় = ৬, ৮ ও ১০ এর গাণিতিক গড়

প্রশ্ন: ৬০টি আপেল ও ৯০টি কমলা সর্বাধিক কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগ করা যাবে?

সমাধান: 
বালকের সংখ্যা হবে ৬০ ও ৯০ এর গ.সা.গু।
∴ ৬০ ও ৯০ এর গ.সা.গু = ৩০

∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৩০ জন।

প্রশ্ন: একজন ওয়েটার প্রতিদিন প্রথম ৮ ঘণ্টা কাজের জন্য ঘণ্টায় ১০ টাকা করে এবং পরবর্তী সময়ের ঘণ্টায় ১২ টাকা করে মজুরি পায়। দৈনিক ১০ ঘন্টা কাজ করলে তার ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি কত? 

সমাধান:
প্রথম ৮ ঘণ্টায় পায় = ৮ × ১০ = ৮০ টাকা।
পরবর্তী ২ ঘণ্টায় পায় = ২ × ১২= ২৪ টাকা।

১০ ঘণ্টায় মোট মজুরি পায়= ৮০ + ২৪ = ১০৪ টাকা
∴ ঘণ্টা প্রতি গড় মজুরি = ১০৪/১০ = ১০.৪ টাকা।

প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?

সমাধান:
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু.।
এখন,
৫৭ = ৩ × ১৯
৯৩ = ৩ × ৩১
এবং ১৮৩ = ৩ × ৬১

∴ ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু. ৩

নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্যা নয়? 

সমাধান: 
৮ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম:
কোনো সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষের তিনটি অঙ্ক মিলে গঠিত সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

এখন, 
৭৪৪ = (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩১ = ৮ × ৩ × ৩১  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
৬৪৮ = (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ × ৩ × ৩ = ৮ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
৪৭২ = (২ × ২ × ২) × ৫৯ = ৮ × ৫৯  ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
১৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ১৩   ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য নয়]

প্রশ্ন: ২৮৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
কোনো সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকে সবগুলোর সূচক জোড় সংখ্যা হতে হবে।

২৮৮-এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
২৮৮ = ২ × ১৪৪
= ২ × ১২ × ১২
= ২ × (২ × ২ × ৩) × (২ × ২ × ৩)
= ২^৫ × ৩^২

এখানে, ৩ এর সূচক ২, যা জোড় সংখ্যা। কিন্তু ২ এর সূচক ৫, যা বিজোড়।
সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে ২ এর সূচককেও জোড় সংখ্যা হতে হবে। এর জন্য সংখ্যাটিকে আরও একটি ২ দিয়ে গুণ করতে হবে।

সুতরাং, ২৮৮ সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
(যেমন: ২৮৮ × ২ = ৫৭৬, যা ২৪-এর বর্গ।)

প্রশ্ন: পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩১ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২১ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩১ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩১ × ৩) বছর
= ৯৩ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২১ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২১ × ২) বছর 
= ৪২ বছর 

∴ পিতার বয়স = (৯৩ - ৪২) বছর 
= ৫১ বছর। 

প্রশ্ন: y একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। y কে 4 দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে এবং y কে 9 দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে। r² + R এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত হতে পারে?

সমাধান:
y একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
আমরা জানি,
ভাগশেষ সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট হয়।

y কে 4 দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে 
∴ r এর মান 1, 2, 3 হতে পারবে।

y কে 9 দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে
∴ R এর মান 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 হতে পারবে

r² + R এর সর্বোচ্চ হবে যদি r ও R সর্বোচ্চ হয়
∴ r² + R = 3² + 8 = 9 + 8 = 17

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৯' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
এককের স্থানে ৯ আছে: ৯, ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯, ৬৯, ৭৯, ৮৯, ৯৯ (১০টি)
দশকের স্থানে ৯ আছে: ৯০, ৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৭, ৯৮, ৯৯ (১০টি)

৯৯ সংখ্যাটিতে ৯ অংকটি দুইবার (একক ও দশক উভয় স্থানে) ব্যবহৃত হয়েছে। উপরের দুটি তালিকায় ৯৯ সংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এর দুটি ৯-কেই গণনা করা হয়েছে।

∴ মোট ৯ আসার সংখ্যা = ১০ + ১০ = ২০ বার।

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত ?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ছয় অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হয়?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯
= ১

প্রশ্ন: ৭, ১০, ১২, ১৪ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
প্রত্যেক সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৭ = ১ × ৭
১০ = ২ × ৫
১২ = ২ × ২ × ৩
১৪ = ২ × ৭

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭
= ৬০ × ৭
= ৪২০

প্রশ্ন: ০.০০০১ এর বর্গমূল কত? 

সমাধান: 
০.০০০১ এর বর্গমূল = √(০.০০০১) 
= ০.০১ । 

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ২/৫ = ০.৪
খ) ৩/৮ = ০.৩৭৫
গ) ৪/১১ = ০.৩৬৩৬
ঘ) ৫/১৩ = ০.৩৮৪৬

∴ ২/৫ ভগ্নাংশটি হলো বৃহত্তম।

প্রশ্ন: কোন স্থানে যত লোক আছে তত ছয় পয়সা জমা করায় মোট ৩৭.৫০ টাকা জমা হল। ঐ স্থানে কত লোক ছিল?
​
​সমাধান:
​ধরি,
​ঐ স্থানে ক জন লোক ছিল।
​
​শর্তমতে,
৬ক × ক = ৩৭.৫০ × ১০০
​⇒ ৬ক^২ = ৩৭৫০
​∴ ক^২ = ৬২৫
​ক = ২৫
​সুতরাং, ঐ স্থানে ২৫ জন লোক ছিল।

প্রশ্ন: একটি লাঠি ৪৮ ইঞ্চি লম্বা, এটি দুটি অংশে ভাগ করা হয়েছে যাতে ছোট অংশটি বড় অংশের ১/৩ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট অংশটি = ক ইঞ্চি
তাহলে, বড় অংশটি = ৩ক ইঞ্চি

শর্তমতে,
ক + ৩ক = ৪৮ ইঞ্চি
⇒ ৪ক = ৪৮ ইঞ্চি
⇒ ক  = ৪৮/৪ ইঞ্চি
∴ ক = ১২ ইঞ্চি

অতএব, ছোট অংশটি ১২ ইঞ্চি লম্বা।

আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ১২ ইঞ্চি = ১২ × ২.৫৪ = ৩০.৪৮ সে.মি.

অতএব, ছোট অংশটি ৩০.৪৮ সে.মি. লম্বা।

প্রশ্ন: ৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
এখানে ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু = ৬০।
এখন,
৬০ দ্বারা ৯৯৯৯৯ কে ভাগ করতে হবে।
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ৩৯ অবশিষ্ট থাকে।
এবার ৬০ - ৩৯ = ২১ ।
সুতরাং ৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে ২১ যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার তিনগুণের সঙ্গে ৫ যোগ করলে ফলাফল সংখ্যাটির দ্বিগুণের চেয়ে ১১ বেশি হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ৩ক + ৫ = ২ক + ১১
বা, ৩ক - ২ক = ১১ - ৫
∴  ক = ৬

∴ সংখ্যাটি = ৬ ।

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৫৪ এবং তাদের বিয়োগফল ১২। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y।

শর্তমতে,
x + y = ৫৪ .......... (১)
x - y = ১২ .......... (২)

এখন, সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করি,
(x + y) + (x - y) = ৫৪ + ১২
⇒ ২x = ৬৬
⇒ x = ৬৬/২
∴ x = ৩৩

∴ বড় সংখ্যাটি ৩৩

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার।

প্রশ্নমতে,
∴ ক - (ক/৩) - (৩ক/৫) = ৬
(১৫ক - ৫ক - ৯ক)/১৫ = ৬
⇒ (১৫ক - ১৪ক)/১৫ = ৬
⇒ ক/১৫ = ৬

∴ ক = ৯০ হাত

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা যথাক্রমে ৯৬ এবং ৬৪। এই দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. -এর গুণফল কত?

সমাধান: 
৯৬ এবং ৬৪ ল.সা.গু. = ১৯২ 
এবং 
৯৬ এবং ৬৪ গ.সা.গু. = ৩২  

∴ ল.সা.গু. × গ.সা.গু. = ১৯২ × ৩২ = ৬১৪৪

প্রশ্ন: ২৫২ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
২৫২ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^২ × ৭^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত ২ (জোড়) এবং ৭ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।

অর্থাৎ, ২৫২ × ৭ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: √3 এবং 5 এর মাঝে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
√3 ≈ 1.732

অতএব √3 ও 5 এর মাঝখানে যে পূর্ণসংখ্যাগুলো আছে, সেগুলো হলো- 2, 3, 4

∴ মোট পূর্ণসংখ্যা = 3টি

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ২/৫ অংশ তার স্ত্রীকে দেন। অবশিষ্ট সম্পত্তি তিনি ৩ পুত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেন। যদি তার স্ত্রী ও দুই পুত্রের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট পরিমাণ ৪,৮০,০০০ টাকা হয় তাহলে ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ক টাকা
∴ তার স্ত্রী পান = ২ক/৫ টাকা

অবশিষ্ট সম্পত্তি = ক - (২ক/৫) টাকা
= (৫ক - ২ক)/৫ = ৩ক/৫ টাকা

∴ প্রত্যেক পুত্র পায় = (৩ক/৫) ÷ ৩ = ক/৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
স্ত্রী + ২ পুত্রের প্রাপ্ত অর্থ = ৪,৮০,০০০ টাকা
⇒ (২ক/৫) + ২ × (ক/৫) = ৪,৮০,০০০
⇒ (২ক/৫) + (২ক/৫) = ৪,৮০,০০০
⇒ ৪ক/৫ = ৪,৮০,০০০
⇒ ৪ক = ৪,৮০,০০০ × ৫
⇒ ক = (৪,৮০,০০০ × ৫) ÷ ৪
⇒ ক = ৬,০০,০০০

∴ ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ৬,০০,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: ৫টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৪৫ হলে, শেষ সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = ক 
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩) এবং (ক + ৪)

প্রশ্নমতে, 
⇒ ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪) = ১৪৫
⇒ ৫ক + ১০ = ১৪৫
⇒ ৫ক = ১৩৫
⇒ ক = ১৩৫/৫
∴ ক = ২৭

সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো ২৭, ২৮, ২৯, ৩০, ৩১
∴ শেষ দুইটি সংখ্যা = ৩০ এবং ৩১

∴ তাদের গুণফল = ৩০ × ৩১ = ৯৩০

প্রশ্ন: নিম্নে উল্লিখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
৩/১০ = ০.৩
৭/১০ = ০.৭
২/৫ = ০.৪
৪/২৫ = ০.১৬

উপরিউক্ত দশমিক মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায় যে, ০.৭ এর মান সবচেয়ে বেশি।
সুতরাং, ৭/১০ ভগ্নাংশটির মান সবচেয়ে বেশি।

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

সমাধান:
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
এখন, 
১৪৩ = ১৩ × ১১
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩ 

∴ গ.সা.গু হল = ১৩

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

প্রশ্ন: ৫/১১ ভগ্নাংশটির হর এবং লবের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি ৩/৫ হবে?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৫ + ক)/(১১ + ক) = ৩/৫
⇒ ৫ × (৫ + ক) = ৩ × (১১ + ক)
⇒ ২৫ + ৫ক = ৩৩ + ৩ক
⇒ ৫ক - ৩ক = ৩৩ - ২৫
⇒ ২ক = ৮
⇒ ক = ৮/২
∴ ক = ৪

প্রশ্ন: (১৮)^৭ কে সর্বনিম্ন কত দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
(১৮)^৭ 
= (২ × ৯)^৭
= (২ × ৩^২)^৭
= ২^৭ × ৩^১৪
কোনো সংখ্যার ঘাত জোড় সংখ্যা হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে। 
৩^১৪ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ।

কিন্তু ২^৭ এর ঘাত বিজোড় হওয়ায় সেটি পূর্ণবর্গ নয়।
তবে ২^৭ কে ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফল হবে,
(২^৭ × ২)
= ২^৮ যা পূর্ণবর্গ সংখ্যা।

অর্থাৎ (১৮)^৭ এর সাথে সর্বনিম্ন ২ দ্বারা গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ হবে। 

প্রশ্ন: ৬০ এর চেয়ে ছোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা হলো এমন সংখ্যা যা ১ এবং ঐ সংখ্যা ছাড়া আর কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ যায় না।

২ থেকে ৫৯ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো,
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ = মোট ১৭টি
(৬০ নিজে মৌলিক নয়, তাই এটি গণনায় আসে নাই)

সুতরাং, ৬০ এর চেয়ে ছোট ১৭টি মৌলিক সংখ্যা আছে। 

প্রশ্ন: একটি গামলার ৭/৮ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে তার ওজন ২১ কেজি হয় এবং ৩/৪ অংশ পানি পূর্ণ থাকলে তার ওজন ১৯ কেজি হয়। ঐ গামলার ওজন কত?

সমাধান:
ধরি,
গামলার ওজন = x কেজি
এবং পূর্ণ পানির ওজন = y কেজি।

প্রথম শর্ত অনুযায়ী,
গামলার ৭/৮  অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে মোট ওজন = x + (৭/৮)y = ২১  কেজি। ........(1)

দ্বিতীয় শর্ত অনুযায়ী,
গামলার ৩/৪​ অংশ পানি দ্বারা পূর্ণ থাকলে মোট ওজন = x + (৩/৪)y = ১৯ কেজি। ........(2)

এখন (1) - (2) করে পাই, 
⇒ x + (৭/৮)y - {x + (৩/৪)y} = ২১ - ১৯ 
⇒ y{(৭/৮) - (৩/৪)} = ২ 
⇒ y(৭ - ৬)/৮ = ২ 
∴ y = ১৬ 

এখন y এর মান 1 নং এ বসিয়ে পাই, 
⇒ x + (৭/৮) × ১৬ = ২১
⇒ x + ১৪ = ২১ 
⇒ x = ২১ - ১৪ 
∴ x = ৭ কেজি 

সুতরাং, ঐ গামলার ওজন ৭ কেজি । 

প্রশ্ন: ৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান:
৩০ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো:
৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৭ টি

নোট:
১ থেকে ১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (মোট ২৫টি):
২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭।

 প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
√- ৪ হলো একটি কাল্পনিক সংখ্যা, যা বাস্তব সংখ্যা নয়।
√- ৪ = √{৪ × (- ১)} = ২ √- ১ = ২i ; যেখানে i = √- ১​ কাল্পনিক একক

বাকিগুলো সবগুলোই বাস্তব সংখ্যা।

প্রশ্ন: ০, ২, ৪, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল কত?
 
সমাধান:
০, ২, ৪, ৫ দ্বারা গঠিত চার অঙ্কের,
বৃহত্তম সংখ্যা = ৫৪২০ 
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ২০৪৫

এদের পার্থক্য = ৫৪২০ - ২০৪৫ = ৩৩৭৫

প্রশ্ন: একটি লাঠির ১/৪ অংশ মাটির নিচে, ২/৫ অংশ পানির নিচে এবং অবশিষ্ট ১৪ মিটার পানির উপরে আছে। লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ক মিটার
মাটির নিচে অংশ = ক/৪ মিটার
পানির নিচে অংশ = ২ক/৫ মিটার

মাটি ও পানির নিচের মোট অংশ = (ক/৪) + (২ক/৫) মিটার
= (৫ক + ৮ক)/২০ মিটার
= ১৩ক/২০ মিটার

∴ পানির উপরে আছে = ক - (১৩ক/২০)
= (২০ক - ১৩ক)/২০
= ৭ক/২০ মিটার

প্রশ্নমতে,
৭ক/২০ = ১৪
⇒ ৭ক = ১৪ × ২০
⇒ ৭ক = ২৮০
⇒ ক = ২৮০/৭
∴ ক = ৪০

অতএব, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ৪০ মিটার।

প্রশ্ন: চারটি ঘণ্টা একই সময়ে বাজতে শুরু করে। ঘণ্টা চারটি যথাক্রমে প্রতি ৬ সেকেন্ড, ১২ সেকেন্ড, ১৫ সেকেন্ড এবং ২০ সেকেন্ডের ব্যবধানে বাজে। ঘণ্টা চারটি ২ ঘণ্টার মধ্যে কতবার একসাথে বাজবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ঘণ্টাগুলির সময়কাল যথাক্রমে ৬, ১২, ১৫, ২০ সেকেন্ড।
প্রথমে এই সংখ্যা গুলোর মৌলিক গুণফল বের করি। 
৬ = ২ × ৩ 
১২ = ২ × ২ × ৩ 
১৫ = ৫ × ৩ 
২০ = ২ × ২ × ৫ 

∴ ল, সা, গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ 
∴ চারটি ঘণ্টা একসাথে প্রতি ৬০ সেকেন্ডে বাজে।

এখন, 
২ ঘণ্টা = ২ × ৬০ × ৬০ = ৭২০০ সেকেন্ড
∴ ২ ঘন্টায়, ঘণ্টা চারটি একসাথে বাজবে = (৭২০০/৬০) বার + ১ বার(শুরুতে)
= ১২০ + ১ =  ১২১ বার

∴ ২ ঘন্টার মধ্যে ঘণ্টা চারটি একসাথে ১২১ বার বাজবে। 

প্রশ্ন: একটি লম্বা গাছের ১/৫ অংশ মাটির নিচে, ৩/৭ অংশ পানিতে এবং অবশিষ্ট ২৬ মিটার পানির উপরে আছে। গাছটির মোট দৈর্ঘ্য কত? 

সমাধান:
ধরি, গাছটির মোট দৈর্ঘ্য = ক মিটার
দেওয়া আছে,
মাটির নিচে = ১/৫ অংশ = ক/৫
পানিতে = ৩/৭ অংশ = ৩ক/৭
পানির উপরে (অবশিষ্ট) = ২৬ মিটার

∴ সম্পূর্ণ গাছ = মাটির নিচে + পানিতে + পানির উপরে
⇒ ক = (ক/৫) + (৩ক/৭) + ২৬
⇒ ক - (ক/৫) - (৩ক/৭) = ২৬
⇒ (৩৫ক - ৭ক - ১৫ক)/৩৫ = ২৬
⇒ ১৩ক/৩৫ = ২৬ 
⇒ ক = (৩৫ × ২৬)/১৩ 
⇒ ক =  ৩৫ × ২
∴ ক = ৭০ 

সুতরাং, গাছটির মোট দৈর্ঘ্য ৭০ মিটার। 

প্রশ্ন:

সমাধান: 

এখন 
(১/২) + (১/২)  = (১ + ১)/২ = ২/২ = ১

অতএব 
১/২ যোগ করলে যোগফল ১ হবে। 

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ৯১ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ৯১
⇒ ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ৯১
⇒ ২ক + ১ = ৯১
⇒ ২ক = ৯০
⇒ ক = ৪৫

∴ বড় সংখ্যাটি = ৪৫ + ১ = ৪৬