বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: যদি একটি জলাধারের ২/৭ অংশ পূর্ণ আছে এবং জলাধারটির ৫/৭ অংশ পূর্ণ করতে আরও ২৪ লিটার পানির প্রয়োজন হয়, তবে জলাধারটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
২৪ লিটার পানি দ্বারা পূর্ণ হয় জলাধারের {(৫/৭) - (২/৭)} অংশ
= ৩/৭ অংশ

জলাধারের ৩/৭ অংশের ধারণক্ষমতা = ২৪ লিটার
∴ জলাধারের ১ বা সম্পূর্ণ অংশের ধারণক্ষমতা = (২৪ × ৭)/৩ লিটার
= ৫৬ লিটার।

প্রশ্ন: একটি বাড়ির ২/৭ অংশের মূল্য ৫৬০০০ টাকা হলে ১/৪ অংশের মূল্য কত?

সমাধান: 
২/৭ অংশ বাড়ির মূল্য ৫৬০০০ টাকা
∴ ১ অংশ বাড়ির মূল্য = (৫৬০০০ × ৭)/২ = (২৮০০০ × ৭) টাকা
∴ ১/৪  অংশ বাড়ির মূল্য = (২৮০০০ × ৭)/৪ টাকা
= ৪৯০০০ টাকা 

প্রশ্ন: ২১৭৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
২১৭৮ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই, 
২১৭৮ = ২ × ৩ × ৩ × ১১ × ১১
 = ২ × ৩^২ × ১১^২

এখানে, ২ এর সূচক একক (জোড়া বিহীন)।
সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ২১৭৮ কে ২ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৬৫০ থেকে যত বড় ৮২০ থেকে তত ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক
তাহলে,
৮২০ - ক = ক - ৬৫০
⇒ ২ক = ৮২০ + ৬৫০ = ১৪৭০ 
⇒ ক = ১৪৭০/২ 
∴ ক = ৭৩৫

সমাধান:
৩৬৫ - ৫ = ৩৬০ এবং ৪৬৩ - ৭ = ৪৫৬
সুতরাং নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৩৬০ ও ৪৫৬ এর গ. সা. গু ।

এখানে,
৩৬০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫
এবং ৪৫৬ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ১৯

∴ নির্ণেয় গ. সা. গু = ২ × ২ × ২ × ৩ = ২৪

নোটঃ
প্রশ্নে বৃহত্তম সংখ্যা বের করতে বলা হলে গ.সা.গু বের করতে হবে।
প্রশ্নে ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বের করতে বলা হলে ল.সা.গু বের করতে হবে।

প্রশ্ন: ৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুইটির অন্তর কত? 

সমাধান: 
৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৪১ 
আবার,
৪০ এবং ৮০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা হলো = ৭৯ 

∴ সংখ্যা দুইটির অন্তর = (৭৯ - ৪১) 
= ৩৮ ।

প্রশ্ন: (৩/২)% কে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে কত হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
= (৩/২)%
= (৩/২)/১০০
= ৩/(২ × ১০০)
= ৩/২০০
= ০.০১৫

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যা p ও q (যেখানে q ≠ 0) এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়। শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, সসীম দশমিক এবং পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৫/৩, ২.৫, √৯ = ৩ ইত্যাদি।

অমূলদ সংখ্যা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৭, √১১ ইত্যাদি।

এখানে,
ক) √১৬৯ = ১৩ এটি একটি পূর্ণসংখ্যা এবং ১৬৯ একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
খ) ৫/৯ এটি p/q আকারে আছে। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।
গ) √২৮ =  √(৪ × ৭) = ২√৭। এখানে ৭ একটি মৌলিক সংখ্যা এবং পূর্ণবর্গ নয়।
√২৮ = ৫.২৯১৫০২৬২২১...... এটি একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক। এটিকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না। সুতরাং এটি অমূলদ সংখ্যা।
ঘ) ৩.৭৫ = ৩৭৫/১০০ = ১৫/৪, এটি p/q আকারে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং এটি মূলদ সংখ্যা।

সুতরাং, √২৮ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
ক্রমিক সংখ্যার গড় নির্ণয়ের সূত্র:
গড় = (প্রথম পদ + শেষ পদ)/২

এখানে, প্রথম পদ = ১, শেষ পদ = ১০০

অতএব, গড় = (১ + ১০০)/২
= ১০১/২
= ৫০.৫

∴ ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার গড় হল ৫০.৫

প্রশ্ন: কোন সম্পত্তির ৩/৭ অংশের মূল্য ২৭০০০ টাকা হলে ১/২ অংশের মূল্য কত?

সমাধান:
৩/৭ অংশ = ২৭০০০
∴ ১ অংশ = ২৭০০০ × (৭/৩)
∴ ১/২ অংশ = ২৭০০০ × (৭/৩) × (১/২)
= ৩১,৫০০ টাকা

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৯৩। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক
বড় সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৯৩
বা, ক^২ + ২ক + ১ - ক^২ = ১৯৩
বা, ২ক + ১ = ১৯৩
বা, ২ক + ১ = ১৯৩ - ১
বা, ২ক = ১৯২
বা, ক = ১৯২/২
∴ ক = ৯৬

∴ বড় সংখ্যাটি = ক + ১ = ৯৬ + ১ = ৯৭

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় ৬। যদি প্রতিটি সংখ্যা থেকে ২ বিয়োগ করা হয় তবে নতুন সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ছয়টি সংখ্যার গড় ৬

∴ সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৬ × ৬ = ৩৬

আবার,
যদি প্রতিটি সংখ্যা থেকে ২ বিয়োগ করা হয়, তবে মোট সমষ্টি থেকে বিয়োগ হবে = ২ × ৬ = ১২।
∴ নতুন যোগফল = ৩৬ - ১২ = ২৪।

∴ নতুন গড় = নতুন যোগফল ÷ সংখ্যার সংখ্যা = ২৪ ÷ ৬ = ৪

অতএব, নতুন সংখ্যাগুলোর গড় ৪। 

প্রশ্ন: Q একটি মৌলিক সংখ্যা হলে তার √Q কে কী হিসেবে প্রকাশ করা যায়?

সমাধান:
মৌলিক সংখ্যার সংজ্ঞা অনুসারে, Q কেবলমাত্র 1 এবং Q দ্বারা বিভাজ্য।
আমরা জানি যে, যদি Q একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় √Q​ মূলদ সংখ্যা হয়। 
কিন্তু যেহেতু Q মৌলিক, এটি কোনো পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
∴ √Q মূলদ সংখ্যা নয়।
যদি Q = 2, 3, 5, 7, 11, 13,… হয়, তবে  √Q​​ একটি অমূলদ সংখ্যা (irrational number)।
কারণ  √Q​​ কখনো ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা হিসেবে প্রকাশ করা যায় না।

অর্থাৎ √Q একটি অমূলদ সংখ্যা। 

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার এক-পঞ্চমাংশের সাথে এক-ষষ্ঠাংশ যোগ করলে যোগফল ৩৩ হবে?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক
প্রশ্নমতে,
(ক/৫) + (ক/৬) = ৩৩
বা, (৬ক + ৫ক)/৩০ = ৩৩
বা, ১১ক/৩০ = ৩৩
বা, ১১ক = ৩৩ × ৩০
বা, ক = (৩৩ × ৩০)/১১
বা, ক = ৩ × ৩০
বা, ক = ৯০
​
​অতএব, সংখ্যাটি হবে ৯০।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য? 

সমাধান: 
৪ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম:
একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষ দুটি অঙ্ক (একক এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক) দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ২১৪১৩৩; শেষ দুটি অঙ্ক ৩৩। ৩৩ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (৩৩ = ৪ × ৮ + ১), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

খ) ৩২২৬৫৮; শেষ দুটি অঙ্ক ৫৮। ৫৮ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (৫৮ = ৪ × ১৪ + ২), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

গ) ৫২১৫৬৪; শেষ দুটি অঙ্ক ৬৪। ৬৪ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না (৬৪ = ৪ × ১৬), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

ঘ) ৯৫২২১৮; শেষ দুটি অঙ্ক ১৮। ১৮ কে ৪ দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে (১৮ = ৪ × ৪ + ২), তাই এটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো গ) ৫২১৫৬৪।

প্রশ্ন: একটি ঝুড়িতে ৫২০ টি আম রয়েছে। এতে কমপক্ষে আরো কতটি আম যোগ করলে সেগুলো ৩, ৪ এবং ৬ জন বালকের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে?

সমাধান:
৩ = ১ × ৩
৪ = ২ × ২
৬ = ২ × ৩

৩, ৪, ৬ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ = ১২

এখন,
১২ ) ৫২০ ( ৪৩
        ৪৮
     ___________
           ৪০
           ৩৬
    _____________
              ৪ 

যেহেতু ভাগশেষ ৪, সেহেতু ল.সা.গু. থেকে ভাগশেষের বিয়োগফলের সমান সংখ্যক আম যোগ করলে তা সকলের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়া যাবে।

∴ আম যোগ করতে হবে = (১২ - ৪) টি = ৮ টি

প্রশ্ন: ৬০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা কত?

সমাধান:
৬০০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৫
= ২^৩× ৩^১ × ৫^২ 

আমরা জানি,
কোনো সংখ্যার মোট ভাজক সংখ্যা বের করতে হলে এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর সূচকের সাথে ১ যোগ করে গুণ করতে হয়।

∴  ৬০০ এর মোট ভাজক সংখ্যা = (৩ + ১) × (১ + ১) × (২ + ১)
= ৪ × ২ × ৩
= ২৪

সুতরাং, ৬০০ সংখ্যাটির মোট ভাজক সংখ্যা = ২৪

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি বাস্তব সংখ্যা নয়?

সমাধান:
বাস্তব সংখ্যা: শূন্য সহ সকল মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বাস্তব সংখ্যা বলে। যেমন: ০, ১, ২, - ১, - ২, √২, √৩ ইত্যাদি।

এখানে,
ক) - ৭.৫ → এটি একটি বাস্তব দশমিক সংখ্যা।
খ) √০ = ০ → এটি একটি বাস্তব সংখ্যা।
ঘ) ১/২ → এটি একটি বাস্তব ভগ্নাংশ।
গ) ৯ + √- ১৬ → এই সংখ্যাটির √- ১৬ একটি কাল্পনিক সংখ্যা। কারণ, √- ১৬ বাস্তব সংখ্যার মধ্যে পড়ে না। এটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা।

∴ (গ) ৯ + √- ১৬ বাস্তব সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: ১০০ থেকে বড় এবং ১৫০ থেকে ছোট কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে? 

সমাধান: 
মৌলিক সংখ্যা: যে সংখ্যাকে শুধুমাত্র ১ এবং সেই সংখ্যাটি ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না, তাকে মৌলিক সংখ্যা বলে।

এখন, 
১০০ থেকে বড় এবং ১৫০ থেকে ছোট ১০টি মৌলিক সংখ্যা আছে। 
মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো-
১০১, ১০৩, ১০৭, ১০৯, ১১৩, ১২৭, ১৩১, ১৩৭, ১৩৯ এবং ১৪৯। 

প্রশ্ন: ১ থেকে ৮০ গণনা করলে তার মধ্যে কয়টি ৬ পাওয়া যাবে? 

সমাধান:
একক স্থানে ৬ আছে - ৬, ১৬, ২৬, ৩৬, ৪৬, ৫৬, ৬৬, ৭৬ = ৮টি

এবং 
দশক স্থানে ৬ আছে - ৬০, ৬১, ৬২, ৬৩, ৬৪, ৬৫, ৬৬, ৬৭, ৬৮, ৬৯ = ১০ টি

∴ মোট ৬ আছে = ৮ + ১০ = ১৮ টি 

বিশেষ দ্রষ্টব্য: ৬৬ সংখ্যায় ৬ দুইবার এসেছে (একক ও দশক উভয় স্থানে)

প্রশ্ন: ৭০ হতে ৯০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা কতটি?

সমাধান:
৭০ হতে ৯০ মৌলিক সংখ্যা গুলো হলো  = ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯

অতএব, মোট মৌলিক সংখ্যা = ৫টি

প্রশ্ন: ৭২ × ৭৫  × ৩^৩  × ৪^৩  × ২^৮ কে নূন্যতম কত দ্বারা গুণ করলে গুণফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৭২ × ৭৫  × ৩৩  × ৪৩  × ২৮
= ৮  × ৯  × ৩  × ২৫  × ৩^৩ ×  (২^২)^৩  × ২^৮
= ২^৩ × ৩^২  × ৩  × ৫^২  × ৩^৩  × ২^৬  × ২^৮ 
= ২^১৭  × ৩^৬  × ৫^২ 

এখানে, জোড় ঘাত বিশিষ্ট সংখ্যা পূর্ণবর্গ। প্রদত্ত সংখ্যায় ২^১৭ এর ঘাত ১৭ যা বিজোড় হওয়ায় সংখ্যাটিকে ২ দ্বারা গুণ করলে দাঁড়ায় ২^১৮  × ৩^৬  × ৫^২ , যা একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা। 

সুতরাং ২ দ্বারা গুণ করতে হবে। 

প্রশ্ন: (৩/৫) + ০.১ + ০.০৫ = ?

সমাধান:
৩/৫ + ০.১ + ০.০৫
= ৩/৫ + ১/১০ + ৫/১০০
= ৩/৫ + ১/১০ + ১/২০
= (১২ + ২ + ১)/২০
= ১৫/২০
= ৩/৪

প্রশ্ন: রুবেল তার সঞ্চয়ের ২/৫ অংশ দিয়ে একটি কম্পিউটার কিনে এবং সেই কম্পিউটারের দামের ১/২ অংশ দিয়ে একটি প্রিন্টার কিনে। তাহলে তার সঞ্চয়ের কত অংশ অবশিষ্ট রইল?

সমাধান:
মনে করি, 
রুবেলের মোট সঞ্চয়ের পরিমান = ১ অংশ।
তাহলে,
কম্পিউটার কিনে = ২/৫ অংশ টাকা দিয়ে
প্রিন্টার কিনে =(১/২) × (২/৫) = ১/৫ অংশ টাকা দিয়ে

∴ মোট খরচ = (২/৫) + (১/৫) = (২ + ১)/৫ = ৩/৫ অংশ

∴ অবশিষ্ট = ১ - (৩/৫) = (৫ - ৩)/৫ = ২/৫ অংশ

প্রশ্ন: ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর এবং স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর। বালকের বয়স কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের গড় ৩৬ বছর।
∴ ৬জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১জন বালকের বয়সের সমষ্টি = ৩৬ × ১৫ = ৫৪০ বছর

আবার, 
পুরুষদের বয়সের গড় ৪১ বছর
∴ পুরুষদের বয়সের সমষ্টি = ৪১ × ৬ = ২৪৬ বছর

এবং, 
স্ত্রীলোকদের বয়সের গড় ৩৫ বছর
∴ স্ত্রীলোকদের বয়সের সমষ্টি = ৩৫ × ৮ = ২৮০ বছর

∴ বালকের বয়স = ৫৪০ - (২৪৬ + ২৮০) = ১৪ বছর

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১২০টি লাল মার্বেল এবং ১৬৮টি সবুজ মার্বেল আছে। কোনো মার্বেল না ভেঙে সর্বাধিক কতগুলি প্যাকেটে এমনভাবে রাখা যাবে যেন প্রতিটি প্যাকেটে সমান সংখ্যক লাল ও সবুজ মার্বেল থাকে?

সমাধান: 
১২০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ 
১৬৮ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৭ 

∴ ১২০ ও ১৬৮ এর গ.সা.গু = ২৪ 

∴ মার্বেলগুলো সর্বাধিক ২৪টি প্যাকেটে রাখা যাবে।

প্রশ্নঃ একটি কেক এর ৩/৪ অংশ একজন ছেলে আর ১/৪ অংশ একজন মেয়ে খায়। যদি মেয়েটি ৩০ গ্রাম খায়, কেকের মোট ওজন কত?

সমাধানঃ 
মেয়ের অংশ = ১/৪, 
খাওয়া = ৩০ গ্রাম
১/৪ অংশ কেক = ৩০ গ্রাম
১ অংশ কেক = ৩০ × ৪ গ্রাম = ১২০ গ্রাম

∴ কেকের মোট ওজন ১২০ গ্রাম

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০। প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
গ.সা.গু. এবং ল.সা.গু. যথাক্রমে ১২ এবং ১৮০

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
= ১২ × ১৮০ 
= ২১৬০

এখন, 
প্রথম সংখ্যাটিকে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল ২০ হয়।
∴ প্রথম সংখ্যা = ২০ × ৩ = ৬০ 

ধরি, দ্বিতীয় সংখ্যা = ক 
সুতরাং, ৬০ × ক = ২১৬০
⇒ ক = ২১৬০/৬০ 
∴ ক = ৩৬ 

সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যা ৩৬ 

প্রশ্ন: রমজান আলীর গত তিন বছরের গড় আয় ১১০০০০ টাকা। দ্বিতীয় বছরে প্রথম বছরের ১.৫ গুণ আয় এবং তৃতীয় বছরে দ্বিতীয় বছরের ২ গুণ আয়। দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় আয় কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বছরের আয় = ক  টাকা।
দ্বিতীয় বছরের আয় = ১.৫ক টাকা।
তৃতীয় বছরের আয় = ২ × ১.৫ক = ৩ক টাকা।

∴ তিন বছরের মোট আয় = ক + ১.৫ক + ৩ক = ৫.৫ক  টাকা।

প্রশ্নমতে, 
৫.৫ক/৩ = ১১০০০০
⇒ ক = (১১০০০০ × ৩)/৫.৫
∴ ক = ৬০০০০ টাকা 

এখন, 
দ্বিতীয় বছরের আয় = ১.৫ × ৬০০০০ = ৯০০০০ টাকা।
তৃতীয় বছরের আয় = ৩ × ৬০০০০ = ১৮০০০০ টাকা।

∴  দ্বিতীয় ও তৃতীয় বছরের গড় আয় = (৯০০০০ + ১৮০০০০)/২ = ২৭০০০০/২ = ১৩৫০০০ টাকা 

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ৪/৯ অংশ ব্যয় করার পরে অবশিষ্ট সম্পত্তির ৩/৮ অংশ ব্যয় করে দেখলেন যে তার নিকট ২০০০ টাকা রয়েছে। তার মোট সম্পত্তির মূল্য কত?

সমাধান:
মোট সম্পত্তি = ১ অংশ

অবশিষ্ট রইলো = (১ - ৪)/৯
= (৯ - ৪)/৯
= ৫/৯ অংশ

৫/৯ এর ৩/৮ অংশ = ১৫/৭২ অংশ

প্রশ্নমতে,
(৫/৯) - (১৫/৭২) অংশ = ২০০০
(৪০/৭২ - ১৫/৭২) অংশ = ২০০০
২৫/৭২ অংশ = ২০০০

∴ ১ অংশ বা, মোট সম্পত্তি = (২০০০ × ৭২)/২৫
= ৫৭৬০ টাকা

প্রশ্ন: ২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম। গাণিতিক আকারে প্রকাশ করলে কী হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
২০ সংখ্যাটি a হতে ৫ কম।

প্রশ্নমতে,
২০ = a - ৫
∴ a = ২০ + ৫

প্রশ্ন: কোন ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 17। যদি লবের সাথে 3 যোগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি,
 ভগ্নাংশটি = a/b​ (যেখানে a = লব, b = হর, এবং a ও b পূর্ণসংখ্যা, b ≠ 0)

শর্তমতে, 
a + b = 17 
⇒ b = 17 - a .......(1)
আবার,
লবের সাথে 3 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়, অর্থাৎ
(a + 3)/b = 1
⇒ a + 3 = b
⇒ a + 3 = 17 - a   ; [(1) নং হতে]
⇒ 2a = 17 - 3
⇒ 2a = 14
∴ a = 7

a এর মান (1) নং হতে পাই, 
b = 17 - a = 17 - 7 = 10
∴ b = 10

∴ ভগ্নাংশটি = 7/10

প্রশ্ন: ৫৬৭২৮ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কত জন সৈন্য সারিয়ে রাখলে সৈন্য দলকে বর্গকারে সাজানো যায়?

সমাধান: 
মোট সৈন্য সংখ্যা = ৫৬৭২৮
এর বর্গমূল:
       ৫৬৭২৮ । ২৩৮
       ৪
       ^__________
  ৪৩। ১৬৭
       । ১২৯
        ^__________
৪৬৮।৩৮২৮
        ।৩৭৪৪
       ^___________
        ।    ৮৪
৮৪ অবশিষ্ট থাকে।

সুতরাং, ৮৪ জন সৈন্যকে সরিয়ে রাখলে সৈন্যদলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে। 

প্রশ্ন: কোনো বিক্রেতাকে ৩.২৫ টাকা, ৪.৭৫ টাকা ও ১১.৫০ টাকা একই ধরণের মুদ্রা দ্বারা পরিশোধ করতে হলে সবচেয়ে বড় কত পয়সার মুদ্রা প্রয়োজন?

সমাধান:
আমরা জানি, 
১ টাকা = ১০০ পয়সা
সুতরাং, 
৩.২৫ টাকা = ৩২৫ পয়সা
৪.৭৫ টাকা = ৪৭৫ পয়সা
১১.৫০ টাকা = ১১৫০ পয়সা

এখন,
মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ
৩২৫ = ৫ × ৫ × ১৩
৪৭৫ = ৫ × ৫ × ১৯
১১৫০ = ২ × ৫ × ৫ × ২৩

∴ ৩২৫, ৪৭৫ ও ১১৫০ এর গ.সা.গু = ২৫

অতএব, সবচেয়ে বড় ২৫ পয়সার মুদ্রার প্রয়োজন।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার (৩/৮) অংশ ৭২ এর সমান?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক এর ৩/৮ = ৭২
বা, ৩ক/৮ = ৭২
বা, ৩ক = ৭২ × ৮
বা, ক = (৭২ × ৮)/৩
∴ ক = ১৯২