বাস্তব সংখ্যা, গড় ও ভগ্নাংশ

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা? 

সমাধান: 
অমূলদ সংখ্যা: 
- যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ 0, সে সংখ্যাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। 
- পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যে কোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল কিংবা তার ভগ্নাংশ একটি অমূলদ সংখ্যা। 
যেমন- √2, √3, √5, √10 ইত্যাদি। 

মূলদ সংখ্যা: 
- যেসকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় যেখানে p, q স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q≠0 তাদেরকে মূলদ সংখ্যা বলে। 
• ৫/৩ ⇒  সকল সাধারণ ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা। 
• √৪ এবং √৯ = ২ এবং ৩ ⇒ সকল পূর্ণবর্গ সংখ্যা বা সকল পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক ও ৬ক 

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০ 
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩
সুতরাং, বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৬ক = ৬ × ৩ = ১৮
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ৩ক = ৩ × ৩ = ৯ 

∴ বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার পার্থক্য = (১৮ - ৯) = ৯ ।

প্রশ্ন: পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় ৪৮ বছর এবং মা এবং ঐ পুত্রের বয়সের গড় ৪২ বছর। পিতার বয়স ৬৬ বছর হলে, মাতার বয়স কত?

সমাধান:
পিতা ও পুত্রের বয়সের গড় = ৪৮ বছর
∴ পিতা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪৮ × ২) বছর
= ৯৬ বছর

মা ও পুত্রের বয়সের গড় = ৪২ বছর
∴ মা ও পুত্রের বয়সের সমষ্টি = (৪২ × ২) বছর
= ৮৪ বছর

পিতার বয়স = ৬৬ বছর
∴ পুত্রের বয়স = ৯৬ - ৬৬ = ৩০ বছর

∴ মাতার বয়স = ৮৪ - ৩০ = ৫৪ বছর

প্রশ্ন: একটি খুঁটির এক-চতুর্থাংশ মাটির নিচে, এক-পঞ্চমাংশ পানির মধ্যে এবং ৫.৫ মিটার পানির উপরে, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, খুঁটিটির দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে ও পানির মধ্যে আছে = (ক/৪) + (ক/৫) অংশ
= (৫ক + ৪ক)/২০ অংশ
= ৯ক/২০ অংশ

আবার, পানির উপরে আছে = ক - (৯ক/২০)
= ১১ক/২০ অংশ

শর্তমতে,
১১ক/২০ = ৫.৫ মিটার
⇒ ক = (৫.৫ × ২০)/১১
⇒ ক = ১১০/১১ 
∴ ক = ১০ মিটার

অতএব, খুঁটির মোট দৈর্ঘ্য ১০ মিটার।

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৩৯০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, প্রথম সংখ্যাটি = ক
সুতরাং, দ্বিতীয় সংখ্যাটি = (ক + ১)
এবং, তৃতীয় সংখ্যাটি = (ক + ২)

প্রশ্নমতে,
ক + (ক + ১) + (ক + ২) = ৩৯০
বা, ৩ক + ৩ = ৩৯০
বা, ৩ক = ৩৯০ - ৩
বা, ৩ক = ৩৮৭
 বা, ক = ৩৮৭/৩
∴ ক = ১২৯

∴ বড় সংখ্যাটি হলো = ক + ২ = ১২৯ + ২ = ১৩১

প্রশ্ন: তিনজন ব্যক্তি একটি পথে বরাবর দৌড়াচ্ছেন। তারা যথাক্রমে ১০, ১২ এবং ১৫ মিনিটে এক চক্কর পূর্ণ করেন। সকাল ৮টার সময় তারা একই স্থান থেকে দৌড় শুরু করলে, পুনরায় কখন তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবেন?

সমাধান: 
১০ = ২ × ৫ 
১২ = ২ × ২ × ৩ 
১৫ = ৩ × ৫

∴ ১০, ১২ এবং ১৫ ল.সা.গু. = ২ × ২ × ৩ × ৫ = ৬০ 
তারা আবার শুরুর স্থানে একসঙ্গে মিলিত হবেন ৬০ মিনিট পর।
শুরু করেছে সকাল ৮ : ০০ টায়
এবং ৬০ মিনিট = ১ ঘণ্টা
∴ ৮ : ০০ + ১ ঘণ্টা = সকাল ৯ : ০০ টা

সুতরাং, তারা আবার শুরুর স্থানে মিলিত হবেন সকাল ৯টায়।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি ছোট?

সমাধান: 
৩/৭ = ০.৪২
৫/৯ = ০.৫৫
১/৩ = ০.৩৩
২/৫ = ০.৪০

∴ ৫/৯ > ৩/৭ > ২/৫ > ১/৩

 অতএব, ছোট ভগ্নাংশটি হলো ১/৩

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৭৬০ থেকে যত ছোট ৫৮০ থেকে তত বড়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
৭৬০ - ক  = ক - ৫৮০
⇒ ক + ক = ৭৬০ + ৫৮০
⇒ ২ক = ১৩৪০
⇒ ক = ১৩৪০/২
⇒ ক = ৬৭০

∴ সংখ্যাটি ৬৭০ ।

প্রশ্ন: একটি অফিসে ৩০ জন কর্মীর গড় বেতন ৩০০০০ টাকা। যদি ১৪ জনের গড় বেতন ৩৫০০০ টাকা হয়, বাকি ১৬ জনের গড় বেতন কত?

সমাধান: 
৩০ জন কর্মীর মোট বেতন = ৩০ × ৩০০০০ = ৯০০০০০ টাকা।

আবার,
১৪ জন কর্মীর মোট বেতন = ১৪ × ৩৫০০০ = ৪৯০০০০ টাকা।

এখন, 
বাকি ১৬ জন কর্মীর মোট বেতন = মোট বেতন - ১৪ জন কর্মীর মোট বেতন
= ৯০০০০০ - ৪৯০০০০ = ৪১০০০০ টাকা।

∴ বাকি ১৬ জন কর্মীর গড় বেতন = ৪১০০০০/১৬ জন = ২৫৬২৫ টাকা।

প্রশ্ন: একজন ক্রিকেটারের ১০ ইনিংস রানের গড় ৪৫.৫। ১১ তম ইনিংসে কত রান করে আউট হলে সব ইনিংসে মিলিয়ে তার রানের গড় ৫০ হবে? 

সমাধান: 
১০ ইনিংসের রানের গড় = ৪৫.৫
∴ ১০ ইনিংসের মোট রান = (১০ × ৪৫.৫)
= ৪৫৫ রান

আবার,
১১ ইনিংসের রানের গড় = ৫০.০
∴ ১১ ইনিংসের মোট রান = (১১ × ৫০.০)
= ৫৫০ রান

∴ ১১ তম ইনিংসের রান = (৫৫০ - ৪৫৫)
= ৯৫ রান ।

প্রশ্ন: ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে কয়টি মৌলিক সংখ্যা আছে?

সমাধান: 
৪৩ থেকে ৬০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হলো,
৪৩, ৪৪, ৪৫, ৪৬, ৪৭, ৪৮, ৪৯, ৫০, ৫১, ৫২, ৫৩, ৫৪, ৫৫, ৫৬, ৫৭, ৫৮, ৫৯, ৬০

∴ মোট মৌলিক সংখ্যা = ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯ = ৪টি 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ও তার গুণাত্মক বিপরীতের সমষ্টি 2 হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = x
সংখ্যাটির গুণাত্মক বিপরীত = 1/x

প্রশ্নমতে,
x + 1/x = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি 1

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার  ল.সা.গু ৭২ এবং গ.সা.গু ৬। একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার ৪/৩ অংশ হলে, সংখ্যা দুইটি কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ছোট সংখ্যাটি = ক 
বড় সংখ্যাটি = ৪ক/৩

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু × সংখ্যা দুইটি গ.সা.গু 
⇒ ক. (৪ক/৩) = ৭২ × ৬
⇒ (৪/৩)ক^২ = ৪৩২
⇒ ক^২ = ৩২৪
⇒ ক = √৩২৪
∴ ক = ১৮ 

∴ ছোট সংখ্যাটি = ১৮
∴ বড় সংখ্যাটি = (১৮ × ৪)/৩ = ২৪ 

সুতরাং সংখ্যা দুটি = ১৮ এবং ২৪

প্রশ্ন: i + i² + i³ + i⁴ + ...................... + i²⁵ = ?

সমাধান: 

i এর ক্রমিক চারটি ঘাতের যোগফল শুন্য।
i = √ - 1
i² = - 1
i³ = - i
i⁴ = 1
i⁵ = i

তাই i²⁴ পর্যন্ত যোগফল শুন্য। 

∴ i²⁵
= i^{24 + 1}
= (i⁴)⁶ . i¹
= (1)⁶ . i
= i

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহমৌলিক?

সমাধান:
আমরা জানি, দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে তারা পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ক): ১৬, ২৮
১৬-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৮, ১৬
২৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ৭, ১৪, ২৮
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ২, ৪
∴ ১৬, ২৮ সহমৌলিক নয়।

অপশন (খ): ৫২, ৯১
৫২-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ৪, ১৩, ২৬, ৫২
৯১-এর গুণনীয়ক: ১, ৭, ১৩, ৯১
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ১৩
∴ ৫২, ৯১ সহমৌলিক নয়।

অপশন (গ): ২৭, ৩৮
২৭-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৯, ২৭
৩৮-এর গুণনীয়ক: ১, ২, ১৯, ৩৮
সাধারণ গুণনীয়ক: কেবল ১
∴ ২৭, ৩৮ পরস্পর সহমৌলিক।

অপশন (ঘ): ২১, ১০৫
২১-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৭, ২১
১০৫-এর গুণনীয়ক: ১, ৩, ৫, ৭, ১৫, ২১, ৩৫, ১০৫
সাধারণ গুণনীয়ক: ১, ৩, ৭, ২১
∴ ২১, ১০৫ সহমৌলিক নয়।

প্রশ্ন:

সমাধান: 

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর ৪০ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট বিজোড় সংখ্যাটি = ক
∴ বড় বিজোড় সংখ্যাটি হবে ক + ২

প্রশ্নমতে,
(ক + ২)^২ - ক^২ = ৪০
⇒ ক^২ + ৪ক + ৪ - ক^২ = ৪০
⇒ ৪ক + ৪ = ৪০
⇒ ৪ক = ৪০ - ৪
⇒ ৪ক = ৩৬
⇒ ক = ৩৬/৪
⇒ ক = ৯

∴ ছোট সংখ্যাটি হলো ৯
এবং,
বড় সংখ্যাটি = ক + ২ = ৯ + ২ = ১১

প্রশ্ন: একটি লাঠির ১/৩ অংশ মাটির নিচে, ১/২ অংশ পানির নিচে এবং অবশিষ্ট ১০ মিটার পানির উপরে আছে। লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ক মিটার

মাটির নিচে অংশ = ক/৩
পানির নিচে অংশ = ক/২

মোট মাটি ও পানির নিচে অংশ = ক/৩ + ক/২ অংশ
= (২/৬ + ৩/৬)ক
= ৫ক/৬ অংশ

∴ পানির উপরে আছে = ক - (৫ক/৬)
= (৬ক - ৫ক)/৬
= ক/৬ অংশ

প্রশ্নমতে, 
ক/৬ = ১০
⇒ ক = ১০ × ৬
∴ ক = ৬০

অতএব, লাঠিটির সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটার।

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার অনুপাত ৩ : ৫ : ৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৬৩০ হলে, ছোট সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা তিনটি যথাক্রমে ৩ক, ৫ক ও ৬ক

প্রশ্নমতে,
(৩ক)^২ + (৫ক)^২ + (৬ক)^২ = ৬৩০
বা, ৯ক^২ + ২৫ক^২ + ৩৬ক^২ = ৬৩০
বা, ৭০ক^২ = ৬৩০
বা, ক^২ = ৬৩০/৭০
বা, ক^২ = ৯
∴ ক = ৩

∴ ছোট সংখ্যাটি = ৩ক
= ৩ × ৩
= ৯ ।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩৬ থেকে যত বড়, ৮৪ থেকে তত ছোট। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩৬ = ৮৪ - ক
⇒ ক + ক = ৮৪ + ৩৬
⇒ ২ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/২
∴ ক = ৬০

∴ সংখ্যাটি হলো = ৬০

প্রশ্ন: প্রথম ৩০ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান:
প্রথম ৩০ টি বিজোড় সংখ্যা:
১, ৩, ৫, ৭, ৯,…....

আমরা জানি,
প্রথম n টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n^২
এখানে, n = ৩০

∴ যোগফল = ৩০^২ = ৯০০

∴ প্রথম ৩০টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ৯০০ 

সরল করুন: {(৭/১৪) ÷ (৫/১০)} × {(২৪/৬) ÷ (২০/৫)}

সমাধান:
{(৭/১৪) ÷ (৫/১০)} × {(২৪/৬) ÷ (২০/৫)}
= {(১/২) ÷ (১/২)} × (৪ ÷ ৪)
= {(১/২) × (২/১)} × ১
= ১ × ১
= ১

প্রশ্ন: তিনটি সংখ্যার যোগফল ১৮০। প্রথম সংখ্যাটি দ্বিতীয় সংখ্যার তিনগুণ, এবং তৃতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যা থেকে ৩০ কম। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
দ্বিতীয় সংখ্যা = ক
∴ প্রথম সংখ্যা = ৩ক
∴ তৃতীয় সংখ্যা = ৩ক - ৩০

প্রশ্নমতে,
ক + ৩ক + (৩ক - ৩০) = ১৮০
⇒  ক + ৩ক + ৩ক - ৩০ = ১৮০
⇒ ৭ক - ৩০ = ১৮০
⇒ ৭ক = ১৮০ + ৩০
⇒ ৭ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭
∴ ক = ৩০

∴ দ্বিতীয় সংখ্যাটি = ৩০

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
প্রতিটি ভগ্নাংশকে দশমিক রূপে রূপান্তর করি,

৭/৮ = ০.৮৭৫
৫/৭ = ০.৭১৪
১১/১৫ = ০.৭৩৩
১৩/২০ = ০.৬৫

∴ উপরের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে ১৩/২০ এর মান সবচেয়ে কম।

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটির ভাজক সংখ্যা সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
কোনো সংখ্যার ভাজক সংখ্যা বের করার জন্য প্রথমে সেটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।
যদি n = p₁^a . p₂^b . ... . p_k^m হয়, তবে ভাজক সংখ্যা = (a + 1)(b+1).....(m + 1)।
অর্থাৎ, প্রত্যেক উৎপাদকের সূচকের মানের সাথে 1 যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।

অপশন (ক): 88 = 2³ × 11¹
ভাজকের সংখ্যা = (3 + 1)(1 + 1) = 4 × 2 = 8 টি

অপশন (খ): 91 = 7¹ × 13¹
ভাজকের সংখ্যা = (1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 = 4 টি

অপশন (গ): 95 = 5¹ × 19¹
ভাজকের সংখ্যা = (1 + 1)(1 + 1) = 2 × 2 = 4 টি

অপশন (ঘ): 96 = 2⁵ × 3¹
ভাজকের সংখ্যা = (5 + 1)(1 + 1) = 6 × 2 = 12 টি

সুতরাং, যেহেতু 96 এর ভাজকের সংখ্যা (12টি) সবচেয়ে বেশি, তাই সঠিক উত্তর হলো 96।

সঠিক উত্তর: ঘ) 96

প্রশ্ন: নিচের কোন পূর্ণ সংখ্যাকে ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ১, ২ এবং ৩ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৪ - ১  = ৩ 
৫ - ২ = ৩  
৬ - ৩ = ৩ 

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৪, ৫ ও ৬ এর ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ কম।
 ৪, ৫, ৬ - এর ল.সা.গু = ৬০

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = (৬০ - ৩) = ৫৭

প্রশ্ন: নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?

সমাধান:
মূলদ সংখ্যা: 
যে সকল সংখ্যাকে দুইটি অখণ্ড সংখ্যা p ও q এর অনুপাত p/q রূপে প্রকাশ করা যায় সেগুলোকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়।
- শূন্য, স্বাভাবিক সংখ্যা, প্রকৃত ভগ্নাংশ, অপ্রকৃত ভগ্নাংশ অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ সবই মূলদ সংখ্যা। যেমন: ৩/২, ৩/৪, ১.৩৩৩৩... ইত্যাদি

অমূলদ সংখ্যা:
- যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না অর্থাৎ সাধারণ ভগ্নাংশ আকারে লেখা যায় না এবং পূর্ণবর্গ নয় এমন সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূলকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন: √২, √৩, π ... ইত্যাদি।

এখানে,
ক) ১/২ → এটি দুটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত, তাই এটি একটি মূলদ সংখ্যা।
খ) √১৬৯ → √১৬৯ = ১৩, একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই মূলদ।
গ) ৬/৫ → এটি একটি ভগ্নাংশ যা মূলদ সংখ্যা।
ঘ) √৩ = ১.৭৩২০৫০.........এটাকে ভগ্নাংশ p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না।

∴ √৩ অমূলদ সংখ্যা।

প্রশ্ন:  ৮ টি সংখ্যার গড় ১৩। একটি সংখ্যা বাতিল করলে গড় হয় ১২। বাতিলকৃত সংখ্যাটি কত ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
৮ টি সংখ্যার গড় ১৩
∴ ৮ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৮ × ১৩ = ১০৪ 

আবার, 
একটি সংখ্যা বাদ দিলে গড় হয় = ১২
∴ বাকি ৭টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ১২ = ৮৪ 

∴  বাতিলকৃত সংখ্যাটি = ১০৪ - ৮৪ = ২০ 

প্রশ্ন: কতজন শিশুর মধ্যে কোন ফল না ভেঙে ১১৫ টি কলা ও ১৫০ টি কমলা ভাগ করে দেয়া যায়? 

সমাধান:
শিশুর সংখ্যা হবে ১১৫ এবং ১৩৫ এর গ.সা.গু 
১১৫ ও ১৩৫ এর গ.সা.গু = ৫

শিশুর সংখ্যা ৫ জন

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৭ : ১০ এবং তাদের ল.সা.গু ২১০ হলে বৃহত্তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি যথাক্রমে ৭ক ও ১০ক
∴ সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = (৭ × ১০)ক = ৭০ক

প্রশ্নমতে,
৭০ক = ২১০
⇒ ক = ২১০/৭০
⇒ ক = ৩

∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ১০ × ক = ১০ × ৩ = ৩০ 

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা ৩৫ থেকে যত বেশি ৭৫ থেকে তত কম। সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
মনে করি, 
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
ক - ৩৫ = ৭৫ - ক
⇒ ক + ক = ৭৫ + ৩৫ 
⇒ ২ক = ১১০ 
⇒ ক = ১১০/২ 
⇒ ক = ৫৫ 

∴ সংখ্যাটি = ৫৫

শর্টকাট:
(৩৫ + ৭৫)/২
= ১১০/২
= ৫৫

প্রশ্ন: কোন সংখ্যাকে সাহায্যকারী সংখ্যা বলা হয়?

সমাধান:
যে সংখ্যার নিজস্ব কোনো মান নেই, কিন্তু অন্য সংখ্যার মান বা স্থানীয় মান (place value) নির্ধারণে সাহায্য করে—তাকে সাহায্যকারী বা অভাবজ্ঞাপক সংখ্যা (Placeholder Digit) বলা হয়।

শূন্য (০) নিজে কোনো মান প্রকাশ করে না, কিন্তু ১০, ১০০, ১০০০ ইত্যাদি সংখ্যায় বসে সংখ্যার মান বহুগুণ বাড়িয়ে দেয়। তাই ০-কে সাহায্যকারী বা অভাবজ্ঞাপক সংখ্যা বলা হয়।

অন্যদিকে ৩, ৯ বা ১০—এগুলো প্রত্যেকটিরই নিজস্ব মান রয়েছে, তাই এগুলো সাহায্যকারী সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: কোন একটি সংখ্যার এক-তৃতীয়াংশের সঙ্গে ৮ যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির তিনগুণ থেকে ৩২ বিয়োগ করলে একই উত্তর পাওয়া যায়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = ক

শর্তমতে,
(ক/৩) + ৮ = ৩ক - ৩২
⇒ (ক + ২৪)/৩ = ৩ক - ৩২
⇒ ক + ২৪ = ৩ × (৩ক - ৩২)
⇒ ক + ২৪ = ৯ক - ৯৬
⇒ ৯ক - ক = ২৪ + ৯৬
⇒ ৮ক = ১২০
⇒ ক = ১২০/৮
∴ ক = ১৫