বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ৯ / ১৮ · ৮০১–৯০০ / ১,৭৫০

৮০১.

0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
3000
খ
2880
গ
3360
ঘ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলি জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
জোড় সংখ্যা গঠনের জন্য শেষ সংখ্যা 0, 2, 4, 6 এর যে কোন একটি হতে হবে।
5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা = ⁴C₁ ×⁷C₄ × 4!
= 4 × 35 × 24
= 3360

প্রথম অঙ্কটি শূন্য এমন 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা = ³C₁ × ⁶C₃ × 3!
= 3 × 20 × 6
= 360

প্রথম অঙ্কটি শূন্য হলে তা মূলত চার অঙ্কের হয়ে যায়।
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 অঙ্কগুলি প্রত্যেক সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 5 অঙ্কবিশিষ্ট জোড় সংখ্যা গঠন করা যাবে
= 3360 - 360
= 3000

৮০২.

৬ জন সদস্যের সমিতির প্রত্যেকেই সদস্য সংখ্যার ৬ গুণ চাঁদা দিলে, মোট কত টাকা হবে?

ক
ক) ২১৬
খ
খ) ১২৫
গ
গ) ১০০
ঘ
ঘ) ৬৪

ব্যাখ্যা

প্রত্যেক সদস্য সদস্য সংখ্যা(৬)র ছয়গুণ চাঁদা দিলে সদস্য প্রতি চাঁদার পরিমাণ ৩৬ টাকা।
তাহলে, ছয়জন সদস্যের সর্বমোট চাঁদার পরিমাণ ৬ × ৩৬ = ২১৬

৮০৩.

একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 78টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

ক
9
খ
13
গ
15
ঘ
16

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 78টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি, টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 78
⇒ n(n - 1)(n - 2)!/{2!(n - 2)!} = 78
⇒ n(n - 1)/2 = 78
⇒ n(n - 1) = 78 × 2
⇒ n(n - 1) = 156
⇒ n² - n - 156 = 0
⇒ n² - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12(n - 13) = 0
⇒ (n + 12)(n - 13) = 0

হয় n + 12 = 0 অথবা n - 13 = 0
⇒ n = - 12 অথবা n = 13

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 12 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 13

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 13টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।

৮০৪.

একটি প্রতিষ্ঠানের পরিচালকমণ্ডলিতে 8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা আছেন। ঐ পরিচালক মণ্ডলির সদস্যদের মধ্য থেকে 4 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলার সমন্বয়ে কত রকমে একটি সাব-কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

ক
ক) 75
খ
খ) 150
গ
গ) 1050
ঘ
ঘ) 205

ব্যাখ্যা

পুরুষ আছেন = 8 জন
মহিলা আছেন = 6 জন

8 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 জন পুরুষ নিয়ে বাছাই করার উপায় =⁸C₄
= 70

6 জন মহিলার মধ্য থেকে 4 জন মহিলা নিয়ে বাছাই করার উপায় =⁶C₄
= 15
সাব কমিটি গঠন করা যেতে পারে = 70 × 15
= 1050

৮০৫.

একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 136 টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

ক
20 জন
খ
14 জন
গ
21 জন
ঘ
17 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 136টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 136
⇒ n!/2! × (n - 2)! = 136
⇒ n(n - 1)/2 = 136
⇒ n² - n = 272
⇒ n² - n - 272 = 0
⇒ n² - 17n + 16n - 272 = 0
⇒ n(n - 17) + 16(n - 17) = 0
⇒ (n - 17) (n + 16) = 0

হয়, n - 17 = 0
∴ n = 17

অথবা, n + 16 = 0
∴ n = - 16
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।

∴ মোট উপস্থিত 17 জন।

৮০৬.

কোন একজন পরীক্ষার্থীকে 10 টি প্রশ্নের মধ্যে 6 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। কত প্রকারে সে প্রশ্নগুলি উত্তর করতে পারবে?

ক
ক) 120
খ
খ) 210
গ
গ) 180
ঘ
ঘ) 140

ব্যাখ্যা

10 টি প্রশ্নের মধ্যে 6 টি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার সংখ্যা = ¹⁰C₆
= 10!/{(10-4)!6!}
= (10×9×8×7×6!)/(4×3×2×1×6!)
= 10×9×8×7/24
= 210

৮০৭.

'DIGITAL' শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকে?

ক
320
খ
430
গ
210
ঘ
360

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'DIGITAL' শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকে?

সমাধান:
প্রদত্ত শব্দটিতে মোট 7 টি বর্ণ আছে। স্বরবর্ণ আছে 3টি।
স্বরবর্ণ 3টিকে এক অক্ষর মনে করলে মোট বর্ণ সংখ্যা হয় 5 টি। বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
এক্ষেত্রে, সাজানো সংখ্যা = 5!

স্বরবর্ণ 3 টির মধ্যে 2 টি I আছে। এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2!

∴ নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 5! × (3! / 2!)
= 120 × 3
= 360

৮০৮.

যদি ¹⁶P_{r - 1} : ¹⁵P_{r - 1} = 16 : 7 হয় তাহলে r এর মান নির্ণয় করুন।

ক
12
খ
10
গ
8
ঘ
7

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ¹⁶P_{r - 1} : ¹⁵P_{r - 1} = 16 : 7 হয় তাহলে r এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

৮০৯.

ⁿc_n-r = ?

ক
ক) n!/(n-r)!
খ
খ) r!/(n-r)!
গ
গ) n!/(r!(n-r)!)
ঘ
ঘ) (n-r)!/(n!r!)

ব্যাখ্যা

ⁿc_n-r = n!/((n-r)! (n-n+r)!)
= n!/(r!(n-r)!)

৮১০.

⁴ⁿC_r = ⁴ⁿC_{r + 4} হলে, n এর মান কত?

ক
(r + 2)/2
খ
(r + 1)
গ
(r + 2)
ঘ
2(r + 1)

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ⁴ⁿC_r = ⁴ⁿC_{r + 4} হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
⁴ⁿC_r = ⁴ⁿC_{r + 4}
⇒ 4n = r + r + 4
⇒ 4n = 2r + 4
⇒ 4n = 2(r + 2)
∴ n = (r + 2)/2

৮১১.

CHOCOLATE শব্দটির বর্ণগুলো ব্যবহার করে নিচের কোন শব্দটি গঠন করা যাবে না?

ক
ক) WEALTH
খ
খ) LATE
গ
গ) COOL
ঘ
ঘ) THE

ব্যাখ্যা

CHOCOLATE শব্দটির বর্ণগুলো ব্যবহার করে WEALTH শব্দটি গঠন করা যাবে না
WEALTH শব্দটি W বর্ণটি CHOCOLATE শব্দটিতে অনুপস্থিত।

৮১২.

স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় অবস্থানে রেখে 'DETAIL' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো?

ক
12
খ
36
গ
72
ঘ
120

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় অবস্থানে রেখে 'DETAIL' শব্দটিকে কতভাবে সাজানো?

সমাধান:
DETAIL শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্য = 6 টি
স্বরবর্ণ আছে = 3 টি এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।
বিজোড় অবস্থান = 3 টি (1, 3, 5)

∴ স্বরবর্ণগুলো 3 টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ³P₃ = 6

বাকি বর্ণগুলো 3 টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস = ³P₃ = 6

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

৮১৩.

৫ টি পোস্ট অফিসের মাধ্যমে ৬ টি প্রেমপত্র কত উপায়ে বিতরণ করা যাবে?

ক
ক) ৫^৬
খ
খ) ৩০
গ
গ) ৬^৫
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
চিঠি পোস্ট করার উপায় = (পোস্ট বক্স)^{চিঠির সংখ্যা} = ৫^৬

৮১৪.

'COMILLA' শব্দের বিন্যাস সংখ্যা 'SYLHET' শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
৩.৫ গুণ
খ
২ গুণ
গ
৪.৫ গুণ
ঘ
২.৫ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'COMILLA' শব্দের বিন্যাস সংখ্যা 'SYLHET' শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'COMILLA' শব্দের মোট বর্ণ আছে ৭ টি।
যেখানে, L আছে ২ টি ।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ৭!/২! = (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২)/২
= ২৫২০

আবার,
'SYLHET' শব্দের মোট বর্ণ আছে ৬ টি।
যেখানে, সবগুলো বর্ণ ভিন্ন।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১ = ৭২০

সুতরাং, 'COMILLA' -এর বিন্যাস সংখ্যা 'SYLHET' -এর ২৫২০/৭২০ = ৩.৫ গুণ

৮১৫.

১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় কত উপায়ে?

ক
১৬
খ
২৫
গ
১৫২
ঘ
৩৬৪

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় কত উপায়ে?

সমাধান:
১৪ জন খেলোয়াড় থেকে ১১ জন খেলোয়াড় বিশিষ্ট দল তৈরি করা যায় = ^১৪C_১১ উপায়ে
= ৩৬৪ উপায়ে ।

৮১৬.

০, ২, ৮, ৩, ৯, ৭ সংখ্যাগুলো একবার ব্যবহারে করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যবে?

ক
১১০টি
খ
১২০টি
গ
৯০টি
ঘ
১০০টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০, ২, ৮, ৩, ৯, ৭ সংখ্যাগুলো একবার ব্যবহারে করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যবে?

সমাধান:
প্রথম সংখ্যা ০ ব্যাতিত অন্য কোনো সংখ্যা হতে হবে।
তাহলে বাকি ৫ টি সংখ্যা থেকে ১ টি সাজানোর সম্ভাবনা = ^৫P_১ = ৫

প্রথম স্থান পূরণের পর বাকি ৫ টি অঙ্কথেকে ২ টি স্থান পূরণ করা যাবে = ^৫P_২ = ২০ উপায়ে।

∴ মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে = ৫ × ২০ = ১০০টি

৮১৭.

12 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি একই রকম এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবার 4 টি করে নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

ক
ক) 320 প্রকারে
খ
খ) 330 প্রকারে
গ
গ) 355 প্রকারে
ঘ
ঘ) 375 প্রকারে

ব্যাখ্যা

একই রকম জিনিস গুলোকে একটি ধরে মোট 11 টি জিনিস থেকে 4 টি জিনিস বাছাই করা যায় = ¹¹C₄ = 11! / 4!7! = 330 প্রকারে।

একই রকম 2 টি জিনিস থেকে 2 টি এবং বাকি 2 টি জিনিস ভিন্ন 10 টি জিনিস থেকে বাছাই করা যায় = ²C₂ × ¹⁰C₂
= 1 × 45
= 45 প্রকারে।

সুতরাং, মোট বাছাই করা যায় = 330 + 45 = 375 প্রকারে।

৮১৮.

i^-33 এর মান কত?

ক
ক) i
খ
খ) 1
গ
গ) - i
ঘ
ঘ) - 1

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,

i = √-1;

i²= -1;

i³ = i²i = -i;

i⁴ = i².i² = (-1).(-1) = 1

i^-33

= 1/i³³

= 1/{i³³.i}

= 1/{(i⁴)⁸.i}

= 1/i

= i⁴/i

= i³

= -i

৮১৯.

“RAJSHAHI” শব্দটির অক্ষর গুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা “BARISAL” শব্দটির অক্ষর গুলি একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
ক) দ্বিগুণ
খ
খ) তিনগুণ
গ
গ) চারগুণ
ঘ
ঘ) ছয় গুণ

ব্যাখ্যা

“RAJSHAHI” শব্দটির মধ্যে মোট বর্ণ 8 টি, যার মধ্যে A = 2, H= 2 টি
∴ বিন্যাস x = 8!/(2!×2!)
“BARISAL” শব্দটির মধ্যে মোট বর্ণ 7টি, যার মধ্যে A = 2 টি
∴ বিন্যাস y = 7!/2!
x/y = (8!×2!)/(7!×2!×2!)
⇒ x = 4y
∴“RAJSHAHI” শব্দটির অক্ষর গুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা “BARISAL” শব্দটির অক্ষর গুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার চার গুণ।

৮২০.

একটি দাবা প্রতিযোগিতায় ৬ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতা মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

ক
ক) ১২
খ
খ) ৩০
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ১৮

ব্যাখ্যা

যেহেতু একবার খেলার জন্য দুইজন প্রতিযোগী প্রয়োজন।
সুতরাং খেলা অনুষ্ঠিত হবে = 6c₂ = 15 টি।

৮২১.

EVERGIVEN শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা -

ক
15120
খ
362880
গ
30240
ঘ
60480

ব্যাখ্যা

EVERGIVEN শব্দটিতে মোট 9 টি অক্ষর আছে যাদের 3 টি E, 2 টি V এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
∴ সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 9!/(3!2!)
= 360880/12
= 30240

৮২২.

LETTER শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন T গুলো একত্রে থাকবে না?

ক
60
খ
120
গ
150
ঘ
180

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: LETTER শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন T গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
LETTER শব্দে মোট অক্ষর = 6টি।

এখানে E এবং T উভয়ই ২ বার করে এসেছে।

∴ মোট বিন্যাস = 6!/(2! × 2!)
= 720 / 4
= 180

এখন,
দুটি T একত্রে থাকলে অক্ষরগুলো হয়:
TT, L, E, E, R (মোট ৫টি একক, যেখানে E দুইবার আছে)।
∴ বিন্যাস = 5!/2!
= 120 / 2
= 60

∴ T একত্রে না থাকার বিন্যাস সংখ্যা = 180 - 60
= 120

৮২৩.

যদি P(A) = 2/3 এবং P(B) = 1/3 হয়, A এবং B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) = কত?

ক
ক) 4/9
খ
খ) 5/9
গ
গ) 7/9
ঘ
ঘ) 8/9

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি P(A) = 2/3 এবং P(B) = 1/3 হয়, A এবং B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) = কত?

সমাধান:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B)
= 2/3 + 1/3 - (2/3).(1/3)
= 2/3 + 1/3 - 2/9
= (6 + 3 - 2)/9
= 7/9

৮২৪.

যদি ⁿC₈ = ⁿC₆ হয়, তাহলে ⁿC₃ এর মান কত?

ক
66
খ
121
গ
364
ঘ
432

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ⁿC₈ = ⁿC₆ হয়, তাহলে ⁿC₃ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি ⁿC_a = ⁿC_b হয়, তাহলে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।
এখানে,
ⁿC₈ = ⁿC₆
⇒ 8 + 6 = n
⇒ n = 14।

∴ ⁿC₃ = ¹⁴C₃= 14!/{3! × (14 - 3)!}
= 14!/(3! × 11!)
= (14 × 13 × 12 × 11!)/(3 × 2 × 1 × 11!)
= (14 × 13 × 12)/6
= 2184/6
= 364

৮২৫.

'ARRANGE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকে?

ক
120
খ
60
গ
30
ঘ
15

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ARRANGE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকে?

সমাধান:
'ARRANGE' শব্দে 7টি বর্ণ আছে।
যেখানে, A = 2টি, R = 2টি
১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G থাকলে বাকী থাকে 5টি অক্ষর।

∴ ১ম অক্ষর N ও শেষ অক্ষর G রেখে সাজানো যাবে 5!/(2! × 2!)
= 30 উপায়ে

৮২৬.

REARRANGE শব্দটির বর্ণগুলো কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে দু’টি A একত্রে থাকবে এবং দু’টি E একত্রে থাকবে?

ক
ক) 210
খ
খ) 20
গ
গ) 840
ঘ
ঘ) 15120

ব্যাখ্যা

REARRANGE শব্দটিতে মোট 9টি বর্ণ আছে যাদের 3টি R, 2টি E, 2টি A এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং,
2টি A, 2টি E একত্রে রেখে মোট বর্ণ হয় 7টি যাদের সবগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা -
= 7!/3!
= 840

৮২৭.

6টি পুরস্কার 4 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে?

ক
ক) 6⁶
খ
খ) 4⁴
গ
গ) 6⁴
ঘ
ঘ) 4⁶

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6টি পুরস্কার 4 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে?

সমাধান:
বালকের সংখ্যা n = 4 জন
পুরস্কার r = 6টি

পুরস্কার বিতরণ করা যেতে পারে = n^r
= 4⁶

৮২৮.

CAFFEE শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা APPLE শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
2
খ
5
গ
6
ঘ
3

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: CAFFEE শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা APPLE শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
CAFFEE শব্দটিতে মোট অক্ষর ৬টি।
যার মধ্যে F আছে ২টি এবং E আছে ২টি।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6!/(2! × 2!)
= 720/4
= 180

APPLE শব্দটিতে মোট অক্ষর ৫টি।
যার মধ্যে P আছে ২টি।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= 120/2
= 60

∴ প্রথম শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা দ্বিতীয়টির বিন্যাস সংখ্যার = 180/60 গুণ
= 3 গুণ।

৮২৯.

⁶P₄ + ⁶C₄ = ?

ক
ক) 360
খ
খ) 375
গ
গ) 720
ঘ
ঘ) 30

ব্যাখ্যা

⁶P₄ + ⁶C₄
= (6 × 5 × 4 × 3) + {( 6 × 5 × 4 × 3)/4!}
= 360 + (360/24)
= 360 + 15
= 375

৮৩০.

'ANALOGY' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

ক
2520
খ
1640
গ
5040
ঘ
2730

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ANALOGY' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'ANALOGY' শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 7 টি
এর মধ্যে A আছে 2 টি। বাকি বর্ণগুলো একটি করে আছে।

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 2520

৮৩১.

ⁿc_r + ⁿc_{r - 1} = ?

ক
ক) ⁿc_r
খ
খ) ^{n - 1}c_r
গ
গ) ^{n + 1}c_r
ঘ
ঘ) ^{n + 1}c_{r - 1}

ব্যাখ্যা

ⁿc_r + ⁿc_{r - 1}

৮৩২.

১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

ক
30
খ
45
গ
58
ঘ
70

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ টি বইয়ের মধ্যে ৪ টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট দুইটি বই সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (১০ - ২) বা ৮ টি থেকে ৪ টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = ⁸C₄
= 8!/(4! 4!)
= 70

৮৩৩.

'Algorithms' শব্দটি থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ একত্রে কত উপায়ে বাছাই করা যেতে পারে?

ক
ক) 125
খ
খ) 115
গ
গ) 105
ঘ
ঘ) 95

ব্যাখ্যা

'Algorithms' শব্দটি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে 7টি
এবং স্বরবর্ণ আছে 3টি

7টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = ⁷C₃
= 35
3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = ³C₂
= 3
বাছাইয়ের মোট উপায় = 35 × 3
= 105

৮৩৪.

BARISHAL শব্দটি দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, RAJSHAHI শব্দটির অক্ষর দিয়ে বিন্যাস সংখ্যার -

ক
দ্বিগুণ
খ
অর্ধেক
গ
তিন গুণ
ঘ
এক-তৃতীয়াংশ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: BARISHAL শব্দটি দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, RAJSHAHI শব্দটির অক্ষর দিয়ে বিন্যাস সংখ্যার -

সমাধান:
RAJSHAHI শব্দটি দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2!×2!) [মোট অক্ষর 8টি, A দুইটি, H দুইটি]
= 10080

BARISHAL শব্দটির অক্ষর দিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2!) [মোট অক্ষর 8টি, A দুইটি]
= 20160
= 2 × 10080
= 2 × RAJSHAHI

৮৩৫.

ⁿc_r = ?

ক
ক) ⁿp_r
খ
খ) ^n-rc_r
গ
গ) ⁿc_{n - r}
ঘ
ঘ) ^{n - r}p_r

ব্যাখ্যা

ⁿc_{n - r}
= n!/{(n - r)! (n - n + r)!}
= n!/r!(n - r)!
= ⁿc_r

৮৩৬.

2, 3, 5, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
120
খ
280
গ
360
ঘ
400

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2, 3, 5, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6টি।
4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে = ⁶P₄
= 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360 টি।

৮৩৭.

ⁿC₆ = ⁿC₈ হলে, ⁿC₁₀ এর মান কত?

ক
986
খ
1001
গ
2008
ঘ
2022

ব্যাখ্যা

ⁿC₆ = ⁿC₈
or, ⁿC_{n - 6} = ⁿC₈
or, n - 6 = 8
or, n = 14

ⁿC₁₀ = ¹⁴C₁₀ = 1001

৮৩৮.

যদি ⁿC₇ = ⁿC₅ হয়, তাহলেⁿC₂ এর মান কত?

ক
36
খ
45
গ
54
ঘ
66

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ⁿC₇ = ⁿC₅ হয়, তাহলেⁿC₂ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি ⁿC_a = ⁿC_b হয়, তাহলে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।

এখানে,
ⁿC₇ =ⁿC₅
⇒ 7 + 5 = n
⇒ n = 12

∴ ⁿC₂ = ¹²C₂= 12!/2!(12 - 2)!
= (12 × 11 × 10!)/(2 × 1 × 10!)
= 66

৮৩৯.

যদি ⁸P_r = 1680 হয়, তাহলে r = কত?

ক
4
খ
3
গ
5
ঘ
6

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 1680 হয়, তাহলে r = কত?

সমাধান:
⁸P_r = 1680
⇒ 8!/(8 - r)! = 1680
⇒ (8 - r)! = 8!/1680
⇒ (8 - r)! = 40320/1680
⇒ (8 - r)! = 24
⇒ (8 - r)! = 4!
⇒ (8 - r) = 4
⇒ r = 8 - 4
∴ r = 4

৮৪০.

ANGKARA শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা-

ক
ক) 840
খ
খ) 5040
গ
গ) 144
ঘ
ঘ) 24

ব্যাখ্যা

ANGKARA শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ রয়েছে যাদের মধ্যে 3টি A
∴ সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 7!/3!
= 840

৮৪১.

'JUDGE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

ক
48
খ
120
গ
124
ঘ
160

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'JUDGE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
'JUDGE' শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যার 2টি স্বরবর্ণ ও 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
2টি স্বরবর্ণকে 1টি ধরে মোট বর্ণ সংখ্যা 4টি কে সাজানো যায় = 4!
= 24 উপায়ে

আবার
2টি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 2! ; [(UE) বা (EU)]
= 2 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 2 × 24
= 48 উপায়ে।

৮৪২.

৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যায়?

ক
ক) ৬০
খ
খ) ৪৫
গ
গ) ৭৫
ঘ
ঘ) ৯০

ব্যাখ্যা

৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ১ম দল ^৬c_২ = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।
২য় দল বাকী (৬-২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে^৪c_২ = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।
৩য় দল অবশিষ্ট (৪-২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ^২c_২= ১ উপায়ে গঠন করা যায়।
∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫×৬×১ = ৯০

৮৪৩.

LEADER শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

ক
ক) 180
খ
খ) 360
গ
গ) 720
ঘ
ঘ) ⁶c₂

ব্যাখ্যা

শব্দটিতে 6টি বর্ণ আছে যাদের 2টি E
সুতরাং সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায়,
= 6!/2!
= 360

৮৪৪.

এক ব্যক্তির ৬ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

ক
৬৩
খ
৬১
গ
৫৭
ঘ
৪১

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির ৬ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৬ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৬ - ১
= ৬৪ - ১ = ৬৩ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

৮৪৫.

যদি ⁿ12_n = ⁿc₈ হয়, তাহলে ²²c_n এর মান কত হবে?

ক
ক) ২২০
খ
খ) ২২১
গ
গ) ২৩০
ঘ
ঘ) কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্নে ভুল আছে। তাই বাতিল করা হলো।
''ⁿ12_n'' এর বদলে ''ⁿc_১২'' হবে।

এখানে, ⁿc_১২ =  ⁿc_৮
বা, ⁿc_n-১২ =  ⁿc_৮ [∵ ⁿc_১২ =  ⁿc_n-১২]
∴ n-১২ = ৮
বা, n = ৮+১২
∴ n = ২০
∴ ^২২c_n =  ^২২c_২০ = ^২২c_{২২-২০} =  ^২২c_২
= ২২!/(২!(২২-২)!) = ২২!/২!২০! = (২২×২১)/(২×১) = ২৩১
∴ ^২২c_n = ২৩১।

৮৪৬.

9 জনের একটি গ্রুপ থেকে 6 জনকে নিয়ে একটি দল কত প্রকারে বাছাই করা যায় যাতে 1 জন নির্দিষ্ট থাকে?

ক
ক) 56
খ
খ) 35
গ
গ) 32
ঘ
ঘ) 48

ব্যাখ্যা

9 জনের একটি গ্রুপ থেকে 6 জনকে নিয়ে একটি দল বাছাই করা যায় যাতে 1 জন নির্দিষ্ট থাকে।
=^{9 - 1}C_{6 - 1}
= ⁸C₅
= 56

৮৪৭.

একটি শ্রেণীকক্ষে 4টা দরজা আছে। কতভাবে একজন শিক্ষক এক দরজা দিয়ে ঢুকে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারেন?

ক
6
খ
12
গ
24
ঘ
4

ব্যাখ্যা

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা 4টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে 3টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = 4 × 3 = 12

৮৪৮.

13 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে থেকে নির্দিষ্ট একজন ক্যাপ্টেনসহ 11 জনের একটি কমিটি কতভাবে বাছাই করা যাবে?

ক
ক) 11
খ
খ) 66
গ
গ) 78
ঘ
ঘ) 286

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 13 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে থেকে নির্দিষ্ট একজন ক্যাপ্টেনসহ 11 জনের একটি কমিটি কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
সর্বদা একজনকে নির্দিষ্ট রেখে 11 জনের কমিটি বাছাই করার উপায়,
= ^{13 - 1}C_{11 - 1}
= ¹²C₁₀
= 66

৮৪৯.

একটি স্কুলে ৩০ জন শিক্ষার্থী আছে। প্রত্যেক শিক্ষার্থী অন্য সকল শিক্ষার্থীকে একটি করে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়। মোট কতটি শুভেচ্ছা বার্তা পাঠানো হয়েছে?

ক
৬৫০ টি
খ
৭৯০ টি
গ
৮৭০ টি
ঘ
৯২০ টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলে ৩০ জন শিক্ষার্থী আছে। প্রত্যেক শিক্ষার্থী অন্য সকল শিক্ষার্থীকে একটি করে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়। মোট কতটি শুভেচ্ছা বার্তা পাঠানো হয়েছে?

সমাধান:
স্কুলে মোট ৩০ জন শিক্ষার্থী রয়েছে।
প্রত্যেক শিক্ষার্থী অন্য সকল শিক্ষার্থীদের একটি করে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়।
অর্থাৎ, নিজেকে বাদে বাকি ২৯ জনকে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়।
∴ প্রত্যেক শিক্ষার্থী ২৯টি করে শুভেচ্ছা বার্তা পাঠায়।

∴ মোট শুভেচ্ছা বার্তা = ৩০ × ২৯ = ৮৭০টি

৮৫০.

ঈদ্গাহে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা বিনিময় সংখ্যা y হলে, নামাজির সংখ্যা কত?

ক
ক) {1 - √(1 + 8y)}/2
খ
খ) {1 + √(1 + 8y)}/2
গ
গ) {1 - √(1 + 8y)}/2 ও {1 + √(1 + 8y)}/2
ঘ
ঘ) {1 - √(1 + 8y)}/2 অথবা {1 + √(1 + 8y)}/2

ব্যাখ্যা

ঈদ্গাহে নামাজির সংখ্যা n হলে,ⁿC₂ = y
n(n - 1)/2 = y
n² - n = 2y
n² - n - 2y = 0

n = [1 + √{1 - 4.(- 2y)}]/2 = {1 + √(1 + 8y)}/2
অথবা,
n = [1 - √{1 - 4.(- 2y)}]/2 = {1 - √(1 + 8y)}/2

শুভেচ্ছা বিনিময়ের সংখ্যা - y.
যেহেতু শুভেচ্ছা বিনিময় সংখ্যা নির্দিষ্ট নয়। তাই উত্তর দুইটিই হতে পারে।

৮৫১.

6 টি বইয়ের মধ্যে 2 টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

ক
240
খ
144
গ
740
ঘ
180

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 টি বইয়ের মধ্যে 2 টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
2 টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (6 - 2) + 1 = 5 টি
5 টি বই সাজানোর মোট উপায় = 5!

বিশেষ বই 2 টি সাজানোর মোট উপায় = 2!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

৮৫২.

10 জন বালক ও 5 জন বালিকা থেকে কত উপায়ে 4 জন বালক ও 3 জন বালিকা নিয়ে একটি দল গঠন করা যাবে?

ক
2350 উপায়
খ
2100 উপায়
গ
2680 উপায়
ঘ
2200 উপায়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 জন বালক ও 5 জন বালিকা থেকে কত উপায়ে 4 জন বালক ও 3 জন বালিকা নিয়ে একটি দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
10 জন বালক থেকে 4 জন বালক এবং 5 জন বালিকা থেকে 3 জন বালিকা বাছাই করতে হবে.
∴ মোট উপায় = 10C4 × 5C3
= 210 × 10 উপায়
= 2100 উপায়

৮৫৩.

"CALCUTTA" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা "CUMILLA" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

ক
২ গুণ
খ
৩ গুণ
গ
৪ গুণ
ঘ
৫ গুণ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: "CALCUTTA" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা "CUMILLA" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
"CALCUTTA" শব্দটিতে মোট অক্ষর 8 টি, যার মধ্যে 2টি C, 2টি A ও 2টি T।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 2! × 2!)
= 5040

আবার,
"CUMILLA" শব্দটির মোট অক্ষর 7 টি, যার মধ্যে 2টি L।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= 2520

∴ CALCUTTA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = CUMILLA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার (5040/2520) গুণ
= 2 গুণ

৮৫৪.

⁷P₅ + ⁷P₄= কত?

ক
2850
খ
3360
গ
840
ঘ
5880

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ⁷P₅ + ⁷P₄= কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ⁿP_r= n!/(n - r)!
এখন,
⁷P₅ = 7!/(7 - 5)! = 7!/2! = 2520
এবং
⁷P₄ = 7!/(7 - 4)! = 7!/3! = 840

∴ ⁷P₅ + ⁷P₄ = 2520 + 840 = 3360

৮৫৫.

'DHAKA' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে মোট কত উপায়ে বিন্যস্ত করা যেতে পারে?

ক
60 উপায়ে
খ
120 উপায়ে
গ
180 উপায়ে
ঘ
720 উপায়ে

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'DHAKA' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে মোট কত উপায়ে বিন্যস্ত করা যেতে পারে?

সমাধান:
DHAKA শব্দে মোট 5টি বর্ণ আছে, যাদের মধ্যে 2টি A আছে

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2!
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 120/2
= 60 উপায়ে

৮৫৬.

LEARN শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে?

ক
48
খ
24
গ
120
ঘ
720

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: LEARN শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট অক্ষর 5 টি যার মধ্যে 2 টি স্বরবর্ণ (E, A) বাকী 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ
∴ সাজানোর উপায় 4! = 24 [2 টি স্বরবর্ণকে একটি বর্ণ ধরে]
E ও A নিজেদের মধ্যে সাজতে পারে = 2! = 2 ভাবে
∴ মোট সাজানোর উপায় = 24 × 2 = 48 ভাবে

৮৫৭.

1, 3, 4, 5, 6 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
120
খ
140
গ
100
ঘ
220

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 5, 6 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 5টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁵P₄
= (5!)/(5 - 4)!
= 5!/1!
= 5!
= 120

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 120 টি।

৮৫৮.

২, ৩, ৪, ৫, ৬ এবং ৭ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

ক
৪০টি
খ
৪৫টি
গ
৬০টি
ঘ
৬৫টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ৩, ৪, ৫, ৬ এবং ৭ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ৫ হতে হবে।
৫ ব্যতীত আর অঙ্ক থাকে ৫টি এবং ঘর বাকি থাকে (৪ - ১) = ৩টি

১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘর সাজানো যাবে ৩টি অঙ্ক দিয়ে
৪র্থ ঘরে থাকবে শুধুমাত্র ৫ অর্থাৎ ১টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = (৫ × ৪ × ৩ × ১) = ৬০টি

৮৫৯.

'FLORIDA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
ক) 360
খ
খ) 720
গ
গ) 1080
ঘ
ঘ) 1440

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'FLORIDA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'FLORIDA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3!
= 120 × 6
= 720

৮৬০.

একটি প্রতিষ্ঠানের পরিচালকমন্ডলিতে 8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা আছেন। ঐ পরিচালক মন্ডলির সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা সমন্বয়ে কত রকমে একটি সাব-কমিটি গঠন করা যাবে?

ক
ক) 560
খ
খ) 1120
গ
গ) 2240
ঘ
ঘ) 280

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি প্রতিষ্ঠানের পরিচালকমন্ডলিতে 8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা আছেন। ঐ পরিচালক মন্ডলির সদস্যের মধ্য থেকে 5 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা সমন্বয়ে কত রকমে একটি সাব-কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
8 জন পুরুষ থেকে 5 জন বাছাই করার উপায় =⁸C₅
6 জন মহিলা থেকে 3 জন মহিলা বাছাই করার উপায় = ⁶C₃

সাব কমিটির মোট সংখ্যা = ⁸C₅ × ⁶C₃
= 56 × 20
= 1120

৮৬১.

একটি রেস্তোরায় ভাত, মাছ, মাংস, ডাল, ডিম এই পাঁচ ধরনের খাবার আছে। একজন গ্রাহক কত উপায়ে তিন আইটেমের খাবার অর্ডার করতে পারবে যেখানে অবশ্যই ভাত থাকবে।

ক
ক) ৫
খ
খ) ১০
গ
গ) ১৫
ঘ
ঘ) ৬

ব্যাখ্যা

মোট আইটেম ৫টি, প্রতিবার ভাতসহ তিন আইটেমের খাবার অর্ডার করার উপায় = ^{(৫ - ১)}c_{(৩ - ১)}
= ^৪c_২
= ৬

৮৬২.

5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 1 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

ক
ক) 60
খ
খ) 120
গ
গ) 220
ঘ
ঘ) 280

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন- 5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 1 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান-
মোট তিন প্রকারে বাছাই করা যাবে।
(i) 1 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা = ⁵c₁ × ⁴c₃ = 5 × 4 = 20
(ii) 2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা = ⁵c₂ × ⁴c₂ = 10 × 6 = 60
(iii) 3 জন পুরুষ ও 1 জন মহিলা = ⁵c₃ × ⁴c₁ = 10 × 4 = 40

মোট উপায় = 20 + 60 + 40 = 120

৮৬৩.

9 জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

ক
40320
খ
26480
গ
48320
ঘ
4032
ঙ
কোনটিই নয়

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9 জন ব্যক্তিকে 1টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
9 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে (n - 1)! উপায়ে।
= (9 - 1)!
= 8!
= 40320

৮৬৪.

DIRECTORATE শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

ক
১১!/৮
খ
৭!/৪!
গ
১১!/৪!
ঘ
১১!/৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: DIRECTORATE শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
DIRECTORATE শব্দটিতে মোট বর্ণ = ১১ টি
R আছে = ২ টি
E আছে = ২ টি
T আছে = ২ টি

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ১১!/(২! × ২! × ২!)
= ১১!/৮

৮৬৫.

স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে MACHINE শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যায়?

ক
২১২
খ
৩২৬
গ
৫৭৬
ঘ
৪০০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে MACHINE শব্দটির অক্ষরগুলোকে কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
MACHINE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি, স্বরবর্ণ আছে ৩টি এবং বিজোড় সংখ্যা আছে ৪টি

সুতরাং স্বরবর্ণগুলো সাজানো যায় ^৪P_৩ = ২৪ উপায়ে
স্বরবর্ণগুলো বসানোর পর বাকি ৪টি ঘরে ৪টি ব্যঞ্জনবর্ণ সাজানো যায় = ৪! = ২৪ উপায়ে

∴ স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে MACHINE শব্দটির অক্ষরগুলোকে সাজানো যাবে = ২৪ × ২৪ উপায়ে = ৫৭৬ উপায়ে

৮৬৬.

ORANGE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সাজানোর উপায়-

ক
196
খ
144
গ
176
ঘ
182

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ORANGE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সাজানোর উপায়-

সমাধান:
ORANGE শব্দটির মধ্যে মোট বর্ণ 6টি; এর মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।
স্বরবর্ণগুলো একত্রে ১টি ধরলে মোট বর্ণ হয় 4 টি।
4 টি বর্ণ সাজানোর উপায় = 4!

আবার স্বরবর্ণ তিনটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় 3! উপায়ে
∴ স্বরবর্ণগুলো একত্রে রেখে সবগুলো বর্ণ সাজানোর উপায় = 4! × 3!
= 144

৮৬৭.

একটি ক্লাসে 25 জন ছাত্র আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

ক
300
খ
600
গ
420
ঘ
380

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 25 জন ছাত্র আছে। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সঙ্গে একবার করে করমর্দন করে। মোট করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট করমর্দনের সংখ্যা = ²⁵C₂
= 25!/2!(25 - 2)!
= (25 × 24 × 23!)/(2 × 23!)
= 25 × 12
= 300

৮৬৮.

4, 5, 6, 7, 8 এর প্রত্যেকটিকে যে কোন সংখ্যাক বার নিয়ে চার অংকের কত গুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?

ক
ক) 525
খ
খ) 425
গ
গ) 200
ঘ
ঘ) 625

ব্যাখ্যা

পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = n^r = 5⁴ = 625

৮৬৯.

ⁿC₇ = ⁿC₃ হলে, n এর মান কত?

ক
21
খ
4
গ
14
ঘ
10

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ⁿC₇ = ⁿC₃ হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿC₇ = ⁿC₃⇒ ⁿC₇ = ⁿC_{n - 3} [ⁿC_r = ⁿC_{n - r} সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 7 = n - 3
⇒ n = 7 + 3
∴ n = 10

৮৭০.

'BPSC' শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

ক
ক) 9
খ
খ) 16
গ
গ) 6
ঘ
ঘ) 24

ব্যাখ্যা

'BPSC' শব্দটির চারটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন। সুতরাং বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 4!
= 4×3×2×1 = 24

৮৭১.

BOSPHORUS শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা-

ক
ক) ৯০৭২০
খ
খ) ৪৫৩৬০
গ
গ) ২২৬৮০
ঘ
ঘ) ১১৩৪০

ব্যাখ্যা

BOSPHORUS শব্দটিতে মোট ৯টি বর্ণ আছে যাদের ২টি O এবং ২টি S এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং সবগুলো একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = ৯!/(২!২!)
= ৯০৭২০

৮৭২.

৬ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

ক
১৮
খ
৩৬
গ
৪২
ঘ
৬০

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ^৬C_১ × ^৫C_২
= ৬ × ১০
= ৬০ টি উপায়ে

৮৭৩.

৬ জন খেলোয়ারকে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায়?

ক
ক) ১০
খ
খ) ২০
গ
গ) ৬০
ঘ
ঘ) ১২০

ব্যাখ্যা

প্রশ্নটি ৪০ তম বিসিএসের প্রশ্ন; কিন্তু তা ৪০ তম বিসিএসেই প্রথম আসেনি। এর আগে এটি কুমিল্লা শিক্ষাবোর্ডে ২০১৭ সালের এইসএসসি পরীক্ষায় এসেছিল। অনলাইনের প্রায় সব গুলো ওয়েবসাইট এবং বাজারের বেশ কিছু বইয়ে এর ভুল সমাধান দেওয়া আছে।

চলুন এর সঠিক সমাধান জেনে নেইঃ
২m সংখ্যক জিনিস সমান দুই ভাগে বিভক্ত করলে সমাবেশ সংখ্যা = (২m)!/২!(m!)^২
৬ বা (২X৩) জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়= ৬!/ [২!(৩!)^২] = ১০

বিকল্প সমাধানঃ
প্রতি দলে ৩ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৬ জন থেকে ৩ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৬C_৩ = (৬)!/(৩!(৬-৩)!) = ২০
সমান সংখ্যক বা ৩ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ২০/২ = ১০

উৎসঃ উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণী।

৮৭৪.

ASSASSINATION শব্দটিকে কতভাবে বিন্যাস করা যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একত্রে থাকবে?

ক
ক) 50040
খ
খ) 52320
গ
গ) 50400
ঘ
ঘ) 45500

ব্যাখ্যা

ASSASSINATION শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 13 যার মধ্যে S = 4, N = 2
স্বরবর্ণ আছে 6 যার মধ্যে A = 3, I = 2, O = 1
স্বরবর্ণ গুলোকে একটি অক্ষর বিবেচনা করলে মোট অক্ষর = (13-6+1) বা, 8
তাহলে, বিন্যাস সংখ্যা = 8!/4!.2! = 840
স্বরবর্ণগুলির নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!2! = 60
স্বরবর্ণগুলো সর্বদা একত্রে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা হবে = 840 x 60 = 50400

৮৭৫.

5 জন লোক একটি বৃত্তাকার টেবিলের চারপাশে কতভাবে বসতে পারে?

ক
ক) 24
খ
খ) 120
গ
গ) 720
ঘ
ঘ) 12

ব্যাখ্যা

বসতে পারার উপায় = (5 - 1)!
= 24

৮৭৬.

CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
CALCUTTA শব্দটিতে মোট অক্ষর 8 টি, যার মধ্যে 2টি C, 2টি A ও 2টি T।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা
= 8!/(2!2!2!)
= 5040

AMERICA শব্দটির মোট অক্ষর 7 টি, যার মধ্যে 2টি A।
সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা
= 7!/2!
= 2520

অর্থাৎ, প্রথম শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা
= দ্বিতীয়টির বিন্যাস সংখ্যার (5040/2520) গুণ
= 2 গুণ

৮৭৭.

16 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

ক
560 টি
খ
640 টি
গ
520 টি
ঘ
580 টি

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।

তাহলে,
16 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁶C₃
= 16!/{3! × (16 - 3)!}
=16!/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14 × 13!)/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14)/(3 × 2)
= 16 × 5 × 7
= 560

৮৭৮.

3টি পোস্ট বক্সে 5টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

ক
ক) 27
খ
খ) 243
গ
গ) 81
ঘ
ঘ) 125

ব্যাখ্যা

4 টি চিঠি ফেলার উপায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= 3⁵
= 243

৮৭৯.

একটি ক্লাসে প্রত্যেক ছাত্র অন্য প্রত্যেক ছাত্রের সাথে একটি করে প্রজেক্ট করবে। মোট প্রজেক্টের সংখ্যা 45 টি হলে ক্লাসে মোট কতজন ছাত্র আছে?

ক
8 জন
খ
10 জন
গ
12 জন
ঘ
11 জন

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে প্রত্যেক ছাত্র অন্য প্রত্যেক ছাত্রের সাথে একটি করে প্রজেক্ট করবে। মোট প্রজেক্টের সংখ্যা 45 টি হলে ক্লাসে মোট কতজন ছাত্র আছে?

সমাধান:
ধরি, ক্লাসে মোট ছাত্র সংখ্যা = n
∴ মোট প্রজেক্টের সংখ্যা ⁿC₂ = 45
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 45
বা, (n² - n)/2 = 45
বা, n² - n = 90
বা, n² - n - 90 = 0
বা, n² - 10n + 9n - 90 = 0
বা, n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
বা, (n - 10)(n + 9) = 0
∴ n - 10 = 0
n = 10
অথবা
n + 9 = 0
n = - 9 [গ্রহণযোগ্য নয়]
সুতরাং ক্লাসে মোট 10 জন ছাত্র আছে।

৮৮০.

6 ছেলে এবং 4 জন পুরুষের একটি দল থেকে 4 জনকে নির্বাচন করতে হবে। কতগুলি ভিন্ন উপায়ে তাদের নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে অন্তত 2 জন ছেলে থাকবে?

ক
ক) 185
খ
খ) 270
গ
গ) 136
ঘ
ঘ) 209

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 ছেলে এবং 4 জন পুরুষের একটি দল থেকে 4 জনকে নির্বাচন করতে হবে। কতগুলি ভিন্ন উপায়ে তাদের নির্বাচন করা যেতে পারে যাতে অন্তত 2 জন ছেলে থাকবে?

সমাধান:

ছেলে (6 জন) পুরুষ (4 জন)
1) 2 2
2) 3 1
3) 4 0

মোট উপায় = (⁶C₂× ⁴C₂) + (⁶C₃ × ⁴C₁) + (⁶C₄)
= (90 + 80 + 15)
= 185

৮৮১.

ক
৬
খ
৩৬
গ
৫৫
ঘ
৬৩

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: এক ব্যক্তির ৬ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
১ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C১ = ৬!/{১! × (৬ - ১)! = (৬ × ৫!)/৫! = ৬
২ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_২ = ৬!/{২! × (৬ - ২)! = (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!) = ১৫
৩ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৩ = ৬!/{৩! × (৬ - ৩)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩!)/(৩ × ২ × ৩!) = ২০
৪ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৪ = ৬!/{৪! × (৬ - ৪)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২!)/(৪ × ৩ × ২ × ২!) = ১৫
৫ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৫ = ৬!/{৫! × (৬ - ৫)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১!)/(৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১!) = ৬
৬ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৬ = ৬!/{৬! × (৬ - ৬)! = ৬!/(৬! × ০!) = ১

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৬ + ১৫ + ২০ + ১৫ + ৬ + ১ = ৬৩

বিকল্প:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৬ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৬ - ১
= ৬৪ - ১ = ৬৩ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

৮৮২.

'STATISTICS' শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

ক
41320
খ
50400
গ
14480
ঘ
28600

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'STATISTICS' শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'STATISTICS' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 10টি
যার মধ্যে S আছে 3টি, T আছে 3টি এবং I আছে 2টি করে এবং বাকিগুলো ভিন্ন।

∴ মোট সাজানোর উপায় = 10!/(3! × 3! × 2!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(6 × 6 × 2)
= 50400

৮৮৩.

১৫ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ- অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

ক
৩০০
খ
২২৫
গ
২১০
ঘ
১৯৬

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৫ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ- অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
15 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁵C₁ = 15 উপায়ে
14 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁴C₁ = 14 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 15 × 14 = 210

৮৮৪.

r!.ⁿC_r = ?

ক
ক) n!/(n - r)!
খ
খ) n!/r
গ
গ) n!/r!
ঘ
ঘ) (n - r)!/r!

ব্যাখ্যা

r!.ⁿC_r
r!n!/r!(n - r)!
= n!/(n - r)!

৮৮৫.

দুইজন ছাত্রকে একত্রে না বসিয়ে, 5 জন ছাত্র এবং 5 ছাত্রীকে কত রকমে একটি গোল টেবিলের পাশে আসন দিতে পারবেন?

ক
14400
খ
2880
গ
2500
ঘ
576

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুইজন ছাত্রকে একত্রে না বসিয়ে, 5 জন ছাত্র এবং 5 ছাত্রীকে কত রকমে একটি গোল টেবিলের পাশে আসন দিতে পারবেন?

সমাধান:
5 জন ছাত্রকে গোল টেবিলে বসানো যায় = (5 - 1)! = 24 উপায়ে
∴ 5 জন গোল হয়ে বসলে তাদের মাঝে ফাকা স্থান থাকে 5 টি

এই 5 স্থান 5 জন ছাত্রী পূরণ করবে ⁵P₅ = 120 উপায়ে
∴ মোট আসন সংখ্যা = 24 × 120 = 2880

৮৮৬.

r!ⁿC_r= ?

ক
(n - r)!/r!
খ
n!/(n - r)!
গ
(n - r)!/n!
ঘ
r!/(n - r)!

ব্যাখ্যা

r!.ⁿC_r
= r!n!/r!(n - r)!
= n!/(n - r)!

৮৮৭.

তিনটি পোস্ট বক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

ক
ক) 27
খ
খ) 729
গ
গ) 81
ঘ
ঘ) 243

ব্যাখ্যা

4 টি চিঠি ফেলার উপায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= 3⁴
= 81

৮৮৮.

ⁿP_r ও ⁿC_r এর মধ্যে সম্পর্ক কী?

ক
ক) r ⁿP_r = ⁿC_r
খ
খ) ⁿP_r = r ⁿC_r
গ
গ) r! ⁿP_r = ⁿC_r
ঘ
ঘ) ⁿP_r = r! ⁿC_r

ব্যাখ্যা

ⁿP_r= n!/(n - r)! --- --- --- (i)
ও ⁿC_r = n!/r!(n - r)!
⇒ n!/(n - r)! = r!. ⁿC_{r --- --- --- (ii)}(i) ও (ii) হতে,
ⁿC_r = r!. ⁿC_r

৮৮৯.

9 ব্যক্তির একটি দল দুটি যানবাহনে ভ্রমণ করবে। যার একটিতে 7 জনের বেশি এবং অন্যটিতে 4 জনের বেশি ধরে না। দলটি কত প্রকারে ভ্রমণ করতে পারবে?

ক
ক) 282
খ
খ) 246
গ
গ) 256
ঘ
ঘ) 242

ব্যাখ্যা

দলটির ভ্রমণ করার উপায় নিম্নে দেখান হলোঃ
প্রথম যানবাহন ------ দ্বিতীয় যানবাহন
(১) 7 ---------------- 2
(২) 6 --------------- 3
(৩) 5 --------------- 4
সুতরাং ভ্রমণ করার উপায় = ⁹C₇ + ⁹C₆ + ⁹C₅ = ⁹C₂ + ⁹C₃ + ⁹C₄
= 36 + 84 + 126
= 246

৮৯০.

একটি ক্লাবে 9 জন পুরুষ ও 8 জন মহিলা থেকে 6 জনে একটি কমিটি কত রকমে গঠন করা যাবে, যেখানে পুরুষ সদস্য থাকবে 4 জন, মহিলা সদস্য থাকবে 2 জন।

ক
3350
খ
3528
গ
3680
ঘ
3720

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবে 9 জন পুরুষ ও 8 জন মহিলা থেকে 6 জনে একটি কমিটি কত রকমে গঠন করা যাবে, যেখানে পুরুষ সদস্য থাকবে 4 জন, মহিলা সদস্য থাকবে 2 জন।

সমাধান:
9 জন পুরুষ সদস্য হতে 4 জন নিয়ে সমাবেশ = ⁹C₄
= 126
8 জন মহিলা সদস্য হতে 2 জন নিয়ে সমাবেশ = ⁸C₂
= 28
∴ কমিটি গঠন করা যাবে = 126 × 28
= 3528

৮৯১.

10 জন খেলোয়ারকে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্ত করা যায়?

ক
ক) 20
খ
খ) 66
গ
গ) 112
ঘ
ঘ) 252

ব্যাখ্যা

দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়
= (2 × 5)!/(5!)²
= 10!/(5!)²
= 10!/(5!5!)
= 5!(6 × 7 × 8 × 9 × 10)/(5!5!)
= 6 × 7 × 8 × 9 × 10/(2 × 3 × 4 × 5)
= 252

৮৯২.

আপনারা নয়জন বন্ধু একটি গোল টেবিলে বসে গল্প করছেন। আপনার আসন নির্দিষ্ট রেখে অন্যরা কত উপায়ে গোল টেবিলে বসতে পারবে?

ক
ক) 10!
খ
খ) 9!
গ
গ) 8!
ঘ
ঘ) 9!/2

ব্যাখ্যা

বিন্যাস সংখ্যা = (9 - 1)! = 8!.

৮৯৩.

20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

ক
160
খ
760
গ
190
ঘ
380

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
20 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ²⁰C₁ = 20 উপায়ে
19 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁹C₁ =19 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 20 × 19 = 380

৮৯৪.

একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। সদস্যের সংখ্যা 16 হলে, করমর্দনের সংখ্যা কত?

ক
100
খ
120
গ
150
ঘ
240

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। সদস্যের সংখ্যা 16 হলে, করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 16

∴ করমর্দনের = ⁿC₂ = ¹⁶C₂
= 16!/{2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= 120

৮৯৫.

7 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা হতে 5 সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি কতভাবে নির্বাচিত করা যায় যেন কমিটিতে কমপক্ষে 3 জন পুরুষ থাকে?

ক
ক) 735
খ
খ) 645
গ
গ) 756
ঘ
ঘ) 576

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা হতে 5 সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি কতভাবে নির্বাচিত করা যায় যেন কমিটিতে কমপক্ষে 3 জন পুরুষ থাকে?

সমাধান:
পুরুষ (7) মহিলা (6)
1) 3 2
2) 4 1
3) 5 0

∴ মোট কমিটি নির্বাচন করা যাবে = (⁷C₃ × ⁶C₂) + (⁷C₄ × ⁶C₁) + (⁷C₅ × ⁶C₀)
= (35 × 15) + (35 × 6) + (21 × 1)
= 756

৮৯৬.

5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলো দ্বারা কতোগুলো 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে যেখানে, অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি হতে পারে?

ক
70
খ
65
গ
85
ঘ
75

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলো দ্বারা কতোগুলো 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে যেখানে, অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
অঙ্ক 3 টি হলো যথাক্রমে H T U (শতক, দশক, একক অঙ্ক)
3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠন করতে-
কেবলমাত্র 5, 7, 9 কে একক অঙ্কের স্থানে ব্যবহার করা সম্ভব।
শতক এবং দশকের স্থানে 5 টি অঙ্কই ব্যবহার করা সম্ভব।

একক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 3
দশক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5
শতক অঙ্কের জন্য সম্ভাব্য অঙ্ক = 5

3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যার সংখ্যা = 3 × 5 × 5 = 75
∴ 5, 6, 7, 8, 9 এই অঙ্কগুলো দ্বারা 75 টি 3 অঙ্কের বিজোড় সংখ্যা গঠিত হতে পারে, যদি অঙ্কগুলোর পুনরাবৃত্তি সম্ভব হয়।

৮৯৭.

'MATHEMATICS' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
ক) 142360
খ
খ) 132096
গ
গ) 100800
ঘ
ঘ) 120960

ব্যাখ্যা

'MATHEMATICS' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 11টি
Vowel আছে 4টি
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 8টি
8টি বর্ণকে সাজানো যায় = 8!/2!2! [M = 2টি, T = 2টি]
= 40320/4
= 10080

Vowel চারটিকে সাজানো যায় =4!/2! [A = 2টি]
= 12

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 10080 × 12
=120 × 6
= 120960

৮৯৮.

SOLUTION শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

ক
820
খ
5050
গ
10180
ঘ
20160

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: SOLUTION শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যাবে?

সমাধান:
SOLUTION শব্দটিতে O আছে দুইবার এবং বাকি বর্ণগুলো একবার ব্যবহার করা হয়েছে।

SOLUTION শব্দটিকে সাজানোর উপায় = 8!/2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3)
= 20160

৮৯৯.

SINOVAC শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা, VACCINE শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

ক
ক) 4 গুন
খ
খ) 2 গুন
গ
গ) অর্ধেক
ঘ
ঘ) 3 গুন

ব্যাখ্যা

SINOVAC শব্দে 7 টি বিভিন্ন অক্ষর আছে যাদেরকে সাজানোর উপায় 7!
VACCINE শব্দে 7 টি বর্ণ আছে যাদের ২টি C সুতরাং এক্ষেত্রে সাজানোর উপায় 7!/2!
∴ ১ম বিন্যাস/২য় বিন্যাস = 7! × 2!/7!
= 2!
= 2

৯০০.

5 জন বালক ও 2 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন বালিকা সর্বদা একত্রে থাকবে?

ক
1440
খ
5040
গ
720
ঘ
2880

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 জন বালক ও 2 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 2 জন বালিকা সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক ও বালিকা = (5 + 2) = 7 জন
2 জন বালিকা একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (5 + 1) জন
= 6 জন
6 জনকে সাজানো যায় = 6!
2 জন বালিকাকে সাজানো যায় = 2!

∴ 2 জন বালিকা সর্বদা একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (2 × 1)
= 720 × 2
= 1440