বিন্যাস ও সমাবেশ

প্রশ্ন: 'CAUTIONS' শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে বিন্যাস করা যাবে, যেখানে A, N থাকবেনা?

সমাধান: 
Cautions শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি। যথা,  C, A, U, T, I, O, N, S
যেহেতু A ও N বাদ, তাই বাকি বর্ণ 6 টি। C, U, T, I, O, S 

এখন,
6 টি বর্ণ প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 6!/(6 - 3)! = 120

প্রশ্ন: ৫ জন মহিলা ও ৪ জন পুরুষের মধ্যে থেকে ২ জন পুরুষ এবং ১ জন মহিলা নিয়ে একটি দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
৫ জন মহিলা থেকে ১ জন মহিলা বাছাই করার উপায় = ^৫C_১ = ৫
৪ জন পুরুষ থেকে ২ জন পুরুষ বাছাই করার উপায় = ^৪C_২ = ৬

∴ নির্ণেয় দল গঠনের উপায় = ৫ × ৬ = ৩০

প্রশ্ন: ৬ জন মহিলা ও ৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে একটি ৪ সদস্যের কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে যেখানে ২ জন মহিলা সর্বদা কমিটিতে অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
৬ জন মহিলা থেকে ২ জন ও ৫ জন পুরুষ থেকে ২ জন নিয়ে ৪ সদস্যের কমিটি গঠন করা যায়,
= ^৬C_২ × ^৫C_২ 
= {৬!/(২! × ৪! )} × {৫!/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫ × ৪!)/(২! × ৪!)} × {(৫ × ৪ × ৩!)/(২! × ৩!)}
= {(৬ × ৫)/২} × {৫ × ৪)/২}
= ১৫ × ১০ 
= ১৫০ উপায়ে

যেহেতু, ৫টি ভিন্ন রঙের পতাকার একটি বা একাধিক একবার নিয়ে বানাতে বলা হয়েছে
সুতরাং, ৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₁ = 5
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₂ = 20
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₃ = 60
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₄ = 120
৫ টি থেকে ১ টি নিয়ে সংকেত সংখ্যা হল = 5P₅ = 120
মোট সংকেত সংখ্যা = ৫ + ২০ + ৬০ + ১২০ + ১২০ = ৩২৫

- 'BIAM' শব্দটির চারটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
- সুতরাং বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 4!
= 4 × 3 × 2 × 1 = 24

প্রশ্ন: 14 সদস্যের দল থেকে খেলোয়াড়দেরকে নিয়ে কতভাবে একাদশ সাজানো যাবে যেখানে প্রতিবার একজন অধিনায়ক হিসেবে নির্দিষ্ট থাকবেন?

সমাধান:
14 সদস্যের দলে 1 জন অধিনায়ক নির্দিষ্ট থাকলে বাকি খেলোয়াড় সংখ্যা হবে = (14 - 1) = 13 জন

একাদশে অধিনায়ক নির্দিষ্ট থাকলে খেলোয়াড় বাছাই করতে হবে = 11 - 1 = 10 জন

∴ সমাবেশ সংখ্যা = ¹³C₁₀
= 13!/{10! × (13 - 10)!}
= 13!/(10! × 3!)
= (13 × 12 × 11 × 10!)/(10! × 3!)
= (13 × 12 × 11)/(3 × 2 × 1)
= 286

প্রশ্ন: ⁿC₈ = ⁿC₃ হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
ⁿC₈ = ⁿC₃
⇒ ⁿC₈ = ⁿC_{n - 3} [ⁿC_r = ⁿC_{n - r} সূত্র প্রয়োগ]
⇒ 8 = n - 3
⇒ n = 8 + 3
∴ n = 11

১ম পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 5P₁ = 5
২য় পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 4P₁ = 4
৩য় পরিবারটি ৫ টি ঘরের মধ্যে একটি ঘর বাছাই করতে পারে 3P₁ = 3
তাহলে, তিনটি পরিবার দখল করতে পারে 5 x 4 x 3 = 60 উপায়ে

ALGEBRA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে যার মধ্যে 2 টি A এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
প্রতিবার 3 টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস এর ক্ষেত্রে-
(i) 2 টি A এবং 1 টি ভিন্ন বর্ণ
(ii) সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন
(i) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 1 × ⁵c₁ × 3!/2! = 15
(ii) এর ক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₃ = 120
∴ সাজানোর মোট উপায় = 15 + 120 = 135

প্রশ্ন: 20 সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
20 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ²⁰C₁ = 20 উপায়ে
19 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁹C₁ =19 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 20 × 19 = 380

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₂ = ⁿC₈ হয়, তবে ²²C_n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ⁿC₁₂ = ⁿC₈
⇒ ⁿC_{n - 12} = ⁿC₈ 
⇒ n - 12 = 8 
∴ n = 12 + 8 = 20 

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি, 
= ²²C_n
= ²²C₂₀  ; [n = 20]
= 22!/(20! × 2!)
= (22 × 21 × 20!)/(20! × 2)
= 11 × 21 
= 231

এখানে গণনার যোজন বিধি হবে।
∴ মোট ভ্রমনের উপায় হবে ৬ + ৫ = ১১

হার তৈরির ক্ষেত্রে চক্র বিন্যাস হয় অর্থাৎ একটি স্থির ধরতে হয়।
আবার বামার্বত এবং ডানাবর্ত একই হয় বিধায় প্রকৃত হার এর সংখ্যা চক্র বিন্যাস এর অর্ধেক হবে।
∴ হার এর সংখ্যা = (6 - 1)!/2
= 5!/2
= 120/2
= 60

আমরা জানি,
np_n = n!
∴ 8p₈ = 8! = 40320

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় ৮ জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রতিযোগীর সংখ্যা = ৮ জন
একে অপরের সাথে ১ বার করে খেলবে

∴ মোট খেলা = ^৮C_২
 = ৮!/২!(৮ - ২)!
= (৮ × ৭ × ৬!)/(২! × ৬!)
= (৮ × ৭)/২
= ৫৬/২
= ২৮

∴ প্রতিযোগিতায় মোট ২৮ টি খেলা অনুষ্ঠিত হবে।                        

শব্দটিতে মোট ৭ টি অক্ষর আছে যাদের মধ্যে দু'টি C প্রতিবার ৫ টি করে নিয়ে বাছাই করার ক্ষেত্রে - 
(ক) দু'টি একই ধরনের অক্ষর এবং বাকী তিনটি ভিন্ন ভিন্ন।
(খ) সবগুলো অক্ষর ভিন্ন ভিন্ন।
(ক) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = ১ × ^৫c_৩ = ১০
(খ)                                       = ^৬c_৫ = ৬
∴ মোট বাছাই করার উপায় = ১০+৬ = ১৬

প্রশ্ন: 0, 3 , 6, 7 অঙ্কগুলো দ্বারা চার অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যায় যেনো কোন অঙ্কের পুনরাবৃত্তি না হয়?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4!
= 24

0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!
= 6

∴ চার অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (24 - 6)
= 18

প্রশ্ন: ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120 হলে, r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120

আমরা জানি, 
ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⇒ 720 = 120 × r!
⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6 = 3!
∴ r = 3

প্রশ্ন: দীপান্বিতার সাতজন বান্ধবী আছে। কত ভাবে সে এক বা একাধিক বান্ধবীকে নিমন্ত্রণ করতে পারবে?

সমাধান:
ধরি,
দীপান্বিতার ৭ জন বান্ধবী আছে। 
প্রত্যেক বান্ধবীকে নিমন্ত্রণ করা বা না করা → ২টি বিকল্প।

সর্বমোট সম্ভাবনা: 2⁷ = 128

কাউকে না নিমন্ত্রণ করলে → 1 উপায়।

তাই কমপক্ষে ১ জন নিমন্ত্রণ করার উপায়: 128 - 1 = 127 টি উপায়

প্রশ্ন: একটি প্রফেসর পদের জন্য 3 জন প্রার্থী এবং 6 জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হলে, কত উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে?

সমাধান:
প্রার্থী সংখ্যা = 3 জন
ভোটদাতা সংখ্যা = 6 জন

∴ মোট ভোট দেওয়ার উপায় = (প্রার্থী)^{ভোটার}
= 3⁶
= 729

এতএব, 729 উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে।

প্রশ্ন: SUCCESS শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যাতে S তিনটি পাশাপাশি না থাকে?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ 7টি; S 3টি, C 2টি।
সুতরাং মোট বিন্যাস = 7!/(3! × 2!) = 420.

S তিনটিকে একত্রে একটি বর্ণ ধরে নিলে মোট বর্ণ হয় 5টি, যেখানে C দুটি।
তাহলে S তিনটি পাশাপাশি রেখে মোট বিন্যাস = 5!/2! = 60.

∴ SUCCESS শব্দটির বর্ণগুলো সাজানো যায়, যখন S তিনটি পাশাপাশি থাকবে না
= 420 - 60 = 360 প্রকারে।

আমরা জানি, n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তু একত্রে নিয়ে বিন্যাস = n^r
∴10 টি পুরস্কার 6 জনকে বিতরণ করা যায় = 6¹⁰ উপায়ে।

প্রশ্ন: 14 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়। 

তাহলে,
14 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= ¹⁴C₃
= 14!/{3! × (14 - 3)!}
=14!/(3! × 11!)
= (14 × 13 × 12 × 11!)/(3! × 11!)
= (14 × 13 × 12)/6
= 14 × 13 × 2
= 364

ALGEBRA শব্দটিতে মোট 7টি  বর্ণ রয়েছে যাদের মধ্যে 2টি A।
প্রতিবার 3টি বর্ণ নিয়ে সাজানোর ক্ষেত্রে-

(a) 2টি A অন্য একটি  ভিন্ন বর্ণ
(b) সবগুলোর বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন

(a) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায়
= 1 × ⁵c₁ × 3!/2!
= 15
(b) এর ক্ষেত্রে সাজানোর উপায়
= ⁶p₃
= 120

∴ মোট শব্দ সংখ্যা
= 15 + 120
= 135

একটি করমর্দন 2 জনের সমাবেশ থেকে সংগঠিত হয়
∴ মোট করমর্দন সংখ্যা = ⁿc₂
∴ ⁿc₂ = 28
বা, n!/2!(n - 2)! = 28
বা, n(n - 1)(n - 2)!/2(n - 2)! = 28
বা, n(n - 1) = 56
বা, n² - n - 56 = 0
বা, n² - 8n + 7n - 56 = 0
বা, n(n - 8) + 7(n - 8) = 0
বা, (n - 8)(n + 7) = 0
বা, n - 8 = 0
∴ n = 8