লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ৭ / ১৮ · ৬০১–৭০০ / ১,৭৫০

৬০১.
15 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    105
  2. খ
    90
  3. গ
    85
  4. ঘ
    80
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 বাহুবিশিষ্ট বহুভূজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
বাহুর সংখ্যা, n = 15

∴ কর্ণের সংখ্যা = nC2 - n
= 15C2 - n
= [15!/{2!(15 - 2)!}] - 15
= {15!/(2! × 13!)} - 15
= 105 - 15
= 90
৬০২.
'DINNER' শব্দের অক্ষরগুলোকে কত রকমে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 360
  3. গ
    গ) 720
  4. ঘ
    ঘ) 1260
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  'DINNER' শব্দের অক্ষরগুলোকে কত রকমে সাজানো যায়?

সমাধান:
DINNER শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি এবং একই বর্ণ N আছে 2 বার।

∴ মোট বিন্যাস = 6!/2! = 720/2 = 360
৬০৩.
6 টি গণিতের এবং 6 টি পদার্থের বই থেকে 5 টি বই কত উপায়ে বাছাই করা যায় যেখানে গণিতের 3 টি বই থাকবে এবং বাকীগুলো পদার্থ বিজ্ঞানের বই।
  1. ক
    15
  2. খ
    30
  3. গ
    150
  4. ঘ
    300
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 টি গণিতের এবং 6 টি পদার্থের বই থেকে 5 টি বই কত উপায়ে বাছাই করা যায় যেখানে গণিতের 3 টি বই থাকবে এবং বাকীগুলো পদার্থ বিজ্ঞানের বই।

সমাধান: 
6 টি গণিতের বই থেকে 3 টি বাছাই করা যায় = 6C3 = 20 উপায়ে
6 টি পদার্থবিজ্ঞানের বই থেকে 2 টি বাছাই করা যায় = 6C2 = 15 উপায়ে

∴ 5 টি বই বাছাইয়ের উপায় = 20 × 15 = 300
৬০৪.
nC12 = nC6 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nC12 = nC6 হলে n এর মান কত?

 সমাধান:
⇒ nC12 = nC6
⇒ nC12 = nCn - 6
⇒ 12 = n - 6
⇒ n = 18
৬০৫.
তানভীরের 4 জন বন্ধু আছে। সে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে প্রীতিভোজে নিমন্ত্রণ করতে পারে?
  1. ক
    15
  2. খ
    13
  3. গ
    16
  4. ঘ
    14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: তানভীরের 4 জন বন্ধু আছে। সে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে প্রীতিভোজে নিমন্ত্রণ করতে পারে?

সমাধান: 
1 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 4C1 উপায়ে করতে পারেন। 
2 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 4C2 উপায়ে করতে পারেন। 
3 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 4C3 উপায়ে করতে পারেন। 
4 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 4C4 উপায়ে করতে পারেন। 
 
∴ মোট উপায় সংখ্যা = 4C1 + 4C2+ 4C3 + 4C4
= 4 + 6 + 4 + 1
= 15
৬০৬.
একটি দশভুজের কৌণিক বিন্দুগুলোর সংযোগ রেখার সাহায্যে কতগুলি কর্ণ টানা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) ৪৫
  2. খ
    খ) ৩৫
  3. গ
    গ) ৫৫
  4. ঘ
    ঘ) ৩০
ব্যাখ্যা
একটি দশভূজ ১০টি পার্শ্বরেখা দ্বারা গঠিত। সুতরাং ক্ষেত্রটির ১০টি কৌণিক বিন্দু আছে।
এই ১০টি বিন্দুর যে কোন ২টি বিন্দু নিয়ে একটি রেখা গঠিত হয় এবং রেখাগুলা ১০c২ ভাবে গঠিত হতে পারে।
∴ নির্ণেয় রেখার সংখ্যা = ১০c২ = ১০.৯/১.২ = ৪৫।
কিন্তু এ রেখাগুলোর মধ্যে ১০টি রেখা কর্ণ নয়। কারণ তারা ক্ষেত্রের পার্শ্বরেখা।
∴ নির্ণেয় কর্ণের সংখ্যা = ৪৫-১০ = ৩৫।
৬০৭.
একটি ক্লাবে ৮ জন পুরুষ ও ৮ জন মহিলা সদস্য আছেন। ৬ সদস্যের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে পুরুষ ও মহিলা ৩ জন করে থাকবেন। কতভাবে এই কমিটি গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) ৩১৩৬
  2. খ
    খ) ৩১৩৫
  3. গ
    গ) ৩১৩৪
  4. ঘ
    ঘ) ৩১৩৯
ব্যাখ্যা

কমিটি গঠনের উপায় = 8C3 × 8C3 = 3136

৬০৮.
’POSTAGE’ শব্দের অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?
  1. ক
    ১২২
  2. খ
    ১৪৪
  3. গ
    ২২৪
  4. ঘ
    ২৫৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ’POSTAGE’ শব্দের অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?

সমাধান:
‘POSTAGE’ শব্দটিতে ৭টি অক্ষর আছে যার মধ্যে ৪টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও ৩ টি স্বরবর্ণ। ৭টি স্থানের মধ্যে ৪টি বিজোড় স্থান এবং ৩টি জোড় স্থান।
৩ টি স্বরবর্ণকে ৩টি জোড়স্থানে মোট 3P3 = 6 উপায়ে সাজনো যায়।
৪ টি ব্যঞ্জনবর্ণ ৪ টি বিজোড়স্থানে মোট 4P4 = 24 উপায়ে সাজনো যায়।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 6 × 24 = 144
৬০৯.
২, ৩, ৪, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৪০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ১২টি
  2. খ
    ১৮টি
  3. গ
    ১৬টি
  4. ঘ
    ২২টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২, ৩, ৪, ৫ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে ৪০০০ অপেক্ষা বৃহত্তর কয়টি সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
যদি সংখ্যাটি ৪০০০ অপেক্ষা বড় হয় তবে প্রথম অঙ্কটি অবশ্যই ৪ অথবা ৫ হতে হবে।

প্রথম অঙ্কটি ৪ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

অনুরূপভাবে, প্রথম অঙ্কটি ৫ হলে, বাকি তিনটি অঙ্ক সাজানো যায় = ৩! উপায়ে
= ৬ উপায়ে

∴ ৪০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করা যায় = ৬ + ৬ = ১২টি
৬১০.
6 জন ও 8 জন খেলোয়াড়ের দুটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি টিম গঠন করতে হবে যাতে 6 জনের দল থেকে কমপক্ষে 4 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    256
  2. খ
    280
  3. গ
    372
  4. ঘ
    344
ব্যাখ্যা
উপায়            ১ম দল(6)                                     ২য় দল (8)
১ নং                 6                                                   5
২ নং                5                                                    6
৩ নং                4                                                    7 


১ নং এর ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 6C6 × 8C5
                                                     = 1 × 56 = 56 
 
২ নং এর ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় =6C5 ×8C6
                                                      = 6 × 28
                                                      = 168
৩ নং এর ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় =6C4 × 8C7 
                                                       = 15 × 8 
                                                       = 120
টিম গঠনের মোট উপায় = 56  + 168 + 120 = 344
৬১১.
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মৌলিক সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 1/6
  2. খ
    খ) 1/3
  3. গ
    গ) 2/3
  4. ঘ
    ঘ) 1/2
ব্যাখ্যা

একটি ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা = 2, 3, 5
এবং তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = 3, 6
মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য এমন সংখ্যা = 2, 3, 5, 6.
সুতরাং মৌলিক অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা = 4/6 = 2/3।

৬১২.
8Pr = 1680 হলে r এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    6
  3. গ
    4
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8Pr = 1680 হলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
8Pr = 1680
⇒ 8!/(8 - r)! = 1680
⇒ (8 - r)! × 1680 = 8!
⇒ (8 - r)! = 8!/1680
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5 × 4!)/(8 × 7 × 6 × 5)
⇒ (8 - r)! = 4!
⇒ 8 - r = 4
⇒ r = 8 - 4
∴ r = 4
৬১৩.
13Pr = 1716 হলে, r এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13Pr = 1716 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
13Pr = 1716
⇒ 13!/(13 - r)! = 11 × 12 × 13
⇒ (13 - r)! × 11 × 12 × 13 = 13!
⇒ 13! (13 - r)! = (13 × 12 × 11 × 10!)/(11 × 12 × 13)
⇒ (13 - r)! = 10!
⇒ (13 - r) = 10
⇒ r = 13 - 10
∴ r = 3
৬১৪.
একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে ৬টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    ক) ১২ টি
  2. খ
    খ) ১৫ টি
  3. গ
    গ) ১৬ টি
  4. ঘ
    ঘ) ১৮ টি
ব্যাখ্যা

৬ টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে ১ টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ৬C২ = (৬×৫) / (২×১) = ১৫টি।

৬১৫.
একটি মিটিংয়ে উপস্থিত ৭ জন সদস্য প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে, মোট করমর্দনের সংখ্যা -
  1. ক
    ক) ২১
  2. খ
    খ) ৪২
  3. গ
    গ) ৬৩
  4. ঘ
    ঘ) ৮৪
ব্যাখ্যা
একটি করমর্দন ২ জনের সমাবেশ থেকে সংগঠিত হয়।
সুতরাং মোট করমর্দন = ৭C২ = ২১
৬১৬.
8 জন বালক ও 4 জন বালিকা থেকে 4 জন বালক ও 2 জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    360 উপায়ে
  2. খ
    420 উপায়ে
  3. গ
    720 উপায়ে
  4. ঘ
    120 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন বালক ও 4 জন বালিকা থেকে 4 জন বালক ও 2 জন বালিকা বিশিষ্ট দল কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬ জন বালক থেকে ৫ জন বাচাই করা যায় = 8C4 = 70 উপায়ে
৩ জন বালিকা থেকে ২ জন বাচাই করা যায় = 4C2 = 6 উপায়ে

∴ দল গঠন করার মোট উপায় = 70 × 6 = 420 উপায়ে
৬১৭.
'CAUTIONS' শব্দটি হতে প্রতিবারে 4 টি করে অক্ষর নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 1680
  2. খ
    খ) 3360
  3. গ
    গ) 6728
  4. ঘ
    ঘ) 2460
ব্যাখ্যা

'CAUTIONS' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা n = 8 টি এবং প্রতিবারে নিতে হবে 4 টি অক্ষর, r = 4,
সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা = nPr = 8P4
= 8!/(8-4)!
= 8.7.6.5
= 1680.

৬১৮.
২, ৩, ৪, ৫, ৬ এবং ৭ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হয়?
  1. ক
    ২১০ টি
  2. খ
    ২৪০ টি
  3. গ
    ১৮০ টি
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২, ৩, ৪, ৫, ৬ এবং ৭ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
২ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি জোড় সংখ্যা (২, ৪, ৬) হতে হবে।
জোড় অঙ্ক আছে ৩টি (২, ৪, ৬)।
জোড় অঙ্ক ব্যতীত আর অঙ্ক থাকে ৩টি (৩, ৫, ৭)।

একক স্থানে জোড় অঙ্ক বসানোর জন্য ৩টি অপশন আছে।
বাকি ৩টি ঘর সাজানো যাবে বাকি ৫টি অঙ্ক দিয়ে।

হাজার স্থানে বসানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে (যেকোনো একটি জোড় অঙ্ক একক স্থানে ব্যবহার করা হবে, তাই হাজার স্থানে ৫টি অপশন)।
শতক স্থানে বসানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে।
দশক স্থানে বসানো যাবে ৩টি অঙ্ক দিয়ে।
একক স্থানে বসানো যাবে ৩টি জোড় অঙ্ক দিয়ে।

∴ মোট সংখ্যা হবে = (৫ × ৪ × ৩ × ৩) টি = ১৮০টি।
৬১৯.
'ORANGE' শব্দটিকে 'BANANA' শব্দটি থেকে কত বেশি উপায়ে সাজানো যাবে?
  1. ক
    190
  2. খ
    280
  3. গ
    660
  4. ঘ
    540
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ORANGE' শব্দটিকে 'BANANA' শব্দটি থেকে কত বেশি উপায়ে সাজানো যাবে?

সমাধান:
ORANGE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে কোন বর্ণের পুনরাবৃত্তি নেই।
শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

BANANA শব্দে 6টি বর্ণ আছে। যার মধ্যে 3টি A, 2টি N, এবং 1টি B আছে।
শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!2! = 60

 'ORANGE' শব্দটিকে 'BANANA' শব্দটি থেকে বেশি সাজানো যাবে = 720 - 60 উপায়ে
= 660 উপায়ে
৬২০.
"SUCCESS" শব্দের বর্ণগুলো দিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'S'?
  1. ক
    720
  2. খ
    360
  3. গ
    180
  4. ঘ
    240
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: "SUCCESS" শব্দের বর্ণগুলো দিয়ে কতগুলো বিন্যাস করা যাবে, যাদের প্রথম অক্ষর হবে 'S'?

সমাধান:
'SUCCESS' শব্দটিতে মোট ৭টি বর্ণ রয়েছে।

এখন, 'S' প্রথম স্থানে স্থির, তাই বাকি ৬টি স্থানে বাকি বর্ণগুলো বিন্যাস করতে হবে : U, C, C, E, S, S।

এখানে C ২টি, S ২টি রয়েছে।

∴ বাকি ৬টি বর্ণের বিন্যাস সংখ্যা = 6!/(2! × 2!)
= 720/(2 × 2)
= 720/4
= 180

অতএব, 'S' দিয়ে শুরু হওয়া 'SUCCESS' শব্দের বিন্যাসের সংখ্যা = 180।

৬২১.
৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে দুইজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৩০ উপায়ে
  2. খ
    ৩৫ উপায়ে
  3. গ
    ৪০ উপায়ে
  4. ঘ
    ৬০ উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে দুইজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে দুইজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়
= ৫C২ × ৪C২
= ১০ × ৬
= ৬০
৬২২.
18 টি ফলের মধ্যে 7 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট পাঁচটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    1716
  2. খ
    1616
  3. গ
    2020
  4. ঘ
    1216
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 18 টি ফলের মধ্যে 7 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট পাঁচটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (18 - 5) বা 13 টি থেকে 7 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = 13C7
= 13!/{(13 - 7)! × 7!}
= 13!/(6! × 7!)
= (13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7!​)/{(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)7!}
= 1716
৬২৩.
একজন সংকেত বাহকের কাছে ছয়টি পতাকা আছে, যাদের মধ্যে একটি সাদা, দুটি সবুজ এবং তিনটি লাল।সে এক সঙ্গে ছয়টি পতাকা ব্যবহার করে কত গুলো সংকেত তৈরী করতে পারবে?
  1. ক
    ক) ৭০ টি
  2. খ
    খ) ১২০ টি
  3. গ
    গ) ৬০ টি
  4. ঘ
    ঘ) ৪৮ টি
ব্যাখ্যা

মোট পতাকা ৬ টি,
সাদা ১ টি
সবুজ ২ টি
লাল ৩ টি
এক সঙ্গে ছয়টি পতাকা ব্যবহার করে সংকেত তৈরী করা যাবে ৬!/(১!২!৩!) = ৬০ টি

৬২৪.
16 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    268
  2. খ
    560
  3. গ
    220
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে 3 টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে,
16 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= 16C3
= 16!/{3! × (16 - 3)!}
= 16!/(3! × 13!)
= (16 × 15 × 14 × 13!)/(3 × 2 × 1 × 13!)
= (16 × 15 × 14)/(3 × 2 × 1)
= 560

৬২৫.
একটি বিয়ের অনুষ্ঠানে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট করমর্দনের সংখ্যা ৩৬টি। ঐ অনুষ্ঠানে লোক সংখ্যা কত ছিল?
  1. ক
    ক) ৯ জন
  2. খ
    খ) ১০ জন
  3. গ
    গ) ৮ জন
  4. ঘ
    ঘ) ১২ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিয়ের অনুষ্ঠানে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট করমর্দনের সংখ্যা ৩৬টি। ঐ অনুষ্ঠানে লোক সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান; 
ধরি,
অনুষ্ঠানে উপস্থিত মোট লোক ছিল = n

∴ মোট করমর্দন nC2 = 36
বা, n!/2!(n - 2)! = 36
বা, n(n - 1)(n - 2)!/2(n - 2)! = 36
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 36
বা, (n2 - n)/2 = 36
বা, n2 - n = 72
বা, n2 - n - 72 = 0
বা, n2 - 9n + 8n - 72 = 0
বা, n(n - 9) + 8(n - 9) = 0
বা, (n - 9)(n + 8) = 0
                       
∴ n - 9 = 0                  
n = 9
 
অথবা 
 n + 8 = 0
 n = - 8 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
৬২৬.
একটি ক্লাসরুমের একটি বেঞ্চে 6টি আসন খালি আছে। তিনজন ছাত্র কতভাবে এই 6টি আসনে বসতে পারবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    60
  3. গ
    40
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসরুমের একটি বেঞ্চে 6টি আসন খালি আছে। তিনজন ছাত্র কতভাবে এই 6টি আসনে বসতে পারবে?

সমাধান:
বিন্যাস সংখ্যা = 6p3
= 120
৬২৭.
nP4 = 6 × nP3 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    9
  3. গ
    2
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nP4 = 6 × nP3 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
nP4 = 6 × nP3
⇒ n!/(n - 4)! = 6 × {n!/(n - 3)!}
⇒ 1/(n - 4) = 6 × {1/(n - 3)(n - 4)!}
⇒ 1 = 6/(n - 3)
⇒ n - 3 = 6
∴ n = 9 
৬২৮.
5 জন নৃত্যশিল্পী বৃত্তাকার নাচবে। কত প্রকারে তারা পৃথক পৃথকভাবে বৃত্তাকার দাঁড়াতে পারবে?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা

n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন জিনিসকে বৃত্তাকারে সাজালে মোট (n-1)! উপায়ে সাজাতে হয়
∴ (5-1)! = 4! = 24
৬২৯.
একটি টুর্নামেন্টে 8 টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    12 টি
  2. খ
    24 টি
  3. গ
    28 টি
  4. ঘ
    32 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি টুর্নামেন্টে 8 টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
8 টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে 8C2 = 28 টি
৬৩০.
১৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল পরিবার থেকে ১১ সদস্যের দল কতভাবে নির্বাচন করা যায়, যেখানে একজন নির্দিষ্ট দক্ষলোক সর্বদা অধিনায়ক হিসাবে থাকবে?
  1. ক
    ক) ৩০০৩
  2. খ
    খ) ১০০১
  3. গ
    গ) ১৩৬৫
  4. ঘ
    ঘ) ৩৬৪
ব্যাখ্যা

একজনকে সর্বদা বিদ্যমান রেখে ১১ সদস্যের দল গঠনের উপায়,
= (১৫ - ১)c(১১ - ১)
= ১৪c১০
= ১০০১

৬৩১.
7টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 4টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?
  1. ক
    5040
  2. খ
    25200
  3. গ
    20240
  4. ঘ
    16108
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 4টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
7টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায় = 7C3 = 35
4টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 4C2 = 6
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = (35 × 6)
= 210

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি এদের সাজানোর উপায় = 5!
= 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = (210 × 120)
= 25200
৬৩২.
একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে 7 টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    18 টি
  2. খ
    21 টি
  3. গ
    15 টি
  4. ঘ
    24 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাস্কেটবল টুর্নামেন্টে 7 টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
7 টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা 1 টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে 7C2 = 21 টি।
৬৩৩.
7 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্যে থেকে মোট 4 জন নিয়ে কত উপায়ে কমিটি গঠন করা যায় যেখানে পুরুষ সংখ্যাগরিষ্ঠ থাকবে?
  1. ক
    ক) 330
  2. খ
    খ) 840
  3. গ
    গ) 140
  4. ঘ
    ঘ) 7920
ব্যাখ্যা

4 জন এর কমিটি গঠন করতে হলে 3 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা সদস্য থাকতে হবে।
সুতরাং কমিটি গঠনের উপায় = 7c3 × 4c1
= 35 × 4
= 140

৬৩৪.
একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সমাবেশে উপস্থিত লোকের সংখ্যা 16 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?
  1. ক
    160
  2. খ
    180
  3. গ
    90
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমাবেশ শেষে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করলো। সমাবেশে উপস্থিত লোকের সংখ্যা 16 জন হলে হ্যান্ডশেকের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 16

∴ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = 16C2
= 16!/2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 × 15 × 14!)/(2! × 14!)
= 120
৬৩৫.
7 জনকে একটি গোল টেবিলে বসাতে হবে, তবে 3 জন বন্ধু সবসময় পাশাপাশি বসবেন। কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    720
  2. খ
    540
  3. গ
    184
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জনকে একটি গোল টেবিলে বসাতে হবে, তবে 3 জন বন্ধু সবসময় পাশাপাশি বসবেন। কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
3 জন বন্ধু একত্রে থাকলে তাদেরকে একটি ইউনিট হিসেবে ধরলে মোট সংখ্যা = (1 + 4) জন
= 5 জন

আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!

∴ 5 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (5 - 1)!
= 4!
= 24 উপায়ে

আবার,
3 বন্ধু নিজেদের মধ্যে বসবে = 3! = 6 উপায়ে

∴ মোট বসার উপায় = 24 × 6
= 144
৬৩৬.
'DEALER' শব্দের বর্ণগুলোকে কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 180
  2. খ
    খ) 360
  3. গ
    গ) 240
  4. ঘ
    ঘ) 320
ব্যাখ্যা
DEALER শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি L, 2টি E, 1টি A, 1টি D এবং 1টি R আছে।

 সাজানো যাবে = 6! / (1!)(2!)(1!)(1!)(1!)
                       = 720/2
                       = 360 উপায়ে
৬৩৭.
10Pr = 720 হলে r এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10Pr = 720 হলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
10Pr = 720
⇒ 10!/(10 - r)! = 8 × 9 × 10
⇒ (10 - r)! × 8 × 9 × 10 = 10!
⇒ (10 - r)! = (10 × 9 × 8 × 7!)/(8 × 9 × 10)
⇒ (10 - r)! = 7!
⇒ (10 - r) = 7
⇒ r = 10 - 7
∴ r = 3
৬৩৮.
একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    ২৫ জন
  2. খ
    ৩০ জন
  3. গ
    ৩৫ জন
  4. ঘ
    ৪০ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় ৪৩৫টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।
ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ nC2 = 435
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 435
⇒ n(n - 1)/2 = 435
⇒ n2 - n = 870
⇒ n2 - n - 870 = 0
⇒ n2 - 30n + 29n - 870 = 0
⇒ n(n - 30) + 29(n - 30) = 0
⇒ (n - 30)(n + 29) = 0
⇒ n - 30 = 0 অথবা n + 29 = 0
∴ n = 30 অথবা n = - 29
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 30

∴ সভায় মোট লোক ছিল ৩০ জন।
৬৩৯.
১১টি পুতি দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে কত উপায়ে?
  1. ক
    ১১!
  2. খ
    ১১!/২
  3. গ
    ১০!
  4. ঘ
    ১০!/২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১১টি পুতি দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে কত উপায়ে?

সমাধান:
১১টি পুতি দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে (১১ - ১)!/২ উপায়ে = ১০!/২ উপায়ে
৬৪০.
শাকিলের 4 জন বন্ধু আছে। সে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে প্রীতিভোজে নিমন্ত্রণ করতে পারে?
  1. ক
    ক) 31
  2. খ
    খ) 28
  3. গ
    গ) 15
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা
1 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 4C1 উপায়ে করতে পারেন। 
2 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 4C2 উপায়ে করতে পারেন। 
3 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 4C3 উপায়ে করতে পারেন। 
4 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 4C4 উপায়ে করতে পারেন। 

 
মোট উপায় সংখ্যা = 4C1 + 4C2 +  4C3 +4C4
                             = 4 + 6 + 4 + 1 
                              =15
৬৪১.
BANGLADESH শব্দের সব বর্ণ নিয়ে কতটি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    10!/2! 2!
  2. খ
    8!/2!
  3. গ
    10!/2!
  4. ঘ
    10/2!
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: BANGLADESH শব্দের সব বর্ণ নিয়ে কতটি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে?

সমাধান: 
BANGLADESH শব্দে মোট বর্ণ ১০ টি এবং A আছে ২ টি। 

শব্দ গঠন করা যাবে = 10!/2!
৬৪২.
৬টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি তসবী তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ৪৫
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৯০
  4. ঘ
    ৩৬
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি তসবী তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
তসবী, মালা ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2

এখানে, n = 6

∴ তসবী গঠনের উপায় = (6 - 1)!/2
= 5!/2
= (5 × 4 × 3 × 2 × 1)/2
= 120/2
= 60

৬৪৩.
EGYPT শব্দটির অক্ষরগুলো থেকে 1 টি স্বরবর্ণ ও 2 টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে কতগুলো শব্দ গঠন করা যায়?
  1. ক
    18
  2. খ
    36
  3. গ
    72
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা

শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে, 5 টি যাদের একটি স্বরবর্ণ এবং 4 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।
প্রতিবার 1টি স্বরবর্ণ এবং 2টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে শব্দগঠনের উপায় = 1 × 4c2 × 3! = 36

৬৪৪.
6 জন গণিত ও 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 230
  2. খ
    খ) 115
  3. গ
    গ) 185
  4. ঘ
    ঘ) 195
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 জন গণিত ও 4 জন পদার্থ বিজ্ঞানের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে গণিতের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে? 

সমাধান:
গণিত (6)        পদার্থ(4)
1) 6  __________  0 
2) 5 __________  1 
3) 4  __________ 2 

1) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C6 × 4C0
= 1 × 1 = 1
2) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C5 × 4C1
= 6 × 4 = 24 
3) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C4 × 4C2 
= 15 × 6
 = 90 

কমিটি গঠনের মোট উপায় = 1 + 24 + 90 = 115
৬৪৫.
৪ জন মহিলা ও ৬ জন পুরুষের মধ্য থেকে ৪ সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে যাতে একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) ৮৬
  2. খ
    খ) ৮৪
  3. গ
    গ) ৮৮
  4. ঘ
    ঘ) ৮২
ব্যাখ্যা
একজন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন, তাহলে পুরুষের সংখ্যা (৬-১) বা, ৫ জন।
একজনকে নির্দিষ্ট রাখায় কমিটিতে থাকবে (৪-১) বা, ৩ জন।

পুরুষ ৫ মহিলা ৪ কমিটি গঠন ৩ কমিটি গঠনের উপায়
০ ৩ 5C0 x 4C3 4
১ ২ 5C1 x 4C2 30
২ ১ 5C2 x 4C1 40
৩ ০ 5C3 x 4C0 10
মোট কমিটি গঠনের উপায় (4 + 30 + 40 + 10) বা, 84.
৬৪৬.
একটি দাবা টুর্নামেন্টে আটজন অংশগ্রহণ করেছে। একক পদ্ধতিতে মোট কয়টি খেলা পরিচালনা করা যাবে?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 16
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) 28
ব্যাখ্যা
দুইজন মিলে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে। 
মোট খেলার সংখ্যা হবে
= 8C2
= 28
৬৪৭.
9টি জিনিসের মধ্যে 2টি এক জাতীয় এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবার 5টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    89
  2. খ
    90
  3. গ
    91
  4. ঘ
    92
ব্যাখ্যা

2টি একই জাতীয় জিনিস বাদ দিয়ে বাছাই করা যায় 7c3 = 35
আবার,
2টি একই জাতীয় হলে মোট 8 ধরণের জিনিস হতে 5টি নিয়ে বাছাই করা যায়
= 8c5 = 56
∴ বাছাই করার মোট উপায় = 35 + 56 = 91

৬৪৮.
একটি ক্লাসের 12 জন শিক্ষকের মধ্যে 4 জনকে একটি কমিটিতে বাছাই করতে হবে। কত উপায়ে বাছাই সম্ভব? 
  1. ক
    408 উপায়ে 
  2. খ
    495 উপায়ে 
  3. গ
    462 উপায়ে 
  4. ঘ
    528 উপায়ে 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের 12 জন শিক্ষকের মধ্যে 4 জনকে একটি কমিটিতে বাছাই করতে হবে। কত উপায়ে বাছাই সম্ভব?

সমাধান: 
এখানে, 
শিক্ষকের সংখ্যা = 12 জন 
কমিটিতে স্থান দিতে হবে = 4 জন 

∴ এদের মধ্য থেকে বাছাই করতে হবে = 12C4 ​
= 12!/4! . (12 - 4)!​ 
= 12!/4! . 8!​ 
= 12⋅11⋅10⋅9.​ 8! /8! . 4 . 3 . 2 . 1 
= 495 

∴ 495 উপায়ে বাছাই করা সম্ভব।

৬৪৯.
যদি nCr = 15 এবং nPr = 360 হয় তবে r = ?
  1. ক
    24
  2. খ
    16
  3. গ
    12
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nCr = 15 এবং nPr = 360 হয় তবে r = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
r! × nCr = nPr
বা, r! × 15 = 360
বা, r! = 360/15
বা, r! = 24
বা, r! = 4!
∴ r = 4
৬৫০.
একটি দাবা খেলার প্রতিযোগিতায় ৩ জন প্রতিযোগীর প্রত্যেকে অন্য একজন খেলোয়াড়ের সাথে একবার মাত্র খেলবে। সর্বমোট কতগুলো খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    ক) ৩টি
  2. খ
    খ) ৪টি
  3. গ
    গ) ৫টি
  4. ঘ
    ঘ) ৬টি
ব্যাখ্যা

খেলা অনুষ্ঠিত হওয়ার মোট উপায় = 3C2 = 3!/{2!(3-2)!} = 3!/2! = 3

৬৫১.
পুনরাবৃত্তি না করে 1, 3, 0, 3, 5, 5 অঙ্কগুলি দ্বারা 100000 এর চেয়ে বৃহত্তর কতগুলি সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    30
  2. খ
    150
  3. গ
    180
  4. ঘ
    260
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত 6 টি অঙ্কের মধ্যে 2 টি 3, 2টি 5 আছে। 
এ ছয়টি অঙ্ক দ্বারা 6!/(2!2!) = 180 টি সংখ্যা গঠন করা যায়।
0 দ্বারা আরম্ভ হয় এরুপ সংখ্যা = 5!/2!2! = 30 টি 
100000 এর চেয়ে বৃহত্তর সংখ্যা গঠন করা যাবে = (180 - 30) টি = 150 টি
৬৫২.
একটি টুর্নামেন্টে ৭টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    ২১টি
  2. খ
    ২২টি
  3. গ
    ২৮টি
  4. ঘ
    ৪৯টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি টুর্নামেন্টে ৭টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
৭টি দল অংশগ্রহণ করে একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১টি করে খেলা খেলবে।
তাহলে মোট খেলা হবে ৭C২ = ২১টি।
৬৫৩.
যদি nC15 = nC7 হয়, তবে 25Cn =?
  1. ক
    1700
  2. খ
    2100
  3. গ
    2300
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nC15 = nC7 হয়, তবে 25Cn =?

সমাধান:
nC15 = nC7
⇒ nCn -15 = nC7
⇒ n - 15 = 7
∴ n = 15 + 7 = 22

25Cn = 25C22
= 25!/(22! × 3!)
= (25 × 24 × 23)/(3 × 2 × 1)
= 2300
৬৫৪.
6 জন বালক ও 4 জন বালিকা হতে 5 জনকে কতভাবে ভর্তির জন্য নির্বাচিত করা যাবে, যাতে ভর্তিকৃতদের মধ্যে সর্বদা শুধুমাত্র 2 জন বালিকা থাকে?
  1. ক
    120
  2. খ
    90
  3. গ
    80
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 জন বালক ও 4 জন বালিকা হতে 5 জনকে কতভাবে ভর্তির জন্য নির্বাচিত করা যাবে, যাতে ভর্তিকৃতদের মধ্যে সর্বদা শুধুমাত্র 2 জন বালিকা থাকে?

সমাধান:
6 জন বালক থেকে 3 জন নির্বাচন করা যায় = 6c3 = 20 ভাবে
4 জন বালিকা থেকে 2 জন নির্বাচন করা যায় = 4c2 = 6 ভাবে
∴ মোট উপায় = 20 × 6 = 120 ভাবে
৬৫৫.
একটি রেলওয়ে কামড়ায় একটি বেঞ্চে 6 টি আসন খালি আছে। তিন জন যাত্রী কতভাবে এই 6 টি আসনে বসতে পারবে? 
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 140
  3. গ
    গ) 160
  4. ঘ
    ঘ) 180
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি রেলওয়ে কামড়ায় একটি বেঞ্চে 6 টি আসন খালি আছে। তিন জন যাত্রী কতভাবে এই 6 টি আসনে বসতে পারবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
বেঞ্চ সংখ্যা = 6 টি
এবং যাত্রী সংখ্যা = 3 জন 

∴ বিন্যাসের নিয়মানুসারে উপায় সংখ্যা হবে = 6P3 
= 6!/(6 - 3)! 
= 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(3 × 2 × 1) 
= 120 

∴ 120 উপায়ে বসতে পারবে। 
৬৫৬.
এক ব্যক্তির 3টি লাল পতাকা 3টি হলুদ পতাকা 2টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 8টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 560
  3. গ
    গ) 720
  4. ঘ
    ঘ) 1260
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 3টি লাল পতাকা 3টি হলুদ পতাকা 2টি নীল পতাকা আছে। একটি সংকেত তৈরির জন্য 8টি পতাকাকে একটি সারিতে ব্যবহার করলে কয়টি সংকেত করতে পারবে?

সমাধান:
মোট পতাকা 8 টি
যার মধ্যে, লাল 3টি, হলুদ 3 টি, নীল 2 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (3! x 3! x 2!)
= (8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3!) / (3! x 6 x 2)
= (8 x 7 x 6 x 5 x 4) / (6 x 2)
= 560
৬৫৭.
5, 6 এবং m, n এই অঙ্ক এবং বর্ণগুলো দ্বারা 4 উপাদান বিশিষ্ট কতগুলো password তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 144
  3. গ
    গ) 256
  4. ঘ
    ঘ) None of them
ব্যাখ্যা

5, 6 এবং m, n এই অঙ্ক এবং বর্ণগুলো দ্বারা 4 উপাদান বিশিষ্ট password তৈরি করা যাবে = 44 = 256 টি

৬৫৮.
nP4 = 5 × nP3 হয়, তবে n এর মান কত?
  1. ক
    8
  2. খ
    4
  3. গ
    3
  4. ঘ
    6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nP4 = 5 × nP3 হয়, তবে n এর মান কত?

সমাধান: 
nP4 = 5 × nP3
বা, np4/np3 = 5
বা, {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}/{n(n - 1)(n - 2)} = 5
বা, n - 3 = 5
∴ n = 8
৬৫৯.
0, 2, 3, 5, 6, 7 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    280
  2. খ
    290
  3. গ
    300
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা
এখানে, 
মোট অঙ্ক সংখ্যা 6
6টি অঙ্ক থেকে 4টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = 6P4 
                                                                    = 360
0 কে প্রথমে রেখে,
5টি অঙ্ক থেকে 3টি অঙ্ক নিয়ে গঠিত  সংখ্যা = 5P3
                                                                   = 5!/(5 - 3)!
                                                                   = 60 

অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায় = 360 - 60 = 300
৬৬০.
13 টি কলম থেকে 7 টি কলম কত উপায়ে বাছাই করা যায় যেখানে 3 টি বিশেষ কলম সর্বদা অর্ন্তভূক্ত থাকবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    200
  3. গ
    210
  4. ঘ
    250
ব্যাখ্যা

এক্ষেত্রে,
বাছাই করার উপায় = (13 - 3)c(7 - 3)
= 10C4
= 210

৬৬১.
একটি ক্লাবের ১৫ জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার ৪ জনকে নিয়ে কতটি ভিন্ন কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে ৩ জন নির্দিষ্ট সদস্য কমিটিতে রাখা যাবে না?
  1. ক
    495
  2. খ
    720
  3. গ
    900
  4. ঘ
    350
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাবের ১৫ জন সদস্যের মধ্য থেকে প্রতিবার ৪ জনকে নিয়ে কতটি ভিন্ন কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে ৩ জন নির্দিষ্ট সদস্য কমিটিতে রাখা যাবে না?

সমাধান:
3 জন সদস্যকে বাদ দিয়ে বাকি (15 - 3) = 12 জন সদস্যের মধ্য থেকে 4 জন নির্বাচন করতে হবে।

∴ 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= 12C4
= 12!/{4! × (12 - 4)!}
= 12!/(4! × 8!)
= (12 × 11 × 10 × 9 × 8!)/(4 × 3 × 2 × 1 × 8!)
= 495

৬৬২.
যদি nC8 = nC2 হয়, তাহলে nC4 এর মান কত?
  1. ক
    45
  2. খ
    40
  3. গ
    210
  4. ঘ
    5040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nC8 = nC2 হয়, তাহলে nC4 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nCa = nCb হলে, a = b অথবা a + b = n হয়।

nC8 = nC2
⇒ 8 + 2 = n
∴ n = 10

nC4 = 10C4 = 210
৬৬৩.
’COLLEGE’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 5040
  2. খ
    খ) 1260
  3. গ
    গ) 2520
  4. ঘ
    ঘ) 720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ’COLLEGE’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
মোট বর্ণ 7 টি
যার মধ্যে, L= 2 টি, E = 2 টি

মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7! / (2! x 2!) = 1260
৬৬৪.
4 জন মহিলা ও 6 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্য বিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট পুরুষ সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 210
  2. খ
    খ) 302
  3. গ
    গ) 84
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা

যেহেতু, 1 জন পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে, সেহেতু অবশিষ্ট 5 জন পুরুষ ও 4 জন মহিলা থেকে 3 সদস্য বিশিষ্ঠ কমিটি গঠন করা যায়,
(5 + 4)C3 উপায়ে।
= 9C3
= 9!/{3! (9 - 3)!
= 9!/3!6!
= (9 × 8 × 7 × 6!)/ (3 × 2 × 1 × 6!)
= 84 উপায়ে

৬৬৫.
3 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 4320
  3. গ
    গ) 720
  4. ঘ
    ঘ) 1440
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 

সমাধান: 
3 জন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = 5 জন 
5 জন কে সাজানো যায় = 5!
3 জন বালককে সাজানো যায় = 3!

একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 3! = 120  ×  6 = 720
৬৬৬.
"LOGARITHMS" শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 2 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ ও 3 টি স্বরবর্ণ কত প্রকারে বাছাই করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 21
  2. খ
    খ) 105
  3. গ
    গ) 63
  4. ঘ
    ঘ) 84
ব্যাখ্যা
"LOGARITHMS" শব্দটিতে 7 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ ও 3 টি স্বরবর্ণ আছে।

7 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ থেকে 2 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়
= 7C2
= 21

3 টি স্বরবর্ণ থেকে 3 টি স্বরবর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়
= 3C3
= 1

অতএব, "LOGARITHMS" শব্দটির বর্ণগুলো থেকে 2 টি ব্যাঞ্জন বর্ণ ও 3 টি স্বরবর্ণ 21 × 1 বা 21 প্রকারে বাছাই করা যেতে পারে।
৬৬৭.
'FLOWERS' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?
  1. ক
    160
  2. খ
    240
  3. গ
    880
  4. ঘ
    1440
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'FLOWERS' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতকগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'FLOWERS' শব্দটিতে মোট বর্ণ 7টি। তন্মধ্যে 2টি স্বরবর্ণ (O, E) ও 5টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।

O, E স্বরবর্ণ থেকে প্রথম স্থান পূরণের উপায় = 2P1 = 2
অবশিষ্ট 6টি বর্ণ দ্বারা 6টি স্থান পূরণের উপায় = 6! = 720
∴ নির্ণেয় বিন্যাস = 2 × 720 = 1440
৬৬৮.
একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন? 
  1. ক
    ১৮
  2. খ
    ২৮ 
  3. গ
    ২০
  4. ঘ
    ২৪ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি হল রুমের ৫ টি দরজা রয়েছে। এক ব্যক্তি কত উপায়ে একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে পারবেন? 
 
সমাধান: 
যেহেতু অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে, তাই যে দরজা দিয়ে ঢুকবে সে দরজা দিয়ে বের হতে পারবে না। 
অর্থাৎ, ঢুকার সময় দরজা সংখ্যা ৫ টি এবং বের হওয়ার সময় দরজা সংখ্যা ৪ টি
∴ উপায় সংখ্যা = ৫ × ৪ 
= ২০ 

৬৬৯.
24 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    552
  2. খ
    630
  3. গ
    528
  4. ঘ
    512
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 24 সদস্য বিশিষ্ট একটি ফুটবল দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

​সমাধান:
22 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 24C1 = 24
21 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 23C1 = 23
∴ বাছাই সংখ্যা = (24 × 23)
= 552
৬৭০.
ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেক বার 6টি ভিন্ন বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    20!/26!
  2. খ
    26!/20!
  3. গ
    26!/(20! × 6!)
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেক বার 6টি ভিন্ন বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
আমরা জানি, ইংরেজি বর্ণমালায় মোট 26 টি বর্ণ আছে। এই 26টি বর্ণ হতে প্রত্যেকবার 6 টি করে বর্ণ নিয়ে
গঠিত শব্দের সংখ্যা = 26P6 = 26!/20! = 165,765,600
৬৭১.
৫ জন কর্মকর্তা এবং ৬ জন কর্মচারীর মধ্য থেকে ৪ জনের কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায় যাতে ১ জন বিশেষ কর্মকর্তা সর্বদা বিদ্যমান থাকে?
  1. ক
    ৮৪
  2. খ
    ৯৬
  3. গ
    ১২০
  4. ঘ
    ১১০
ব্যাখ্যা
মোট সদস্য = ৫+৬ = ১১
গঠিত কমিটির সদস্য = ৪
∴ কমিটি গঠনের উপায় = ১১-১C৪-১
= ১০C৩
= ১২০
৬৭২.
AMERICA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    2
  2. খ
    3
  3. গ
    4
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
CALCUTTA শব্দটিতে মোট অক্ষর 8 টি, যার মধ্যে 2টি C, 2টি A ও 2টি T।
সুতরাং, মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2!2!2!) = 5040
আবার, AMERICA শব্দটির মোট অক্ষর 7 টি, যার মধ্যে 2টি A।
সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
অর্থাৎ, প্রথম শব্দটির বিন্যাস দ্বিতীয়টির বিন্যাসের 2520/5040 = 1/2 গুণ
৬৭৩.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'POLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    330
  2. খ
    720
  3. গ
    480
  4. ঘ
    840
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'POLAND' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“POLAND" শব্দটিতে মোট বর্ণ 6টি যেখানে সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন এবং স্বরবর্ণ 2টি।
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6! = 720

স্বরবর্ণ দুটিকে একটি ধরে মোট ভিন্ন বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
স্বরবর্ণ দুটিকে সাজানো যায় = 2!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস = 720 - 240
= 480
৬৭৪.
PSC- শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 1
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 3
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 3টি। অতএব বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 3 X 2 = 6.
৬৭৫.
৩টি ফুটবল খেলার ফলাফল কত উপায়ে হতে পারে?
  1. ক
    ৩
  2. খ
    ৮১
  3. গ
    ৯
  4. ঘ
    ২৭
ব্যাখ্যা

প্রথম খেলার ফলাফল কোন একটি দলের জন্য জয়, পরাজয় অথবা অমীমাংসিত অর্থাৎ ৩ উপায়ে হতে পারে।
অনুরূপ দ্বিতীয় খেলার ফলাফল ৩ উপায়ে এবং
তৃতীয় খেলার ফলাফলও ৩ উপায়ে হতে পারে।
সুতরাং নির্ণেয় ফলাফলের সংখ্যা = ৩ × ৩ ×‌ ৩
= ২৭ উপায়ে।

৬৭৬.
AFGHANISTAN শব্দের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 6!/3!2!
  2. খ
    খ) 11!
  3. গ
    গ) 11!/3!2!
  4. ঘ
    ঘ) 11!/5!
ব্যাখ্যা
শব্দটিতে মোট 11টি অক্ষর আছে, যাদের 3টি A এবং 2টি N বাকী অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
সুতরাং এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 11!/3!2!
৬৭৭.
'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা এবং 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কোনটি?
  1. ক
    3 : 1
  2. খ
    1 : 2
  3. গ
    1 : 1
  4. ঘ
    4 : 3
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা এবং 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত কোনটি?

সমাধান:
COPPER শব্দে 6টি বর্ণ আছে।
যার মধ্যে 1টি C, 2টি P, 1টি O, 1টি E এবং 1টি R আছে।

 শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
 = 720/2
= 360 উপায়ে৷


DEGREE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে, E আছে 3 টি।
∴ DEGREE শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3! = 720/6 = 120

∴ 'COPPER' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'DEGREE' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার অনুপাত = 360 : 120
= 3 : 1 
৬৭৮.
একটি বাক্সে 2টি সাদা বল, 3টি লাল বল এবং 5টি কালো বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি লাল বল থাকে?
  1. ক
    ক) 63
  2. খ
    খ) 85
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বাক্সে 2টি সাদা বল, 3টি লাল বল এবং 5টি কালো বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি লাল বল থাকে?

সমাধান: 
সাদা বল = 2টি
লাল বল = 3টি 
কালো বল =  5টি 

3টি লাল বল থেকে 1টি এবং 7 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = 3C1 × 7C2
3টি লাল বল থেকে 2টি এবং 7 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =3C2 × 7C1
3টি লাল বল থেকে 3টি  = 3C3

মোট উপায়  = (3C1 × 7C2) + (3C2 × 7C1) + (3C3) 
                   = 3 × 21 + 3  × 7 + 1
                  = (63 + 21 + 1)
                   = 85
৬৭৯.
১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি এক জাতীয় এবং বাকী গুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতি বারে ৫টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    ১৭০
  2. খ
    ১৮২
  3. গ
    ১৯০
  4. ঘ
    ১৯২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি এক জাতীয় এবং বাকী গুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতি বারে ৫টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান: 
১০টি জিনিসের মধ্যে ২টি একজাতীয় এবং বাছাই করতে হবে ৫টি। বাছাই করার উপায় আছে দুভাবে,
i) ৫টির সবগুলোই ভিন্ন ভিন্ন।
ii) একজাতীয় ২টি একসাথে এবং অন্য ৩টি ভিন্ন।

ক) এর ক্ষেত্রে ১০টি জিনিসের মধ্যে যে ২টি জিনিস একই রকম তাদেরকে একটি ধরে মোট ৯টি ভিন্ন ভিন্ন জিনিস থেকে ৫টি জিনিস বাছাই করা যায়
৯C৫
= ৯!/{৫!×(৯ - ৫)!}
= (৯×৮×৭×৬×৫!)/(৫!×৪!)
= (৯×৮×৭×৬)/২৪
= ১২৬ ভাবে। 

খ) এর ক্ষেত্রে প্রথমে, ২টি একজাতীয় এর ২টি-ই নেয়ার পর অবশিষ্ট ১০ - ২ = ৮টি থেকে পরের (৫ - ২) = ৩টি নেয়া যায়
২C২×৮C৩
= {২!/(২!×(২ - ২)!)} × {৮!/(৩!×(৮ - ৩)!)}
= {২!/(২!×০!)} × {(৮×৭×৬×৫!)/(৬×৫!)} 
= ১×৫৬
= ৫৬ ভাবে।

∴ মোট বাছাই করা যাবে = ১২৬+৫৬
= ১৮২ ভাবে।
৬৮০.
৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ১২ টি
  2. খ
    ১৪ টি
  3. গ
    ১৬ টি
  4. ঘ
    ১৮ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৩ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ৩C১ × ৪C২
= ৩ × ৬
= ১৮ টি উপায়ে 
৬৮১.
৬ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৪৫
  2. খ
    ৯০
  3. গ
    ৮৬
  4. ঘ
    ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ জন পুরুষ ও ৫ জন মহিলার একটি দল থেকে একজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান: 
৬ জন পুরুষ এবং ৫ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়, 
= ৬C১ × ৫C২
= ৬ × ১০
= ৬০ ।
৬৮২.
'EQUATION' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?
  1. ক
    ক) 330
  2. খ
    খ) 332
  3. গ
    গ) 334
  4. ঘ
    ঘ) 336
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: “EQUATION" শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যায়?

সমাধান:
“Equation" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি
প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8P3
= 336
৬৮৩.
10 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 3 জন বালক ও 1 জন বালিকা নিয়ে সম্ভাব্য কত উপায়ে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    ক) 920
  2. খ
    খ) 940
  3. গ
    গ) 980
  4. ঘ
    ঘ) 960
ব্যাখ্যা

নির্ণেয় বাছাই সংখ্যা = 10C3 × 8C1
= 10! ÷ {(10 - 3)! × 3!} × 8
= {(10 × 9 × 8 × 7!) ÷ (7! ×‌ 3!)} × 8
= (10 × 9 × 8 ÷ 6) × 8
= 120 × 8
= 960

৬৮৪.
2 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়? 
  1. ক
    128 টি উপায়ে
  2. খ
    256 টি উপায়ে
  3. গ
    72 টি উপায়ে
  4. ঘ
    49 টি উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 2 টি
চিঠির সংখ্যা r = 7 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = nr
 = 27
 = 128 টি উপায়ে

৬৮৫.
11 জন খেলোয়াড়ের মধ্য থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    ক) 100
  2. খ
    খ) 110
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 125
ব্যাখ্যা

11 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 11C1 =11উপায়ে
10 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 10C1 =10 উপায়ে
∴ বছাই সংখ্যা = 11 × 10 =110

৬৮৬.
ASTRAZENECA শব্দটির সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 11!/3!
  2. খ
    খ) 11!/3!2!
  3. গ
    গ) 11!
  4. ঘ
    ঘ) 11!/2!
ব্যাখ্যা

ASTRAZENECA শব্দটিতে মোট 11 টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 3 টি A এবং 2 টি E বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন
সুতরাং সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 11!/3!2!

৬৮৭.
৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়? 
  1. ক
    ৭০
  2. খ
    ৬০ 
  3. গ
    ২৫
  4. ঘ
    ৩৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৮ জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়?

সমাধান:
প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ৮C৪ = (৮)!/(৪!(৮ - ৪)!)
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪! )/(৪ × ৩ × ২ × ১  × ৪!) 
= ২  × ৭  × ৫ 
= ৭০ 

সুতরাং, সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫

৬৮৮.
8টি পুরস্কার 5 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে?
  1. ক
    77
  2. খ
    58
  3. গ
    35
  4. ঘ
    37
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8টি পুরস্কার 5 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 

সমাধান:
বালকের সংখ্যা n = 5 জন
পুরস্কার r = 8টি 

পুরস্কার বিতরণ করা যেতে পারে = nr
= 58
৬৮৯.
একটি শিক্ষার্থী ৬টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?
  1. ক
    49
  2. খ
    63
  3. গ
    75
  4. ঘ
    54
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি শিক্ষার্থী ৬টি বিষয়ের পরীক্ষায় অংশ নিচ্ছে। সেই শিক্ষার্থী কত উপায়ে পরীক্ষায় ফেল করতে পারে?

সমাধান:
পরীক্ষার্থী পরীক্ষায় 1, 2, 3, 4, 5, 6 এর মধ্যে যেকোনো সংখ্যক বিষয়ে ফেল করতে পারে।

∴ মোট ফেল করার উপায়,
= 6C1 + 6C2 + 6C3 + 6C4 + 6C5 + 6C6
= (6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1)
= 63

৬৯০.
npn-r = ?
  1. ক
    ক) n!/r!
  2. খ
    খ) n!/(n - r)!
  3. গ
    গ) (n - r)!/r!
  4. ঘ
    ঘ) n!/r!(n - r)!
ব্যাখ্যা
npn-r
= n!/(n - n + r)!
= n!/r!
৬৯১.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'Daughter' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 40320
  2. খ
    খ) 4320
  3. গ
    গ) 32320
  4. ঘ
    ঘ) 36000
ব্যাখ্যা
'Daughter' শব্দটিতে 8 টি বর্ণ রয়েছে
যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

8 টি বর্ণকে সাজানো যায় =8! =  40320

 স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 6টি 
6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!
 স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3! 

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
                                                                 = 720 × 6 
                                                                  = 4320
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 40320 - 4320
                                                                      = 36000
৬৯২.
4 জন বালক ও 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 4 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    2880
  2. খ
    2700
  3. গ
    2525
  4. ঘ
    2420
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 4 জন বালক ও 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 4 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা আছে 8 জন ।
চারজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা হবে 5 জন।
5 জনকে সাজানো যায় = 5!

4 জন বালক কে সাজানো যায় = 4!

∴ মোট সাজানো যাবে = 5! × 4!
= 120 × 24
= 2880
৬৯৩.
8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    720
  2. খ
    1620
  3. গ
    144
  4. ঘ
    2880
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
4টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (8 - 4) + 1 = 5টি
5টি বই সাজানোর মোট উপায় = 5! = 120

এবং বিশেষ বই 4টি সাজানোর মোট উপায় = 4! = 24

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 120 × 24
= 2880

সুতরাং, 8টি বইয়ের মধ্যে 4টি বিশেষ বই একত্রে রেখে 2880 প্রকারে সাজানো যায়। 

৬৯৪.
একটি মুদ্রা 3 বার নিক্ষেপ করা হলে 2টি Head উঠার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) 1/2
  2. খ
    খ) 3/8
  3. গ
    গ) 1/4
  4. ঘ
    ঘ) 5/8
ব্যাখ্যা
নমুনা বিন্দু = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} = মোট 8টি
2টি Head এর অনুকূলে নমুনা বিন্দু = {HHT, HTH, THH} = 3টি
∴ এক্ষেত্রে সম্ভাবনা = 3/8
৬৯৫.
3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    ক) 4220
  2. খ
    খ) 4310
  3. গ
    গ) 4320
  4. ঘ
    ঘ) 4330
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান: 
মোট বালক বালিকা = (3 + 5) = 8 জন
তিনজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 5) জন = 6 জন
6 জন কে সাজানো যায় = 6!
3 জন বালক কে সাজানো যায় = 3!

∴ একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 4320
৬৯৬.
সাত বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    14
  2. খ
    21
  3. গ
    7
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সাত বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
n বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কর্ণ আছে = nC2 - n

সাত বাহুবিশিষ্ট বহুভুজে কর্ণ আছে = 7C2 - 7
= 21 - 7
= 14
৬৯৭.
একটি বিদ্যালয়ে 6 জন শিক্ষিকা ও 4 জন শিক্ষক থেকে 5 সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করা হবে। কমিটিতে 2 জন শিক্ষিকা থাকা বাধ্যতামূলক হলে, কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) 42
  2. খ
    খ) 56
  3. গ
    গ) 84
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
কমিটিতে 2 জন শিক্ষিকা থাকা বাধ্যতামূলক হলে,
ঐ 2 জন কে হিসাবের বিবেচনার বাইরে রেখে কমিটি গঠনের উপায় বের করতে হবে। 

কমিটি গঠনের উপায়
= (6 - 2 + 4)C(5 - 2)
= 8C3
= 56
৬৯৮.
প্রত্যেকটি অঙ্ক প্রতি সংখ্যায় কেবল একবার ব্যবহার করে 4, 3, 7 অঙ্কগুলো দ্বারা কতগুলো দুই অঙ্ক বিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 6
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 18
ব্যাখ্যা
এখানে 4, 3, 7 মোট তিনটি ভিন্ন ভিন্ন অঙ্ক রয়েছে।
এদের মধ্য থেকে প্রতিবার দুইটি করে নিয়ে সংখ্যা গঠন করার উপায় = 3P2 = 6
৬৯৯.
3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?
  1. ক
    4320
  2. খ
    435
  3. গ
    4408
  4. ঘ
    4424
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা = (3 + 5) = 8 জন
তিনজন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = (1 + 5) জন
= 6 জন
6 জন কে সাজানো যায় = 6!
3 জন বালক কে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 4320
৭০০.
'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    21 গুণ
  2. খ
    18 গুণ
  3. গ
    17 গুণ
  4. ঘ
    12 গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'AMERICA' শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা 'CANADA' শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যস্ত সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
AMERICA শব্দে মোট বর্ণ = 7 টি
এর মধ্যে A = 2 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/2
= 7 × 6 × 5 × 4 × 3
= 2520

আবার,
CANADA শব্দে মোট বর্ণ = 6 টি
এর মধ্যে A = 3 বার, বাকি সব বর্ণ 1 বার করে আছে।

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6!/3!
= (6 × 5 × 4 × 3!)/3!
= 6 × 5 × 4
= 120

সুতরাং AMERICA শব্দের বিন্যাস সংখ্যা CANADA শব্দের বিন্যাস সংখ্যার 2520/120 = 21 গুণ।