লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ৪ / ১৮ · ৩০১–৪০০ / ১,৭৫০

৩০১.
SOLUTION শব্দটির বর্ণগুলোকে কত রকমে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ ও ব্যজ্ঞনবর্ণ পৃথক ভাবে একত্রে থাকে ?
  1. ক
    625
  2. খ
    576
  3. গ
    512
  4. ঘ
    441
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: SOLUTION শব্দটির বর্ণগুলোকে কত রকমে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ ও ব্যজ্ঞনবর্ণ পৃথক ভাবে একত্রে থাকে ?

সমাধান :
SOLUTION শব্দটিতে 8টি বর্ণ আছে । 

স্বরবর্ণ O, U, I, O  নিজেদের মধ্যে বিন্যাস = 4!/2!
= 12

ব্যজ্ঞনবর্ণ S, L, T, N নিজেদের মধ্যে বিন্যাস =4!
= 24

স্বরবর্ণ এবং ব্যঞ্জনবর্ণকে দুটি আলাদা গুচ্ছ ধরে তাদের বিন্যাসের উপায় =2!
=2

∴ মোট সম্ভাব্য বিন্যাস = 12 × 24 × 2
= 576
৩০২.
একটি মিটিং-এ কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করায় মোট 66 টি হ্যান্ডশেক হলে, ঐ মিটিং-এ কতজন লোক উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    11 জন
  2. খ
    12 জন
  3. গ
    18 জন
  4. ঘ
    24 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি মিটিং-এ কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে হ্যান্ডশেক করায় মোট 66 টি হ্যান্ডশেক হলে, ঐ মিটিং-এ কতজন লোক উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
ধরি, n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিলো 
একটি হ্যান্ডশেক 2 জনের সমাবেশ থেকে পাওয়া যায়-
∴ মোট হ্যান্ডশেক nC2 = 66
⇒ {n(n - 1)}/n = 66
⇒ n2 - n = 132
⇒ n2 - n - 132 = 0
⇒ n2 - 12n + 11n - 132 = 0
⇒ n(n - 12) + 11(n - 12) = 0
বা, (n - 12) (n + 11) = 0
∴ n = 12 [যেহেতু n = - 11 গ্রহণযোগ্য নয়]

∴ ঐ মিটিং-এ 12জন লোক উপস্থিত ছিল।
৩০৩.
ঈদগাহে নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 55 হলে, ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত? 
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 11
  3. গ
    গ) 9
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
প্রশ্নমতে,
বা, nC2 = 55
বা,n(n - 1)/2 = 55
বা,n2 - n - 110 = 0
বা,n2 -11n + 10n - 110 = 0
বা n(n - 11) + 10(n - 11) = 0 
বা,(n -11)(n + 10) = 0
n = 11  [n =-10 গ্রহন যোগ্য নয়]

∴ ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 11 জন।
৩০৪.
4 × np3 = 5 × n - 1p3 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    ক) 7
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 12
  4. ঘ
    ঘ) 15
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 4 × np3 = 5 × n - 1p3 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
4 × np3 = 5 × n - 1p3
⇒ 4 × n!/(n - 3)! = 5 × (n - 1)!/(n - 1 - 3)!
⇒ 4 × n (n - 1) (n - 2) (n - 3)!/(n - 3)! = 5 × (n - 1) (n - 2) (n - 3) (n - 4)!/(n - 4)!
⇒ 4 × n = 5 × (n - 3)
⇒ 4n = 5n - 15
⇒ - n = - 15
∴ n = 15
৩০৫.
কমপক্ষে একজন পুরুষকে নিয়ে 3 সদস্য বিশিষ্ট একটি দল নির্বাচন করতে হবে। যদি সেখানে মোট 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা থাকে, তাহলে কতগুলি দল গঠন করা যায়?
  1. ক
    30
  2. খ
    34
  3. গ
    24
  4. ঘ
    32
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কমপক্ষে একজন পুরুষকে নিয়ে 3 সদস্য বিশিষ্ট একটি দল নির্বাচন করতে হবে। যদি সেখানে মোট 4 জন পুরুষ এবং 3 জন মহিলা থাকে, তাহলে কতগুলি দল গঠন করা যায়?

সমাধান:
দলে একজন পুরুষ, দু'জন পুরুষ বা তিনজন পুরুষ থাকতে পারে।
একজন পুরুষ এবং দুইজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C1 × 3C2 = 4 × 3 = 12

দুইজন পুরুষ এবং একজন মহিলা নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C2 × 3C1 = 6 × 3 = 18

তিনজন পুরুষ নিয়ে দলের সংখ্যা = 4C3 = 4

∴ মোট দলের সংখ্যা = 12 + 18 + 4 = 34
৩০৬.
আট বাহু বিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দু গুলো যোগ করে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 24
  2. খ
    খ) 56
  3. গ
    গ) 72
  4. ঘ
    ঘ) 336
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ আট বাহু বিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দু গুলো যোগ করে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধানঃ
ত্রিভুজ গঠনের জন্য প্রয়োজন 3 টি বাহু
বহুভুজটির 8 টি বাহু অর্থাৎ 8 টি কৌণিক বিন্দু রয়েছে।

সুতরাং, ত্রিভুজ গঠন করা যাবে = 8C3 = 56
৩০৭.
১৮ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাগে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ১৫৩
  2. খ
    খ) ১৯০
  3. গ
    গ) ৩০৬
  4. ঘ
    ঘ) ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৮ সদস্যবিশিষ্ট একটি ফুটবল দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাগে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৮ জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৮C১ = ১৮ উপায়ে
১৭ জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৭C১ = ১৭ উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = ১৮ × ১৭ = ৩০৬
৩০৮.
TRIANGLE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    3672
  2. খ
    4320
  3. গ
    1038
  4. ঘ
    6420
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: TRIANGLE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
TRIANGLE শব্দটিতে,
মোট অক্ষর = 8 টি 
স্বরবর্ণ = A, E, I অর্থাৎ 3 টি 

স্বরবর্ণ গুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! উপায়ে 

∴ স্বরবর্ণ গুলোকে একত্রে একটি অক্ষর ধরে TRIANGLE শব্দটির মোট বিন্যাস সংখ্যা,
= 6! × 3!
= 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 3 × 2
= 4320

৩০৯.
'COMPUTER' শব্দটি থেকে প্রতিবারে চারটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে C এবং R থাকবে না?
  1. ক
    360
  2. খ
    720
  3. গ
    1440
  4. ঘ
    2880
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COMPUTER' শব্দটি থেকে প্রতিবারে চারটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে C এবং R থাকবে না?

সমাধান:
'COMPUTER' শব্দটিতে 8 টি বর্ণ।
C এবং R থাকবে না তাহলে 6 টি বর্ণ (O, M, P, U, T, E)।
প্রতিবারে 4টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6P4
= 360
৩১০.
একটি বিয়ের অনুষ্ঠানে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট করমর্দনের সংখ্যা 105টি। ঐ অনুষ্ঠানে লোক সংখ্যা কত ছিল?
  1. ক
    ক) 14
  2. খ
    খ) 15
  3. গ
    গ) 16
  4. ঘ
    ঘ) 17
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিয়ের অনুষ্ঠানে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট করমর্দনের সংখ্যা 105টি। ঐ অনুষ্ঠানে লোক সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান; 
ধরি,
অনুষ্ঠানে উপস্থিত মোট লোক ছিল = n, 

∴ মোট করমর্দন nc2 = 105
বা, {(n)(n - 1)}/2 =105
বা, (n2 - n)/2 = 105
বা, n2 - n = 210
বা, n2 - n - 210= 0
বা, n2 - 15n + 14n - 210 = 0
বা, n(n - 15) + 14(n - 15) = 0
বা, (n - 15)(n + 14) = 0

হয়                              
n - 15 = 0                  
n = 15 
 
অথবা 
 n + 14 = 0
 n = - 14 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
৩১১.
৬ জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?
  1. ক
    ১২০
  2. খ
    ৭২০
  3. গ
    ৬০
  4. ঘ
    ২৪
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৬ জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (n - 1)!

∴ ৬ জন বন্ধুকে বসানোর উপায় = (৬ - ১)!
= ৫!
= ১২০

৩১২.
8 জন বালক এবং 2 জন বালিকার মধ্য থেকে বালিকাদের সর্বদা বর্জন করে 6 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 28
  2. খ
    খ) 32
  3. গ
    গ) 36
  4. ঘ
    ঘ) 72
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জন বালক এবং 2 জন বালিকার মধ্য থেকে বালিকাদের সর্বদা বর্জন করে 6 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
বালক = 8 জন 
বালিকা = 2 জন 
বালিকাদের সর্বদা বর্জন করে 
8 জন বালকের মধ্যে 6 জন নিতে হবে 

কমিটি গঠনের উপায় = 8C6 = 28
৩১৩.
8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা থেকে 4 সদস্যের একটি কমিটি কতভাবে গঠন করা যায়, যাতে কমপক্ষে 1জন মহিলা থাকে? 
  1. ক
    ক) 931 
  2. খ
    খ) 1001
  3. গ
    গ) 728
  4. ঘ
    ঘ) 856
ব্যাখ্যা
3 জন পুরুষ ও 1জন মহিলা বিশিষ্ট কমিটি= 8C3 × 6C1
                                                              = 56 × 6 = 336 
2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা বিশিষ্ট কমিটি= 8C2 × 6C2
                                                               =28×15=420

1 জন পুরুষ ও 3 মহিলা বিশিষ্ট কমিটি= 8C1 × 6C3
                                                        =8 × 20 = 160

0 জন পুরুষ ও 4 মহিলা বিশিষ্ট কমিটি=6C4 = 15

মোট উপায়= (336 + 420 + 160 + 15)= 931 
৩১৪.
যদি nC8 = nC2 হয়, তাহলে nC2 এর মান কত?
  1. ক
    48
  2. খ
    45
  3. গ
    30
  4. ঘ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nC8 = nC2 হয়, তাহলে nC2 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nCa = nCb হলে, a = b অথবা a + b = n হয়।

nC8 = nC2
⇒ 8 + 2 = n
∴ n = 10

nC2 = 10C2 = 45
৩১৫.
'CALCULUS' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে এবং শেষে L থাকবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 360
  3. গ
    গ) 180
  4. ঘ
    ঘ) 90
ব্যাখ্যা
'CALCULUS'' শব্দটিতে বর্ণ আছে ৮টি। 
L = 2 টি
U =2টি
C= 2 টি

প্রথমে এবং শেষে L থাকবে

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!)
                         = 180 উপায়ে
৩১৬.
5টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?
  1. ক
    120
  2. খ
    640
  3. গ
    720
  4. ঘ
    1050
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যায়?

সমাধান:
5টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 2টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায়, 5C2 = 10
3টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায়, 3C2 = 3
∴ মোট বর্ণ বাছাই করার উপায় = (10 × 3) = 30

প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 4টি এদের সাজানোর উপায় = 4! = 24

∴ মোট শব্দ সংখ্যা = (30 × 24) = 720
৩১৭.
10 খানা কলম থেকে 5 খানা কলম কতভাবে বাছাই করা যায় যাতে 2 খানা কলম সর্বদাই বাদ থাকবে?
  1. ক
    ক) 56
  2. খ
    খ) 252
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 45
ব্যাখ্যা
এক্ষেত্রে সমাবেশ সংখ্যা = 10-2C5
= 8C5
= 56
৩১৮.
একটি অনুষ্ঠানে উপস্থিত প্রত্যেক ব্যক্তি পরস্পরের সাথে করমর্দন করেন। যদি মোট 55 টি করমর্দন হয়, তবে অনুষ্ঠানে কতজন লোক উপস্থিত ছিল? 
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 8
  3. গ
    গ) 11
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
ধরি,
সভায় মোট লোক ছিল = n, 

∴ মোট করমর্দন nc2 = 55
বা, {(n)(n - 1)}/2 = 55
বা, (n2 - n)/2 = 55
বা, n2 - n = 110
বা, n2 - n - 110 = 0
বা, n2 - 11n + 10n - 110 = 0
বা, n(n - 11) + 10(n - 11) = 0
বা, (n - 11)(n + 10) = 0

হয়                                অথবা 
n - 11 = 0                     n + 10 = 0
n = 11                            n = - 10 [গ্রহণযোগ্য নয় ]
৩১৯.
"QUESTION" শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে Q সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?
  1. ক
    1040 উপায়ে
  2. খ
    720 উপায়ে
  3. গ
    5040 উপায়ে
  4. ঘ
    40320 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "QUESTION" শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে Q সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

সমাধান:
"QUESTION" শব্দটিতে প্রথম অক্ষর Q ছাড়া আর বর্ণ আছে 7 টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
7 টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানর উপায় = 7!
= 5040

∴ মোট 5040 উপায়ে সাজানো যাবে।
৩২০.
প্রত্যেকটি অংক একাধিবার ব্যবহার করে 1, 2, 3, 4, 5 অংকগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?
  1. ক
    1024
  2. খ
    20
  3. গ
    625
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  প্রত্যেকটি অংক একাধিবার ব্যবহার করে 1, 2, 3, 4, 5 অংকগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে?

সমাধান:
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 4 টি 

মোট টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে = nr = 54 = 625টি
৩২১.
রবিন তার কম্পিউটার ফাইলের পাসওয়ার্ড শুধুমাত্র চারটি ইংরেজি স্বরবর্ণ দিয়ে লিখতে চায়। সে কতভাবে পাসওয়ার্ড তৈরি করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 625
  2. খ
    খ) 125
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 5
ব্যাখ্যা

ইংরেজি স্বরবর্ণ আছে পাঁচটি (a, e, i, o, u)
যেহেতু,
বর্ণের পুনরাবৃত্তি হবে সুতরাং মোট পাসওয়ার্ড সংখ্যা = 54 = 625

৩২২.
'DATABASE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর D ও শেষ অক্ষর E থাকে?
  1. ক
    ক) 240
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 180
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'DATABASE' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যেন ১ম অক্ষর D ও শেষ অক্ষর E থাকে?

সমাধান:
'DATABASE' শব্দে 8টি বর্ণ আছে। যেখানে 
A = 3টি

১ম অক্ষর D ও শেষ অক্ষর E থাকলে বাকী থাকে 6টি অক্ষর

∴ সাজানো যাবে = 6!/(3!)
                         = 120 উপায়ে
৩২৩.
E গুলো একত্রে এবং প্রথমে রেখে "ENGINEERING" শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৭২০ 
  2. খ
    ১৪৪০ 
  3. গ
    ১৬৮০ 
  4. ঘ
    ২১০০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: E গুলো একত্রে এবং প্রথমে রেখে "ENGINEERING" শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
"ENGINEERING" শব্দটিতে
মোট বর্ণ = ১১টি 
যেখানে,
E = ৩টি,
N = ৩টি,
G = ২টি,
I = ২টি
এবং R = ১টি।

শর্ত অনুযায়ী, E গুলো একত্রে এবং প্রথমে থাকবে। অর্থাৎ E গুলোর অবস্থান নির্দিষ্ট। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = ৮!/(৩! × ২! × ২!) 
= (৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩!)/(৩! × ২ × ২)
= ১৬৮০ 

৩২৪.
"FERVOR" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    120
  2. খ
    180
  3. গ
    360
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "FERVOR" শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
"FERVOR" শব্দটিতে 6টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি R বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2!
= 360
৩২৫.
ELLIPSE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    720
  2. খ
    1260
  3. গ
    950
  4. ঘ
    1480
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ELLIPSE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
ELLIPSE শব্দটিতে 7টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি E এবং দুইটি L বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 7!/(2! × 2!) = 1260
৩২৬.
'PROGRAM' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'PYTHON' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    4 গুণ
  2. খ
    2.5 গুণ
  3. গ
    2 গুণ
  4. ঘ
    3.5 গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'PROGRAM' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'PYTHON' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'PROGRAM' শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 7 টি (P, R, O, G, R, A, M)
যেখানে R আছে 2 বার

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2!)/2!
= 2520

আবার, 
'PYTHON' শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে = 6 টি (P, Y, T, H, O, N)
যেখানে কোন পুনরাবৃত্তি নেই। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720

'PROGRAM' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা 'PYTHON' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার = 2520/720 = 3.5 গুণ।

৩২৭.
১০টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    2520
  2. খ
    181440
  3. গ
    362880
  4. ঘ
    19958400
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (10 - 1)!/2
= 9!/2
= 181440
৩২৮.
10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে? 
  1. ক
    30
  2. খ
    26
  3. গ
    28
  4. ঘ
    40
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 10 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 2 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (10 - 2) = 8 টি

এখন,
8 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= 8C6 
= 8!/{6! × (8 - 6)!}
= 8!/(6! × 2!)
= (8 × 7 × 6!)/(6! × 2!)
= (8 × 7)/2
= 28

৩২৯.
বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে? 
  1. ক
    ক) ২৯ উপায়ে
  2. খ
    খ) ৩০ উপায়ে
  3. গ
    গ) ২১০ উপায়ে
  4. ঘ
    ঘ) ২২৫ উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
১৫ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫C১ = ১৫ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৫ - ১) = ১৪ জন 

১৪ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৪C১ = ১৪ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫ × ১৪ = ২১০ উপায়ে
৩৩০.
nC10 = nC5 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    15
  2. খ
    12
  3. গ
    10
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nC10 = nC5 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
nC10 = nC5
⇒ nC10 = nCn - 5
⇒ 10 = n - 5
∴ n = 15
৩৩১.
১০ জন খেলোয়াড়ের একটি দল থেকে, যেখানে একজন নির্দিষ্ট খেলোয়াড়কে অবশ্যই অধিনায়ক হিসেবে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, এমন শর্তে ৫ জনের একটি বাস্কেটবল দল কয়ভাবে নির্বাচন করা যেতে পারে? 
  1. ক
    146
  2. খ
    226
  3. গ
    126
  4. ঘ
    156
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১০ জন খেলোয়াড়ের একটি দল থেকে, যেখানে একজন নির্দিষ্ট খেলোয়াড়কে অবশ্যই অধিনায়ক হিসেবে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, এমন শর্তে ৫ জনের একটি বাস্কেটবল দল কয়ভাবে নির্বাচন করা যেতে পারে?

সমাধান:
একজন অধিনায়ক নির্দিষ্ট রেখে 10 জনের দল বাছাই করার উপায়,
= 10 - 1C5 - 1
= 9C4
= 126

৩৩২.
স্বরবর্ণ ও ব্যঞ্জনবর্ণের আপেক্ষিক অবস্থানের পরিবর্তন না করে ’DIRECTOR’ শব্দটির অক্ষর গুলোকে যত প্রকারে পুনরায় সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন?
  1. ক
    ৩৬০
  2. খ
    ৭২০
  3. গ
    ৩৫৯
  4. ঘ
    ৫৯
ব্যাখ্যা
‘DIRECTOR’ শব্দটিতে মোট ৮ টি অক্ষর আছে। শব্দটিতে ৩ টি স্বরবর্ণ এবং ৫টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে যার মধ্যে r = 2
৩ টি স্বরবর্ণের বিন্যাস সংখ্যা 3!
৫টি ব্যঞ্জনবর্ণের বিন্যাস সংখ্যা 5!/2!
মোট বিন্যাস সংখ্যা 3! x 5!/2! = 360
’DIRECTOR’ শব্দটি নিজেই একটা বিন্যাস সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা হবে (360-1) বা, 359.
৩৩৩.
DIGITAL শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    240
  3. গ
    360
  4. ঘ
    60
ব্যাখ্যা
প্রদত্ত শব্দটিতে মোট 7 টি বর্ণ আছে। স্বরবর্ণ আছে 3টি 
স্বরবর্ণ 3টিকে এক অক্ষর মনে করলে মোট বর্ণ সংখ্যা হয় 5 টি। বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। 
এক্ষেত্রে, সাজানো সংখ্যা 5!
স্বরবর্ণ 3 টির মধ্যে 2 টি A আছে। এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2!
নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 5! 3! / 2! = 120 × 6/2 = 360
৩৩৪.
'CHEESE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    24
  2. খ
    6
  3. গ
    72
  4. ঘ
    54
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'CHEESE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
CHEESE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6 টি, Vowel আছে 3টি।
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 4টি
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 4! উপায়ে 
= 24 উপায়ে

[EEE, তিনটি E একসঙ্গে থাকায়, তাদের বিন্যাসের কোনো পরিবর্তন সম্ভব নয়।]
৩৩৫.
"BAMBOOZLE" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 4320
  2. খ
    খ) 4230
  3. গ
    গ) 4560
  4. ঘ
    ঘ) 1520
ব্যাখ্যা
"BAMBOOZLE" শব্দটিতে মোট 9 টি বর্ণ আছে। স্বরবর্ণের সংখ্যা = 4 (A, O, O, E)
স্বরবর্ণ 4 টিকে এক অক্ষর মনে করলে মোট বর্ণ সংখ্যা = 6 যাদের মধ্যে B, 2টি 
বিন্যাস সংখ্যা = 6!/2! = 360
স্বরবর্ণ চারটি কে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 4!/2! = 12
নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 360 × 12 = 4320 
৩৩৬.
১৪টি পুস্তক থেকে ৬টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ৩টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ১৭০
  2. খ
    ১৬৫
  3. গ
    ১২০
  4. ঘ
    ৯৫
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১৪টি পুস্তক থেকে ৬টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ৩টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু, ৩টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (১৪ - ৩) বা ১১টি এবং ৬টি থেকে বাছাই করতে হবে (৬ - ৩) বা ৩টি।

∴ ১১টি পুস্তক থেকে ৩টি পুস্তক বাছাই করার সংখ্যা = ১১C৩ = ১১!/৩!(১১ - ৩)!
= (১১ × ১০ × ৯ × ৮!)/(৩ × ২ × ১)৮!
= ১৬৫

∴ ১৬৫ প্রকারে বাছাই করা যাবে।
৩৩৭.
9C6 + 9C7 = কত?
  1. ক
    90
  2. খ
    100
  3. গ
    110
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
9C6 + 9C7
= 9 + 1C7
= 10C7
= 120
৩৩৮.
২০ বাহু বিশিষ্ট একটি সুষম সমতলিক ক্ষেত্রের কৌণিক বিন্দুর সংযোগে প্রাপ্ত রেখা দ্বারা কতগুলি ত্রিভুজ গঠন করা যায় ও ঐ সমতলিক ক্ষেত্রটির কতগুলি কর্ণ আছে?
  1. ক
    ক) ত্রিভুজ ১১৮০টি এবং কর্ণ ১৭০টি
  2. খ
    খ) ত্রিভুজ ১১৪০টি এবং কর্ণ ১৯০টি
  3. গ
    গ) ত্রিভুজ ১১৪০টি এবং কর্ণ ১৭০টি
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
(i) ২০ বাহু বিশিষ্ট একটি সমতালিক ক্ষেত্রের ২০ টি কৌণিক বিন্দু আছে এবং ২০ টি বিন্দুর যেকোনো তিনটির সংযোগ রেখার সাহায্যে একটি ত্রিভুজ গঠন করা যায়।
∴ নির্ণেয় ত্রিভুজের সংখ্যা ২২C৩ = (২০×১৯×১৮)/(৩×২×১) = ১১৪০
(ii) কৌণিকে বিন্দুগুলির যে কোনো দুইটিকে সংযুক্ত করলে একটি কর্ণ উৎপন্ন হয়।
সুতরাং ২০ টি কৌণিক বিন্দু দ্বারা গঠিত কর্ণের সংখ্যা ২০C২ = ১৯০
কিন্তু এদের মধ্যে সমতালিক ক্ষেত্রের ২০ টি বাহুও অন্তর্ভুক্ত।
∴ নির্ণেয় কর্ণের সংখ্যা = (১৯০-২০) = ১৭০।
৩৩৯.
একজন পরীক্ষার্থীকে 10 টি প্রশ্ন থেকে 7 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে প্রথম 6টি থেকে অবশ্যই 4 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?
  1. ক
    110
  2. খ
    100
  3. গ
    60
  4. ঘ
    45
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন পরীক্ষার্থীকে 10 টি প্রশ্ন থেকে 7 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। এর মধ্যে প্রথম 6টি থেকে অবশ্যই 4 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। সে কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
মোট প্রশ্ন 10টি

মোট বাছাই সংখ্যা = (6C4 × 4C3) + (6C5 × 4C2) +  (6C6 × 4C1)
= (15 × 4) + (6 × 6) + (1 × 4)
= 60 + 36 + 4
= 100
৩৪০.
একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে ৬টি করে মোট ১২টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ ৫টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?
  1. ক
    780
  2. খ
    810
  3. গ
    720
  4. ঘ
    1020
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পরীক্ষায় ক বিভাগ ও খ বিভাগে ৬টি করে মোট ১২টি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী মোট ৭টি প্রশ্নের উত্তর দেবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে সর্বোচ্চ ৫টি প্রশ্ন নিতে পারবে। কতভাবে সে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারে?

সমাধান:
মোট ৭টি প্রশ্ন বাছাই করতে হবে, তবে কোনো বিভাগ থেকে ৫টির বেশি নেওয়া যাবে না। তাহলে, সম্ভাব্য উপায়গুলো হলো-

১) ক বিভাগ থেকে 2টি, খ বিভাগ থেকে 5টি
২) ক বিভাগ থেকে 3টি, খ বিভাগ থেকে 4টি
৩) ক বিভাগ থেকে 4টি, খ বিভাগ থেকে 3টি
৪) ক বিভাগ থেকে 5টি, খ বিভাগ থেকে 2টি

প্রতিটি ক্ষেত্রে বাছাইয়ের উপায়:
(১) 6C2 × 6C5 = 15 × 6 = 90
(২) 6C3 × 6C4 = 20 × 15 = 300
(৩) 6C4 × 6C3 = 15 × 20 = 300
(৪) 6C5 × 6C2 = 6 × 15 = 90

∴ মোট উপায় = 90 + 300 + 300 + 90 = 780

৩৪১.
'FIGHT' শব্দের অক্ষরগুলোকে কয়টি উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    110
  2. খ
    120
  3. গ
    105
  4. ঘ
    115
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'FIGHT' শব্দের অক্ষরগুলোকে কয়টি উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'FIGHT' শব্দের মোট বর্ণসংখ্যা = 5 এবং সবগুলো অক্ষর ভিন্ন।
∴ বিন্যাসের সংখ্যা = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
৩৪২.
উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষায় ক- বিভাগ ও খ-বিভাগে প্রতিটিতে ৫ টি করে সৃজনশীল প্রশ্ন আছে। প্রতি বিভাগ থেকে অন্তত দুইটি করে মোট ৫ টি প্রশ্নের উত্তর কতভাবে দেয়া যাবে?
  1. ক
    ৩০০
  2. খ
    ১৫০
  3. গ
    ১২০
  4. ঘ
    ২০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: উচ্চ মাধ্যমিক পরীক্ষায় ক- বিভাগ ও খ-বিভাগে প্রতিটিতে ৫ টি করে সৃজনশীল প্রশ্ন আছে। প্রতি বিভাগ থেকে অন্তত দুইটি করে মোট ৫ টি প্রশ্নের উত্তর কতভাবে দেয়া যাবে?

সমাধান:
দেওয়াআছে,
ক-বিভাগে = ৫টি প্রশ্ন
খ-বিভাগে = ৫টি প্রশ্ন
মোট ৫টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে
শর্ত প্রতি বিভাগ থেকে অন্তত ২টি প্রশ্ন নিতে হবে

১ম ক্ষেত্রঃ ক-বিভাগ থেকে ২, খ-বিভাগ থেকে ৩ 
∴ বাছাই করা যায় উপায় = ৫C২ × ৫C৩ = ৫!/২!(৫ - ২)! × ৫!/৩!(৫ - ৩)! = ১০ × ১০ = ১০০

২য় ক্ষেত্রঃ ক-বিভাগ থেকে ৩, খ-বিভাগ থেকে ২ 
∴ বাছাই করা যায় উপায় = ৫C৩ × ৫C২ = ১০ × ১০ = ১০০

∴ মোট উপায় = ১০০ + ১০০ = ২০০
৩৪৩.
চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 13 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?
  1. ক
    71
  2. খ
    81
  3. গ
    91
  4. ঘ
    101
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চাকুরির নিয়োগ পরীক্ষায় 2টি খালি পদের জন্য 13 জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যা বেশি নয় এরুপ যে কোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যেতে পারে। কত প্রকারে প্রার্থী নির্বাচন করা যায়?

সমাধান:
2টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা 13 জন
1 জনকে নির্বাচনের উপায় = 13C1 = 13
2 জনকে নির্বাচনের উপায় = 13C2 = 78

∴ নির্বাচনের মোট উপায় = 13 + 78 = 91
৩৪৪.
FRIEND শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    144
  2. খ
    108
  3. গ
    130
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: FRIEND শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
FRIEND শব্দটিতে মোট ৬টি বর্ণ আছে।
যেখানে স্বরবর্ণ আছে দুটি =  E, I
বেজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম = মোট 3টি।

৩টি বেজোড় স্থানে ২টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় 3P2 = 6 উপায়ে
বাকি ৪টি ব্যঞ্জনবর্ণ স্বরবর্ণের স্থান বাদে বাকি ৪ ঘরে সাজানো যায় 4P4 = 4! = 24 উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = 6 × 24 = 144
৩৪৫.
যদি nPr = 840 এবং nCr = 140 হয়, তাহলে r এর মান কত?
  1. ক
    4
  2. খ
    6
  3. গ
    3
  4. ঘ
    5
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nPr = 840 এবং nCr = 140 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
nPr = 840 এবং nCr = 140

আমরা জানি,
nPr​ = nCr​ × r!
⇒ 840 = 140 × r!
​⇒ r! = 840/140
⇒ r! = 6
⇒ r! = 3!
∴ r = 3

৩৪৬.
10 টি বই থেকে 4 টি বই কিভাবে পৃথক করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা একই থাকবে?
  1. ক
    ক) 56
  2. খ
    খ) 28
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 34
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি বই থেকে 4 টি বই কিভাবে পৃথক করা যাবে যেখানে 2 টি বই সর্বদা একই থাকবে?

সমাধান:
দুইটি বই সর্বদা একই হলে 10 - 2 বা 8 টি বই থেকে 4 - 2 বা 2 টি বই বাছাই করতে হবে।

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 8c2 = 28 
৩৪৭.
3 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 
  1. ক
    520
  2. খ
    720
  3. গ
    640
  4. ঘ
    920
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3 জন বালক এবং 4 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 

সমাধান: 
3 জন বালক একত্রে থাকলে মোট সংখ্যা = 5 জন 
5 জন কে সাজানো যায় = 5!
3 জন বালককে সাজানো যায় = 3!

একত্রে রেখে বিন্যাস = 5! × 3! = 120  ×  6 = 720
৩৪৮.
CAUTIONS শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে, যেখানে ‍A, N থাকবে না?
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 72
  3. গ
    গ) 120
  4. ঘ
    ঘ) 240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: CAUTIONS শব্দটি থেকে প্রতিবারে তিনটি করে অক্ষর নিয়ে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে, যেখানে ‍A, N থাকবে না?

সমাধান:
যেহেতু A, N থাকবে না,
মোট বর্ণ 6টি
প্রতিবারে 3টি করে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, 6P3 = 6 × 5 × 4 = 120
৩৪৯.
"COMBINATION" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা "PERMUTATION" শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    ক) 4
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 1/2
  4. ঘ
    ঘ) 1/4
ব্যাখ্যা
"COMBINATION" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, X = 11!/(2!2!2!)
"PERMUTATION" শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা, Y = 11!/(2!)
অতএব, X/Y = {11!/(2!2!2!)} ÷ {11!/(2!)} = 1/4
⇒ X = Y/4
"COMBINATION" শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা "PERMUTATION" শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার 1/4 গুণ।
৩৫০.
একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় 78 টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    11 জন
  2. খ
    12 জন
  3. গ
    13 জন
  4. ঘ
    14 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সভায় প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করে করমর্দন করায় 78 টি করমর্দন হলো। সভায় মোট কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
আমরা জানি,
করমর্দন দুইজনের মাঝে সংঘটিত হয়।

ধরি,
সভায় লোকের সংখ্যা n জন

∴ nC2 = 78
⇒ n!/{2! ×(n - 2)!} = 78
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2! ×(n - 2)!} = 78
⇒ n(n - 1)/2 = 78
⇒ n2 - n = 156
⇒ n2 - n - 156 = 0
⇒ n2 - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12(n - 13) = 0
⇒ (n - 13)(n + 12) = 0
⇒ n - 13 = 0 অথবা n + 12 = 0
∴ n = 13 অথবা n = - 12
ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ n = 13

∴ সভায় মোট লোক ছিল 13 জন।
৩৫১.
3 জন বালক এবং 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কত ভাবে সাজানো যাবে যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে? 
  1. ক
    ক) 4450 
  2. খ
    খ) 4330 
  3. গ
    গ) 4320 
  4. ঘ
    ঘ) 4820
ব্যাখ্যা
বালক = 3 জন 
বালিকা = 5 জন 
মোট বালক বালিকা = 3 + 5 = 8 জন 

3জন বালক একত্রে রাখলে মোট সংখ্যা = 6 জন 

6 জনকে সাজানো যায় = 6!
3 জনকে সাজানো যায় = 3!

3 জনকে একত্রে রেখে বিন্যাস = 6! × 3! 
                                               = 720 × 6
                                               = 4320
৩৫২.
'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 
  1. ক
    72
  2. খ
    144
  3. গ
    360
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটির 6 টি অক্ষরের মধ্যে 'E' রয়েছে 2 বার 
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 6!/2! 
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) 
= 360 
৩৫৩.
5টি পোস্ট বাক্সে 7টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    35
  2. খ
    12
  3. গ
    57 
  4. ঘ
    75 
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5টি পোস্ট বাক্সে 7টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 5টি 
চিঠির সংখ্যা r = 7টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)চিঠি
= nr 
= 57 
৩৫৪.
HARMONY শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ৭২০
  2. খ
    ২৫২০
  3. গ
    ৭০০
  4. ঘ
    ৫০৪০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: HARMONY শব্দের বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যাবে?

সমাধান:
HARMONY শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৭টি এবং সকল বর্ণ ভিন্ন।
∴ HARMONY শব্দটি সাজানো যাবে ৭! = ৫০৪০ উপায়ে
৩৫৫.
8 জন বালক ও 2 জন বালিকা থেকে বালিকাদের সর্বদা গ্রহণ করে 6 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায়?
  1. ক
    28
  2. খ
    35
  3. গ
    70
  4. ঘ
    140
ব্যাখ্যা
বালিকা দুইজনকে সর্বদা গ্রহণ করলে আটজন বালক থেকে চারজনকে নিতে হবে। 
অতএব, মোট কমিটি সংখ্যা
= 8C4 × 2C2
= 70
৩৫৬.
যদি nCr = x(nPr) হয় তবে x এর মান কত হবে?
  1. ক
    ক) r!
  2. খ
    খ) 1/r!
  3. গ
    গ) (2r)!
  4. ঘ
    ঘ) r!/2
ব্যাখ্যা

nCr = x(nPr)
বা, x = nCr/nPr [ nCr = n!/((n-r)!r!) এবং nPr = n!/(n-r)!]
বা, x = 1/r!
∴x এর মান 1/r!

৩৫৭.
একটি পার্টিতে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। লোকের সংখ্যা 27 জন হলে করমর্দনের সংখ্যা কত?
  1. ক
    320
  2. খ
    351
  3. গ
    317
  4. ঘ
    272
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পার্টিতে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। লোকের সংখ্যা 27 জন হলে করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 27

∴ করমর্দনের সংখ্যা = nC2 = 27C2
= 27!/{2!(27 - 2)!}
= 27!/(2! × 25!)
= 351
৩৫৮.
'MANGO' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    48
  2. খ
    24
  3. গ
    96
  4. ঘ
    108
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'MANGO' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরি করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
'MANGO' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5টি, স্বরবর্ণ আছে = 2টি (A, O)।

প্রথম স্থানে স্বরবর্ণ বসানোর উপায় = 2 টি

∴ বাকি 4টি বর্ণের বিন্যাস = 4! = 24

∴ 2টি স্বরবর্ণ এর জন্য বিন্যাস = (24 × 2) = 48 টি
৩৫৯.
nPr = 240 এবং nCr = 120 হলে, r এর মান কত?
  1. ক
    2
  2. খ
    4
  3. গ
    8
  4. ঘ
    3
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: nPr = 240 এবং nCr = 120 হলে, r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
nPr = 240
⇒ nPr = 120 × 2
⇒ nPr = nCr × 2
⇒ n!/(n - r)! = n!/r!(n - r)!  × 2
⇒ 1 = (1/r!) × 2
⇒ r! = 2!
∴ r = 2

৩৬০.
ISTANBUL CANAL শব্দদ্বয়ের সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 13!
  2. খ
    খ) 13!/3!2!
  3. গ
    গ) 13!/2!2!
  4. ঘ
    ঘ) 13!/3!2!2!
ব্যাখ্যা

ISTANBUL CANAL শব্দদ্বয়ে মোট 13টি অক্ষর রয়েছে যাদের 3টি A,
2টি N, 2টি L এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
∴ সবগুলো অক্ষর একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায় = 13!/3!2!2!

৩৬১.
8 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?
  1. ক
    2810
  2. খ
    20240
  3. গ
    5040
  4. ঘ
    40320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!

∴ 7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (8 - 1)!
= 7!
= 5040
৩৬২.
18 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    816
  2. খ
    926
  3. গ
    1632
  4. ঘ
    1224
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 18 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে,
18 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা,
= 18C3
= 18!/{3! × (18 - 3)!}
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 × 15!)/(3 × 2 × 1 × 15!)
= (18 × 17 × 16)/(3 × 2 × 1)
= (18 × 17 × 16)/6
= 4896/6
= 816

৩৬৩.
'CHROME' শব্দটি হতে প্রতিবারে 3 টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?          
  1. ক
    60
  2. খ
    120
  3. গ
    180
  4. ঘ
    210
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'CHROME' শব্দটি হতে প্রতিবারে 3 টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?                                                                                                                                                                                                                         
সমাধান:
'CHROME' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 6টি

∴ 'CHROME' শব্দটির 3টি করে বর্ণ নিয়ে সাজানোর উপায় = 6P3 
= 6!/(6! - 3!)
= 6!/3!
= 120
৩৬৪.
A, B, C বর্ণের ৩ টি করে বর্ণ নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়?
  1. ক
    ক) ৩ টি উপায়ে
  2. খ
    খ) ৪ উপায়ে
  3. গ
    গ) ৫ উপায়ে
  4. ঘ
    ঘ) ৬ উপায়ে
ব্যাখ্যা
A, B, C বর্ণের ৩ টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস করা যায় ৩! উপায়ে বা ৬ উপায়ে।
৩৬৫.
‘LOGARITHMS’ শব্দটির অক্ষরগুলো ব্যবহার করে (অর্থপূর্ণ বা অর্থহীন), অক্ষরের পুনরাবৃত্তি না করে কতটি চার অক্ষরের শব্দ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ৪৮০০ 
  2. খ
    ৩০২০ 
  3. গ
    ২০৮০ 
  4. ঘ
    ৫০৪০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ‘LOGARITHMS’ শব্দটির অক্ষরগুলো ব্যবহার করে (অর্থপূর্ণ বা অর্থহীন), অক্ষরের পুনরাবৃত্তি না করে কতটি চার অক্ষরের শব্দ গঠন করা যায়?

সমাধান:
দেয়া আছে,

‘LOGARITHMS’ শব্দটিতে ১০টি ভিন্ন অক্ষর রয়েছে।

সুতরাং, ১০টি অক্ষর থেকে একসঙ্গে ৪টি করে নিয়ে শব্দ গঠনের সংখ্যা =
১০টি অক্ষর থেকে ৪টি করে নেওয়ার বিন্যাস সংখ্যা 
= ১০P৪ 
= (১০ x ৯ x ৮ x ৭)
= ৫০৪০ 

৩৬৬.
একটি ফুটবল টুনামেন্টে ৭টি দল অংশগ্রহণ করছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    ক) ১৪
  2. খ
    খ) ৭
  3. গ
    গ) ২১
  4. ঘ
    ঘ) ২৮
ব্যাখ্যা

২টি দলের সমাবেশ থেকে একটি খেলা অনুষ্ঠিত হয়।
∴ মোট খেলা = ৭c২ 
= ২১

৩৬৭.
"ORANGE" শব্দটিতে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    16
  2. খ
    24
  3. গ
    36
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "ORANGE" শব্দটিতে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ আছে 6টি
স্বরবর্ণ আছে (A, E, O) 3টি

স্বরবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
বাকি 3টি বর্ণ 3টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3!
= 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6 = 36

অতএব, ORANGE শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।
৩৬৮.
xa = y, yb = z ও zc = x হলে abc এর মান কত?
  1. ক
    0
  2. খ
    1
  3. গ
    2
  4. ঘ
    xyz
ব্যাখ্যা

zc = x
(yb)c = x [z = yb]
(xa)bc = x
xabc = x1
abc = 1

৩৬৯.
ARGENTINA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ও AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    ক) 36
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 72
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ARGENTINA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ও AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান: 
ARGENTINA শব্দটিতে মোট বর্ণ 9টি, যার মধ্যে 2টি A এবং ২টি N বিদ্যমান।
 ARGENTINA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ‍a = 9!/(2! × 2!)

আবার,
AMERICA শব্দটিতে মোট বর্ণ  7 টি, যার মধ্যে 2টি A বিদ্যমান।
AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা b = 7!/2!

∴ a/b = {9!/(2! × 2!)} / (7!/2!)
= {9!/(2! × 2!)} × (2!/7!)
= {(9 × 8 ×7!)/(2! × 2!)} × (2!/7!)
= 72/2!
= 36

∴ ARGENTINA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ও AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 36 গুণ।
৩৭০.
3 জন মহিলা ও 5 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    21
  2. খ
    35
  3. গ
    56
  4. ঘ
    84
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 জন মহিলা ও 5 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে? 

সমাধান:
যেহেতু, 1 জন মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকবে 
তাই, (3 - 1) + 5 = 2 + 5 = 7 জন থেকে বাকি 3 সদস্য বাছাই করা যাবে = 7C3 উপায়ে
= 35 উপায়ে 

৩৭১.
'PERMUTATION' শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?
  1. ক
    475 ভাবে
  2. খ
    295 ভাবে
  3. গ
    359 ভাবে
  4. ঘ
    কোনটিই নয় 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'PERMUTATION' শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
PERMUTATION শব্দটিতে মোট 11 টি বর্ণ আছে, যার মধ্যে 5 টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।
যেহেতু স্বরবর্ণগুলি এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদের স্থান নির্দিষ্ট করে 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা সাজানোর সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে t দুই বার থাকবে।

সুতরাং সাজানোর সংখ্যা = 6!/2!
= 360 টি 
এবং
PERMUTATION শব্দটি নিজেই একটি সাজানো সংখ্যা। 
∴  পুনরায় সাজানো যেতে পারে = 360 - 1 = 359 ভাবে।

উল্লেখ্য যে, পুনরায় সাজানো কথাটি না বলে যদি বলা হতো মোট কতভাবে সাজানো যেতে পারে, তাহলে সঠিক উত্তর হতো 360 উপায়ে।

৩৭২.
৭ জন বালক ও ৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা নিয়ে ৪ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্লাস কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    ১২০ 
  2. খ
    ১৬৫ 
  3. গ
    ২১০ 
  4. ঘ
    ৩৬০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ জন বালক ও ৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা নিয়ে ৪ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্লাস কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে? 

সমাধান:
৭ জন বালকের মধ্য থেকে ২ জন বালক বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ৭C২
= ৭!/(২! × ৫!)
= (৭ × ৬ × ৫!)/(২ × ৫!)
= ২১

৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালিকা বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ৫C২
= ৫!/(২! × ৩!)
= (৫ × ৪ × ৩!)/(২ × ৩!)
= ১০


∴ মোট উপায় সংখ্যা = ২১ × ১০ = ২১০ 

৩৭৩.
MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?
  1. ক
    ২ গুণ
  2. খ
    ৩ গুণ
  3. গ
    ৪ গুণ
  4. ঘ
    ৫ গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = ৫!
PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = ৪!

৫!/৪!
= (৫ × ৪!)/৪!
= ৫ 

∴ MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যার ৫ গুণ।
৩৭৪.
৭ সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে পুরুষদের সংখ্যা বেশী এবং কমপক্ষে ১ জন মহিলা থাকবে। ৯ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলার একটি সংক্ষিপ্ত তালিকা রয়েছে। কতভাবে এই কমিটি গঠন করা সম্ভব?
  1. ক
    ৪৮৭২
  2. খ
    ৪৯০০
  3. গ
    ৪৯১৪
  4. ঘ
    ৩৯১৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৭ সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে পুরুষদের সংখ্যা বেশী এবং কমপক্ষে ১ জন মহিলা থাকবে। ৯ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলার একটি সংক্ষিপ্ত তালিকা রয়েছে। কতভাবে এই কমিটি গঠন করা সম্ভব?

সমাধান:
কমিটি গঠন করার সম্ভবনা: (১W + ৬M), (২W + ৫M), (৩W + ৪M)
= (৬C১ × ৯C৬) + (৬C২ × ৯C৫) + (৬C৩ × ৯C৪)
= ৪৯১৪
৩৭৫.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    ক) 12 জন
  2. খ
    খ) 10 জন
  3. গ
    গ) 20 জন
  4. ঘ
    ঘ) 21 জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = nC2

প্রশ্নমতে,
nC2 = 210
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 210
⇒ n2 - n = 420
⇒ n2 - n - 420 = 0
⇒ n2 - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n (n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21) (n + 20) = 0

হয়, n - 21 = 0
∴ n = 21

অথবা, n + 20 = 0
∴ n = - 20
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।

∴ মোট উপস্থিত 21 জন।
৩৭৬.
"AUTHOR" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    24
  2. খ
    36
  3. গ
    42
  4. ঘ
    66
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: "AUTHOR" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ আছে 6টি
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (A, O, U) 3টি
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (T, H, R) 3টি

স্বরবর্ণ 3টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6
= 36

অতএব, AUTHOR শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।

৩৭৭.
1, 2, 4, 5, 0, 8 সংখ্যাগুলো একবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    90টি
  2. খ
    100টি
  3. গ
    120টি
  4. ঘ
    140টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 1, 2, 4, 5, 0, 8 সংখ্যাগুলো একবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথম সংখ্যা ০ ব্যাতিত অন্য কোনো সংখ্যা হতে হবে
তাহলে বাকি 5 টি সংখ্যা থেকে 1 টি সাজানোর সম্ভাবনা = 5P1 = 5

প্রথম স্থান পূরণের পর বাকি 5টি সংখ্যা থেকে 2টি স্থান পূরণ করা যাবে = 5P2 = 20 উপায়ে

∴ মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে = (5 × 20)
= 100টি
৩৭৮.
একটি ক্লাসের সকল ছাত্র একে অপরের সাথে নববর্ষের কার্ড বিনিময় করল। যদি মোট কার্ড বিনিময়ের সংখ্যা 420 হয়, তবে ঐ ক্লাসে কতজন ছাত্র ছিল?
  1. ক
    21 জন
  2. খ
    25 জন
  3. গ
    29 জন
  4. ঘ
    30 জন
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:  একটি ক্লাসের সকল ছাত্র একে অপরের সাথে নববর্ষের কার্ড বিনিময় করল। যদি মোট কার্ড বিনিময়ের সংখ্যা 420 হয়, তবে ঐ ক্লাসে কতজন ছাত্র ছিল?

সমাধান:
মনে করি, ঐ ক্লাসে n সংখ্যক ছাত্র ছিল।
কার্ড বিনিময়ের ক্ষেত্রে প্রত্যেকে একে অপরকে কার্ড দেয়। অর্থাৎ দুইজন ছাত্রের মধ্যে কার্ড বিনিময় হয় ২ ভাবে (A দেয় B-কে এবং B দেয় A-কে)। এটি মূলত একটি বিন্যাসের সমস্যা।

আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তির মধ্যে পারস্পরিক কার্ড বা উপহার বিনিময়ের মোট সংখ্যা = nP2 বা n(n - 1)

প্রশ্নমতে,
n(n - 1) = 420 
⇒ n2 - n - 420 = 0
⇒ n2 - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n(n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21)(n + 20) = 0
∴ n = - 20 অথবা n = 21

কিন্তু n = - 20 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ ছাত্রের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]

∴ ঐ ক্লাসে 21 জন ছাত্র ছিল।

৩৭৯.
4টি পোস্ট বক্সে 5টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    ক) 243
  2. খ
    খ) 625
  3. গ
    গ) 1024
  4. ঘ
    ঘ) 1250
ব্যাখ্যা
এখানে, 
পোস্ট বক্স n= 4টি
চিঠি r = 5টি

4 টি চিঠি ফেলার উপায় = nr
                                    = 45
                                    = 1024
৩৮০.
৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা থেকে কতভাবে ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ ও ১ জন মহিলা থাকবে? 
  1. ক
    ১০
  2. খ
    ২০
  3. গ
    ১৮
  4. ঘ
    ১৪
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা থেকে কতভাবে ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ ও ১ জন মহিলা থাকবে?

সমাধান: 
৫ জন পুরুষ হতে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ বেছে নেয়ার উপায় = ৫C১  = ৫ 
৪ জন মহিলা হতে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন মহিলা বেছে নেয়ার উপায় = ৪C১ = ৪ 

∴ ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করার মোট উপায় = ৫ × ৪ = ২০

৩৮১.
9, 8, 7, 6, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে যেখানে একই সংখ্যা একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে?
  1. ক
    625 টি
  2. খ
    525 টি
  3. গ
    225 টি
  4. ঘ
    125 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 9, 8, 7, 6, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে যেখানে একই সংখ্যা একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে?

সমাধান:
এখানে,
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 4 টি 

∴ মোট টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে = nr = 54 = 625 টি
৩৮২.
12Pr = 1320 হলে r এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    2
  3. গ
    5
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12Pr = 1320 হলে r এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
12Pr = 1320
⇒ 12!/(12 - r)! = 10 × 11 × 12
⇒ (12 - r)! × 10 × 11 × 12 = 12!
⇒ (12 - r)! = (12 × 11 × 10 × 9!)/(10 × 11 × 12)
⇒ (12 - r)! = 9!
⇒ (12 - r) = 9
⇒ r = 12 - 9
∴ r = 3
৩৮৩.
ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    1840
  2. খ
    1050
  3. গ
    720
  4. ঘ
    1260
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
ARRANGE শব্দটিতে 7টি অক্ষর রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি A, দুইটি R এবং বাকি অক্ষরগুলো ভিন্ন ভিন্ন।

নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!2!
= 1260
৩৮৪.
ইংরেজি বর্ণমালা হতে প্রত্যেক বার ৫ টি বর্ণ নিয়ে কতগুলি শব্দ গঠন করা যায় তা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    ক) 21!/26!
  2. খ
    খ) 26!/21!
  3. গ
    গ) 27!/21!
  4. ঘ
    ঘ) 26!/23!
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, ইংরেজি বর্ণমালায় মোট ২৬ টি বর্ণ আছে। এই ২৬ টি বর্ণ হতে প্রত্যেকবার ৫ টি করে বর্ণ নিয়ে
গঠিত শব্দের সংখ্যা = 26P5 = 26!/21! = ৭৮৯৩৬০০
৩৮৫.
ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ২০২৫ 
  2. খ
    ১২৬০
  3. গ
    ১৪৬০ 
  4. ঘ
    ২২৪০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
ARRANGE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি যেখানে A আছে ২টি, R আছে ২টি বাকিগুলো ভিন্ন।
∴ মোট সাজানোর উপায় = ৭!/(২! × ২!)
= ১২৬০

৩৮৬.
'CUPCAKE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    180
  2. খ
    720
  3. গ
    360
  4. ঘ
    480
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'CUPCAKE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
'CUPCAKE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি
Vowel আছে 3টি (U, A, E)
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3! = 6

Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!/2! = 60 [2 টি C আছে]

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 6 × 60
= 360
৩৮৭.
'CALCULUS' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    720
  2. খ
    5040
  3. গ
    1020
  4. ঘ
    3550
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'CALCULUS' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'CALCULUS' শব্দটির মোট অক্ষর = 8টি

এদের মধ্যে,
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
L অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
U অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 8!/(2! × 2! × 2!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/{(2 × 1) × (2 × 1) × (2 × 1)}
= 40320/(2 × 2 × 2)
= 40320/8
= 5040

∴ 'CALCULUS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে 5040 উপায়ে সাজানো যায়।

৩৮৮.
'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?
  1. ক
    480
  2. খ
    1260
  3. গ
    2160
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান: 
COURAGE শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 3P1 = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160
৩৮৯.
10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    3430
  2. খ
    3660
  3. গ
    4200
  4. ঘ
    4149
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 8 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
১ম দল (10 জন)    -   ২য় দল (9 জন)
________________         _________________
1) 10                         1
2) 9                           2
3) 8                           3


1) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C10 × 9C1 = (1 × 9) = 9
2) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C9 × 9C2 = (10 × 36) = 360
3) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C8 × 9C3 = (45 × 84) = 3780


টিম গঠনের উপায় = 9 + 360 + 3780
= 4149
৩৯০.
5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 2 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    100
  2. খ
    120
  3. গ
    200
  4. ঘ
    240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলার মধ্য হতে 4 জনের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে, যেখানে ন্যূনতম 2 জন পুরুষ এবং 1 জন মহিলা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
মোট দুই প্রকারে বাছাই করা যাবে।
2 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা = 5C2 × 4C2 = 10 × 6 = 60
3 জন পুরুষ ও 1 জন মহিলা = 5C3 × 4C1 = 10 × 4 = 40

∴ মোট উপায় = 60 + 40 = 100
৩৯১.
15 টি ফলের মধ্যে 6 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    983
  2. খ
    432
  3. গ
    589
  4. ঘ
    924
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 টি ফলের মধ্যে 6 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (15 - 3) বা 12 টি থেকে 6 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = 12C6
= 12!/(6! 6!)
= 924
৩৯২.
৮টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ক) 2520
  2. খ
    খ) 5040
  3. গ
    গ) 20160
  4. ঘ
    ঘ) 40320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৮টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (8 - 1)!/2
= 7!/2
= 5040/2
= 2520
৩৯৩.
2nCr = 2nCr+2 হলে r -এর মান কত ?
  1. ক
    ক) n + 1
  2. খ
    খ) n
  3. গ
    গ) 2n - 1
  4. ঘ
    ঘ) n - 1
ব্যাখ্যা

2nCr = 2nCr+2
⇒ 2n!/{r!(2n-r)!} = 2n!/{(r+2)! (2n-r-2)!}
⇒ 1/(2n-r)(2n-r-1) = 1/(r+2)(r+1)
⇒ r² + 2r + r + 2 = 4n² -2nr – 2nr + r² - 2n + r
⇒ 2r + 4nr = 4n² - 2n – 2
⇒ r(2n + 1) = 2n² - n -1
⇒ r(2n + 1) = 2n² - 2n + n -1
⇒ r(2n + 1) = (2n+1) (n-1)
∴ r = (n-1)

৩৯৪.
( - 3)3 ÷ 2 (1/2)2 = ?
  1. ক
    - 54
  2. খ
    - 3.375
  3. গ
    - 27/2
  4. ঘ
    27/4
ব্যাখ্যা
( - 3)3 ÷ 2 (1/2)2
= - 27 ÷ 2 এর 1/4
= - 27 ÷ (1/2)
= - 27 × 2
= - 54
৩৯৫.
6 টি মুদ্রা 5 টি দান বক্সে কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    ক) 65
  2. খ
    খ) 56
  3. গ
    গ) 64
  4. ঘ
    ঘ) 55
ব্যাখ্যা

১ম মুদ্রাটি 5 টি দান বাক্সের যেকোনটিতে ফেলা যায় যা 5 উপায়ে হয়।
অনুরুপে ২য়, ৩য়, ৪র্থ, ৫ম, ৬ষ্ঠ প্রতিটি মুদ্রা 5 উপায়ে ফেলা যায়
∴ মুদ্রা দান বাক্সে ফেলার মোট উপায় = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
= 56

৩৯৬.
৩টি খালি পদের জন্য ১০ জন প্রার্থী আছেন। খালি পদের সংখ্যার চেয়ে বেশি নয় এরূপ যেকোনো সংখ্যক প্রার্থীকে নির্বাচিত করা যাবে। কতভাবে প্রার্থী নির্বাচন করা সম্ভব?
  1. ক
    ক) ১২০
  2. খ
    খ) ১২৫
  3. গ
    গ) ১৫০
  4. ঘ
    ঘ) ১৭৫
ব্যাখ্যা
৩টি খালি পদের জন্য প্রার্থী সংখ্যা ১০।
১ জনকে নির্বাচনের উপায় ১০c১ = ১০
২ জনকে নির্বাচনের উপায় ১০c২ = ৪৫
৩ জনকে নির্বাচনের উপায় ১০c৩ = ১২০
∴ নির্বাচনের মোট উপায় = ১০+৪৫+১২০ = ১৭৫।
৩৯৭.
''APPLE'' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৬৪
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৬৫
  4. ঘ
    ৬৮
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ''APPLE'' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
''APPLE'' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা ৫ টি
এর মধ্যে p = ২ টি
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৫!/২!
= (৫ × ৪ × ৩ ×  ২ × ১)/২
= ৬০

৩৯৮.
'FORTUNE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 480
  3. গ
    গ) 720
  4. ঘ
    ঘ) 840
ব্যাখ্যা
'FORTUNE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
                                                                           =120 × 6 
                                                                            = 720
৩৯৯.
এক ব্যক্তির 10টি শার্ট ও 5টি প্যান্ট আছে। একটি ভ্রমনে যাওয়ার সময় 4টি শার্ট ও 2টি প্যান্ট নিলে কত ভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    ক) 1000
  2. খ
    খ) 1200
  3. গ
    গ) 2100
  4. ঘ
    ঘ) 2750
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: এক ব্যক্তির 10টি শার্ট ও 5টি প্যান্ট আছে। একটি ভ্রমনে যাওয়ার সময় 4টি শার্ট ও 2টি প্যান্ট নিলে কত ভাবে বাছাই করা যাবে?

সমাধান:
10 টি শার্ট এর মধ্যে 4 টি নিলে মোট বাছাই ক্করা যাবে = 10c4 = 210
5 টি প্যান্ট এর মধ্যে 2  টি নিলে মোট বাছাই করা যাবে = 5c2 = 10 

∴ মোট বাছাই করা যাবে = 210 × 10 = 2100 ভাবে।
৪০০.
52 জন ছাত্রকে সমান সংখ্যক চারটি দলে কতভাবে বিভক্ত করা যায়?
  1. ক
    ক) 52!/4!
  2. খ
    খ) 52!/13!
  3. গ
    গ) 52!/(13!)4
  4. ঘ
    ঘ) 52!/(4!)13
ব্যাখ্যা

52 জনকে 4 টি সমান সংখ্যক দলে ভাগ করা যায় = 52!/(13!)4 উপায়ে