লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ৩ / ১৮ · ২০১–৩০০ / ১,৭৫০

২০১.
প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫ ও ৬ অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    660 টি
  2. খ
    680 টি
  3. গ
    700 টি
  4. ঘ
    720 টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: প্রত্যেক সংখ্যায় প্রত্যেক অংক কেবলমাত্র একবার ব্যবহার করে ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫ ও ৬ অংকগুলো দিয়ে কতগুলো অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
চার অঙ্কবিশিষ্ট পূর্ণসংখ্যা = 7P4
= 840

0 প্রথমে থাকলে গঠিত সংখ্যা অর্থপূর্ণ হয় না এরূপ সংখ্যা = 6P3
= 120

∴ অর্থপূর্ণ চার অংকের সংখ্যা গঠন করা যাবে = 840 - 120 টি
= 720 টি
২০২.
3, 8, 1 ও 4 অংকগুলো একবার ব্যবহার করে 4000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়? 
  1. ক
    12
  2. খ
    24
  3. গ
    48
  4. ঘ
    96
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3, 8, 1 ও 4 অংকগুলো একবার ব্যবহার করে 4000 এর চেয়ে বড় কতগুলো সংখ্যা তৈরি করা যায়? 

সমাধান: 
প্রথম সংখ্যাটি 4 বা 8 এর যেকোনো একটি হতে পারে। 
এখন, 
3, 8, 1 ও 4 একবার ব্যবহার করে অংকগুলো দ্বারা ৪000 এর চেয়ে বড় সংখ্যা তৈরি করা যায় = 2P1 × 3! 
= 12  । 
২০৩.
15 টি ফলের মধ্যে 5 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    1287
  2. খ
    1780
  3. গ
    1364
  4. ঘ
    980
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 টি ফলের মধ্যে 5 টি ফল কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট দুইটি ফল সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট দুইটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (15 - 2) বা 13 টি থেকে 5 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = 13C5
= 13!/{(13 - 5)! × 5!}
= 13!/(8! × 5!)
= (13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8!​)/{(5 × 4 × 3 × 2 × 1)8!}
= 1287

∴ নির্দিষ্ট দুটি ফল বাদ দিয়ে ৫টি ফল বাছাই করার উপায় 1287​.
২০৪.
৩টি পোস্টবাক্সে ৬টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়? 
  1. ক
    ক) ৬৩
  2. খ
    খ) ৩৬
  3. গ
    গ) ৬৬
  4. ঘ
    ঘ) ৩৩
ব্যাখ্যা
৩টি পোস্টবাক্সে ৬টি চিঠি ফেলা যায় = ৩৬ 
২০৫.
যাত্রাবাড়ি থেকে মহাখালি যাওয়ার ৫টি ভিন্ন ভিন্ন রাস্তা রয়েছে। আবার মহাখালি থেকে টঙ্গি যাওয়ার ৬টি ভিন্ন ভিন্ন রাস্তা রয়েছে। রনি কত উপায়ে যাত্রাবাড়ি থেকে মহাখালি হয়ে টঙ্গি যেতে পারবে?
  1. ক
    ক) ১
  2. খ
    খ) ১১
  3. গ
    গ) ৩০
  4. ঘ
    ঘ) ১০
ব্যাখ্যা
গণনার গুনন বিধিঃ
একটি কাজ m সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করার পর যদি অন্য একটি কাজ n সংখ্যক উপায়ে সম্পন্ন করা যায়। তবে, সম্পূর্ণ কাজটি m×n উপায়ে সম্পূর্ণ করা যায়।
এখানে, ৫ উপায়ে ভ্রমন করার পর ২য় যাত্রা ৬ উপায়ে ভ্রমন করতে পারে।
সুতরাং পুরো পথ ৫×৬ = ৩০ উপায়ে ভ্রমন করা যায়।
২০৬.
ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 78 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 11
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 78 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
nc2 = 78
⇒ n(n-1)/2 = 78  
⇒ n2 - n = 156
⇒ n2 - n - 156 = 0
⇒ n2 - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12 (n - 13) = 0
⇒ (n - 13) (n + 12)=0 (2) 

∴ n = 13, - 12 [ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়]

∴ ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা = 13
২০৭.
একটি ক্লাসের 10 জন শিক্ষার্থীর মধ্য থেকে প্রতিবার 4 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 3 জন ছাত্রী কোন কমিটিতে থাকবেনা?
  1. ক
    35
  2. খ
    207
  3. গ
    120
  4. ঘ
    70
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসের 10 জন শিক্ষার্থীর মধ্য থেকে প্রতিবার 4 জন নিয়ে কতটি কমিটি গঠন করা যায়, যেখানে 3 জন ছাত্রী কোন কমিটিতে থাকবেনা?

দসমাধান: 
3 জনকে সর্বদা বাদ দিয়ে 4 জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= (10 - 3)C4
= 7C4
= 35
২০৮.
ঢাকা ও সিলেট রুটে প্রতিদিন ৫ টি প্লেন চলাচল করে। উক্ত দুটি স্থানে যাতায়াত করা যাবে কত উপায়ে?
  1. ক
    ক) ১০
  2. খ
    খ) ২০
  3. গ
    গ) ২.৫
  4. ঘ
    ঘ) ৫
ব্যাখ্যা
আমরা জানি, দুটি স্থানের মধ্যে n সংখ্যক যানবাহন চলাচল করলে উক্ত দুটি স্থানে যাওয়া-আসা করা যাবে = n(n - 1) উপায়ে = 5(5 - 1) = 20 উপায়ে।
২০৯.
Vowel গুলিকে একত্রে রেখে ACCLAIM শব্দটিকে কত ভাবে সাজানো যাবে? 
  1. ক
    ক) 170 বার
  2. খ
    খ) 180 বার
  3. গ
    গ) 210 বার
  4. ঘ
    ঘ) 190 বার
ব্যাখ্যা
'ACCLAIM' শব্দটিতে মোট 7টি বর্ণ আছে যার 3টি স্বরবর্ণ ও 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
3টি স্বরবর্ণকে 1টি ধরে মোট বর্ণ সংখ্যা 5টি কে সাজানো যায় = 5!/2! (যেহেতু C দুইটি)
                                                                                            = 60 উপায়ে

আবার
3 টি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3!/2! (যেহেতু A দুইটি)
                                                                    = 3 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 3 × 60
                                              = 180 উপায়ে।
২১০.
PRESSURE শব্দটিরর বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    6720
  2. খ
    120
  3. গ
    5040
  4. ঘ
    8!
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PRESSURE শব্দটিরর বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
PRESSURE শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি।
R, E ও S আছে 2টি করে এবং বাকিগুলো ভিন্ন।

∴ মোট সাজানোর উপায় = 8!/(2! × 2! × 2!)
= 5040
২১১.
চিত্রে, A, B ও C ৩টি সেট হলে, n(A ∪ B ∪ C) = ?
  1. ক
    100
  2. খ
    105
  3. গ
    110
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চিত্রে, A, B ও C ৩টি সেট হলে, n(A ∪ B ∪ C) = ?

সমাধান:
n(A ∩ B) = 10
n(B ∩ C) = 12
n(A ∩ C) = 13
n(A ∩ B ∩ C) = 5

∴ n(A ∪ B ∪ C)
= n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(B ∩ C) - n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)
= 38 + 47 + 45 - 10 - 12 - 13 + 5
= 135 - 35
= 100
২১২.
5টি চিঠি 3টি বাক্সে ফেলার উপায় কত?
  1. ক
    ক) 125
  2. খ
    খ) 243
  3. গ
    গ) 164
  4. ঘ
    ঘ) 262
ব্যাখ্যা

• একটি বাক্সের পক্ষে একাধিক চিঠি গ্রহণ করা সম্ভব।
• সুতরাং n হবে বাক্সের সংখ্যা এবং r হবে চিঠির সংখ্যা।
• সুতরাং নির্ণেয় উপায় = nr = 35 = 243

২১৩.
৫, ৫, ৬, ৬, ৭, ৭ সংখ্যাগুলো থেকে ৩ অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) ২৬
  2. খ
    খ) ২৮
  3. গ
    গ) ২২
  4. ঘ
    ঘ) ২৪
ব্যাখ্যা

এখানে ৩টি সংখ্যা দুবার করে আছে।
সংখ্যাগুলো যে কোন ভাবে নিয়ে ৩৩= ২৭ টি সংখ্যা পাওয়া যায়।
কিন্তু এর মধ্যে ৫৫৫, ৬৬৬, ৭৭৭ তিনটি সংখ্যা আসবে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
কেননা, সংখ্যাগুলো ২ বারের বেশি নেই।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ২৭ – ৩ = ২৪।

২১৪.
কোনো পরীক্ষায় কৃতকার্য হতে 5 টি বিষয়ের প্রত্যেকটিতে ন্যূনতম নম্বর পেতে হয়। একজন পরীক্ষার্থী কত প্রকারে অকৃতকার্য হতে পারে?
  1. ক
    25
  2. খ
    20
  3. গ
    30
  4. ঘ
    31
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো পরীক্ষায় কৃতকার্য হতে 5 টি বিষয়ের প্রত্যেকটিতে ন্যূনতম নম্বর পেতে হয়। একজন পরীক্ষার্থী কত প্রকারে অকৃতকার্য হতে পারে? 

সমাধান:
1 জন ছাত্র 1টি বিষয়ে, 2টি বিষয়ে, 3টি বিষয়ে, 4টি বিষয়ে, এবং 5টি বিষয়ে ন্যূনতম নম্বর না পেলে অকৃতকার্য হবে।  

 অকৃতকার্য হওয়ার মোট উপায় = 5C1 + 5C2 + 5C3 + 5C4 + 5C5 
= 5 + 10 + 10 + 5 + 1
= 31
২১৫.
একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে ৭টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    ১৪
  2. খ
    ১৩
  3. গ
    ৬
  4. ঘ
    ২১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে ৭টি দল অংশগ্রহণ করেছে, একক লীগ পদ্ধতিতে খেলা হলে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
প্রতিটি খেলার জন্য ৭টি দল থেকে ২টি দল নির্বাচন করতে হবে 

∴ মোট খেলার সংখ্যা = ৭C২ = ২১ 
২১৬.
'ENGLISH' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে এক ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?
  1. ক
    2420
  2. খ
    2600
  3. গ
    3280
  4. ঘ
    3600
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ENGLISH' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে এক ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান:
'ENGLISH'' শব্দটিতে মোট 7 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে 5 টি ব্যঞ্জনবর্ণ এবং 2 টি স্বরবর্ণ।

এখন,
প্রথম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 5p1 = 5
অবশিষ্ট পাঁচটি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।

তাহলে,
মোট বিন্যাস সংখ্যা = (720 × 5) = 3600
২১৭.
6টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 4টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    12600
  2. খ
    14400
  3. গ
    18320
  4. ঘ
    22200
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 4টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
6টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= 6C3 = 20

4টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= 4C2 = 6

∴ মোট বর্ণ বাছাইয়ের উপায় = 20 × 6 = 120

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি, এদের সাজানোর উপায়,
= 5! = 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = 120 × 120
= 14,400

২১৮.
13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? 
  1. ক
    492
  2. খ
    184
  3. গ
    462
  4. ঘ
    368
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? 
 
সমাধান: 
13 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 7 টি বাছাই করা যায় =  (13 - 2)C(7 - 2) 
= 11C5 
=  462

২১৯.
nC12 = nC6 হলে n এর মান কত?
  1. ক
    12
  2. খ
    14
  3. গ
    16
  4. ঘ
    18
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- nC12 = nC6 হলে n এর মান কত?

 সমাধান-
⇒ nC12 = nC6
⇒ nC12 = nCn - 6
⇒ 12 = n - 6
⇒ n = 18
২২০.
কতভাবে ৮ জন লোক একটি বৃত্তাকার টেবিলের চারপাশে বসতে পারে?
  1. ক
    ৪০৩২০
  2. খ
    ৫০৪০
  3. গ
    ২০১৬০
  4. ঘ
    ২৫২০
ব্যাখ্যা

বৃত্তাকার টেবিলের চারপাশে বসতে হলে একজনকে স্থির রাখতে হবে,
∴ বসার উপায় = (৮ - ১)!
= ৭!
= ৫০৪০

২২১.
0, 1, 2, 3 অঙ্কগুলো দ্বারা চার অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যায়  যেন কোনো সংখ্যার পুনরাবৃত্তি না হয়?
  1. ক
    12
  2. খ
    16
  3. গ
    18
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3 অঙ্কগুলো দ্বারা চার অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যায়  যেন কোনো সংখ্যার পুনরাবৃত্তি না হয়? 

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4! 
= 24

0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! 
= 6

∴ চার অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (24 - 6)
= 18
২২২.
5 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    35
  2. খ
    57
  3. গ
    135
  4. ঘ
    75
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 টি পোস্ট বাক্সে 7 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 5 টি
চিঠির সংখ্যা r =7 টি

চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)চিঠি
= nr
= 57
২২৩.
নিশাতের ৫ জন সহপাঠী আছে যারা সবাই গান গাইতে জানে। সে তাদের মধ্যে থেকে এক বা একাধিক জনকে নিয়ে একটি ব্যান্ড দল গঠন করতে চায়। নিশাত কতভাবে এই ব্যান্ড দল গঠন করতে পারে?
  1. ক
    ২২
  2. খ
    ২৫
  3. গ
    ২৮
  4. ঘ
    ৩১
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: নিশাতের ৫ জন সহপাঠী আছে যারা সবাই গান গাইতে জানে। সে তাদের মধ্যে থেকে এক বা একাধিক জনকে নিয়ে একটি ব্যান্ড দল গঠন করতে চায়। নিশাত কতভাবে এই ব্যান্ড দল গঠন করতে পারে?

সমাধান: 
মোট সদস্য = ৫ জন
নিশাত চাইছে, এক বা একাধিক বন্ধুকে নিয়ে ব্যান্ড গঠন করতে।
অর্থাৎ, সে ১ জন, ২ জন, ৩ জন, ৪ জন, অথবা ৫ জনকেও নিতে পারে।

১ জন নেওয়ার উপায় = ৫C১
২ জন নেওয়ার উপায় = ৫C২
৩ জন নেওয়ার উপায় = ৫C৩
৪ জন নেওয়ার উপায় = ৫C৪
৫ জন নেওয়ার উপায় = ৫C৫
 
∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৫C১ + ৫C২+ ৫C৩ + ৫C৪ + ৫C৫
= ৫ + ১০ + ১০ + ৫ + ১
= ৩১
২২৪.
0 বাদে তিন অঙ্কের কতগুলো পুর্ণসংখ্যা গঠন করা যাবে যেখানে কোন অঙ্ক দুইয়ের অধিক ব্যবহার হবে না?
  1. ক
    ক) 720
  2. খ
    খ) 729
  3. গ
    গ) 780
  4. ঘ
    ঘ) 812
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ 0 বাদে তিন অঙ্কের কতগুলো পুর্ণসংখ্যা গঠন করা যাবে যেখানে কোন অঙ্ক দুইয়ের অধিক ব্যবহার হবে না?

সমাধানঃ
0 বাদে বাকি অঙ্কগুলো যেকোন সংখ্যক বার নিয়ে  তিন অঙ্কের সংখ্যা বানানো যাবে = 93
= 729 টি

কিন্তু কোন অঙ্ক দুইয়ের অধিক ব্যবহার করা যাবে না,
সুতরাং তিন অঙ্কের সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি অঙ্ক তিন বার করে এসেছে সেগুলো বাদ দিতে হবে।
সেগুলো হলো = 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999 = 9 টি

∴ মোট সংখ্যা = 729 - 9 = 720 টি
২২৫.
২০ টি বিন্দু দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ৪২০০
  2. খ
    ৪৫২৪
  3. গ
    ৪৮৪৫
  4. ঘ
    ৫৫০০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২০ টি বিন্দু দিয়ে কতগুলো চতুর্ভুজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
আমরা জানি,
একটি চতুর্ভুজ ৪ টি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয়।

∴ ২০ টি বিন্দু দিয়ে গঠিত চতুর্ভুজ সংখ্যা = ২০C৪
= ২০!/{৪! × (২০ - ৪)!}
= ২০!/(৪! × ১৬!)
= (২০ × ১৯ × ১৮ × ১৭ × ১৬!)/(৪ × ৩ × ২ × ১৬!)
= ৪৮৪৫

২২৬.
একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেক প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট ৬৬টি করমর্দন হলো। ঐ পার্টিতে কতজন উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    ১০ জন
  2. খ
    ১১ জন
  3. গ
    ১২ জন
  4. ঘ
    ১৩ জন
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পার্টিতে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা প্রত্যেক প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করায় মোট ৬৬টি করমর্দন হলো। ঐ পার্টিতে কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
ধরি,
n সংখ্যক উপস্থিত ছিলো।
একটি হ্যান্ডশেক 2 জনের সমাবেশ থেকে পাওয়া যায়-
∴ মোট হ্যান্ডশেক nC2 = ৬৬
বা, n!/{(n - ২)! × ২!} = ৬৬
বা, {n(n - ১)(n - ২)!}/{(n - ২)! × ২!} = ৬৬
বা, {n(n - ১)}/২ = ৬৬
বা, n২ - n = ১৩২
বা, n২ - n - ১৩২ = ০
বা,  n২ - ১২n + ১১n - ১৩২ = ০
বা, n(n - ১২) + ১১(n - ১২) = ০
বা, (n - ১২) (n + ১১) = ০
∴ n = ১২ [n = -১১ গ্রহণযোগ্য নয়]
২২৭.
0, 2, 3, 9, 8, 7 অঙ্কগুলো দ্বারা ছয় অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেখানে দশক স্থানে 0 থাকবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 360
  3. গ
    গ) 240
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 2, 3, 9, 8, 7 অঙ্কগুলো দ্বারা ছয় অঙ্কের কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেখানে দশক স্থানে 0 থাকবে?

সমাধান:
অঙ্ক = 6টি 
দশক স্থানে 0  রেখে সাজানো যায় =  5! = 120
২২৮.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 অংকগুলো দ্বারা 5 অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায় যেখানে প্রতিটি অংক প্রতি সংখ্যা কেবল একবার ব্যবহার করা যায়?
  1. ক
    ক) 15120
  2. খ
    খ) 9!
  3. গ
    গ) 9!/5!
  4. ঘ
    ঘ) 126
ব্যাখ্যা

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 মোট 9টি অংক আছে।
প্রতিবার 5টি অংক নিয়ে সংখ্যা গঠনের উপায় = 9p5
= 15120

২২৯.
একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ১০৫ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?
  1. ক
    ২০
  2. খ
    ১৪
  3. গ
    ১২
  4. ঘ
    ১৫
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা ১০৫ হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লোক ছিল?

সমাধান:
মনে করি, ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।

প্রশ্নমতে,
⇒ nC২ = ১০৫
⇒ n!/{২!(n - ২)!} = ১০৫
⇒ {n(n - ১)(n - ২)!}/{২!(n - ২)!} = ১০৫
⇒ n(n - ১)/২ = ১০৫
⇒ n(n - ১) = ২১০
⇒ n২ - n = ২১০
⇒ n২ - n - ২১০ = ০
⇒ n২ - ১৫n + ১৪n - ২১০ = ০
⇒ n(n - ১৫) + ১৪(n - ১৫) = ০
⇒ (n - ১৫)(n + ১৪) = ০

হয়, n - ১৫ = ০
⇒ n = ১৫
অথবা, n + ১৪ = ০
⇒ n = - ১৪ (লোকের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ ঐ অনুষ্ঠানে ১৫ জন লোক ছিল।

২৩০.
একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?
  1. ক
    ক) 32
  2. খ
    খ) 18
  3. গ
    গ) 64
  4. ঘ
    ঘ) 36
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি থলেতে 2টি সাদা বল, 3টি সবুজ বল এবং 4টি লাল বল আছে। বাক্সটি থেকে 3টি বল কত উপায়ে নেয়া যাবে, যদি অন্তত একটি সবুজ বল থাকে?

সমাধান: 
সাদা বল = 2টি
সবুজ বল = 3টি 
লাল বল =  4টি 

3টি সবুজ বল থেকে 1টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 2টি  নিয়ে উপায় = 3C1 × 6C2
3টি সবুজ বল থেকে 2টি এবং 6 টি ভিন্ন বল থেকে 1টি  নিয়ে উপায় =3C2 × 6C1
3টি সবুজ বল থেকে 3টি  = 3C3

মোট উপায়  = (3C1 × 6C2) + (3C2 × 6C1) + (3C3) 
                   = (45 + 18 + 1)
                   = 64
২৩১.
STRAIT শব্দের সবগুলো অক্ষর কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    30
  2. খ
    60
  3. গ
    120
  4. ঘ
    240
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: STRAIT শব্দের সবগুলো অক্ষর কত উপায়ে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
STRAIT শব্দটিতে মোট ছয়টি বর্ণ আছে যাদের 2টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
∴ স্বরবর্ণগুলো একত্রে ১টি বর্ণ হিসাব করলে মোট বর্ণ হবে 5টি যাদের 2টি T
∴ সাজানোর উপায় = 5!/2!

আবার, স্বরবর্ণ দুটি নিজেদের মধ্যে 2! উপায়ে সাজানো যায়

∴ মোট সাজানোর উপায় = (5!/2!) × 2!
= 5!
= 120
২৩২.
14 টি পুস্তক থেকে 6 টি পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    65
  2. খ
    165
  3. গ
    256
  4. ঘ
    265
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 14 টি পুস্তক থেকে 6 টি পুস্তক কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 3 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (14 - 3) বা 11 টি এবং 6 টি থেকে বাছাই করতে হবে (6 - 3) বা 3 টি
∴ 11 টি থেকে 3 টি পুস্তক বাছাই করার সংখ্যা = 11C3 = 165

২৩৩.
একজন ছাত্রের কোন পরীক্ষায় 12টি প্রশ্ন হতে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। তাকে প্রথম 5টি প্রশ্ন হতে ঠিক 4টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। কতভাবে সে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে?
  1. ক
    28 উপায়ে
  2. খ
    130 উপায়ে
  3. গ
    105 উপায়ে
  4. ঘ
    90 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন ছাত্রের কোন পরীক্ষায় 12টি প্রশ্ন হতে 6টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। তাকে প্রথম 5টি প্রশ্ন হতে ঠিক 4টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হয়। কতভাবে সে প্রশ্নগুলোর উত্তর দিতে পারবে?

সমাধান:
5টি প্রশ্ন থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = 5C4
7টি প্রশ্ন থেকে 3টি প্রশ্ন বাছাই করা যায় = 7C2

∴ প্রশ্ন বাছাই করা যায় = 5C4 × 7C2
= (5 × 21) উপায়ে
= 105 উপায়ে
২৩৪.
এক প্যাকেট তাস হতে দু’টি তাস তোলা হলো, তাস দু’টি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    25/51
  2. খ
    26/51
  3. গ
    28/51
  4. ঘ
    29/51
ব্যাখ্যা

প্যাকেটে মোট তাস = 52
কালো তাস = 26
লাল তাস = 26
∴ তাস দু'টি ভিন্ন রংয়ের হওয়ার সম্ভাবনা = (26c1 × 26c1)/52c2
= (26 × 26)/1326
= 26/51

২৩৫.
3 জন প্রশিক্ষক, 4 জন অধ্যাপক ও 6 জন গবেষণা সহযোগী থেকে 5 জন সদস্যের একটি দল কত ভাবে গঠন করা যাবে, যেখানে 2 জন প্রশিক্ষক ও 3 জন গবেষণা সহযোগী থাকবে?
  1. ক
    ক) 42
  2. খ
    খ) 60
  3. গ
    গ) 72
  4. ঘ
    ঘ) 112
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ 3 জন প্রশিক্ষক, 4 জন অধ্যাপক ও 6 জন গবেষণা সহযোগী থেকে 5 জন সদস্যের একটি দল কত ভাবে গঠন করা যাবে, যেখানে 2 জন প্রশিক্ষক ও 3 জন গবেষণা সহযোগী থাকবে?

সমাধানঃ
এখানে কমিটিতে যারা থাকবে শুধু তাদের নিয়ে কাজ করতে হবে ।
3 জন প্রশিক্ষক থেকে 2 জন প্রশিক্ষক নেওয়া যাবে = 3C2 = 3 উপায়ে। 
6 জন গবেষণা সহযোগী  থেকে 3 জন গবেষণা সহযোগী নেওয়া যাবে = 6C3 = 20 উপায়ে

সুতরাং মোট উপায় = 3 × 20 = 60
২৩৬.
'JUMBLE' শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন শব্দগুলো স্বরবর্ণ দিয়ে শুরু হয়?
  1. ক
    ৩৬০
  2. খ
    ২৪০
  3. গ
    ১২০
  4. ঘ
    ৬০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'JUMBLE' শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যেন শব্দগুলো স্বরবর্ণ দিয়ে শুরু হয়?

সমাধান:
'JUMBLE' শব্দটিতে মোট ৬টি বর্ণ রয়েছে।
যেহেতু শব্দগুলো স্বরবর্ণ দিয়ে শুরু হবে তাহলে ১ম ঘরে U অথবা E বসবে।
১ম ঘর বাদে বাকি ৫ ঘর ৫টি বর্ণ দিয়ে সাজানো যাবে ৫P৫ = ৫! = ১২০ উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = ২ × ১২০ = ২৪০

২৩৭.
3 জন প্রার্থী 4 জন ভোটার হলে, একজন প্রার্থী কত উপায়ে নির্বাচিত হতে পারে?
  1. ক
    ক) 200
  2. খ
    খ) 2513
  3. গ
    গ) 220
  4. ঘ
    ঘ) 81
ব্যাখ্যা

আমরা জানি, n সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন বস্তু থেকে r সংখ্যক বস্তু একত্রে নিয়ে বিন্যাস = nr
∴একজন প্রার্থী নির্বাচিত হবে =34 = 81 উপায়ে।

২৩৮.
১০ জনের একটি প্যানেল থেকে ৫ জনের কমিটি কতভাবে বানানো যাবে?
  1. ক
    ৬০ ভাবে
  2. খ
    ২৪০ ভাবে
  3. গ
    ১২০ ভাবে
  4. ঘ
    ২৫২ ভাবে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০ জনের একটি প্যানেল থেকে ৫ জনের কমিটি কতভাবে বানানো যাবে?

সমাধান: 
১০ জনের মধ্যে থেকে ৫ জনের কমিটি বানানোর উপায় = 10C5
= 10!/(5! × 5!)
= 252
২৩৯.
একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 
  1. ক
    12
  2. খ
    18
  3. গ
    15
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 6 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে? 

সমাধান: 
একবার খেলার জন্য প্রতিযোগী প্রয়োজন = 2 জন
∴ 6 জন প্রতিযোগীর মধ্যে মোট খেলা = 6C2
= (6 × 5)/(2 × 1)
= 15

২৪০.
'SYLHET' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'PABNA' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    6
  2. খ
    8 
  3. গ
    12
  4. ঘ
    15
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'SYLHET' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'PABNA' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
'SYLHET' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 6, সব ভিন্ন।
সুতরাং বিন্যাস সংখ্যা = 6! = 720

'PABNA' শব্দটিতে মোট বর্ণ = 5, যেখানে A দুইবার আছে।
বিন্যাস সংখ্যা = 5!/2! = 120/2 = 60

এখন,
 SYLHET/PABNA = 720/60
⇒ SYLHET/PABNA = 12
⇒ SYLHET = 12 × PABNA

অর্থাৎ  'SYLHET' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'PABNA' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার 12 গুণ।

২৪১.
একটি ব্যাংকের পরিচালকমণ্ডলিতে 8 জন পুরুষ ও 6 জন মহিলা আছেন। ঐ পরিচালকমণ্ডলির সদস্যদের মধ্য থেকে 5 জন পুরুষ ও 3 জন মহিলা সমন্বয়ে কত রকমে একটি সাব কমিটি গঠন করা যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 1120
  2. খ
    খ) 920
  3. গ
    গ) 1020
  4. ঘ
    ঘ) 1220
ব্যাখ্যা
পরিচালকমণ্ডলিতে পুরুষ আছেন = 8 জন  
 পরিচালকমণ্ডলিতে মহিলা আছেন = 6 জন  

8 জন পুরুষের মধ্য থেকে 5 জন পুরুষ নিয়ে বাছাই করার উপায় = 8C5 
                                                                                                 = 56

6 জন মহিলার মধ্য থেকে 3 জন মহিলা  নিয়ে বাছাই করার উপায় =6C3 
                                                                                                  = 20
সাব কমিটি গঠন করা যেতে পারে = 56 × 20 
                                                   = 1120
২৪২.
BALLOON শব্দটির অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?
  1. ক
    36
  2. খ
    144
  3. গ
    240
  4. ঘ
    320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: BALLOON শব্দটির অক্ষরগুলি কত রকমে সাজানো যায় যেন স্বরবর্ণগুলো জোড় স্থান দখল করে?

সমাধান:
BALLOON শব্দটিতে 7 টি অক্ষর আছে যার মধ্যে 4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 3টি স্বরবর্ণ।
7টি স্থানের মধ্যে 4 টি বিজোড় স্থান এবং 3 টি জোড় স্থান।

3 টি স্বরবর্ণকে 3 টি জোড়স্থানে মোট 3!/2! = 3 উপায়ে [0 দুইটি]
4 টি ব্যঞ্জনবর্ণ 4 টি বিজোড়স্থানে মোট 4!/2! = 12 উপায়ে 
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 3 × 12 = 36
২৪৩.
ঈগলু কোম্পানী দুধ থেকে দশ ধরনের আইসক্রিম তৈরি করে এবং নাবিস্কো কোম্পানী গম থেকে ১২ ধরনের বিস্কুট তৈরি করে প্রতিষ্ঠান দু’টি কত ধরনের খাবার তৈরি করে?
  1. ক
    ক) ২
  2. খ
    খ) ২২
  3. গ
    গ) ১২০
  4. ঘ
    ঘ) ১৫০
ব্যাখ্যা

ঈগলু খাবার তৈরি করে = ১০ উপায়ে
নাবিস্কো খাবার তৈরি করে = ১২ উপায়ে
∴ খাবার তৈরির উপায় = ১০ + ১২
= ২২ [গণনার যোজন বিধি]

২৪৪.
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে 'HOLIDAY' শব্দটিকে কতভাবে বিন্যস্ত করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 5040
  2. খ
    খ) 4320
  3. গ
    গ) 4080
  4. ঘ
    ঘ) 5080
ব্যাখ্যা
'HOLIDAY' শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে
যাদের মধ্যে 3টি স্বরবর্ণ।

7 টি বর্ণকে সাজানো যায় =7! = 5040

 স্বরবর্ণ 3টিকে 1টি ধরে মোট বর্ণ হয় 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
 স্বরবর্ণ 3টিকে সাজানো যায় = 3! 

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5! × 3!
                                                                 = 120 × 6 
                                                                  = 720
স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 5040 - 720
                                                                      = 4,320
২৪৫.
৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) ৬০
  2. খ
    খ) ৪৫
  3. গ
    গ) ৭৫
  4. ঘ
    ঘ) ৯০
ব্যাখ্যা
৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ১ম দল
৬c২ = Error! = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।
২য় দল বাকী (৬-২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে।
৪c২ = Error! = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।
৩য় দল অবশিষ্ট (৪-২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে।
২c২= ১ উপায়ে গঠন করা যায়।
∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫×৬×১ = ৯০
২৪৬.
তিনজন ব্যক্তি তাদের আসন কত উপায়ে পরিবর্তন করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 2
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
তিনজন ব্যক্তি তাদের আসন 3! উপায়ে বা 6 উপায়ে পরিবর্তন করতে পারবে।
২৪৭.
'DIALOGUE' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে L এবং G থাকবে না? 
  1. ক
    ক) 60
  2. খ
    খ) 180
  3. গ
    গ) 160
  4. ঘ
    ঘ) 120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'DIALOGUE' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে L এবং G থাকবে না? 

সমাধান: 
'DIALOGUE' শব্দটিতে ৮টি বর্ণ। 
L এবং G থাকবে না তাহলে 6টি বর্ণ

প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 6P3 = 120
২৪৮.
'AUCTION' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 720
  2. খ
    খ) 458
  3. গ
    গ) 630
  4. ঘ
    ঘ) 576 
ব্যাখ্যা
'AUCTION' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 4টি 
Vowel চারটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 4টি 
4টি বর্ণকে সাজানো যায় = 4!
Vowel  চারটিকে সাজানো যায় =4!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 4! × 4! 
                                                                           =24× 24 
                                                                            = 576 
২৪৯.
একটি বক্সে ২টি সাদা, ৩টি কালো এবং ৪টি লাল বল রয়েছে। কত উপায়ে ৩টি বল তোলা যাবে যেখানে কমপক্ষে ১টি বল কালো হবে?
  1. ক
    ৩২
  2. খ
    ৪৮
  3. গ
    ৬৪
  4. ঘ
    ৯৬
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বক্সে ২টি সাদা, ৩টি কালো এবং ৪টি লাল বল রয়েছে। কত উপায়ে ৩টি বল তোলা যাবে যেখানে কমপক্ষে ১টি বল কালো হবে?

সমাধান:
কালো বল(৩)       অন্যান্য বল(৬)
১                   ২
২                  ১
৩                 ০

মোট তোলার উপায় = 
২৫০.
একটি পার্টিতে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। লোকের সংখ্যা 20 জন হলে করমর্দনের সংখ্যা কত?
  1. ক
    170
  2. খ
    155
  3. গ
    190
  4. ঘ
    230
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি পার্টিতে উপস্থিত লোকজন প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। লোকের সংখ্যা 20 জন হলে করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 20

∴ করমর্দনের সংখ্যা = nC2 = 20C2
= 20!/{2!(20 - 2)!}
= 20!/(2! × 18!)
= 190
২৫১.
একজন শিক্ষার্থীকে 15 টি প্রশ্ন থেকে 7 টি প্রশ্নের উত্তর করতে হবে। প্রথম 6 টি প্রশ্ন থেকে ঠিক 3 টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে 7 টি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাবে?
  1. ক
    1850
  2. খ
    950
  3. গ
    2520
  4. ঘ
    1150
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একজন শিক্ষার্থীকে 15 টি প্রশ্ন থেকে 7 টি প্রশ্নের উত্তর করতে হবে। প্রথম 6 টি প্রশ্ন থেকে ঠিক 3 টি প্রশ্ন বাছাই করে কত প্রকারে 7 টি প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যাবে?

সমাধান:
15 - 6 = 9
7 - 3 = 4

প্রথম 6 টি থেকে 3 টি বাছাই করার উপায় = 6C3 = 20
9 টি থেকে 4 টি বাছাই করার উপায় 9C4 = 126

∴ মোট বাছাই করার উপায় = 20 × 126 = 2520
২৫২.
মাহির 12 জন বন্ধু আছে। সে কত প্রকারে এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবে?
  1. ক
    ক) 212
  2. খ
    খ) 212 - 1
  3. গ
    গ) 122
  4. ঘ
    ঘ) কোনটি নয়
ব্যাখ্যা

প্রতিবারে এক বা একাধিক বস্তুকে বাছাই করা যায় 2n -1 উপায়ে
মাহি এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে পারবে 212 - 1 উপায়ে

২৫৩.
nP4 = 5 × nP3 হয়, তবে n এর মান কত?
  1. ক
    3
  2. খ
    4
  3. গ
    6
  4. ঘ
    8
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: nP4 = 5 × nP3 হয়, তবে n এর মান কত? 

সমাধান: 
nP4 = 5 × nP3
বা, np4/np3 = 5 
বা, {n(n - 1)(n - 2)(n - 3)}/{n(n - 1)(n - 2)} = 5 
বা, n - 3 = 5 
বা, n = 5 + 3
∴ n = 8
২৫৪.
সোনালী ব্যাংক গুলশান শাখায় ম্যানাজার সহ ১১ জন কর্মকর্তা আছে। সর্বদা ম্যানাজারকে কমিটি প্রধান হিসেবে রেখে প্রতিবার চারজনের কমিটি কতভাবে গঠন করা যায়?
  1. ক
    ১১
  2. খ
    ৩০
  3. গ
    ৬০
  4. ঘ
    ১২০
ব্যাখ্যা

মোট সদস্য সংখ্যা = ১১ জন
ম্যানাজারকে অর্থাৎ ১ জনকে সর্বদা বিদ্যমান রেখে কমিটি গঠনের মোট উপায় = (১১-১)C(৪-১)
= ১০C৩
= ১২০

২৫৫.
ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৫০৪০
  2. খ
    ২৫২০
  3. গ
    ২১০
  4. ঘ
    ১২৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
ARRANGE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি যেখানে A আছে ২টি, R আছে ২টি বাকিগুলো ভিন্ন।
∴ মোট সাজানোর উপায় = ৭!/(২! × ২!)
= ১২৬০
২৫৬.
'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 
  1. ক
    144
  2. খ
    72
  3. গ
    720
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটির 6টি অক্ষরের মধ্যে E আছে = 2 টি 
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/ (2 × 1)
= 360

২৫৭.
12 জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়?
  1. ক
    320
  2. খ
    388
  3. গ
    404
  4. ঘ
    462
  5. ঙ
    কোনটি নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 12 জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে কতভাবে বিভক্তি করা যায়?

সমাধান:
প্রতি দলে 6 জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।

12 জন থেকে 6 জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = 12C6
= (12)!/{6!(12 - 3)!}
= 924

∴ সমান সংখ্যক বা 6 জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = 924/2 = 462
২৫৮.
১৩, ০, ১৭ সংখ্যা গুলোর গাণিতিক গড় ১১, ১৩ এবং কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
  1. ক
    ক) ৩
  2. খ
    খ) ৪
  3. গ
    গ) ৫
  4. ঘ
    ঘ) ৬
ব্যাখ্যা

প্রদত্ত শর্তমতে,
১১ + ১৩ + ক = ১৩ + ০ + ১৭
বা, ক = ৩০ - ২৪
বা, ক = ৬

২৫৯.
চার জন মহিলা ও ছয় জন পুরুষের মধ্যে চার সদস্যের একটি কমিটি কত প্রকারে গঠন করা যাবে, যেখানে একজন নিদিষ্ট পুরুষ সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) 34
  2. খ
    খ) 56
  3. গ
    গ) 90
  4. ঘ
    ঘ) 84
ব্যাখ্যা


নিচের উপায়ে কমিটি গঠন করা যায়
4C3 × (6-1)C(1-1) = 4
4C2 × (6-1)C(2-1) = 30
4C1 × (6-1)C(3-1) = 40
4C0 × (6-1)C(4-1) = 10
∴ মোট কমিটি গঠন করা যায় (4 + 30 + 40 + 10) = 84 উপায়ে

২৬০.
6 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    120 উপায়ে
  2. খ
    240 উপায়ে
  3. গ
    360 উপায়ে
  4. ঘ
    480 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
6 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (6 - 1)!
= 5!
= 120 উপায়ে
২৬১.
18 জন লোক প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে করমর্দনের সংখ্যা হবে কতটি?
  1. ক
    190
  2. খ
    171
  3. গ
    153
  4. ঘ
    136
ব্যাখ্যা

নির্ণয়ে করমর্দন সংখ্যা = 18C2
= 18! ÷ {(18-2)!×2!}
= (18×17×16!) ÷ (16!×2!)
= (18×17) ÷ 2
= 9×17
= 153

২৬২.
স্বরবর্ণগুলোর অবস্থার পরিবর্তন না করে 'PERMUTATION' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায়? 
  1. ক
    ৩৬০ উপায়ে
  2. খ
    ১১৪০ উপায়ে
  3. গ
    ৩২৫০ উপায়ে
  4. ঘ
    কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোর অবস্থার পরিবর্তন না করে 'PERMUTATION' শব্দটিকে কত প্রকারে সাজানো যায়? 

সমাধান:
'PERMUTATION' শব্দটিতে স্বরবর্ণ আছে = ৫ টি
'PERMUTATION' শব্দটিতে ব্যঞ্জনবর্ণ আছে = ৬ টি
৬ টি ব্যঞ্জনবর্ণের মধ্য T আছে ২টি

∴ স্বরবর্ণগুলোর অবস্থার পরিবর্তন না করে শব্দটিকে সাজানোর উপায় = ৬!/২!
= ৩৬০ উপায়ে
২৬৩.
ব্যাঞ্জনবর্ণগুলো কেবল বিজোড় স্থানে রেখে EQUATION শব্দটিকে কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 2556
  2. খ
    খ) 2578
  3. গ
    গ) 2880
  4. ঘ
    ঘ) 4562
ব্যাখ্যা

এখানে মোট বর্ণ 8 টি, ব্যাঞ্জনবর্ণ 3 টি এবং বিজোড় স্থান 4 টি ।
সুতরাং ব্যাঞ্জনবর্ণগুলো কেবল বিজোড় স্থানে রেখে EQUATIONS শব্দটিকে সাজানো যায়
= 4p3 × 5p5 = 24 × 120 = 2880

২৬৪.
6 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    120 উপায়ে
  2. খ
    160 উপায়ে
  3. গ
    140 উপায়ে
  4. ঘ
    180 উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 6 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
6 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (6 - 1)!
= 5!
= 120 উপায়ে

২৬৫.
ইফতার মাহফিল শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 78 হলে মাহফিলে লোকসংখ্যা কত?
  1. ক
    14
  2. খ
    13
  3. গ
    12
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ইফতার মাহফিল শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 78 হলে মাহফিলে লোকসংখ্যা কত?

সমাধান:
nc2 = 78
⇒ n(n - 1)/2 = 78  
⇒ n2 - n = 156
⇒ n2 - n - 156 = 0
⇒ n2 - 13n + 12n - 156 = 0
⇒ n(n - 13) + 12 (n - 13) = 0
⇒ (n - 13) (n + 12) = 0 

হয়, n - 13 = 0 অথবা, n + 12 = 0
∴ n = 13, - 12 [ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়]

∴ মাহফিলে লোকসংখ্যা = 13
২৬৬.
কোন একজন পরীক্ষার্থীকে 10 টি প্রশ্নের মধ্যে 7 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। কত প্রকারে সে প্রশ্নগুলির উত্তর করতে পারবে?
  1. ক
    120
  2. খ
    240
  3. গ
    180
  4. ঘ
    320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোন একজন পরীক্ষার্থীকে 10 টি প্রশ্নের মধ্যে 7 টি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে। কত প্রকারে সে প্রশ্নগুলির উত্তর করতে পারবে?

সমাধান: 
10 টি প্রশ্ন থেকে 7টি প্রশ্ন দেওয়ার মোট উপায় হলো = 10C7
 = 10!/{(10 - 7)! × 7!}
= 10!/(7! × 3!)
= (10 × 9 × 8 × 7!)/(7! × 6)
= 120

∴ 120 টি উপায়ে সে প্রশ্নগুলির উত্তর দিতে পারবে।
২৬৭.
  1. ক
    231
  2. খ
    120
  3. গ
    144
  4. ঘ
    525
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:

২৬৮.
PUBLIC শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    ৩৬
  2. খ
    ১২০
  3. গ
    ২৪০
  4. ঘ
    ৭২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: PUBLIC শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?

সমাধান:
PUBLIC শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে ৬টি। এবং সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।
∴ PUBLIC শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = ৬! = ৭২০
২৬৯.
একটি টুর্নামেন্টে ২০টি দল অংশগ্রহণ করেছে, প্রত্যেক দল প্রত্যেক দলের সাথে ২টি করে খেলা খেললে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?
  1. ক
    ৩৮০টি
  2. খ
    ৪০০টি
  3. গ
    ৪০টি
  4. ঘ
    ১৯০টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি টুর্নামেন্টে ২০টি দল অংশগ্রহণ করেছে, প্রত্যেক দল প্রত্যেক দলের সাথে ২টি করে খেলা খেললে মোট কতটি খেলা পরিচালনা করতে হবে?

সমাধান:
২০টি দল অংশগ্রহণ করে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সংখ্যা ১টি করে খেলা খেললে মোট খেলা হবে ২০C২ = ১৯০টি।
∴ প্রত্যেক দল প্রত্যেক দলের সাথে ২টি করে খেলা খেললে মোট খেলা হবে = ২ × ১৯০ = ৩৮০টি
২৭০.
7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?
  1. ক
    120
  2. খ
    360
  3. গ
    720
  4. ঘ
    5040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জনের একটি গোল টেবিল বৈঠকে সদস্যগণ কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (n - 1)!
7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720
২৭১.
(n + 3)! = 90 × (n + 1)! হলে n এর মান কত?
  1. ক
    6
  2. খ
    7
  3. গ
    8
  4. ঘ
    9
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (n + 3)! = 90 × (n + 1)! হলে n এর মান কত? 

সমাধান: 
(n + 3)! = 90 × (n + 1)!
⇒ (n + 3)(n + 2) × (n + 1)! = 90 × (n + 1)!
⇒ n2 + 5n + 6 = 90
⇒ n2 + 5n - 84 = 0
⇒ n2 + 12n - 7n - 84 = 0
⇒ n( n + 12) - 7(n + 12) = 0
⇒ (n - 7)(n + 12) = 0
হয় n - 7 = 0     অথবা n + 12 = 0
∴   n = 7                     n = - 12
২৭২.
"COMPUTER" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    4250
  2. খ
    4530
  3. গ
    3454
  4. ঘ
    4320
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "COMPUTER" শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
"COMPUTER" শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8টি
যার মধ্যে Vowel আছে = O, U, E = 3টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 6টি
∴ 6টি বর্ণকে সাজানো যায় = 6!
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3!

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 6! × 3!
= 720 × 6
= 4320
২৭৩.
এক ব্যক্তির 5 জন বন্ধু আছে। সে কত প্রকারে এক বা একাধিক বন্ধুকে নিমন্ত্রণ করতে পারে?
  1. ক
    ক) 63
  2. খ
    খ) 64
  3. গ
    গ) 32
  4. ঘ
    ঘ) 31
ব্যাখ্যা

5 জন বন্ধুর মধ্য থেকে সমাবেশ গঠন করতে প্রত্যেক বন্ধুর জন্য দুইভাবে ব্যবস্থা করা যাবে- তাকে নিমন্ত্রণ করা অথবা বাদ দেওয়া।
যেহেতু প্রতি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থার সাথে অবশিষ্ট প্রতিটি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থা সংযোগ করা যায়।
অতএব 5 জন বন্ধুকে মোট 2×2×2×2×2 = 25 উপায়ে ব্যবস্থা করা যাবে।

কিন্তু এর মধ্যে একটি সমাবেশে সব বন্ধুই বাদ পড়ে গেছে যা গ্রহণযোগ্য নয়।

সুতরাং নির্ণেয় নিমন্ত্রণের সংখ্যা = 25 - 1
= 32 - 1
= 31

২৭৪.
7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    620
  2. খ
    720
  3. গ
    1120
  4. ঘ
    5040
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান: 
7 জন ব্যক্তিকে 1 টি গোলটেবিলের চারপাশে সাজানো যাবে (n - 1)! উপায়ে।
= (7 - 1)! 
= 6!
= 720
২৭৫.
'ACADEMIC' শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা কত?
  1. ক
    10020 উপায়ে
  2. খ
    10040 উপায়ে
  3. গ
    10080 উপায়ে
  4. ঘ
    10060 উপায়ে
ব্যাখ্যা
'ACADEMIC' শব্দটিতে বর্ণ আছে 8টি Academic
A = 2 টি
C=2টি

∴ সাজানো যাবে =8!/(2!2!)
                         =10080 উপায়ে
২৭৬.
একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 5টি করে মোট দশটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 4টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 6টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?
  1. ক
    25
  2. খ
    200
  3. গ
    1000
  4. ঘ
    80
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 5টি করে মোট দশটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 4টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 6টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
6টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) ক বিভাগ হতে 2টি খ বিভাগ হতে 4টি
(ii) ক বিভাগ হতে 3টি খ বিভাগ হতে 3টি
(iii) ক বিভাগ হতে 4টি খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করবে।

(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 5C2 × 5C4
= 10 × 5 = 50

(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 5C3 × 5C3
= 10 × 10 = 100

(iii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 5C4 × 5C2
= 5 × 10 = 50

∴ বাছাই করার মোট উপায় = 50 + 100 + 50 = 200
২৭৭.
JOEBIDEN শব্দের বর্ণগুলোর সবগুলো একত্রে নিয়ে কত উপায়ে সাজানো যায়, যেন ১ম ও শেষ অক্ষর E থাকে?
  1. ক
    ক) 20,160
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 40320
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
শব্দটিতে মোট 8টি বর্ণ আছে, যাদের মধ্যে ২টি E।
১ম এবং শেষ E নির্দিষ্ট রেখে অবশিষ্ট বর্ণগুলো সাজানো যায় 6! = 720 উপায়ে
২৭৮.
ইংরেজি প্রশ্নপত্রে দুইটি গ্রুপের প্রতিটি গ্ৰুপে 5টি করে প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে 6টি করে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে কিন্তু কোনো গ্ৰুপ থেকে 4টির বেশি উত্তর দিতে পারবে না। পরীক্ষার্থী কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে? 
  1. ক
    ক) 180
  2. খ
    খ) 160
  3. গ
    গ) 200
  4. ঘ
    ঘ) 220
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ইংরেজি প্রশ্নপত্রে দুইটি গ্রুপের প্রতিটি গ্ৰুপে 5টি করে প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থীকে 6টি করে প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে কিন্তু কোনো গ্ৰুপ থেকে 4টির বেশি উত্তর দিতে পারবে না। পরীক্ষার্থী কত প্রকারে প্রশ্নগুলো বাছাই করতে পারবে? 


সমাধান: 
                   গ্ৰুপ(১)- ৫                গ্ৰুপ(২)- ৫  
1)                  4                              2
2)                   3                             3
3)                   2                             4 

১) নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = 5C4 × 5C2 = 5 × 10 = 50 
২)নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় = 5C3 × 5C3 = 10 × 10 =100 
৩)নং ক্ষেত্রে প্রশ্ন বাছাইয়ের উপায় =  5C2 × 5C4 = 10 × 5 =50


প্রশ্ন বাছাইয়ের মোট উপায় = 50 + 100  + 50 = 200
২৭৯.
'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে? 
  1. ক
    180
  2. খ
    360
  3. গ
    720
  4. ঘ
    কোনোটিই নয়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'ALGEBRA' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে? 

সমাধান: 
'ALGEBRA' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 7 টি
Vowel আছে = 3 টি
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ = 5 টি
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5! 
Vowel তিনটিকে সাজানো যায় = 3!/2! = 3 [ A আছে 2টি] 

∴ স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3 
= 120 × 3 
= 360 । 
২৮০.
10 টি কলম থেকে 4 টি কলম কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি কলম সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) 20
  2. খ
    খ) 28
  3. গ
    গ) 49
  4. ঘ
    ঘ) 60
ব্যাখ্যা
প্রশ্নঃ 10 টি কলম থেকে 4 টি কলম কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 2 টি কলম সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধানঃ
10 টি কলম থেকে 4 টি কলম বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি কলম সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে তা হচ্ছে = 8C2 = 28
২৮১.
10 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 4 জন বালক ও 5 জন বালিকা মোট কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?
  1. ক
    11760 উপায়ে
  2. খ
    100000 উপায়ে
  3. গ
    266 উপায়ে
  4. ঘ
    80 উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 জন বালক ও 8 জন বালিকা থেকে 4 জন বালক ও 5 জন বালিকা মোট কত উপায়ে বেছে নেয়া যায়?

সমাধান:
10 জন বালক হতে প্রতিবার 4 জন বালক বেছে নেয়া যায় = 10C4 উপায়ে
= 210 উপায়ে

আবার,
8 জন বালিকা হতে প্রতিবার 5 জন বালিকা বেছে নেয়া যায় = 8C5 উপায়ে
= 56 উপায়ে

∴ মোট বেছে নেয়া যায় = (210 × 56) উপায়ে
= 11760 উপায়ে
২৮২.
CUMILLA শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা NOAKHALI শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    8 গুণ
  2. খ
    1/6 গুণ
  3. গ
    21 গুণ
  4. ঘ
    1/8 গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: CUMILLA শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা NOAKHALI শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
এখানে,
CUMILLA শব্দটিতে বর্ণ আছে 7 টি যাদের মধ্যে 2টি L রয়েছে।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1)/(2 × 1)
= 5040/2
= 2520

এবং
NOAKHALI শব্দটিতে বর্ণ আছে 8 টি যাদের মধ্যে 2টি A রয়েছে।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8!/2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1)/(2 × 1)
= 40320/2
= 20160

∴ CUMILLA শব্দটির বিন্যাস, NOAKHALI শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 2520 ÷ 20160
= 1/8 গুণ

২৮৩.
৮ জন খেলোয়াড়কে দুইটি দলে কত ভাবে বিভক্ত করা যায় যেন প্রত্যেক দলে সমান সংখ্যক সদস্য থাকে?
  1. ক
    ক) ২০
  2. খ
    খ) ৩০
  3. গ
    গ) ৩৫
  4. ঘ
    ঘ) ৭০
ব্যাখ্যা

প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ৮C৪ = (৮)!/(৪!(৮-৪)!) = (৮)!/(৪!×৪!) = ৭০ সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫

২৮৪.
17 টি বইয়ের মধ্যে 7 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি বই সর্বদা বাদ থাকে?
  1. ক
    3432
  2. খ
    5325
  3. গ
    2890
  4. ঘ
    4262
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 17 টি বইয়ের মধ্যে 7 টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায়, যাতে নির্দিষ্ট তিনটি বই সর্বদা বাদ থাকে?

সমাধান:
নির্দিষ্ট তিনটি ফল সর্বদা বাদ থাকে, অতএব (17 - 3) বা 14 টি থেকে 7 টি বাছাই করতে হবে।

∴ বাছাই করার উপায় = 14C7
= 14!/(7! × 7!)
= (14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9 × 8)/(7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 3432
২৮৫.
P থেকে Q যেতে 3 টি পৃথক পথ আছে এবং Q থেকে R এ যেতে 4 টি পৃথক পথ আছে। এক ব্যক্তি কত প্রকারে P থেকে Q হয়ে R এ যেতে পারবে?
  1. ক
    1 প্রকারে
  2. খ
    7 প্রকারে
  3. গ
    12 প্রকারে
  4. ঘ
    2 প্রকারে
ব্যাখ্যা

P থেকে Q যেতে 3 টি পৃথক পথ আছে।
Q থেকে R এ যেতে 4 টি পৃথক পথ আছে।
ঐ ব্যক্তি P থেকে Q হয়ে R এ যেতে পারবে গণনার গুণন বিধি অনুযায়ী
= 3 × 4 প্রকারে
= 12 প্রকারে 
২৮৬.
6 জন বালক এবং 5 জন বালিকার একটি দল থেকে কত উপায়ে 3 জন বালক এবং  2 জন বালিকার একটি দল গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    200
  2. খ
    196
  3. গ
    50
  4. ঘ
    250
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 জন বালক এবং 5 জন বালিকার একটি দল থেকে কত উপায়ে 3 জন বালক এবং  2 জন বালিকার একটি দল গঠন করা যেতে পারে?

সমাধান:
দল গঠন করার উপায় = 6C3 × 5C2
= {(6 × 5 × 4)/6} × ((5 × 4)/2}
= 20 × 10
= 200
২৮৭.
HUMAN শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ২৫ উপায়
  2. খ
    ১০০ উপায়
  3. গ
    ১২০ উপায়
  4. ঘ
    ৫৫ উপায়
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: HUMAN শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
HUMAN শব্দটিতে ৫টি অক্ষর রয়েছে এবং সবগুলো অক্ষর ভিন্ন।
∴ মোট সাজানোর উপায় ৫P৫ = ৫! = ১২০
২৮৮.
6 জন অভিজ্ঞ বোলারসহ 14 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের কতগুলি দল গঠন করা যেতে পারে যেন প্রত্যেক দলে কমপক্ষে 5 জন অভিজ্ঞ বোলার থাকে? 
  1. ক
    228
  2. খ
    226
  3. গ
    224
  4. ঘ
    222
ব্যাখ্যা
অভিজ্ঞ বোলার = 6 জন
অন্যান্য খেলোয়াড় = 8 জন 

6 জন অভিজ্ঞ বোলার থেকে 5 জন এবং 8 জন অন্যান্য খেলোয়াড় থেকে 6 নিয়ে দল গঠনের উপায় = 6C5 × 8C6 
                                                                                                                                                          = 168

6 জন অভিজ্ঞ বোলার থেকে 6 জন এবং 8 জন অন্যান্য খেলোয়াড় থেকে 5 নিয়ে দল গঠনের উপায় = 6C6 × 8C5
                                                                                                                                                          = 56

দল গঠনের মোট উপায় = 168 + 56 = 224
২৮৯.
'FOOTBALL' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে F এবং শেষে T থাকবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 180
  3. গ
    গ) 240
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'FOOTBALL' শব্দটির অক্ষরগুলো কতপ্রকারে সাজানো যাবে যেখানে প্রথমে F এবং শেষে T থাকবে?

সমাধান: 
'FOOTBALL' শব্দটিতে বর্ণ আছে ৮টি। 
L = 2 টি
O = 2টি

প্রথমে F এবং শেষে T থাকবে

∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!) = 180 উপায়ে
২৯০.
একটি ক্লাসের শেষে 12 জন শিক্ষার্থী একে অপরের সাথে হ্যান্ডশেক করে বিদায় নিল। সবাই যদি প্রত্যেকের সাথে একবার করে হ্যান্ডশেক করে, তাহলে মোট কতটি হ্যান্ডশেক হবে?
  1. ক
    56
  2. খ
    92
  3. গ
    74
  4. ঘ
    66
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসের শেষে 12 জন শিক্ষার্থী একে অপরের সাথে হ্যান্ডশেক করে বিদায় নিল। সবাই যদি প্রত্যেকের সাথে একবার করে হ্যান্ডশেক করে, তাহলে মোট কতটি হ্যান্ডশেক হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকের সংখ্যা = 12
∴ হ্যান্ডশেকের সংখ্যা = 12C2
= 12!/{2!(12 - 2)!}
= 12!/(2! × 10!)
= (12 · 11 · 10!)/(2 × 1 × 10!)
= 66
২৯১.
18 বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?
  1. ক
    121
  2. খ
    135
  3. গ
    163
  4. ঘ
    190
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র:
কর্ণের সংখ্যা = nC2 - n

এখানে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n = 18

∴ কর্ণের সংখ্যা = 18C2 - 18
= {18!/2! × (18 - 2)!} - 18
= {18!/(2! × 16!)} - 18
= {(18 × 17 × 16!)/(2 × 1 × 16!)} - 18
= {(18 × 17)/2} − 18
= 153 - 18
= 135

২৯২.
COURAGE শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?
  1. ক
    ক) 72
  2. খ
    খ) 2160
  3. গ
    গ) 2520
  4. ঘ
    ঘ) 5040
ব্যাখ্যা

COURAGE - শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 3p1 = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160

২৯৩.
BRAVE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা BOX শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?
  1. ক
    ১২ গুণ
  2. খ
    ১৬ গুণ
  3. গ
    ২০ গুণ
  4. ঘ
    ২৪ গুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: BRAVE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা BOX শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
BRAVE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 5!
BOX শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 3!

এখন, 5!/3! = (5 × 4 × 3!)/3!
= 20

∴ BRAVE শব্দের বিন্যাস সংখ্যা BOX শব্দের বিন্যাস সংখ্যার ২০ গুণ।
২৯৪.
LEADER শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    72
  2. খ
    144
  3. গ
    360
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: LEADER শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
২৯৫.
যদি TIME শব্দটির অক্ষর গুলিকে আবার সাজানো হয় তবে কত গুলো বিন্যাস স্বরবর্ণ দ্বারা শুরু হবে?
  1. ক
    ক) 12
  2. খ
    খ) 10
  3. গ
    গ) 24
  4. ঘ
    ঘ) 16
ব্যাখ্যা

TIME শব্দটিতে মোট অক্ষর = 4 টি, স্বরবর্ণ = 2 টি
∴ I দ্বারা শুরু করলে বিন্যাস = 3p3 = 6 
E দ্বারা শুরু করলে বিন্যাস = 3p3 = 6
∴ বিন্যাস = 6+6 = 12

২৯৬.
যদি 3 × nP2 = 2 × (n + 1)P2, n এর মান কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    5
  3. গ
    3
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি 3 × nP2 = 2 × (n + 1)P2, n এর মান কত?

সমাধান:
3 × nP2 = 2 × (n + 1)P2
3 × n × (n - 1) = 2 × (n + 1) × n
3(n - 1) = 2(n + 1)
3n - 3 = 2n + 2
3n - 2n = 2 + 3
∴ n = 5
২৯৭.
'ARCHIVED' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যায়? 
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 240
  3. গ
    গ) 360
  4. ঘ
    ঘ) 336
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন : 'ARCHIVED' শব্দটি হতে প্রতিবারে তিনটি করে বর্ণ নিয়ে কতপ্রকারে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'ARCHIVED' শব্দটিতে ৮টি বর্ণ। 
প্রতিবারে 3টি করে বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8P3 = 336
২৯৮.
১২ জন বালকের সাহায্যে মোট কত রকম ভাবে বাস্কেটবল টিম বানানো যাবে?
  1. ক
    ৮৬৪ টি
  2. খ
    ৪৭২ টি
  3. গ
    ৭৯২ টি
  4. ঘ
    ১৯২ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২ জন বালকের সাহায্যে মোট কত রকম ভাবে বাস্কেটবল টিম বানানো যাবে?

সমাধান:
বাস্কেটবল টিমে খেলোয়ার থাকে ৫ জন।

১২ জন থেকে ৫ জনের টিম সাজানো যাবে = 
১২C৫
= ১২!/৫!(১২ - ৫)!
= (১২ × ১১ × ১০ × ৯ × ৮ × ৭!)/(৫ × ৪ × ৩ × ২) × ৭!
= ৭৯২ টি
২৯৯.
পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর যেতে ৪ টি পৃথক পথ আছে এবং কালিয়াপুর থেকে রাজগঞ্জ যেতে ৫ টি পৃথক পথ আছে। সামি কত প্রকারে পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে?
  1. ক
    ১৬ উপায়ে
  2. খ
    ২০ উপায়ে
  3. গ
    ৪০ উপায়ে
  4. ঘ
    ৬০ উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর যেতে ৪ টি পৃথক পথ আছে এবং কালিয়াপুর থেকে রাজগঞ্জ যেতে ৫ টি পৃথক পথ আছে। সামি কত প্রকারে পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে?

সমাধান:
সামি পাহাড়পুর থেকে কালিয়াপুর হয়ে রাজগঞ্জ যেতে পারবে = ৪ × ৫ উপায়ে
= ২০ উপায়ে
৩০০.
12 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?
  1. ক
    84
  2. খ
    56
  3. গ
    72
  4. ঘ
    98
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই কতভাবে বাছাই করা যাবে যেখানে 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু 3 টি বই সর্বদা বাছাই এর বাইরে থাকবে তাই মোট সংখ্যা হবে = (12 - 3) = 9 টি

এখন,
9 টি বইয়ের মধ্য থেকে 6 টি বই বাছাই করার উপায় সংখ্যা,
= 9C6 
= 9!/{6! × (9 - 6)!}
= 9!/(6! × 3!)
= (9 × 8 × 7 × 6!)/(6! × 3!)
= (9 × 8 × 7)/(3 × 2)
= 84

সুতরাং, 84 টি উপায়ে বই বাছাই করা যাবে।