লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

বিন্যাস ও সমাবেশ

মোট প্রশ্ন১,৭৫০এই পাতা১০০প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

বিন্যাস ও সমাবেশ

PrepBank · পাতা ১৭ / ১৮ · ১,৬০১–১,৭০০ / ১,৭৫০

১,৬০১.
5 জন ব্যক্তি হতে 3 সদ্যসের একটি কমিটি কত উপায়ে গঠন করা যায় যাতে একজন নির্দিষ্ট ব্যক্তি সবসময় উক্ত কমিটিতে থাকে?
  1. ক
    ক) 5
  2. খ
    খ) 7
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 8
ব্যাখ্যা

প্রশ্নের শর্তানুসারে কমিটি গঠনের উপায় = (5 - 1)c(3 - 1)
= 4c2
= 6

১,৬০২.
5 জন ছাত্র ও 7 জন ছাত্রীর মধ্যে থেকে 6 সদস্য বিশিষ্ট একটি দল গঠন করতে হবে যাতে 2 জন নির্দিষ্ট ছাত্রী সর্বদাই উপস্থিত থাকে। কত প্রকারে ঐ দল গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    210
  2. খ
    84
  3. গ
    100
  4. ঘ
    240
ব্যাখ্যা
মোট ছাত্র-ছাত্রী = 5 + 7 = 12 জন
দল গঠন করতে হবে যা 6 জন সদস্য বিশিষ্ট
2 জন নির্দিষ্ট ছাত্রী সর্বদাই উপস্থিত থাকে। 
সুতরাং দল গঠনের উপায়
= 12 - 2C6 - 2
= 10C4
= (7 × 8 × 9 × 10) / (2 × 3 × 4)
= 210
১,৬০৩.
7টি পুরস্কার 5 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 
  1. ক
    12
  2. খ
    35
  3. গ
    75
  4. ঘ
    57
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7টি পুরস্কার 5 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 

সমাধান:
বালকের সংখ্যা n = 5 জন
পুরস্কার r = 7টি 


পুরস্কার বিতরণ করা যেতে পারে = nr
= 57
১,৬০৪.
EXTRA শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যাবে যেন কোনো স্বরবর্ণ একত্রে না থাকে?
  1. ক
    120
  2. খ
    96
  3. গ
    72
  4. ঘ
    48
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: EXTRA শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যাবে যেন কোনো স্বরবর্ণ একত্রে না থাকে?

সমাধান:
মোট বর্ণ = 5টি
স্বরবর্ণ = 2টি

আমাদেরকে এমন ভাবে সাজাতে হবে যেন EA একত্রে না বসে। (XETAR, একটি উদাহরণ)

5টি বর্ণের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস,  5! = 120
2টি স্বরবর্ণকে একত্রে 3টি ব্যাঞ্জনবর্ণের বিন্যাস 4! = 24
2টি স্বরবর্ণের নিজেদের মধ্যে বিন্যাস, 2! = 2

তাহলে বিন্যাসিত অক্ষর = 24 × 2 = 48
স্বরবর্ণ একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 120 - 48 = 72

∴ স্বরবর্ণ একত্রে না রেখে বিন্যাস সংখ্যা 72 

১,৬০৫.
৬ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে নিয়ে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৭৫
  2. খ
    ৪৫
  3. গ
    ৯০
  4. ঘ
    ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে নিয়ে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ১ম দল ৬C২ = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।

২য় দল, বাকী (৬ - ২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ৪C২ = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।

৩য় দল, অবশিষ্ট (৪ - ২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২ জন করে ২C২ = ১ উপায়ে গঠন করা যায়।

∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫ × ৬ × ১ = ৯০
১,৬০৬.
'JUPITER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    360
  2. খ
    540
  3. গ
    720
  4. ঘ
    180
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'JUPITER' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান: 
'JUPITER'  শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
=120 × 6 
= 720
১,৬০৭.
১২টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে কত উপায়ে?
  1. ক
    ১২!/২
  2. খ
    ১১!/২
  3. গ
    ১২!
  4. ঘ
    ৬!/২
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে কত উপায়ে?

সমাধান:
১২টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরি করা যাবে (১২ - ১)!/২ উপায়ে = ১১!/২ উপায়ে
১,৬০৮.
4 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    16 টি উপায়ে
  2. খ
    144 টি উপায়ে
  3. গ
    64 টি উপায়ে
  4. ঘ
    256 টি উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা n = 4 টি
চিঠির সংখ্যা r = 4 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = nr
 = 44
 = 256 টি উপায়ে

১,৬০৯.
'PICTURE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?
  1. ক
    ক) 360
  2. খ
    খ) 480
  3. গ
    গ) 840
  4. ঘ
    ঘ) 720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'PICTURE' শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান: 
'PICTURE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7টি 
Vowel আছে 3টি 
Vowel তিনটিকে একটি ধরে মোট বর্ণ 5টি 
5টি বর্ণকে সাজানো যায় = 5!
Vowel  তিনটিকে সাজানো যায় =3!

স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে মোট সাজানো যাবে = 5! × 3! 
                                                                           =120 × 6 
                                                                            = 720
১,৬১০.
একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। সদস্যের সংখ্যা 16 হলে, করমর্দনের সংখ্যা কত?
  1. ক
    112
  2. খ
    244
  3. গ
    120
  4. ঘ
    160
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। সদস্যের সংখ্যা 16 হলে, করমর্দনের সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
লোকজনের সংখ্যা, n = 16

∴ করমর্দনের = nC2 = 16C2
= 16!/{2!(16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= 120

১,৬১১.
13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? 
  1. ক
    84
  2. খ
    196
  3. গ
    172
  4. ঘ
    462
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? 
 
সমাধান: 
13 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 7 টি বাছাই করা যায় =  (13 - 2)C(7 - 2) 
= 11C5 
= 462  ।
১,৬১২.
3, 4, 5, 3, 4, 5, 6 অংকগুলোর বিজোড় অংকগুলো সর্বদাই বিজোড় স্থানে রেখে সাত অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 9
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6 অংকগুলোর বিজোড় অংকগুলো সর্বদাই বিজোড় স্থানে রেখে সাত অঙ্কের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যায়?

সমাধান:
4টি বিজোড় অংকের মধ্যে 2টি 3 ও 2টি 5 আছে।
4টি বিজোড় স্থানে 4টি বিজোড় অংক দ্বারা সাজানো যায় = 4!/(2! 2!) = 6

3টি জোড় স্থানে 2টি জোড় অংক দ্বারা সাজানো যায় = 3!/2! = 3

∴ মোট গঠিত সংখ্যা = 6 × 3 = 18
১,৬১৩.
15 সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    180
  2. খ
    240
  3. গ
    280
  4. ঘ
    210
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 15 সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল হতে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
15 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 15C1 = 15 উপায়ে
14 জন থেকে 1 জন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = 14C1 = 14 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = (15 × 14)
= 210
১,৬১৪.
14 জন খেলোয়াড়ের মধ্যে থেকে নির্দিষ্ট একজন অধিনায়কসহ 11 জনের একটি ক্রিকেট দল কতভাবে বাছাই করা যাবে?
  1. ক
    ক) 728
  2. খ
    খ) 286
  3. গ
    গ) 364
  4. ঘ
    ঘ) 1001
ব্যাখ্যা
সর্বদা একজনকে নির্দিষ্ট রেখে 11 জনের দল বাছাই করার উপায়,
= 14-1c11-1
= 13c10
= 286.
১,৬১৫.
'Parallel' শব্দটির স্বরবর্ণগুলিকে পৃথক না রেখে অক্ষরগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন।
  1. ক
    360
  2. খ
    720
  3. গ
    3360
  4. ঘ
    120
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'Parallel' শব্দটির স্বরবর্ণগুলিকে পৃথক না রেখে অক্ষরগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন।

সমাধান:
'Parallel' শব্দটিতে 3টি স্বরবর্ণ রয়েছে।
স্বরবর্ণ গুলোকে একটি বর্ণ ধরে বর্ণগুলো দাঁড়ায় (aae), P, r, l, l, l অর্থাৎ 3টি l সহ মোট 6টি বর্ণ
∴ স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে মোট 6টি বর্ণকে সাজানোর উপায় = 6!/3! = 120

কিন্তু 3টি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 3!/2! = 3 [কারণ a আছে 2টি]

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 120 × 3
= 360 
১,৬১৬.
১২টি বই থেকে ৫টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ১৮৮
  2. খ
    ১৪২
  3. গ
    ১৪০
  4. ঘ
    ১২০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১২টি বই থেকে ৫টি বই কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে ২টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
২টি বই সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকলে (১২ - ২) বাকী ১০টি বই থেকে (৫ - ২) ৩টি বই বাছাই করতে হবে।
∴ বাছাই করার উপায় = ১০C৩
= ১২০ উপায়ে
১,৬১৭.
5C4 + 5C3 + 6C3 = কত?
  1. ক
    45
  2. খ
    35
  3. গ
    55
  4. ঘ
    65
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5C4 + 5C3 + 6C3 = কত?

সমাধান:
5C4 + 5C3 + 6C3
= 6C4 + 6C3  [যেহেতু nCr + nCr - 1 = n + 1Cr]
= 7C4
= 35
১,৬১৮.
'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?
  1. ক
    1260
  2. খ
    2160
  3. গ
    2880
  4. ঘ
    2430
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COURAGE' শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস সংখ্যা নির্ণয় করা যায়, যেন প্রত্যেক বিন্যাসের প্রথমে একটি ব্যঞ্জনবর্ণ থাকে?

সমাধান: 
COURAGE - শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = 3P1 = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160
১,৬১৯.
6 জন বিজ্ঞান ও 4 জন কলা বিভাগের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে বিজ্ঞানের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে? 
  1. ক
    ক) 115
  2. খ
    খ) 230
  3. গ
    গ) 105
  4. ঘ
    ঘ) 210
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 জন বিজ্ঞান ও 4 জন কলা বিভাগের ছাত্র থেকে 6 জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে বিজ্ঞানের ছাত্রদের সংখ্যাগরিষ্ঠতা থাকে। কত প্রকারে কমিটি গঠন করা যাবে? 

সমাধান:
বিজ্ঞান (6)        কলা বিভাগ(4)
1) 6  __________  0 
2) 5 __________  1 
3) 4  __________ 2 

1) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C6 × 4C0
= 1 × 1 = 1
2) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C5 × 4C1
= 6 × 4 = 24 
3) নং এর ক্ষেত্রে নির্বাচনের মোট উপায় = 6C4 × 4C2 
= 15 × 6
 = 90 

কমিটি গঠনের মোট উপায় = 1 + 24 + 90 = 115
১,৬২০.
ভারত ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৬ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ২৪০ উপায়ে
  2. খ
    ২৭২ উপায়ে
  3. গ
    ৩২০ উপায়ে
  4. ঘ
    ২১০ উপায়ে
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ভারত ফুটবল দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৬ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
১৬ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৬C১ = ১৬ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৬ - ১) = ১৫ জন

১৫ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫C১ = ১৫ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৬ × ১৫ = ২৪০ উপায়ে

১,৬২১.
'PROBABILITY' শব্দটিকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    11! উপায়ে
  2. খ
    11!/2 উপায়ে
  3. গ
    11!/4 উপায়ে
  4. ঘ
    11!/4! উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'PROBABILITY' শব্দটিকে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
PROBABILITY শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ১১টি
B আছে ২ বার 
I আছে ২ বার

∴ সাজানো যায় = ১১!/(২! × ২!)
= ১১!/৪
১,৬২২.
8 টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরী করা যাবে কত উপায়ে?
  1. ক
    ক) 2520
  2. খ
    খ) 5040
  3. গ
    গ) 5039
  4. ঘ
    ঘ) 2519
ব্যাখ্যা
8 টি মুক্তা দিয়ে মালা তৈরী করা যাবে = (8 - 1)!/2 = 2520 উপায়ে।
১,৬২৩.
12 টি পুস্তক থেকে 5 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 1 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 192
  3. গ
    গ) 260
  4. ঘ
    ঘ) 330
ব্যাখ্যা

12 টি পুস্তক হতে সর্বদা 1 টি অন্তর্ভুক্ত রেখে 5 টি বাছাই করা যায় - 11C4= 330

১,৬২৪.
6 জন পুরুষ এবং 4 জন মহিলা থেকে ৫ জনের একটি কমিটি গঠন করা হবে। কমপক্ষে 2 জন মহিলাকে অন্তর্ভুক্ত করা হলে, কতগুলি উপায়ে কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) ১৮০
  2. খ
    খ) ১৮৬
  3. গ
    গ) ১৭৫
  4. ঘ
    ঘ) ১৮২
ব্যাখ্যা
When at least 2 women are included.
The committee may consist of 3 women, 2 men : It can be done in 4C3 × 6C2 ways
or, 4 women, 1 man : It can be done in 4C4 × 6C1 ways
or, 2 women, 3 men : It can be done in 4C2 × 6C3 ways.
Total number of ways of forming the committees
= 4C2 × 6C3 + 4C3 × 6C2 + 4C4 × 6C1
= 6 x 20 + 4 x 15 + 1 x 6
= 120 + 60 + 6
= 186
১,৬২৫.
JSC শব্দটির সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    ক) 2
  2. খ
    খ) 3
  3. গ
    গ) 6
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা
তিনটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন। নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
১,৬২৬.
চারটি বস্তুর মাঝে দুটি বস্তু একই রকম। বস্তুগুলো চারজন বালককে কত উপায়ে বিতরণ করা যাবে যেন প্রত্যেকে একটি করে বস্তু পায়? 
  1. ক
    ৮
  2. খ
    ১২
  3. গ
    ১৬
  4. ঘ
    ২৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: চারটি বস্তুর মাঝে দুটি বস্তু একই রকম। বস্তুগুলো চারজন বালককে কত উপায়ে বিতরণ করা যাবে যেন প্রত্যেকে একটি করে বস্তু পায়?

সমাধান:
ধরি,
বস্তুগুলি হলো A, A, B এবং C

বস্তু C চারটি বালককে 4 টি উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।
বস্তু B অবশিষ্ট 3 জন বালককে 3 টি উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।
এখন, দুটি A একইরকম এবং অবশিষ্ট দুটি বালককে 1 টি উপায়ে দেওয়া যেতে পারে।

∴ মোট উপায়ের সংখ্যা = 4 × 3 × 1 = 12
১,৬২৭.
12 বাহু বিশিষ্ট একটি সমতল ক্ষেত্রের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করে কয়টি কর্ণ পাওয়া যায়?
  1. ক
    ক) 54
  2. খ
    খ) 66
  3. গ
    গ) 78
  4. ঘ
    ঘ) 12
ব্যাখ্যা

দুটি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ থেকে একটি রেখা পাওয়া যায়।
∴ মোট রেখার সংখ্যা = 12c2 = 66
যাদের মধ্যে 12টি বহুভুজের বাহু
∴ কর্ণের সংখ্যা = 66 - 12 = 54

১,৬২৮.
GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?
  1. ক
    ১২০ উপায়ে
  2. খ
    ১১০ উপায়ে
  3. গ
    ৯০ উপায়ে
  4. ঘ
    ৮০ উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: GOLDEN শব্দের অক্ষর গুলোকে কত উপায়ে সাজানো যাবে যাতে G সবসময় প্রথম অক্ষর থাকে?

সমাধান: 
GOLDEN শব্দটিতে প্রথম অক্ষর G ছাড়া আর বর্ণ আছে ৫ টি এবং প্রত্যেকটি বর্ণই ভিন্ন ভিন্ন।
৫ টি ভিন্ন বর্ণকে সাজানোর উপায় = 5! 
= 120

অর্থাৎ মোট ১২০ উপায়ে সাজানো যাবে।
১,৬২৯.
একটি দশভুজের কয়টি কর্ণ থাকে?
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 35
  3. গ
    গ) 45
  4. ঘ
    ঘ) 48
ব্যাখ্যা

কৌণিক বিন্দুর সংখ্যা = 10
2টি বিন্দুর সমাবেশ থেকে 1টি রেখা উৎপন্ন হয়।
∴ মোট রেখার সংখ্যা = 10c2
= 45
এদের মধ্যে 10টি বহুভুজের বাহু।
∴ কর্ণের সংখ্যা = 45 - 10
= 35

১,৬৩০.
7 জন পুরুষ ও 5 জন মহিলার মধ্য হতে কতভাবে 5 সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ঠিক 3 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?
  1. ক
    150
  2. খ
    210
  3. গ
    350
  4. ঘ
    420
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 জন পুরুষ ও 5 জন মহিলার মধ্য হতে কতভাবে 5 সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ঠিক 3 জন পুরুষ ও 2 জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
7 জন পুরুষ থেকে 3 জন পুরুষ বাছাই করার উপায় = 7C3
= 7!/{3! × (7 - 3)!}
= (7 × 6 × 5)/(3 × 2 × 1)
= 35

5 জন মহিলা থেকে 2 জন মহিলা বাছাই করার উপায় = 5C2
= 5!/{2! × (5 - 2)!}
= (5 × 4)/(2 × 1)
= 10

∴ মোট কমিটি গঠনের উপায় = 35 × 10 = 350
সুতরাং, 350 ভাবে কমিটিটি গঠন করা যাবে।

১,৬৩১.
”SUCCESS” শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৫৫০
  2. খ
    ৪২০
  3. গ
    ৩৮০
  4. ঘ
    ৩৬৪
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ”SUCCESS” শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
এখানে,
“SUCCESS” শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি
যেখানে S আছে ৩টি, C আছে ২টি এবং বাকিগুলো ভিন্ন।

∴ মোট সাজানোর উপায় = ৭!/(৩! × ২!)
= ৪২০
১,৬৩২.
GEOMETRY শব্দের বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায় যেন প্রথমে ও শেষে E থাকে?
  1. ক
    ক) 40320
  2. খ
    খ) 720
  3. গ
    গ) 5040
  4. ঘ
    ঘ) 2520
ব্যাখ্যা
GEOMETRY শব্দে মোট ৪ টি অক্ষর আছে যাদের মধ্যে 2 টি E এবং বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
প্রথমে এবং শেষে E নির্দিষ্ট রাখলে অবশিষ্ট 6 টি বর্ণ সাজানো যায় 6! = 720 উপায়ে।
১,৬৩৩.
8টি বস্তুর একবারে দুইটি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে 2টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে না?
  1. ক
    ক) 54
  2. খ
    খ) 48
  3. গ
    গ) 56
  4. ঘ
    ঘ) 30
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 8টি বস্তুর একবারে দুইটি নিয়ে কতগুলি বিন্যাসের মধ্যে 2টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত থাকবে না?

সমাধান: 
৪টি বস্তুর মধ্যে 2টি বিশেষ বস্তু সর্বদা অন্তর্ভুক্ত না থাকলে অবশিষ্ট বস্তু থাকে (8-2) টি = 6টি

∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা 6P2 = 6!/4! = 30 
১,৬৩৪.
৯ জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?
  1. ক
    ৩২৩২০
  2. খ
    ৪১৩২০
  3. গ
    ৪০৩২২
  4. ঘ
    ৪০৩২০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯ জন বন্ধুকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যেতে পারে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানোর উপায় = (৯ - ১)!

∴ ৯ জন বন্ধুকে বসানোর উপায় = (৯ - ১)!
= ৮!
= ৪০৩২০

১,৬৩৫.
5 জন ব্যক্তিকে ১ টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    ক) ১২
  2. খ
    খ) ২৪
  3. গ
    গ) ৩৬
  4. ঘ
    ঘ) ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 5 জন ব্যক্তিকে ১ টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে কতভাবে বসানো যাবে? 

সমাধান:
5 জন ব্যক্তি 1 টি গোলটেবিলের চতুর্দিকে বসতে পারে (5 - 1)! উপায়ে
= (5 - 1)!
= 4!
= 24 উপায়ে 
১,৬৩৬.
একটি কমিটির মিটিং শেষে প্রত্যেক সদস্য একে অপরের সাথে করমর্দন করে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 10 হয়, তবে মিটিং এ কতজন সদস্য উপস্থিত ছিল?
  1. ক
    7
  2. খ
    5
  3. গ
    6
  4. ঘ
    4
ব্যাখ্যা
nC2 = 10
n(n - 1)/2 =10
n2 - n = 20 
n2 - n - 20 = 0
n2 - 5n + 4n - 20 = 0
n(n - 5) + 4 (n - 5) = 0 
(n - 5) (n + 4) = 0 
হয়                    অথবা 
n - 5 = 0            n + 4 = 0   
n = 5                 n = - 4 [ যা গ্রহণ যোগ্য নয়]

১,৬৩৭.
EQUITY শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে?
  1. ক
    96
  2. খ
    120
  3. গ
    144
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: EQUITY শব্দের অক্ষরগুলো কতভাবে সাজানো যায় যেখানে স্বরবর্ণ গুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট অক্ষর 6 টি যাদের মধ্যে 3 টি (E, U, I) স্বরবর্ণ এবং বাকী 3 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ

স্বরবর্ণগুলোকে একটি বর্ণ ধরে সাজানোর উপায় 4! = 24
আবার স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 3! = 6 উপায়ে 

∴ সাজানোর মোট উপায় = 24 × 6
= 144
১,৬৩৮.
'FRIEND' শব্দের বর্ণগুলো কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    720
  2. খ
    360
  3. গ
    480
  4. ঘ
    520
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'FRIEND' শব্দের বর্ণগুলো কতভাবে সাজানো যায়?

সমাধান:
'FRIEND' শব্দে মোট 6টি অক্ষর রয়েছে।
এখানে সব অক্ষরই ভিন্ন (কোনো পুনরাবৃত্তি নেই)।

সুতরাং, বিন্যাসের সংখ্যা = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

অর্থাৎ, 'FRIEND' শব্দের অক্ষরগুলো 720 ভিন্নভাবে সাজানো যায়। 

১,৬৩৯.
MANGO শব্দের বিন্যাস HEAT শব্দের বিন্যাসের কতগুণ?
  1. ক
    ক) 3
  2. খ
    খ) 4
  3. গ
    গ) 5
  4. ঘ
    ঘ) 6
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: MANGO শব্দের বিন্যাস HEAT শব্দে্র বিন্যাসের কতগুণ?

সমাধান:
MANGO এর বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
HEAT এর বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24 

= 120/24
= 5 গুণ
১,৬৪০.
কালামের বাড়ি থেকে ডাকঘরে যাওয়ার পাঁচটি পথ আছে। সে কতভাবে বাড়ি থেকে ডাকঘরে গিয়ে আবার বাড়িতে ফিরে আসতে পারবে?
  1. ক
    ক) ৬
  2. খ
    খ) ১০
  3. গ
    গ) ২৫
  4. ঘ
    ঘ) ২০
ব্যাখ্যা
কালাম সাহেব ডাকঘরে যেতে আসতে পারেন (৫p১ × ৫p১) = ৫x৫ = ২৫ উপায়ে
১,৬৪১.
'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার -
  1. ক
    ক) অর্ধেক
  2. খ
    খ) দ্বিগুণ
  3. গ
    গ) তিনগুণ
  4. ঘ
    ঘ) চারগুণ
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন- 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।

সমাধান-
'RAJSHAHI' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 8 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি এবং H আছে  2 টি।
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8! / (2! × 2!) = 40320/4 = 10080

'BARISAL' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2 টি। 
সবগুলো বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7! / 2! = 5040/2 = 2520

এখন,
RAJSHAHI / BARISAL = 10080/2520
⇒ RAJSHAHI / BARISAL = 4
⇒ RAJSHAHI = 4 × BARISAL

অর্থাৎ 'RAJSHAHI' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা 'BARISAL' শব্দটির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার - চারগুণ।
১,৬৪২.
13টি পুস্তক থেকে 6টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?
  1. ক
    60
  2. খ
    240
  3. গ
    120
  4. ঘ
    360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13টি পুস্তক থেকে 6টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 3টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে?

সমাধান:
যেহেতু, 3টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে সেহেতু পুস্তক বাকি থাকে (13 - 3)বা 10টি এবং 6টি থেকে বাছাই করতে হবে (6 - 3) বা 3টি।
10টি পুস্তক থেকে 3টি পুস্তক বাছাই করার সংখ্যা = 10C3 = 120
১,৬৪৩.
৬ জন বালক ও ৪ জন বালিকা থেকে কত উপায়ে চারজন বাছাই করা যায় যেখানে কমপক্ষে ১ জন বালক থাকবে?
  1. ক
    ১৫৯
  2. খ
    ১৯৪
  3. গ
    ২০৫
  4. ঘ
    ২০৯
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬ জন বালক ও ৪ জন বালিকা থেকে কত উপায়ে চারজন বাছাই করা যায় যেখানে কমপক্ষে ১ জন বালক থাকবে?

সমাধান:
বালক     বালিকা
১            ৩
২            ২
৩            ১
৪            ০

মোট বাছাই করার উপায়
১,৬৪৪.
17 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 5 টি স্বরবর্ণ থেকে 3 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2 টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায় নির্ণয় করুন।
  1. ক
    34000
  2. খ
    120
  3. গ
    789000
  4. ঘ
    816000
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 17 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 5 টি স্বরবর্ণ থেকে 3 টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2 টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতগুলি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যায় নির্ণয় করুন।

সমাধান:
17 টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3 টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়, 17C3 এবং 5 টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে বাছাই করার উপায়, 5C2
∴ একত্রে বাছাই করার উপায়, 17C3 × 5C2

আবার, ঐ 5 টি অক্ষরকে তাদের নিজেদের মধ্যে 5P5 = 5! উপায়ে সাজানো যায়।

সুতরাং মোট শব্দ সংখ্যা=  17C3 × 5C2 × 5!
= 680 × 10 × 120
= 816000
১,৬৪৫.
প্রত্যেক অঙ্ককে কেবল একবার ব্যবহার করে 5, 6, 3, 2, 0 দ্বারা পাঁচ অঙ্ক বিশিষ্ট কতগুলি অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 30
  2. খ
    খ) 36
  3. গ
    গ) 18
  4. ঘ
    ঘ) 20
ব্যাখ্যা

এখানে, প্রতিটি বিজোড় সংখ্যার শেষ অঙ্ক নির্নেয় বিন্যাস সংখ্যা 3 বা 5 হবে।
শেষ অবস্থানে 3 নির্দিষ্ট রেখে বাকি চারটি অঙ্ক 4! = 24 উপায়ে সাজানো যায়।
আবার, ১ম স্থানে ০ রেখে প্রাপ্ত সংখ্যা ৫ অঙ্কের নয়। সুতরাং, ১ম অবস্থানে ০ এবং শেষ অবস্থানে ৩ রেখে বাকি তিনটি অঙ্ক = 3! = 6 উপায়ে সাজানো যায়।
শেষ অবস্থানে ৩ রেখে অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 24 – 6 = 18
অনুরূপভাবে, শেষ অবস্থানে ৫ রেখে অর্থপূর্ণ বিজোড় সংখ্যা = 24 – 6 = 18
নির্নেয় বিজোড় সংখ্যা = 18 + 18 = 36

১,৬৪৬.
একজন লোকের 5জন বন্ধু আছে। তিনি এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে প্রীতিভোজে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?
  1. ক
    ক) 31
  2. খ
    খ) 32
  3. গ
    গ) 33
  4. ঘ
    ঘ) 34
ব্যাখ্যা
1 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 5C1 উপায়ে করতে পারেন। 
2 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 5C2 উপায়ে করতে পারেন। 
3 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 5C3 উপায়ে করতে পারেন। 
4 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 5C4 উপায়ে করতে পারেন। 
5 জনকে নিমন্ত্রণ করতে চাইলে তিনি 5C5 উপায়ে করতে পারেন। 
 
মোট উপায় সংখ্যা = 5C1 + 5C2 +  5C3 +5C4+ 5C5
                             = 5 + 10 +10 +5 + 1
                              =31
১,৬৪৭.
'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 
  1. ক
    72
  2. খ
    144
  3. গ
    360
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'LEADER' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 

সমাধান: 
'LEADER' শব্দটির 6 টি অক্ষরের মধ্যে 'E' আছে 2 টি। 
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 6!/2! 
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1) 
= 360 

∴ 360 উপায়ে সাজানো যায়।
১,৬৪৮.
20 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভূজ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 4845
  2. খ
    খ) 4950
  3. গ
    গ) 4548
  4. ঘ
    ঘ) 4200
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 20 টি বিন্দু ‍দিয়ে কতগুলো চতুর্ভূজ গঠন করা যায়?

সমাধান:
চারটি বিন্দু দিয়ে গঠিত হয় চতুর্ভূজ।

∴ 20 টি বিন্দু ‍দিয়ে চতুর্ভূজ গঠন করা যায় = 20C4
= 4845
১,৬৪৯.
বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ২৯ উপায়ে
  2. খ
    ৩০ উপায়ে
  3. গ
    ২১০ উপায়ে
  4. ঘ
    ২২৫ উপায়ে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: বাংলাদেশ ক্রিকেট দলের অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক অবসর নেয়ায় নতুন করে অধিনায়ক এবং সহ-অধিনায়ক নির্বাচন করা প্রয়োজন। ১৫ সদস্যবিশিষ্ট দলটি থেকে একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক কত উপায়ে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান: 
১৫ জন থেকে ১ জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫C১ = ১৫ উপায়ে

১ জন অধিনায়ক হলে সদস্য বাকি থাকে (১৫ - ১) = ১৪ জন 

১৪ জন থেকে ১ জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৪C১ = ১৪ উপায়ে

∴ একজন অধিনায়ক এবং একজন সহ-অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ১৫ × ১৪ = ২১০ উপায়ে
১,৬৫০.
একটি ষড়ভুজে কয়টি কর্ণ আছে?
  1. ক
    ক) 8 টি
  2. খ
    খ) 9 টি
  3. গ
    গ) 15 টি
  4. ঘ
    ঘ) 18 টি
ব্যাখ্যা
একটি ষড়ভুজে 6 টি বাহু আছে।
বাহুগুলো ষড়ভুজের কর্ণ হতে পারেনা।
অতএব, মোট কর্ণের সংখ্যা = 6C2 - 6 = 15 - 6 = 9 টি 
১,৬৫১.
7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?
  1. ক
    180
  2. খ
    420
  3. গ
    360
  4. ঘ
    720
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
7 জনকে নিয়ে বৈঠক করা যায় = (7 - 1)!
= 6!
= 720
১,৬৫২.
"COMMITTEE" শব্দটির সব বর্ণ নিয়ে কতটি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৩২৫২০
  2. খ
    ৪৫৩৬০
  3. গ
    ৪৮২১০
  4. ঘ
    ৪৮৪০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: "COMMITTEE" শব্দটির সব বর্ণ নিয়ে কতটি ভিন্ন ভিন্ন শব্দ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
COMMITTEE শব্দে ৯ টি বর্ণ আছে।
যেখানে, M বর্ণটি ২ বার, T বর্ণটি ২ বার এবং E বর্ণটি ২ বার করে আছে।

∴ সবগুলো নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ৯!/(২!২!২!) 
= (৯ × ৮ × ৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২)/৮
= ৪৫৩৬০
১,৬৫৩.
একটি দশভুজের কৌণিক বিন্দুগুলোর সংযোগ রেখার সাহায্যে কতগুলো কর্ণ গঠন করা যায়?
  1. ক
    ক) 25
  2. খ
    খ) 35
  3. গ
    গ) 45
  4. ঘ
    ঘ) 55
ব্যাখ্যা
কৌণিক বিন্দুর সংখ্যা - 10
× কর্ণের সংখ্যা = 10c2 - 10
= 35
১,৬৫৪.
10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 9 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 369
  2. খ
    খ) 456
  3. গ
    গ) 320
  4. ঘ
    ঘ) 343
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 জন ও 9 জন খেলোয়াড়ের দুইটি দল থেকে 11 জন খেলোয়াড়ের একটি ক্রিকেট টিম গঠন করতে হবে যাতে 10 জনের দল থেকে কমপক্ষে 9 জন খেলোয়াড় ঐ টিমে থাকবে। ক্রিকেট টিমটি কত উপায়ে গঠন করা যাবে? 

সমাধান: 
১ম দল (10 জন)   -   ২য় দল (9 জন)
1)     10                      1
2)     9                        2


1) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C10 × 9C1 = (1 × 9) = 9
2) নং ক্ষেত্রে টিম গঠনের উপায় = 10C9 × 9C2 = (10 × 36) = 360


টিম গঠনের উপায় = 9 + 360 
= 369
১,৬৫৫.
‘DIGITAL’ শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকে?
  1. ক
    ক) 320
  2. খ
    খ) 430
  3. গ
    গ) 210
  4. ঘ
    ঘ) 360
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ‘DIGITAL’ শব্দটির বর্ণগুলিকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলি একত্রে থাকে?

সমাধান: 
প্রদত্ত শব্দটিতে মোট 7 টি বর্ণ আছে। স্বরবর্ণ আছে 3টি।
স্বরবর্ণ 3টিকে এক অক্ষর মনে করলে মোট বর্ণ সংখ্যা হয় 5 টি। বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন। 
এক্ষেত্রে, সাজানো সংখ্যা = 5!

স্বরবর্ণ 3 টির মধ্যে 2 টি A আছে। এক্ষেত্রে বিন্যাস সংখ্যা = 3!/2!

∴ নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 5! × 3! / 2!
= 120 × 6/2
= 360 
১,৬৫৬.
একটি নৌকায় 3 জন লোক উঠতে পারে, নৌকাটি দ্বারা 4 জন লোক কত প্রকারে উঠে নদী পার হতে পারে?
  1. ক
    3 প্রকারে
  2. খ
    4 প্রকারে
  3. গ
    5 প্রকারে
  4. ঘ
    6 প্রকারে
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি নৌকায় 3 জন লোক উঠতে পারে, নৌকাটি দ্বারা 4 জন লোক কত প্রকারে উঠে নদী পার হতে পারে?

সমাধান:
4 জন লোক হতে 3 জন করে নৌকাতে উঠে নদী পার হওয়ার উপায় = 4C3
= 4!/3!(4 - 3)!
= 4

[4 জন লোককে একসাথে পার করা যাবে না, কারণ নৌকায় শুধু 3 জন উঠতে পারে।
তাই, প্রথম পর্যায়ে 3 জন যাবে, দ্বিতীয় পর্যায়ে 1 জন যাবে
এখন, 4 জন থেকে 3 জন বেছে নেওয়ার উপায়, 4C3 = 4 উপায়ে
দ্বিতীয় পর্যায়ে বাকি 1 জন যাবে, এর জন্য শুধু 1টি উপায় আছে।
∴ মোট উপায়ের সংখ্যা = প্রথম পর্যায়ের উপায় × দ্বিতীয় পর্যায়ের উপায় = 4 × 1 = 4]
১,৬৫৭.
'ORANGE' শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    144টি
  2. খ
    720টি
  3. গ
    72টি
  4. ঘ
    36টি
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'ORANGE' শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'ORANGE' শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ আছে। যথা,  O, R, A, N, G, E
এর মধ্যে স্বরবর্ণ (vowels) 3টি আছে। যথা, O, A, E
ব্যঞ্জনবর্ণ (consonants) 3টি আছে। যথা,R, N, G 
সব বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন (কোনো পুনরাবৃত্তি নেই)।

3টি স্বরবর্ণ (O, A, E) কে 3টি বেজোড় স্থানে সাজানোর উপায় = 3!

আবার,
3টি ব্যঞ্জনবর্ণ (R, N, G) কে 3টি জোড় স্থানে সাজানোর উপায় = 3!

∴ মোট উপায় = (বেজোড় স্থানে স্বরবর্ণ সাজানোর উপায়) × (জোড় স্থানে ব্যঞ্জনবর্ণ সাজানোর উপায়)
= 3! × 3!
= 6 × 6
= 36টি

১,৬৫৮.
৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে দুইজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে চার সদস্যের একটি কমিটি গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৬০
  2. খ
    ৫০
  3. গ
    ৪৫
  4. ঘ
    ৩৮
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার একটি দল থেকে দুইজন পুরুষ ও দুইজন মহিলা নিয়ে কত প্রকারে চার সদস্যের একটি কমিটি গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ৫C২ × ৪C২
= ১০ × ৬
= ৬০
১,৬৫৯.
'COMBINATION' শব্দটির বর্ণগুলোর মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলোকে মোট কত রকমে উপায়ে সাজানো যেতে পারে? 
  1. ক
    320
  2. খ
    340
  3. গ
    360
  4. ঘ
    384
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 'COMBINATION' শব্দটির বর্ণগুলোর মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলোকে মোট কত রকমে উপায়ে সাজানো যেতে পারে? 

সমাধান: 
COMBINATION শব্দটিতে মোট 11 টি অক্ষর আছে, যার মধ্যে (O, I, A, I, O) 5 টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে। 
যেহেতু স্বরবর্ণগুলো এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদের স্থান নির্দিষ্ট করে বাকি 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা সাজানোর সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে দুই বার N থাকবে।
∴ সাজানোর সংখ্যা হবে = 6!/2!
= 360 টি ।
১,৬৬০.
একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 4টি করে মোট আটটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 3টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 5টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?
  1. ক
    576
  2. খ
    288
  3. গ
    48
  4. ঘ
    24
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি প্রশ্নপত্রে ক বিভাগ, খ বিভাগ প্রতিটিতে 4টি করে মোট আটটি প্রশ্ন আছে। একজন পরীক্ষার্থী কোন বিভাগ থেকে 3টির বেশি প্রশ্ন না নিয়ে মোট 5টি প্রশ্ন কত উপায়ে বাছাই করতে পারবে?

সমাধান:
5টি প্রশ্ন বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) ক বিভাগ হতে 2টি খ বিভাগ হতে 3টি
(ii) ক বিভাগ হতে 3টি খ বিভাগ হতে 2টি প্রশ্ন বাছাই করবে।

(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 4C2 × 4C3
= 6 × 4 = 24

(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় = 4C3 × 4C2
= 4 × 6 = 24

∴ বাছাই করার মোট উপায় = 24 + 24 = 48
১,৬৬১.
'STATISTICS' শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    50400
  2. খ
    62300
  3. গ
    42420
  4. ঘ
    38650
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'STATISTICS' শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'STATISTICS' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 10টি
যার মধ্যে S আছে 3টি, T আছে 3টি এবং I আছে 2টি করে এবং বাকিগুলো ভিন্ন।

∴ মোট সাজানোর উপায় = 10!/(3! × 3! × 2!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(6 × 6 × 2)
= 50400

১,৬৬২.
৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে নিয়ে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ৪৫
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ৭৫
  4. ঘ
    ৯০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে নিয়ে ৩টি দল গঠন করতে হবে। কত প্রকারে এই দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ১ম দল ৬C২ = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।

২য় দল, বাকী (৬ - ২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ৪C২ = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।

৩য় দল, অবশিষ্ট (৪ - ২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ২C২ = ১ উপায়ে গঠন করা যায়।

∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫ × ৬ × ১ = ৯০
 
১,৬৬৩.
স্বরবর্ণগুলো পাশাপাশি রেখে NEWYORK শব্দটির বর্ণগুলো কতভাবে সাজানো যায়?
  1. ক
    1440
  2. খ
    2520
  3. গ
    5040
  4. ঘ
    240
ব্যাখ্যা
NEWYORK শব্দটিতে 7 টি বর্ণ আছে যাদের 2 টি স্বরবর্ণ এবং 5 টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
স্বরবর্ণ দু'টি একত্রে রাখলে মোট বর্ণ হয় 6টি যাদেরকে 6! উপায়ে সাজানো যায় আবার স্বরবর্ণগুলোকে নিজেদের মধ্যে 2! উপায়ে সাজানো যায়।
সুতরাং স্বরবর্ণগুলো পাশাপাশি রেখে সাজানোর মোট উপায় = 6! × 2!
= 1440
১,৬৬৪.
২, ৩, ৪, ৫, ৬ এবং ৭ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?
  1. ক
    ২৫
  2. খ
    ৩০
  3. গ
    ৩৫
  4. ঘ
    ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ২, ৩, ৪, ৫, ৬ এবং ৭ অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে চার-অংক বিশিষ্ট কতটি সংখ্যা তৈরি করা যাবে যেন সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয়?

সমাধান:
৫ দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে একক স্থানীয় অংকটি ৫ হতে হবে।
৫ ব্যতীত আর অঙ্ক থাকে ৫টি এবং ঘর বাকি থাকে (৪ - ১) = ৩টি

∴ ১ম ঘর সাজানো যাবে ৫টি অঙ্ক দিয়ে
২য় ঘর সাজানো যাবে ৪টি অঙ্ক দিয়ে
৩য় ঘর সাজানো যাবে ৩টি অঙ্ক দিয়ে
৪র্থ ঘরে থাকবে শুধুমাত্র ৫ অর্থাৎ ১টি অঙ্ক

∴ মোট সংখ্যা হবে = ৫ × ৪ × ৩ × ১ = ৬০টি 
১,৬৬৫.
BANANA শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন N গুলো একত্রে থাকবে না?
  1. ক
    30
  2. খ
    40
  3. গ
    60
  4. ঘ
    20
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: BANANA শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যখন N গুলো একত্রে থাকবে না?

সমাধান:
BANANA শব্দে মোট অক্ষর = 6টি।

এখানে A তিনবার এবং N দুইবার করে এসেছে।
∴ মোট বিন্যাস = 6!/(3! × 2!)
= 720 / (6 × 2)
= 720 / 12
= 60

এখন,
দুটি N একত্রে থাকলে অক্ষরগুলো হয়:
NN, B, A, A, A (মোট ৫টি একক, যেখানে A তিনবার আছে)।
∴ বিন্যাস = 5!/3!
= 120 / 6
= 20

∴ N একত্রে না থাকার বিন্যাস সংখ্যা = 60 - 20
= 40

১,৬৬৬.
৩টি সবুজ শার্ট এবং ৩টি লাল শার্ট ৬টি শিশুর মধ্যে কতভাবে বিতরণ করা যেতে পারে, যাতে প্রত্যেক শিশুকে একটি করে শার্ট দেওয়া হয়?
  1. ক
    ৩০ টি
  2. খ
    ১২ টি
  3. গ
    ১৫ টি
  4. ঘ
    ২০ টি
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৩টি সবুজ শার্ট এবং ৩টি লাল শার্ট ৬টি শিশুর মধ্যে কতভাবে বিতরণ করা যেতে পারে, যাতে প্রত্যেক শিশুকে একটি করে শার্ট দেওয়া হয়?

সমাধান:
৬ টি শিশু ৩ টি সবুজ শার্ট গ্রহণ করার উপায় = ৬C৩ = (৬ × ৫ × ৪)/(৩ × ২× ১) = ২০
বাকি ৩টি শিশু ৩টি লাল শার্ট গ্রহণ করার উপায় = ৩C৩ = (৩ × ২ × ১)/(৩ × ২ × ১) = ১

সুতরাং, মোট উপায় সংখ্যা = ২০ ×১ = ২০ টি
১,৬৬৭.
15 জন লোক একটি অনুষ্ঠানে প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলে করমর্দনের জনসংখ্যা হবে কতটি?
  1. ক
    ক) 105
  2. খ
    খ) 120
  3. গ
    গ) 110
  4. ঘ
    ঘ) 125
ব্যাখ্যা

নির্ণয়ে করমর্দন সংখ্যা = 15C2
= 15! ÷ {(15-2)!×2!}
= (15×14×13!) ÷ (13!×2!)
= (15×14 ÷ 2)
= 15×7
= 105

১,৬৬৮.
ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যাতে r দুইটি পাশাপাশি থাকবে না?
  1. ক
    ক) 720
  2. খ
    খ) 800
  3. গ
    গ) 900
  4. ঘ
    ঘ) 36000
ব্যাখ্যা

এখানে মোট বর্ণ 7 টি, r দুইটি, a দুইটি, তাহলে মোট বিন্যাস = 7!/(2!×2!) = 1260.
r দুইটিকে একটি বর্ণ ধরে মোট বর্ণ হয় 6 টি যাতে a দুইটি এবং r দুইটিকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 2!/2! , তাহলে r দুইটিকে পাশাপাশি রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা হয় = (6!/2!)× (2!/2!) = 360.
∴ ARRANGE শব্দটির অক্ষরগুলো সাজানো যায়, যখন r দুইটি পাশাপাশি থাকবে না = 1260 - 360 = 900 প্রকারে।

১,৬৬৯.
n সংখ্যক বিভিন্ন জিনিস থেকে প্রতিবার r সংখ্যক জিনিস নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা যাতে m সংখ্যক নির্দিষ্ট জিনিস কখনও থাকবেনা-
  1. ক
    ক) n - mcr - m
  2. খ
    খ) n - mcr
  3. গ
    গ) n - mpr - m
  4. ঘ
    ঘ) n - mpr
ব্যাখ্যা

n - mcr এর ব্যাখ্যা অনুসারে।

১,৬৭০.
NEWTON শব্দের বর্ণগুলো থেকে প্রতিবার 3টি বর্ণ বাছাই করার উপায়-
  1. ক
    ক) 20
  2. খ
    খ) 24
  3. গ
    গ) 14
  4. ঘ
    ঘ) 72
ব্যাখ্যা

NEWTON শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ আছে যাদের 2টি N বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন।
প্রতিবার 3টি বর্ণ বাছাই করার ক্ষেত্রে,
(i) দু'টি একই বাকী 1টি বর্ণ ভিন্ন
(ii) সবগুলো বর্ণ ভিন্ন ভিন্ন।
(i) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় 1 × 4c1 = 4
(ii) এর ক্ষেত্রে বাছাই করার উপায় 5c3 = 10
∴ বাছাই করার মোট উপায় = 4 + 10 = 14

১,৬৭১.
'ALGEBRA' শব্দটির বর্ণগুলি হতে প্রতিবারে 3টি বর্ণ নিয়ে কতটি শব্দ তৈরী করা যাবে?
  1. ক
    ক) 120
  2. খ
    খ) 135
  3. গ
    গ) 126
  4. ঘ
    ঘ) 320
ব্যাখ্যা
সমাধানঃ 'ALGEBRA' শব্দটিতে দুইটি A সহ মোট সাতটি বর্ণ আছে।
এখন দুইটি A এর একটি এবং বাকী পাঁচটি বর্ণসহ(A, E, L, G, B, R)
মোট ছয়টি বর্ণ থেকে তিনটি বর্ণ একসাথে নিয়ে গঠিত শব্দের সংখ্যা
= 6P3
 = 6.5.4
= 120 টি।

আবার দুইটি A এবং বাকী পাঁচটির থেকে একটি নিয়ে গঠিত শব্দের সংখ্যা
{(A, A, L), (A, A, G), (A, A, E), (A, A, B) (A, A, R)}
= 5 × 3!/2
= 15 টি

 সুতরাং মোট শব্দ সংখ্যা
= 130 + 15
= 135
১,৬৭২.
স্বরবর্ণগুলোকে প্রথমে রেখে GARDEN শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    ৪৮ 
  2. খ
    ৬০
  3. গ
    ১২০
  4. ঘ
    ৩৬০
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: স্বরবর্ণগুলোকে প্রথমে রেখে GARDEN শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
GARDEN শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৬টি।
স্বরবর্ণ আছে ২টি।

প্রথমে স্বরবর্ণ রেখে নিজেদের মধ্যে বিন্যাস সংখ্যা = ২! = ২

বাকি ৪ অবস্থানে অবশিষ্ট ৪ টি অক্ষর রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ৪! = ৪ × ৩ × ২ = ২৪ 

∴ স্বরবর্ণগুলোকে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = ২ × ২৪ = ৪৮ উপায়ে।

১,৬৭৩.
5টি পুরস্কার 3 জন বালকের মধ্যে কত উপায়ে বিতরণ করা যেতে পারে? 
  1. ক
    ক) 15
  2. খ
    খ) 125
  3. গ
    গ) 243
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা
বালকের সংখ্যা n = 3 জন
পুরস্কার r = 5টি 


পুরস্কার বিতরণ করা যেতে পারে = nr
                                                   = 35
                                                   = 243
১,৬৭৪.
৭ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা থেকে কত উপায়ে ৫ জন পুরুষ ও ২ জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে? 
  1. ক
    ৮৬ 
  2. খ
    ৬৩ 
  3. গ
    ৪৫ 
  4. ঘ
    ৯০ 
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ জন পুরুষ ও ৩ জন মহিলা থেকে কত উপায়ে ৫ জন পুরুষ ও ২ জন মহিলা বিশিষ্ট দল তৈরি করা যাবে?

সমাধান: 
৭ জন পুরুষ থেকে ৫ জন পুরুষ এবং ৩ জন মহিলা থেকে ২ জন মহিলা বাছাই করতে হবে
∴ মোট উপায় = ৭C৫ × ৩C২
= ২১ × ৩ উপায়
= ৬৩ উপায়। 

১,৬৭৫.
যদি nC6 = nC4 হয়, তবে 15Cn =?
  1. ক
    2002
  2. খ
    3003
  3. গ
    4004
  4. ঘ
    5005
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: যদি nC6 = nC4 হয়, তবে 15Cn =?

সমাধান:
nC6 = nC4
⇒ nCn - 6 = nC4
⇒ n - 6 = 4
∴ n = 6 + 4 = 10

15Cn = 15C10
= 15!/(10! × 5!)
= (15 × 14 × 13 × 12 × 11)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 3003
১,৬৭৬.
'MARKET' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন। 
  1. ক
    716
  2. খ
    722
  3. গ
    720
  4. ঘ
    726
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'MARKET' শব্দটির সবগুলি বর্ণ একত্রে নিয়ে কতভাবে সাজানো যায় তা নির্ণয় করুন। 

সমাধান:

প্রদত্ত শব্দ: MARKET

এর বর্ণসমূহ: M, A, R, K, E, T

এখানে মোট ৬টি বর্ণ আছে এবং সবগুলোই ভিন্ন।
n টি ভিন্ন বর্ণের বিন্যাস = n! 

∴ 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 

 MARKET শব্দটির বর্ণগুলো ৭২০ ভাবে সাজানো যায়। 
১,৬৭৭.
৯ জন খেলোয়াড়ের একটি দল থেকে ৬ জন খেলোয়াড় কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ২৭
  2. খ
    ৭২
  3. গ
    ৮০
  4. ঘ
    ৮৪
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৯ জন খেলোয়াড়ের একটি দল থেকে ৬ জন খেলোয়াড় কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
৯ জন খেলোয়াড়ের একটি দল থেকে ৬ জন খেলোয়াড় নির্বাচন করার উপায় = ৯C৬
= ৯!/(৬!(৯ - ৬)!)
= ৯!/(৬!৩!),
= (৯ × ৮ × ৭ × ৬!)/(৬! × ৩ × ২ × ১)
= (৯ × ৮ × ৭)/৬
= (৫০৪)/৬
= ৮৪

১,৬৭৮.
একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?
  1. ক
    32
  2. খ
    56
  3. গ
    44
  4. ঘ
    28
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি দাবা প্রতিযোগিতায় 8 জন প্রতিযোগী একে অপরের সাথে 1 বার করে খেলবে। প্রতিযোগিতায় মোট কতটি খেলা অনুষ্ঠিত হবে?

সমাধান:
প্রতিযোগিতায় প্রত্যেক খেলোয়াড় অন্য প্রতিটি খেলোয়াড়ের সাথে একবার করে খেলবে।

∴ খেলার সংখ্যা হবে,
= 8C2
= (8 × 7)/2
= 28

∴ মোট খেলার সংখ্যা 28 টি।
১,৬৭৯.
ADMIN শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরী করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?
  1. ক
    ৪৮ টি
  2. খ
    ৫৪ টি
  3. গ
    ৩৬ টি
  4. ঘ
    ২৪ টি
ব্যাখ্যা
ADMIN শব্দটির বর্ণগুলো নিয়ে কতগুলো বিন্যাস তৈরী করা যায়, যাদের প্রথমে একটি স্বরবর্ণ থাকবে?

সমাধান:
ADMIN শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120
একটি উপাদানের বিন্যাস সংখ্যা = মোট বিন্যাস সংখ্যা/উপাদান সংখ্যা
= ১২০/৫ = ২৪
১ টি উপাদানের জন্য বিন্যাস সংখ্যা ২৪।
তাহলে ২ টি স্বরবর্ণের জন্য বিন্যাস সংখ্যা = ২৪ × ২ = ৪৮
∴ ৪৮ টি বিন্যাসের শুরুতে স্বরবর্ণ থাকবে।
১,৬৮০.
৫ জন বিজ্ঞান ও ৩ জন কলা বিভাগের ছাত্রের মধ্যে থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে। যদি প্রত্যেক কমিটিতে (ক) অন্তত ১ জন বিজ্ঞানের ছাত্র থাকে, (খ) অন্তত ১ জন বিজ্ঞান ও ১ জন কলা বিভাগের ছাত্র থাকে, তাহলে কতভাবে এ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ক) ৩০ ও ৪৫
  2. খ
    খ) ৫৫ ও ৫০
  3. গ
    গ) ৫০ ও ৫৫
  4. ঘ
    ঘ) ৭০ ও ৬৫
ব্যাখ্যা
(ক) ৪ জনের কমিটি নিম্নরূপে গঠন করা যায়:
৫ জন বিজ্ঞানের | ৩ জন কলা বিভাগের ছাত্র | কমিটি গঠন করার উপায়
১ | ৩ | ৫C১×৩C৩ = ৫×১ = ৫
২ | ২ | ৫C২×৩C২ = ১০×৩ = ৩০
৩ | ১ | ৫C৩×৩C১ = ১০×৩ = ৩০
৪ | ০ | ৫C৪×৩C০ = ৫×১ = ৫
∴ কমিটি গঠন করা যায় = ৫+৩০+৩০+৫ = ৭০
(খ) সেহেতু অন্তত ১জন বিজ্ঞান ও ১জন কলা বিভাগের ছাত্র থাকবে সুতরাং কমিটি গঠন করা যাবে = ৫+৩০+৩০ = ৬৫
১,৬৮১.
একটি শ্রেণির প্রতি বেঞ্চ 4 জন করে ছাত্র বসালে 3 টি বেঞ্চ খালি থাকে। আবার, প্রতি বেঞ্চে 3 জন করে ছাত্র বসালে 6 জন ছাত্রকে দাড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণির ছাত্র সংখ্যা কত?
  1. ক
    ক) 40
  2. খ
    খ) 70
  3. গ
    গ) 65
  4. ঘ
    ঘ) কোনটিই নয়
ব্যাখ্যা

মনে করি,
ছাত্র সংখ্যা = x
4 জন করে বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x/4) + 3
3 জন করে বসলে বেঞ্চ সংখ্যা = (x- 6)/3
যেহেতু ক্লাসে বেঞ্চ সংখ্যা একই থাকে, সেহেতু-
(x/4) + 3 = (x-6)/3
⇒ (x+12)/4 = (x-6)/3
⇒ 4x - 24 = 3x + 36
∴ x = 60

১,৬৮২.
যদি nC8 = nC3 হয়, তাহলে nC5 এর মান কত?
  1. ক
    462
  2. খ
    330
  3. গ
    252
  4. ঘ
    410
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি nC8 = nC3 হয়, তাহলে nC5 এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
nCa = nCb হলে, a = b অথবা a + b = n হয়।

∴ nC8 = nC3
⇒ 8 + 3 = n
⇒ n = 11

এখন,
nC5 = 11C5
= 11!/(5! × (11 - 5)!)
= 11!/(5! × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6!)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 6!)
= (11 × 10 × 9 × 8 × 7)/(5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 55440/120
= 462

∴ নির্ণেয় মান = 462

১,৬৮৩.
AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?
  1. ক
    7/8
  2. খ
    3/2
  3. গ
    1/2
  4. ঘ
    2
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: AMERICA শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা CALCUTTA শব্দটির বর্ণগুলো একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
AMERICA শব্দটির মোট অক্ষর 7 টি, যার মধ্যে A আছে 2টি।
সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!

CALCUTTA শব্দটিতে মোট অক্ষর 8 টি, যার মধ্যে 2টি C,2টি Aও 2টি T।
সুতরাং মোট বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 2! × 2!)

AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা/CALCUTTA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = (7!/2!)/{8!/(2! × 2! × 2!)}
= (7! × 2! × 2! × 2!)/(8! × 2!)
= (7! × 2! × 2!)/8!
= (2!× 2!)/8 
= 4/8
= 1/2 
১,৬৮৪.
6 টি মুদ্রা 5 টি দান বক্সে কতভাবে ফেলা যায়?
  1. ক
    56
  2. খ
    65
  3. গ
    64
  4. ঘ
    55
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 টি মুদ্রা 5 টি দান বক্সে কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
১ম মুদ্রাটি 5 টি দান বাক্সের যেকোনটিতে ফেলা যায় যা 5 উপায়ে হয়।
অনুরুপে ২য়, ৩য়, ৪র্থ, ৫ম, ৬ষ্ঠ প্রতিটি মুদ্রা 5 উপায়ে ফেলা যায়

∴ মুদ্রা দান বাক্সে ফেলার মোট উপায় = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
= 56
১,৬৮৫.
একটি বিজ্ঞান মেলায় ১০ জন শিক্ষার্থী অংশ নিচ্ছে। তাদের মধ্যে থেকে একজনকে প্রজেক্ট উপস্থাপক এবং একজনকে সহকারী উপস্থাপক হিসাবে নির্বাচন করতে হবে। কতভাবে এই নির্বাচন করা যেতে পারে?
  1. ক
    ৭৮
  2. খ
    ৮৬
  3. গ
    ৯০
  4. ঘ
    ১০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি বিজ্ঞান মেলায় ১০ জন শিক্ষার্থী অংশ নিচ্ছে। তাদের মধ্যে থেকে একজনকে প্রজেক্ট উপস্থাপক এবং একজনকে সহকারী উপস্থাপক হিসাবে নির্বাচন করতে হবে। কতভাবে এই নির্বাচন করা যেতে পারে?

সমাধান:
১০ জন শিক্ষার্থী থেকে প্রজেক্ট উপস্থাপক নির্বাচন করার উপায় = ১০C১ = ১০
বাকি (১০ - ১) = ৯ জন শিক্ষার্থী থেকে সহকারী উপস্থাপক নির্বাচন করার উপায় = ৯C১ = ৯

∴ মোট বাছাই করার উপায় = ১০ × ৯ = ৯০

∴ ৯০ উপায়ে নির্বাচন করা যাবে।
১,৬৮৬.
একটি ক্লাসের ৮ জন ছাত্রের মধ্যে থেকে সভাপতি এবং সম্পাদক বাছাই করতে হলে কতভাবে এই নির্বাচন করা যাবে?
  1. ক
    ৫৬
  2. খ
    ৬৪
  3. গ
    ৭২
  4. ঘ
    ৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি ক্লাসের ৮ জন ছাত্রের মধ্যে থেকে সভাপতি এবং সম্পাদক বাছাই করতে হলে কতভাবে এই নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
৮ জন ছাত্র থেকে সভাপতি নির্বাচন করার উপায় ৮C১ = ৮
বাকি (৮ -১) = ৭ জন ছাত্র থেকে সম্পাদক নির্বাচন করার উপায় ৭C১ = ৭

∴ মোট বাছাই করার উপায় = ৮ × ৭ = ৫৬
১,৬৮৭.
0! = ?
  1. ক
    ক) 0
  2. খ
    খ) -1
  3. গ
    গ) 1
  4. ঘ
    ঘ) মান নাই
ব্যাখ্যা

npn = n!
বা, n!/(n - n)! = n!
বা, n!/0! = n!
বা, 0! × n! = n!
বা, 0! = n!/n!
= 1

১,৬৮৮.
জাহাজে কৃষ্ণ সাগর থেকে ভূমধ্যসাগরে যাওয়ার একটা পথ আছে আবার ভূমধ্যসাগর হতে আরব সাগরে যাওয়ার দুটি পথ আছে। একজন নাবিক জাহাজে করে কত উপায়ে কৃষ্ণসাগর হতে আরব সাগরে যেতে পারবে?
  1. ক
    ক) ১
  2. খ
    খ) ২
  3. গ
    গ) ৩
  4. ঘ
    ঘ) ৪
ব্যাখ্যা

কৃষ্ণসাগর থেকে ভূমধ্যসাগরে যাওয়া যায় = ১ উপায়ে
ভূমধ্যসাগর থেকে আরব সাগরে যাওয়া যায় = ২ উপায়ে
∴ ভ্রমনের মোট উপায় = ১ × ২
= ২ (গণনার গুণন বিধি)

১,৬৮৯.
একটি থলিতে নীল বল ১২ টি, সাদা বল ১৬ টি এবং কালো বল ২০ টি আছে। দৈবভাবে একটা বল নেওয়া হলো। বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
  1. ক
    ক) ১/২
  2. খ
    খ) ১/৩
  3. গ
    গ) ১/৪
  4. ঘ
    ঘ) ২/৩
ব্যাখ্যা

থলিতে মোট বল আছে = (১২+১৬+২০) = ৪৮ টি।
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = সাদা বলের অনুকূল ফলাফল / সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল
= ১৬ / ৪৮
= ১ / ৩

১,৬৯০.
CULCUTTA শব্দটির বর্নগুলোকে একত্র নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা MAYANMER শব্দটির বর্নগুলোকে একত্র নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কতগুন?
  1. ক
    ক) 2 গুন
  2. খ
    খ) 1/2 গুন
  3. গ
    গ) 3 গুন
  4. ঘ
    ঘ) 4 গুন
ব্যাখ্যা

CULCUTTA শব্দটির মোট অক্ষর 8; C = 2, T = 2, A = 2
মোট বিন্যাস সংখ্যা 8! / (2!2!2!) = 7!
MAYANMER শব্দটির মোট অক্ষর 8; A = 2, M = 2
মোট বিন্যাস সংখ্যা 8! / (2!2!) = 7! x 2
CULCUTTA শব্দটির MAYANMER শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 7!/7! 2 = 1/2 গুন

১,৬৯১.
10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?
  1. ক
    ক) 78
  2. খ
    খ) 124
  3. গ
    গ) 156
  4. ঘ
    ঘ) 182
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 10 টি জিনিসের মধ্যে 2 টি এক জাতীয় এবং বাকিগুলো ভিন্ন ভিন্ন জিনিস। ঐ জিনিসগুলো থেকে প্রতিবারে 5 টি নিয়ে কত প্রকারে বাছাই করা যায়?

সমাধান:
১,৬৯২.
0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?
  1. ক
    96
  2. খ
    120
  3. গ
    24
  4. ঘ
    144
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 0, 1, 2, 3, 4 অংকগুলি দ্বারা কতগুলি পাঁচ অংকের অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট বিন্যাস সংখ্যা = 5! = 120

0 কে প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24
∴ ছয় অঙ্কের অর্থপূর্ণ সংখ্যা = (120 - 24)
= 96
১,৬৯৩.
6 টি কবিতার মধ্যে দুটি বিশেষ কবিতা একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?
  1. ক
    360
  2. খ
    240
  3. গ
    120
  4. ঘ
    140
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 6 টি কবিতার মধ্যে দুটি বিশেষ কবিতা একত্রে নিয়ে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
2 টি বিশেষ কবিতা একত্রে রেখে অর্থাৎ দুটি কবিতাকে একটি মনে করলে মোট কবিতা সংখ্যা হয় 5 টি।

5 টি কবিতাকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 5! = 120
2 টি বিশেষ কবিতাকে নিজেদের মধ্যে সাজানোর উপায় = 2! = 2

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 120 × 2 = 240
১,৬৯৪.
CRACKTECH শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা DATATECH শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 
  1. ক
    ৫ গুণ
  2. খ
    ৬ গুণ
  3. গ
    ৮ গুণ
  4. ঘ
    ৯ গুণ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: CRACKTECH শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা DATATECH শব্দটির বর্ণগুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ? 

সমাধান:
CRACKTECH শব্দে মোট বর্ণ আছে = C, R, A, C, K, T, E, C, H = ৯ টি 
এই বর্ণগুলোর মধ্যে C আছে = 3 বার 
∴ CRACKTECH শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 9!/3!

আবার,
DATATECH শব্দে মোট বর্ণ আছে = D, A, T, A, T, E, C, H = ৮ টি 
এই বর্ণগুলোর মধ্যে A আছে = 2 বার ও T আছে = 2 বার 
∴ DATATECH শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 2!) 

∴ CRACKTECH এর বিন্যাস সংখ্যাটি DATATECH এর বিন্যাস সংখ্যার গুণফল = (9!/3!)/{8!/(2! × 2!)} 
= 9!/3! × (2! × 2!)/8! 
= {(9 × 8!)/3!} × {(2! × 2!)/8!}
= (9 × 4)/3!
= 36/(3 × 2)
= 36/6
= 6

∴ CRACKTECH শব্দের বিন্যাস সংখ্যা, DATATECH শব্দের বিন্যাস সংখ্যার ৬ গুণ।

১,৬৯৫.
‘RAJSHAHI’ শব্দটির অক্ষরগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যা ‘BARISAL’ শব্দটির অক্ষরগুলির একত্রে বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?
  1. ক
    ক) অর্ধেক
  2. খ
    খ) দ্বিগুণ
  3. গ
    গ) তিনগুণ
  4. ঘ
    ঘ) চারগুণ
ব্যাখ্যা

‘RAJSHAHI’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা P1 = ৮!/২!২! (H = 2, A = 2)
‘BARISAL’ শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা P2 = ৭!/২! (A = 2)
P1/P2 = ৮!/২!২! x ২!/৭!
= 4/1
P1 = 4 P2

১,৬৯৬.
52 খানা তাস 4 ব্যক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায়-
  1. ক
    ক) 52!/13!
  2. খ
    খ) 52!/(13!)4
  3. গ
    গ) 52!/4!(13!)4
  4. ঘ
    ঘ) 52!/4! 13!
ব্যাখ্যা

3m সংখ্যক জিনিস 3 জন ব্যক্তির মধ্যে বন্টন করা যাবে = (3m)!/(m!)3 উপায়ে।
অনুরূপভাবে,
4m সংখ্যক জিনিস 4 জন ব্যক্তির মধ্যে বন্টন করা যাবে = (4m)!/(m!)4 উপায়ে।

সুতরাং, 52 = 4×13 খানা তাস 4 জন ব্যাক্তির মধ্যে সমানভাবে বন্টন করার উপায়,
= (4×13)!/(13!)4
= 52!/(13!)4

১,৬৯৭.
MATH শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়? 
  1. ক
    40
  2. খ
    48
  3. গ
    24
  4. ঘ
    28
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: MATH শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
MATH শব্দটিতে মোট বর্ণসংখ্যা = 4 টি 
বর্ণগুলো একটি করে আছে। 

∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 4!
= 4!
= 24

১,৬৯৮.
১০টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?
  1. ক
    ২৫২০
  2. খ
    ১৮১৪৪০
  3. গ
    ৩৬২৮৮০
  4. ঘ
    ১৯৯৫৮৪০০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ১০টি ভিন্ন বর্ণের ফুল দিয়ে কত উপায়ে মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
মালা, তসবী ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা = (n - 1)!/2

বিন্যাস সংখ্যা = (10 - 1)!/2
= 9!/2
= 181440
১,৬৯৯.
15টি বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কৌণিক বিন্দুগুলো সংযোগ করলে কতগুলো ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?
  1. ক
    ক) 554
  2. খ
    খ) 455
  3. গ
    গ) 545
  4. ঘ
    ঘ) 454
ব্যাখ্যা
একটি ত্রিভুজ গঠন করার জন্য বিন্দু প্রয়োজন 3টি 

ত্রিভুজের গঠন করা যাবে = 15C3 = 455
১,৭০০.
MARKET শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?
  1. ক
    130
  2. খ
    164
  3. গ
    144
  4. ঘ
    220
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: MARKET শব্দের স্বরবর্ণগুলো বেজোড় স্থানে রেখে মোট কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
MARKET শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ আছে। যেখানে স্বরবর্ণ আছে A, E দুটি।
বেজোড় স্থান আছে ১ম, ৩য়, ৫ম মোট 3টি।

3টি বেজোড় স্থানে 2টি স্বরবর্ণ সাজানো যায় 3P2 = 6 উপায়ে
বাকি 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ স্বরবর্ণের স্থান বাদে বাকি 4 ঘরে সাজানো যায় 4P4 = 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 উপায়ে

∴ মোট সাজানোর উপায় = 6 × 24 = 144