কাজ, নল ও চৌবাচ্চা সংক্রান্ত সমস্যা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ১০ মিনিটে এবং ১৫ মিনিটে পূর্ণ করতে পারে। নল দুটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
প্রথম নল দ্বারা, 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১০ অংশ 

আবার, দ্বিতীয় নল দ্বারা, 
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ 

∴ দুটি নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = (১/১০ + ১/১৫) অংশ 
= (৩ + ২)/৩০ অংশ 
= ৫/৩০ অংশ 
= ১/৬ অংশ 

এখন,
চৌবাচ্চার ১/৬ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে 
∴ চৌবাচ্চার ১ বা সম্পন্ন অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৬) মিনিটে 
= ৬ মিনিটে 

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = ৬ মিনিটে।

প্রশ্ন: দৈনিক ৮ ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৪০ জন লোক একটি কাজ ১০ দিনে করতে পারে। দৈনিক কত ঘণ্টা পরিশ্রম করে ৫০ জন লোক ১৬ দিনে ঐ কাজটি করতে পারে?

সমাধান:
৪০ জন লোক ১০ দিনে কাজটি করে দৈনিক ৮ ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ১ জন লোক ১০ দিনে কাজটি করে দৈনিক (৮ × ৪০) ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ১ জন লোক ১ দিনে কাজটি করে দৈনিক (৮ × ৪০ × ১০) ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ৫০ জন লোক ১ দিনে কাজটি করে দৈনিক {(৮ × ৪০ × ১০)/৫০} ঘণ্টা পরিশ্রম করে
∴ ৫০ জন লোক ১৬ দিনে কাজটি করে দৈনিক {(৮ × ৪০ × ১০)/(৫০ × ১৬)} = ৪ ঘণ্টা পরিশ্রম করে

∴ নির্ণেয় সময় ৪ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুটি নল দ্বারা যথাক্রমে ১৫ মিনিটে এবং ৩০ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটি কত সময়ে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
প্রথম নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/১৫ অংশ

দ্বিতীয় নল দ্বারা,
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৩০ অংশ

∴ দুটি নল দ্বারা, ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = (১/১৫) + (১/৩০) অংশ
= (২ + ১)/৩০ অংশ
= ৩/৩০ অংশ
= ১/১০ অংশ

চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ চৌবাচ্চার ১ বা সম্পন্ন অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ১০) মিনিটে
= ১০ মিনিটে

∴ চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় = ১০ মিনিটে।

প্রশ্ন: A একটি কাজ ২০ দিনে এবং B একই কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারে। তাদের সঙ্গে C কাজ করলে কাজটি মাত্র ৪ দিনে শেষ হয়। C একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
(A + B + C) এর 1 দিনের কাজ = 1/4
A এর 1 দিনের কাজ = 1/20
B এর 1 দিনের কাজ = 1/10
c এর 1 দিনের কাজ = 1/4 - (1/20 + 1/10)
= (5 - 3)/20
= 2/20
= 1/10

∴ C একা কাজটি করবে 10 দিনে।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১৫ ও ৩০ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চার এক-পঞ্চমাংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগে?

সমাধান:
একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ১০, ১৫ ও ৩০ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে।
তিনটি নল দ্বারা ১ ঘণ্টায় যথাক্রমে পূর্ণ হয় ১/১০ , ১/১৫, ১/৩০ অংশ

∴ একসাথে ১ ঘণ্টায় পুর্ণ হয় = (১/১০) + (১/১৫) + (১/৩০)
= (৩ + ২ + ১)/৩০ অংশ
= ৬/৩০ অংশ
= ১/৫ অংশ 

১/৫ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়
⇒ সম্পূর্ণ বা ১ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৫) ঘণ্টায়
= ৫ ঘণ্টায়

∴ ১/৫ অংশ পূর্ণ হয় = ৫/৫ ঘণ্টায় = ১ ঘণ্টায়।

সুতরাং, চৌবাচ্চার এক-পঞ্চমাংশ পূর্ণ হতে ১ ঘণ্টা লাগবে।

প্রশ্ন: নজরুল ৪২ জন লোক নিয়োগ দিল যেন সে ২২ দিনে একটি কাজ শেষ করতে পারে। ১২ দিন পর মাত্র এক-তৃতীয়াংশ কাজ শেষ হল। অতিরিক্ত কোনো লোক নেয়া না হলে অবশিষ্ট কাজ শেষ করতে নির্ধারিত সময় অপেক্ষা কতদিন বেশি লাগবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১/৩ অংশ কাজ করে = ১২ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ  করে  = ১২ × ৩ দিনে
= ৩৬ দিনে

∴ সময় বেশি লাগবে = (৩৬ - ২২) দিন  
  = ১৪ দিন

সুতরাং, অবশিষ্ট কাজ শেষ করতে ১৪ দিন বেশি লাগবে।

প্রশ্ন: একটি পাইপ ৪ ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি ৬ ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি ২ ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
৪ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৪ অংশ
∴ ২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ২/৪ অংশ = ১/২ অংশ

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = ১ - (১/২) = ১/২ অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
৬ ঘণ্টায় খালি হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/৬ অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (১/৪) - (১/৬)
= (৩ - ২)/১২
= ১/১২

১/১২ অংশ পূর্ণ হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ১/২ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ১২)/২ = ৬ ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (২ + ৬) ঘণ্টা = ৮ ঘণ্টা 

প্রশ্ন: কোনো কাজের এক-তৃতীয়াংশ শেষ করতে ১৫ জন লোকের ২০ দিন সময় লাগে। পুরো কাজটি শেষ করতে ২০ জন লোকের কতদিন সময় লাগবে?

সমাধান:
১/৩ অংশ কাজ শেষ করতে ১৫ জন লোকের সময় লাগে = ২০ দিন
∴ ​১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ১৫ জন লোকের সময় লাগে = (২০ × ৩) দিন 
∴ ​১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ১ জন লোকের সময় লাগে = (২০ × ৩ × ১৫) দিন 
∴ ​১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ২০ জন লোকের সময় লাগে​= (২০ × ৩ × ১৫)/২০ দিন 
​= ৪৫ দিন 
​
​বিকল্প:
​(P₁ × D₁)/(P₂ × D₂) = ১/৩
⇒ ​​(১৫ × ২০)/(২০ × D₂) = ১/৩
⇒ ​১৫/D₂ = ১/৩
⇒ ​D₂ = ৪৫ 

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ২ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি শেষ করতে মোট কতদিন সময় লাগবে? 

সমাধান: 
৮ জন লোক কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে 
∴ ১ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১২ × ৮) দিনে 
∴ ৬ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১২ × ৮)/৬ দিনে 
= ১৬ দিনে 

∴ মোট সময় লাগবে = ১৬ দিন।

প্রশ্ন: ৮ জন পুরুষ বা ১৮ জন বালক একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। ১৬ জন পুরুষ ও ১৮ জন বালক সেই কাজের ৩ গুণ একটি কাজ কত দিনে করতে পারবে?  

সমাধান: 
এখানে, ৮ জন পুরুষের কাজ ≡ ১৮ জন বালকের কাজ
∴ ১৬ জন পুরুষের কাজ + ১৮ জন বালকের কাজ ≡ ১৬ জন পুরুষের কাজ + ৮ জন পুরুষের কাজ
≡ ২৪ জন পুরুষের কাজ 

৮ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে (২৪ × ৩) দিন
১ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে (২৪ × ৩ × ৮)  দিন
২৪ জন পুরুষের ঐ কাজের ৩ গুণ কাজ করতে সময় লাগে {(২৪ × ৩ × ৮)/২৪}  দিন
= ২৪ দিন

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ১৬ ঘন মিটার। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ৪ মিটার এবং প্রস্থ ১ মিটার। চৌবাচ্চাটির গভীরতা কত?

সমাধান: 
ধরি, 
চৌবাচ্চাটির গভীরতা বা উচ্চতা = x মিটার 
​
​আমরা জানি, 
​চৌবাচ্চার আয়তন = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা) 
⇒ ১৬ = (৪ × ১ × x) 
⇒ ৪x = ১৬
​⇒ x = ১৬/৪ 
∴ x = ৪ 

∴ চৌবাচ্চাটির গভীরতা ৪ মিটার।

প্রশ্ন: ২০ জন শ্রমিক একটি পুকুর ৩০ দিনে খনন করতে পারে। কতজন শ্রমিক ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে?

সমাধান:
ধরি,
মূল কাজ:
২০ জন × ৩০ দিন = ৬০০ শ্রমিক-দিন

এখন ২০ দিনে কাজ শেষ করতে হলে
প্রয়োজন শ্রমিক সংখ্যা ক:
ক × ২০ = ৬০০  
⇒  ক = ৬০০/২০ = ৩০

∴ ৩০ জন শ্রমিক ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে।

প্রশ্ন: ১৩ জনে একটি কাজের অর্ধেক করতে পারে ৬ দিনে। ঐ সম্পূর্ণ কাজটি করতে ৪ জনের কত দিন লাগবে?

সমাধান:
১/২ অংশ কাজ করতে সময় লাগে = ৬ দিন
১ অংশ কাজ করতে সময় লাগে = ৬/(১/২) = ৬ × ২ = ১২ দিন

১৩ জন কাজটি করে ১২ দিনে
১ জন কাজটি করে (১৩ × ১২)  
৪ জন কাজটি করে {(১৩ × ১২)/৪} দিনে
= ৩৯ দিনে

প্রশ্ন: ২০ জন পুরুষ একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ × ১৫ জন 
∴ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (২০ × ১৫)/২০ জন 
= ১৫ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ১৫ জন।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ৩০ ও ৪৫ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
১ম নল দ্বারা, 
৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৩০ অংশ

২য় নল দ্বারা, 
৪৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার = ১/৪৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/৩০) + (১/৪৫) অংশ
=(৩ + ২)/৯০ অংশ
= ৫/৯০ অংশ
= ১/১৮ অংশ 

দুইটি নল দ্বারা, 
১/১৮ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ বা সম্পূর্ণ পূর্ণ হয় = (১ × ১৮)/১ মিনিটে
​ = ১৮ মিনিটে । 

প্রশ্ন: ৪ দিনে একটি কাজের ১/১২ অংশ শেষ হয়। তাহলে ঐ কাজের ২ গুন কাজ করতে কত দিন লাগবে?

সমাধান:
১/১২ অংশ কাজ করে ৪ দিনে
১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (৪ × ১২) = ৪৮ দিনে

তাহলে, দ্বিগুণ কাজ করে = (৪৮ × ২) = ৯৬ দিনে

প্রশ্ন: ৩ জন শ্রমিক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। শ্রমিকদের মধ্যে ২ জন প্রত্যেক তৃতীয় শ্রমিকের চেয়ে দ্বিগুণ দ্রুততায় কাজ করতে পারে। একজন দ্রুততর শ্রমিক একাকী কাজটি কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
মনে করি, 
৩য় শ্রমিক কাজটি করে ২x দিনে
১ম শ্রমিক কাজটি করে x দিনে
২য় শ্রমিক কাজটি করে x দিনে

৩য় শ্রমিক ২x দিনে করে ১ অংশ
∴ ৩য় শ্রমিক ১ দিনে করে ১/২x অংশ

১ম শ্রমিক x দিনে করে ১ অংশ
∴ ১ম শ্রমিক ১ দিনে করে ১/x অংশ

২য় শ্রমিক x দিনে করে ১ অংশ
∴ ২য় শ্রমিক ১ দিনে করে ১/x অংশ

অতএব, তারা একত্রে ১ দিনে করে {(১/২x) + (১/x) +(১/x)} অংশ
= (১ + ২ + ২)/২x অংশ
= ৫/২x অংশ
 
আবার, তারা একত্রে ১২ দিনে করে ১ (সম্পূর্ণ) কাজ
∴ তারা একত্রে ১ দিনে করে ১/১২ অংশ কাজ

প্রশ্নমতে, ৫/২x = ১/১২
⇒ ২x = ১২ × ৫
⇒ x = ৬০/২
∴ x = ৩০

∴ একজন দ্রুততর শ্রমিক একাকী কাজটি ৩০ দিনে শেষ করতে পারবে।

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ৮ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কত দিনে করতে পারে?

সমাধান:
ক ও খ একত্রে ৮ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ
ক ও খ একত্রে ১ দিনে করতে পারে (১/৮) অংশ

ক একা ১২ দিনে করতে পারে ১ টি কাজ
ক একা ১দিনে করতে পারে   (১/১২) অংশ

∴ খ একা ১ দিনে করতে পারে = (১/৮ - ১/১২) অংশ
= ১/২৪ অংশ

খ একা ১/২৪ অংশ করতে পারে ১ দিনে
খ একা ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করতে পারে = ২৪ দিনে 

প্রশ্ন:  রকিব একটি কাজ আকাশের চেয়ে ৭৫ দিন কম সময়ে করতে পারে। রকিবের কাজের গতি যদি আকাশের কাজের গতির ৪ গুণ হয় তবে রকিব একা ঐ কাজ কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
ধরি,
আকাশের কাজটি করতে লাগে ৪ক দিন
রকিব কাজটি করতে লাগে ক দিন

এখন,
৪ক - ক = ৭৫
⇒ ৩ক = ৭৫
⇒ ক = ৭৫/৩
∴ ক = ২৫

∴ রকিব একা কাজটি ২৫ দিনে শেষ করতে পারবে।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি খালি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১২ মিনিটে ও ১৫ মিনিটে পানি-পূর্ণ করা যায়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুটি নল এক সাথে খুলে দেওয়া হলো। প্রথম নলটি কখন বন্ধ করলে চৌবাচ্চাটি ১০ মিনিটে পানি-পূর্ণ হবে?

সমাধান:
২য় নল দ্বারা ১৫ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ
∴ ২য় নল দ্বারা ১০ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয় ১০/১৫ অংশ
= ২/৩ অংশ

∴ অবশিষ্ট থাকে = (১ - ২/৩) অংশ
= ১/৩ অংশ

১ম নল দ্বারা ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ১২ মিনিটে
∴ ১ম নল দ্বারা ১/৩ অংশ পূর্ণ হয় (১২ × ১/৩) মিনিটে
= ৪ মিনিটে

∴ প্রথম নলটি ৪ মিনিট পরে বন্ধ করতে হবে।

প্রশ্নঃ A একটি কাজ ৮ দিনে এবং B একই কাজ ১২ দিনে করতে পারে। তারা একসাথে কাজ করলে কাজটি কত দিনে শেষ হবে?

সমাধানঃ
A কাজটি করতে পারে = ৮ দিনে
B কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে
একসাথে ১ দিনে কাজের পরিমাণঃ
(১/৮) + (১/১২) = ৫/২৪

অতএব, পুরো কাজ শেষ করতে সময় লাগবে:
১/(৫/২৪) = ২৪/৫ = ৪.৮ দিনে

প্রশ্ন: একটি বাড়ির ছাদের ট্যাঙ্ক একটি নল দ্বারা ২৫ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার বাড়ির ব্যবহারের জন্য ট্যাঙ্কটির যে নল আছে তা খুলে দিলে তা ৫০ মিনিটে সম্পূর্ণ হয়ে খালি হয়ে যায়। ট্যাঙ্কটি অর্ধপূর্ণ থাকা অবস্থায় দুটি নল একসঙ্গে কাজ করলে ট্যাঙ্কটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
২৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/২৫ অংশ

২য় নল দ্বারা,
৫০ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/৫০ অংশ

∴ উভয় নল দ্বারা
১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার (১/২৫ - ১/৫০) অংশ
= (২ - ১)/৫০ অংশ
= ১/৫০ অংশ

যেহেতু ট্যাঙ্কটি অর্ধপূর্ণ
সুতরাং বাকি অংশ = ১ - ১/২ = ১/২ অংশ

এখন,
১/৫০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৫০) মিনিটে
∴ ১/২ অংশ পূর্ণ হয় (১ × ৫০)/২ মিনিটে
= ২৫ মিনিটে

প্রশ্ন: রহিম ও করিম একত্রে একটি কাজ ৪ দিনে করতে পারে। করিম একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। কাজটির অর্ধেক করতে রহিমের কত দিন লাগবে?

সমাধান:
রহিম ও করিম একত্রে ১ দিনে করে ১/৪ অংশ
করিম ১ দিনে করে ১/১২ অংশ

∴ রহিম ১ দিনে করে (১/৪ - ১/১২) অংশ
= (৩ - ১)/১২ অংশ
= ২/১২ অংশ
= ১/৬ অংশ

রহিম ১/৬ অংশ করে ১ দিনে
∴ রহিম ১ অংশ করে (১ × ৬) দিনে
∴ ১/২ অংশ করে (১ × ৬)/২ দিনে
= ৩ দিনে

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি পানির ট্যাংক ৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুইটি খুলে দেওয়ার ৬ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দিলে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে আরো ৮ মিনিট সময় লাগলে শুধু দ্বিতীয় নলটি দ্বারা সম্পূর্ণ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুইটি নল দ্বারা,
৮ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/৮ অংশ 
∴ ৬ মিনিটে পূর্ণ হয় = ৬/৮ অংশ = ৩/৪ অংশ 

৬ মিনিট পর অবশিষ্ট থাকে = ১ - (৩/৪) = (৪ - ৩)/৪ = ১/৪ অংশ

দ্বিতীয় নলটি,
১/৪ অংশ পূর্ণ করতে পারে = ৮ মিনিটে 
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ করতে পারে = (৮ × ৪) মিনিটে = ৩২ মিনিটে  

প্রশ্ন: ফাহিম এবং জামাল একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে শেষ করতে পারে। ফাহিম একা কাজটি ১৮ দিনে শেষ করতে পারলে, জামাল একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
ফাহিম ও জামাল একত্রে, ১২ দিনে করে = ১ টি কাজ
∴ ফাহিম ও জামাল একত্রে, ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ কাজ

আবার,
ফাহিম একা ১৮ দিনে করে = ১ টি কাজ
∴ ফাহিম একা ১ দিনে করে = ১/১৮ অংশ কাজ

∴ জামাল ১ দিনে করে = (১/১২ - ১/১৮) অংশ কাজ
= (৩ - ২)/৩৬ অংশ
= ১/৩৬ অংশ কাজ

এখন,
জামাল ১/৩৬ অংশ কাজ করে = ১ দিনে
∴ জামাল ১ বা সম্পূর্ণ কাজ করে = ৩৬ দিনে

∴ জামাল একা কাজটি করতে পারে = ৩৬ দিনে।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চার আয়তন ৪৮ ঘনমিটার। দৈর্ঘ্য ৮ মি, প্রস্থ ৪ মি হলে উচ্চতা কত মিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
চৌবাচ্চার আয়তন = ৪৮ ঘনমিটার
দৈর্ঘ্য = ৮ মিটার
প্রস্থ = ৪ মিটার

আমরা জানি, 
আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা
⇒ ৪৮ = ৮ × ৪ × উচ্চতা
⇒ ৪৮ = ৩২ × উচ্চতা
⇒ উচ্চতা = ৪৮/৩২
∴ উচ্চতা = ১.৫ মিটার

সুতরাং, চৌবাচ্চার উচ্চতা ১.৫ মিটার।

প্রশ্ন: লাবিব ও সাকিব একটি কাজ একত্রে ১৬ দিনে করতে পারে। লাবিব ও সাকিব একত্রে ৬ দিন কাজ করার পর লাবিব চলে গেল। সাকিব বাকি কাজ ২০ দিনে শেষ করল। সম্পূর্ণ কাজটি সাকিব একা কত দিনে করতে পারত?

সমাধান:
লাবিব ও সাকিব একত্রে ১৬ দিনে করে ১ টি কাজ
∴ লাবিব ও সাকিব একত্রে ১ দিনে করে ১/১৬ অংশ কাজ
∴ লাবিব ও সাকিব একত্রে ৬ দিনে করে (১ × ৬)/১৬ অংশ কাজ
= ৩/৮ অংশ কাজ 

মনে করি, সম্পূর্ণ কাজটি = ১
∴ কাজ বাকি থাকে = {১ - (৩/৮)} অংশ
= (৮ - ৩)/৮ অংশ 
= ৫/৮ অংশ

সাকিব ৫/৮ অংশ কাজ শেষ করে ২০ দিনে
∴ সাকিব ১(সম্পূর্ণ) অংশ কাজ শেষ করে {(৮ × ২০)/৫} দিনে
= ৩২ দিনে

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা ৮ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুটি খুলে দেয়ার ৪ মিনিট পর প্রথম নলটি বন্ধ করে দেয়াতে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে আরো ৭ মিনিট লাগে। দ্বিতীয় নল দ্বারা চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
দুটি নল একত্রে,
৮ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চা
১ মিনিটে পূর্ণ হয়  ১/৮ অংশ
৪ মিনিটে পূর্ণ হয়   (১/৮) × ৪ অংশ
= ১/২ অংশ

চৌবাচ্চাটি খালি থাকে = {১ - (১/২)} অংশ
= (২ - ১)/২ অংশ
= ১/২ অংশ

দ্বিতীয় নল দ্বারা,
১/২ অংশ পূর্ণ হয় ৭ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় (৭ × ২) = ১৪ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা তিনটি নল দিয়ে যথাক্রমে ৪, ৬ ও ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হতে পারে। তিনটি নল একসাথে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটির এক-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
তিনটি নল ১ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = {(১/৪) + (১/৬) + (১/১২)} অংশ
= (৩ + ২ + ১)/১২ অংশ
= ৬/১২ অংশ
= ১/২ অংশ

এখন, ১/২ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায়
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় {১/(১/২)} ঘণ্টায়
= ২ ঘণ্টায়

১ অংশ পূর্ণ করে ২ ঘণ্টায়
∴ ১/৪ অংশ পূর্ণ করে {২ × (১/৪)} ঘণ্টায়
= ১/২ ঘণ্টায় = ৩০ মিনিটে 

প্রশ্ন: দুইটি নল দিয়ে একটি চৌবাচ্চা ১০ মিনিটে পূর্ণ হয়। নল দুটি খুলে দেওয়ার ৮ মিনিট পর দ্বিতীয় নলটি বন্ধ করে দেয়ায় চৌবাচ্চাটির পূর্ণ হতে আরও ৫ মিনিট লাগলে, প্রথম নলটি দিয়ে চৌবাচ্চাটি এককভাবে পূর্ণ করতে কত মিনিট লাগবে?

সমাধান:
দুইটি নল একত্রে ১০ মিনিটে পূর্ণ করে ১ অংশ
∴ দুইটি নল একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ করে (১/১০) অংশ
∴ দুইটি নল একত্রে ৮ মিনিটে পূর্ণ করে (৮/১০) অংশ
= ৪/৫ অংশ

∴ অবশিষ্ট অংশ = {১ - (৪/৫)} অংশ
= (৫ - ৪)/৫ অংশ
= ১/৫ অংশ

প্রথম নল দ্বারা ১/৫ অংশ পূর্ণ হয় ৫ মিনিটে
∴ প্রথম নল দ্বারা ১ অংশ পূর্ণ হয় (৫ × ৫) মিনিটে
= ২৫ মিনিটে

প্রশ্ন: মিতা একটি কাজ ১০ দিনে করতে পারে। রিতা সে কাজ ১৫ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কত দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
মিতা ১ দিনে করে = ১/১০ অংশ
রিতা ১ দিনে করে = ১/১৫ অংশ

∴ একত্রে ১ দিনে কাজ = (১/১০) + (১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০
= ৫/৩০
= ১/৬ অংশ

∴ সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে সময় লাগবে = ১ ÷ (১/৬) = ৬ দিন

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি ট্যাংক যথাক্রমে ১২ ও ১৮ মিনিটে পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে ট্যাংকটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১২ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১/১২ অংশ

২য় নল দ্বারা,
১৮ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ট্যাংকটির = ১/১৮ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১২) + (১/১৮) অংশ
= (৩+২)/৩৬ অংশ
= ৫/৩৬ অংশ

দুইটি নল দ্বারা,
৫/৩৬ অংশ পূর্ণ হয় = ১ মিনিটে
∴ ১ অংশ পূর্ণ হয় = (১ × ৩৬)/৫ মিনিটে
= ৩৬/৫ মিনিটে
= ৭.২ মিনিটে

প্রশ্ন: ১২ জন লোক একটি কাজ ৯ দিনে করতে পারে। একই কাজ ১৮ জন কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান: 
১২ জন লোক একটি কাজ = ৯ দিনে করতে পারে।
∴ ১ জন লোক একটি কাজ = (৯ × ১২) দিনে করতে পারে।
∴ ১৮ জন লোক একটি কাজ = (৯ × ১২)/১৮ দিনে করতে পারে
= ৬ দিনে

অতএব, একই কাজ ১৮ জন ৬ দিনে করতে পারবে। 

প্রশ্ন: একটি কাজ আলাদাভাবে সম্পন্ন করতে আকিব ও রাকিবের যথাক্রমে ১৫ মিনিট ও ৩০ মিনিট সময় লাগে, তবে উভয়ে একত্রে ঐ কাজটি সম্পন্ন করতে কত মিনিট সময় লাগে?

সমাধান:
আকিব ও রাকিব একত্রে ১ মিনিটে করে কাজটির = (১/১৫) + (১/৩০) অংশ
= ৩/৩০ অংশ
= ১/১০ অংশ

আকিব ও রাকিব ১/১০ অংশ কাজ করে ১ মিনিটে 
আকিব ও রাকিব ১ বা সম্পূর্ণ অংশ কাজ করে = (১০ × ১)/১  মিনিটে
= ১০ মিনিটে

প্রশ্ন: রাসেল একটি কাজ ১৫ দিনে এবং আকাশ ২০ দিনে করতে পারে। তারা একদিন একত্রে কাজ করে ৭০০ টাকা পায়। রাসেল কত টাকা পাবে?

সমাধান:
রাসেল ১ দিনে করে কাজটির ১/১৫ অংশ
আকাশ ১ দিনে করে কাজটির ১/২০ অংশ
∴ দুইজন একত্রে ১ দিনে করতে পারে = (১/১৫) + (১/২০) অংশ

প্রশ্নমতে,
(১/১৫) + (১/২০) অংশ = ৭০০ টাকা
বা, (৪ + ৩)/৬০ অংশ = ৭০০ টাকা
বা, ৭/৬০ অংশ = ৭০০ টাকা
বা, ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৭০০ × ৬০/৭ টাকা
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ = ৬০০০ টাকা

তাহলে, রাসেল পাবে = (৬০০০ × ১/১৫) টাকা
= ৪০০ টাকা 

প্রশ্ন: সম্পূর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘণ্টায় সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে ৩ ঘণ্টা সময় লাগে। দুটি পাইপ একসাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটির ২/৩ অংশ পূর্ণ করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
প্রথম পাইপ দ্বারা, ১ ঘণ্টায় ভর্তি হয় = ১/৫ অংশ
দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা, ১ ঘণ্টায় ভর্তি হয় = ১/৩ অংশ
দুটি পাইপ দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় ভর্তি করে = (১/৫ + ১/৩) অংশ = ৮/১৫ অংশ 

৮/১৫ অংশ চৌবাচ্চা ভর্তি হয় = ১ ঘণ্টায়
∴ ২/৩ অংশ চৌবাচ্চা ভর্তি হয় = (১৫ × ২)/(৮ × ৩) ঘণ্টায় 
= ৫/৪ ঘণ্টায়।

সুতরাং, চৌবাচ্চার ২/৩ অংশ পূর্ণ হতে লাগবে ৫/৪ ঘণ্টা সময় লাগবে। 

প্রশ্ন: ক একটি কাজ ৯ দিনে এবং খ ১৮ দিনে করতে পারে। তারা একত্রে কাজটি শুরু করে এবং কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকি কাজ খ ৬ দিনে শেষ করে। মোট কতদিনে কাজটি সম্পূর্ণ হয়?

সমাধান:
খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৮ অংশ
খ ৬ দিনে করে কাজটির (১ × ৬)/১৮ অংশ
= ১/৩ অংশ

∴ বাকি কাজ = (১ - ১/৩) = (৩ - ১)/৩ = ২/৩ অংশ

আবার,
ক ১ দিনে করে কাজটির ১/৯ অংশ
খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৮ অংশ

∴ (ক + খ) ১ দিনে করে কাজটির (১/৯ + ১/১৮) অংশ 
= (২ + ১)/১৮ অংশ
= ৩/১৮ অংশ
= ১/৬ অংশ

এখন, (ক + খ) একত্রে,
১/৬ অংশ করে ১ দিনে
∴ ১ অংশ করে ১× ৬ দিনে
∴ ২/৩ অংশ করে (১ × ৬ × ২)/৩ দিনে
= ৪ দিনে

∴  (ক + খ) একত্রে কাজটি করে ৪ দিনে
এবং খ একা কাজটি করে ৬ দিনে

∴ মোট সময় = (৪ + ৬) = ১০ দিন

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা যথাক্রমে ১২ মিনিট ও ১৫ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে চৌবাচ্চাটির  তিন-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে কত সময় লাগবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
১২ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ অংশ
১ মিনিটে পূর্ণ হয়  ১/১২ অংশ

২য় নল দ্বারা একইভাবে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/১৫ অংশ

নল দুইটি একসঙ্গে খুলে দিলে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/১২) + (১/১৫) অংশ
= (৫ + ৪)/৬০ অংশ
= ৯/৬০ অংশ
= ৩/২০ অংশ

এখন,
৩/২০ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় = (২০/৩) মিনিটে
∴ তিন-চতুর্থাংশ বা ৩/৪ অংশ পূর্ণ হয় = (২০/৩) × (৩/৪) মিনিটে
= ৫ মিনিটে ।

∴ চৌবাচ্চাটির  তিন-চতুর্থাংশ পূর্ণ হতে ৫ মিনিট সময় লাগবে।

প্রশ্ন: একটি পাম্প ২ ঘণ্টায় একটি ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে পারে। কিন্তু ট্যাঙ্ক এ একটি ছিদ্র থাকায় ট্যাংকটি পূর্ণ হতে ১ ঘণ্টা বেশি সময় লাগে। পানিপূর্ণ করার পর সেই ছিদ্র দিয়ে পানি বের হয়ে  সম্পূর্ণ  ট্যাংকটি খালি হতে কত সময় লাগবে?  

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ট্যাংকটি পূর্ণ হতে পারে ২ ঘণ্টায়
সুতরাং ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/২ অংশ

কিন্তু ছিদ্র থাকায় বাস্তবে ট্যাংকটি পূর্ণ হতে সময় লাগে= ২ + ১ = ৩ ঘণ্টা
অর্থাৎ ছিদ্র থাকায় ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৩ অংশ

মনে করি, ছিদ্রপথে ট্যাংকটি সম্পূর্ণ খালি হতে সময় লাগে = x  ঘণ্টা
সুতরাং, ১ ঘণ্টায় খালি হয় = ১/x  অংশ

প্রশ্নমতে, 
(১/২) - (১/x) = ১/৩ 
বা, ১/x  =  ১/২ -  ১/৩)
বা, ১/x = (৩ - ২)/৬
বা, ১/x = ১/৬ 
বা, x = ৬

অর্থাৎ ছিদ্রপথে ট্যাংকটি সম্পূর্ণ খালি হতে সময় লাগবে ৬ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: ৬ জন লোক একটি কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। ২ জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশি সময় লাগবে?

সমাধান:
এখানে, M₁ = ৬, M₂ = (৬ - ২) = ৪, D₁ = ১৬ , W₁ = W₂ = ১

∴ (M₁ × D₁)/(M₂ × D₂) = W₁/W₂
⇒ (৬ × ১৬)/(৪ × D₂) = ১
⇒ ২৪/D₂ = ১ 
⇒ D₂ = ২৪ 

∴ অতিরিক্ত সময় লাগবে (২৪ - ১৬) দিন 
= ৮ দিন

∴ শতকরা সময় বেশি লাগবে = {(৮/১৬) × ১০০}%
= {(১/২) × ১০০}% 
= ৫০%

প্রশ্ন: ৩৬ জন লোক কোনো কাজ ২২ দিনে করতে পারে। কাজ আরম্ভের ১০ দিন পর ১৮ জন লোক চলে গেলে বাকী লোক কত দিনে অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে? 

সমাধান: 
১২ দিন পর - 
অবশিষ্ট সময় থাকে = (২২ - ১০) = ১২ দিন 
এবং অবশিষ্ট লোক থাকে = (৩৬ - ১৮) = ১৮ জন 

৩৬ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ১২ দিনে 
∴ ১ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = ১২ × ৩৬ দিনে 
∴ ১৮ জন লোক অবশিষ্ট কাজ করতে পারে = (১২ × ৩৬)/১৮ দিনে 
= ২৪ দিনে 

∴  অবশিষ্ট কাজ সম্পূর্ণ করতে পারবে = ২৪ দিনে।

প্রশ্ন: একটি ট্যাঙ্কের দুইটি নলের মধ্যে প্রথম নল ২০ মিনিটে এবং দ্বিতীয় নল ৩০ মিনিটে ট্যাঙ্কটি পূর্ণ করে। দুটি নল একসাথে খুলে দিলে ১০ মিনিটে ট্যাঙ্কের কত অংশ পূর্ণ হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা,
২০ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/২০ অংশ

২য় নল দ্বারা,
৩০ মিনিটে পূর্ণ হয় ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/৩০ অংশ

এখন,
দুইটি নল একত্রে খোলা থাকলে,
১ মিনিটে পূর্ণ করে = (১/২০) + (১/৩০) = (৩ + ২)/৬০ = ৫/৬০ = ১/১২ অংশ 
∴ ১০ মিনিটে পূর্ণ করে = (১/১২) × ১০ = ৫/৬ অংশ

প্রশ্ন: ১৫ জন লোক একটি কাজ শেষ করে ৩ ঘণ্টায়। ৫ জন লোক ঐ কাজ কত সময়ে শেষ করবে? 

সমাধান: 
১৫ জন লোক কাজটি শেষ করে = ৩ ঘণ্টায়
∴ ১ জন লোক কাজটি শেষ করে = ৩ × ১৫ ঘণ্টায় 
∴ ৫ জন লোক কাজটি শেষ করে = (৩ × ১৫)/৫ ঘণ্টায়
= ৯ ঘণ্টায় । 

প্রশ্ন: ৬০ জন শ্রমিক একটি পুকুর ৪৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন শ্রমিক ৬০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
৪৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = ৬০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = ৬০ × ৪৫ জন
∴ ৬০ দিনে পুকুরটি খনন করতে শ্রমিক লাগে = (৬০ × ৪৫)/৬০ জন
= ৪৫ জন

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ৪৫ জন।