কাজ, নল ও চৌবাচ্চা সংক্রান্ত সমস্যা

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চায় ক ও খ দুইটি নল আছে। ক নল দ্বারা ৬ মিনিটে পূর্ণ হয় ও খ নল দ্বারা ১২ মিনিটে খালি হয়। নল দুইটি একত্রে খুলে দিলে খালি চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
ক নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/৬ অংশ 
খ নল দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় চৌবাচ্চার ১/১২ অংশ 

∴ ক ও খ নল দুইটি দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/৬) - (১/১২) অংশ
= (২ - ১)/১২ অংশ
= ১/১২ অংশ 

∴ ১/১২ অংশ পূর্ণ হয় ১ মিনিটে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ অংশ পূর্ণ হয় ১২ মিনিটে

সুতরাং, খালি চৌবাচ্চাটি ১২ মিনিটে পূর্ণ হবে।

প্রশ্ন: A একটি কাজ ২৪ দিনে করতে পারে এবং B একই কাজ ১৬ দিনে করতে পারে। B কাজটি ১২ দিন করার পর চলে যায়। তাহলে বাকি কাজটি A একা কত দিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
B একা,
১৬ দিনে কাজ করে = ১ বা সম্পূর্ণ অংশ
∴ ১ দিনে কাজ করে = ১/১৬ অংশ
∴ ১২ দিনে কাজ করে = ১২/১৬ = ৩/৪ অংশ

এখন,
কাজটি ১২ দিন করার পর B চলে যাওয়ায় বাকি কাজ = ১ - (৩/৪) অংশ
= (৪ - ৩)/৪
= ১/৪ অংশ

আবার,
A একা, কাজটির ১ বা সম্পূর্ণ অংশ শেষ করতে পারে = ২৪ দিনে
∴ ১/৪ অংশ শেষ করতে পারে = ২৪ × (১/৪) = ৬ দিনে

প্রশ্ন: ৪০ জন পুরুষ একটি পুকুর ৩০ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ৪০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
৩০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ৪০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ৪০ × ৩০ জন 
∴ ৪০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (৪০ × ৩০)/৪০ জন 
= ৩০ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ৩০ জন।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১০ ও ১৫ ঘণ্টায় পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
১০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ 

১৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় (১/১০) + (১/১৫) অংশ
=(৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

দুইটি নল দ্বারা
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
১ অংশ বা সম্পূর্ণ  পূর্ণ হয় (১ × ৬)/১  = ৬ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: দুটি পাইপ একটি ট্যাংক ভরতে যথাক্রমে ২০ মিনিট এবং ২৪ মিনিট সময় নেয় এবং অন্য একটি পাইপ প্রতি মিনিটে ৩ গ্যালন পানি বের করে। যখন পাইপ তিনটি একসাথে চালানো হয়, তখন ট্যাংকটি ১৫ মিনিটে ভরে যায়। ট্যাংকের ধারণক্ষমতা কত? 

সমাধান:
ধরি, খালি করার পাইপটি ট্যাংকটি 'ক' মিনিটে সম্পূর্ণ খালি করতে পারে।

প্রশ্নমতে,
(১/২০) + (১/২৪) - (১/ক) = ১/১৫
⇒ ১/ক = (১/২০) + (১/২৪) - (১/১৫)
⇒ ১/ক = ১/৪০
∴ ক = ৪০ মিনিট

যেহেতু খালি করার পাইপ প্রতি মিনিটে ৩ গ্যালন পানি বের করে, তাই ৪০ মিনিটে এটি খালি করতে পারে, 
= ৩ × ৪০ = ১২০ 

∴ ট্যাংকের মোট আয়তন = ১২০ গ্যালন।

প্রশ্ন: ৪ দিনে একটি কাজের ১/১৬ অংশ হলে, ঐ কাজের ৫ গুণ কাজ করতে কতদিন লাগবে?

সমাধান: 
১/১৬ অংশ কাজ হয় ৪ দিনে
১ অংশ কাজ হয় (৪ × ১৬) = ৬৪ দিনে

∴ ঐ কাজের ৫ গুণ কাজ করতে লাগবে = ৬৪ × ৫ = ৩২০ দিন

অতএব, ৫ গুণ কাজ সম্পূর্ণ করতে লাগবে ৩২০ দিন।

প্রশ্ন: ১৬ জন লোক প্রতিদিন ৬ ঘণ্টা করে কাজ করলে একটি কাজ ১০ দিনে শেষ করতে পারবে। ১০ জন লোক প্রতিদিন ৮ ঘণ্টা কাজ করলে কাজটি কতদিনে শেষ হবে?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
 M₁ × D₁ × H₁ = M₂ × D₂ × H₂ 
⇒ ১৬ × ১০ × ৬ = ১০ × D₂ × ৮
⇒ D₂ × ৮ = ১৬ × ৬
⇒ D₂ = (১৬ × ৬)/৮ 
∴ D₂ = ১২ 

সুতরাং, কাজটি ১২ দিনে শেষ হবে।

প্রশ্ন: দুটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ১০ ও ১৫ ঘণ্টায় পানি পূর্ণ করে। নল দুটি একত্রে খোলা রাখলে চৌবাচ্চাটি কতক্ষণে পানি পূর্ণ হবে?

সমাধান: 
১০ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১০ অংশ 

১৫ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় ১ টি চৌবাচ্চাটির ১ অংশ 
১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় চৌবাচ্চার ১/১৫ অংশ

দুইটি নল দ্বারা একত্রে ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় (১/১০) + (১/১৫) অংশ
=(৩ + ২)/৩০ অংশ
= ৫/৩০ অংশ
= ১/৬ অংশ

দুইটি নল দ্বারা
১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ১ ঘণ্টায় 
১ অংশ বা সম্পূর্ণ  পূর্ণ হয় (১ × ৬)/১  = ৬ ঘণ্টায়

প্রশ্ন: রিয়া, সুমি, উমা একটি কাজ ২০, ১২, ১৫ দিনে করতে পারে। তবে তারা একত্রে কাজটি কত দিনে করবে?

সমাধান: 
রিয়া ১ দিনে করে = ১/২০ অংশ
সুমি ১ দিনে করে = ১/১২ অংশ
উমা ১ দিনে করে = ১/১৫ অংশ

রিয়া, সুমি ও উমা একত্রে ১ দিনে করে = (১/২০) + (১/১২) + (১/১৫) অংশ
= (৩ + ৫ + ৪)/৬০ অংশ
= ১২/৬০ অংশ
= ১/৫ অংশ

তারা একত্রে ১/৫ অংশ করে ১ দিনে
তারা একত্রে ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করে (১ × ৫) দিনে
= ৫ দিনে 

প্রশ্ন: A একটি কাজ ৫ দিনে, B একটি কাজ ৪ দিনে এবং A, B, C একত্রে ২ দিনে করতে পারে। C একা ঐ কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান: 
A-এর ১ দিনের কাজ = ১/৫ অংশ 
B-এর ১ দিনের কাজ = ১/৪ অংশ
এবং A + B + C একত্রে ১ দিনের কাজ = ১/২ অংশ

∴ C-এর ১ দিনের কাজ = (A + B + C এর ১ দিনের কাজ) - (A + B এর ১ দিনের কাজ) অংশ
= (১/২) - {(১/৫) + (১/৪)} অংশ
= (১০ - ৪ - ৫)/২০ অংশ
= ১/২০ অংশ

∴ C একা পুরো কাজ করবে = ১/(১/২০) = ২০ দিন

সুতরাং, C একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারবে।

প্রশ্ন: একটি ফটোকপি মেশিন ১/৩ সেকেন্ডে ২টি ফটোকপি করে। একই হারে ইহা ২ মিনিটে কতগুলো ফটোকপি করতে পারে?

সমাধান: 
এখানে, ২ মিনিট = ২ × ৬০ সেকেন্ড
= ১২০ সেকেন্ড

১/৩ সেকেন্ডে করে ২টি ফটোকপি
∴ ১ সেকেন্ডে করে {(২ × ৩)/১} টি ফটোকপি
∴ ১২০ সেকেন্ডে করে (২ × ৩ × ১২০) টি ফটোকপি
= ৭২০ টি ফটোকপি

প্রশ্ন: ১৫ জন লোক একটি কাজ ৩ ঘণ্টায় শেষ করতে পারে। ৫ জন লোক ঐ কাজ শেষ করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান: 
১৫ জন লোক একটি কাজ শেষ করতে পারে = ৩ ঘণ্টায় 
∴ ১ জন লোক একটি কাজ শেষ করতে পারে = ৩ × ১৫ ঘণ্টায় 
∴ ৫ জন লোক একটি কাজ শেষ করতে পারে = (৩ × ১৫)/৫ ঘণ্টায় 
= ৯ ঘণ্টায় 

∴ কাজ শেষ করতে কত সময় লাগবে = ৯ ঘণ্টা।

প্রশ্ন: সম্পূর্ণ খালি একটি চৌবাচ্চা একটি পাইপ দিয়ে ৫ ঘণ্টায় সম্পূর্ণ ভর্তি করা যায়। দ্বিতীয় একটি পাইপ দিয়ে চৌবাচ্চাটি ভর্তি করা যায় ৩ ঘণ্টায়। দুই পাইপ এক সাথে ব্যবহার করে চৌবাচ্চাটির ২/৩ অংশ ভর্তি করতে কত সময় লাগবে? 

সমাধান:
পাইপ দুটি একত্রে 1 ঘন্টায় পূর্ণ করে = (১/৫) + (১/৩) অংশ
= (৩ + ৫)/১৫ অংশ 
= ৮/১৫ অংশ

∴ পাইপ দুটি একত্রে,
৮/১৫ অংশ পূর্ণ করে ১ ঘণ্টায়
১ অংশ পূর্ণ করে {১/(৮/১৫)} ঘণ্টায়
২/৩ অংশ পূর্ণ করে {(১৫ × ২)/(৮ × ৩)} ঘণ্টায়
= ৫/৪ ঘণ্টায় 

প্রশ্ন: ক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে এবং খ কাজটি তার দ্বিগুণ সময়ে করে। তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করার কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকী কাজটুকু খ ১৮ দিনে শেষ করে। কাজটি মোট কতদিনে শেষ হয়েছিল?

সমাধান:
ক কাজটি করে = ১২ দিনে
তাহলে খ কাজটি করবে = ১২ × ২ = ২৪ দিনে

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করবে = (১/১২ + ১/২৪) অংশ
= (২ + ১)/২৪
= ৩/২৪
= ১/৮ অংশ

এখন, খ ১ দিনে করে = ১/২৪ অংশ
খ ১৮ দিনে করে = ১৮/২৪ = ৩/৪ অংশ

∴ বাকী কাজ = ১ - (৩/৪) = ১/৪ অংশ

তারা ১/৮ অংশ করে = ১ দিনে
∴ ১ অংশ করে = ৮/১ দিনে
∴ ১/৪ অংশ করে = (৮/১) × (১/৪) = ২ দিনে

∴ মোট সময় = ১৮ + ২ = ২০ দিন

প্রশ্ন: 'ক' একটি কাজ ৩ দিনে করতে পারে। 'খ' ঐ একই কাজ ৬ দিনে করতে পারে। 'ক' ও 'খ' ঐ কাজটি কয় দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
'ক' ৩ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ
'ক' ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/৩ অংশ

'খ' ৬ দিনে করতে পারে কাজটির ১ অংশ
'খ' ১ দিনে করতে পারে কাজটির ১/৬ অংশ

'ক' ও 'খ' একত্রে ১ দিনে করতে পারে কাজটির = (১/৩) + (১/৬) অংশ
= (২ + ১)/৬ অংশ
= ৩/৬ অংশ
= ১/২ অংশ

'ক' ও 'খ' ১/২ অংশ কাজ করে ১ দিনে
'ক' ও 'খ' ১ অংশ (সম্পূর্ণ) কাজ করে ১ ÷ (১/২) দিনে = ২ দিনে

প্রশ্ন: একটি ট্যাংকের ১/৪ অংশ পানি পূর্ণ আছে। ট্যাংকটিতে আরও ১৪ লিটার পানি যোগ করা হলে এটি ৫/৬ অংশ পূর্ণ হবে। ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা কত?

সমাধান:
ধরি,
ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা = x লিটার 

প্রশ্নমতে,
(x/৪) + ১৪ = (৫x/৬)
⇒ (৫x/৬) - (x/৪) = ১৪ 
⇒ (১০x - ৩x)/১২ = ১৪
⇒ ৭x/১২ = ১৪
⇒ x = ১২ × ২ 
∴ x = ২৪

∴ ট্যাংকটির ধারণ ক্ষমতা ২৪ লিটার

প্রশ্ন: ক একটি কাজ ১৮ দিনে করতে পারে এবং খ কাজটি তার দ্বিগুণ সময়ে করে। তারা একত্রে কাজ আরম্ভ করার কয়েকদিন পর ক কাজটি অসমাপ্ত রেখে চলে যায়। বাকী কাজটুকু খ ১২ দিনে শেষ করে। কাজটি মোট কতদিনে শেষ হয়েছিল?

সমাধান:
ক কাজটি করে = ১৮ দিনে
তাহলে খ কাজটি করবে =  ১৮ × ২ = ৩৬ দিনে

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করবে = (১/১৮ + ১/৩৬)
= (২ + ১)/৩৬
= ৩/৩৬
= ১/১২ অংশ

এখন, খ ১ দিনে করে = ১/৩৬ অংশ
খ ১২ দিনে করে = ১২/৩৬ = ১/৩ অংশ

বাকী কাজ = ১ - (১/৩) = ২/৩ অংশ

তারা ১/১২ অংশ করে ১ দিনে
∴ ১ অংশ করে ১২/১ দিনে
∴ ২/৩ অংশ করে (১২/১)  × (২/৩) = ৮ দিনে

∴ মোট সময় = ১২ + ৮ = ২০ দিন

প্রশ্ন: ৮ জন শ্রমিক একটি কাজ  ১০ দিনে করতে পারে। যদি সময়ের কোন পরিবর্তন না করে কাজের পরিমাণ দ্বিগুণ হয়, তাহলে নির্দিষ্ট সময়ে কাজ শেষ করতে অতিরিক্ত কতজন শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
যদি কাজের পরিমাণ দ্বিগুণ করা হয় এবং সময় বৃদ্ধি করা না হয় তাহলে দিন সংখ্যা হবে = ১০ এবং কাজ সংখ্যা হবে = ২
 
তাহলে,  
১ টি কাজ ১০ দিনে করতে পারে = ৮ জন শ্রমিক
∴ ২ টি কাজ ১০ দিনে করতে পারে = ৮ × ২ = ১৬ জন 

অতএব, অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (১৬ - ৮) জন = ৮ জন 

বিকল্প:
যদি কাজের পরিমাণ দ্বিগুণ করা হয় এবং সময় বৃদ্ধি করা না হয় তাহলে শ্রমিক সংখ্যা দ্বিগুণ করতে হবে। 
অর্থাৎ মোট শ্রমিক লাগবে = (৮ × ২) জন = ১৬ জন 
∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (১৬ - ৮) জন = ৮ জন 

প্রশ্ন: একটি পাইপ 6 ঘন্টায় একটি ট্যাংক পূর্ণ করতে পারে এবং অপর একটি পাইপ ট্যাংকটি 8 ঘন্টায় খালি করতে পারে। যদি প্রথম পাইপটি 2 ঘন্টা চলার পর দ্বিতীয় পাইপটি চালু করা হয়, তাহলে দুইটি পাইপ চালু অবস্থায় পুরো ট্যাংকটি ভর্তি হতে মোট কত সময় লাগবে?

সমাধান:
প্রথম পাইপ দ্বারা,
6 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = 1 অংশ
∴ 1 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = 1/6 অংশ
∴ 2 ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = 2/6 অংশ = 1/3 অংশ

∴ 2 ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকবে = (1 - 1/3) = 2/3 অংশ

দ্বিতীয় পাইপ দ্বারা,
8 ঘণ্টায় খালি হয় = 1 অংশ
∴ 1 ঘণ্টায় খালি হয় = 1/8 অংশ

দুইটি পাইপ একসাথে চললে ট্যাংকটি ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হবে = (1/6) - (1/8)
= (4 - 3)/24 = 1/24

1/24 অংশ পূর্ণ হয় = 1 ঘণ্টায়

∴ 2/3 অংশ পূর্ণ হয় = (2 × 24)/3 = 16 ঘণ্টায়

∴ ট্যাংকটি পূর্ণ হতে মোট সময় লাগবে = (2 + 16) ঘণ্টা = 18 ঘণ্টা 

ক এর একদিনের কাজ = ১/১০ অংশ
খ এর একদিনের কাজ = ১/১৫ অংশ

∴ ক ও খ একসাথে একত্রে ১ দিনে করে কাজটির = (১/১০) + (১/১৫) অংশ
= (৩ + ২)/৩০ = ৫/৩০
= ১/৬
∴ ক ও খ একসাথে একত্রে ৫ দিনে করে কাজটির = ৫/৬ অংশ

∴ বাকি থাকে কাজটির = ১ - (৫/৬) = (৬ - ৫)/৬ = ১/৬ অংশ

∴ গ সম্পন্ন করে কাজটির ১/৬ অংশ।

প্রশ্ন: একটি জলাধারের তিন চতুর্থাংশ পানি দ্বারা পূর্ণ এবং এতে আরও ২৫ লিটার পানি ঢাললে জলাধারের ৮৫% পূর্ণ হয়। জলাধারটির ধারণক্ষমতা কত লিটার?

সমাধান:
৩/৪ অংশ = (৩/৪) × ১০০% = ৭৫%
২৫ লিটার পানি ঢাললে জলাধারটির ৮৫% পূর্ণ হয়।
∴ ৮৫% - ৭৫% = ২৫
বা, ১০% = ২৫
বা, ১% = ২৫/১০
বা, ১০০% = (২৫/১০) × ১০০% = ২৫০ লিটার

অতএব, জলাধারটির ধারণক্ষমতা ২৫০ লিটার

প্রশ্ন: দুইটি নল দ্বারা একটি চৌবাচ্চা যথাক্রমে ৮ ঘণ্টা ও ১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয়। প্রথম নলটি একা ২ ঘণ্টা চলার পর বন্ধ করে দেওয়া হয় এবং দ্বিতীয় নলটি খুলে দেওয়া হয়। চৌবাচ্চাটি মোট কত সময়ে পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
প্রথম নল দ্বারা,
৮ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১ অংশ
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/৮ অংশ

দ্বিতীয় নল দ্বারা,
১২ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১২ ঘন্টায়
∴ ১ ঘণ্টায় পূর্ণ হয় = ১/১২​ অংশ

প্রথম নলটি,
২ ঘণ্টায় পূর্ণ করে = ২ × (১/৮) = ১/৪ অংশ 

∴ ২ ঘণ্টা পর অবশিষ্ট থাকে = ১ -  (১/৪) = (৪ - ১)/৪ = ৩/৪ অংশ

এখন, দ্বিতীয় নলটি ১ অংশ পূর্ণ করে = ১২ ঘণ্টায়
∴ ৩/৪ অংশ পূর্ণ করে = ১২× (৩/৪) = ৯ ঘণ্টায়

সুতরাং চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে মোট সময় = ১ম নল দ্বারা পূর্ণ করার সময় + ২য় নল দ্বারা পূর্ণ করার সময় 
= ২ ঘণ্টা + ৯ ঘণ্টা
= ১১ ঘণ্টা

প্রশ্ন: একটি কাজ ১২ জন লোক ১৫ দিনে করতে পারে। ২০ জন লোক কত দিনে কাজটি করতে পারবে? 

সমাধান: 
১২ জন লোক কাজটি করে = ১৫ দিনে
∴ ১ জন লোক কাজটি করবে = (১৫ × ১২) দিনে
∴ ২০ জন লোক কাজটি করবে = (১৫ × ১২)/২০ দিনে
= ৯ দিনে।

প্রশ্ন: ৩ জন বালক বা ৪ জন বালিকা একটি কাজ ২৬ দিনে শেষ করতে পারলে ৬ জন বালক ও ৫ জন বালিকা একত্রে কাজটি কতদিনে শেষ করতে পারবে?

সমাধান:
৩ জন বালক = ৪ জন বালিকা
∴ ১ জন বালক = ৪/৩ জন বালিকা
∴ ৬ জন বালক = {(৪ × ৬)/৩} জন বালিকা
= ৮ জন বালিকা

∴ মোট বালিকা = (৮ + ৫) জন
= ১৩ জন

৪ জন বালিকা কাজটি সম্পন্ন করতে পারে ২৬ দিনে
∴ ১ জন বালিকা কাজটি সম্পন্ন করতে পারে (২৬ × ৪) দিনে
∴ ১৩ জন বালিকা কাজটি সম্পন্ন করতে পারে {(২৬ × ৪)/১৩} দিনে
= ৮ দিনে

প্রশ্ন: একটি পানির ট্যাঙ্ক দুই-তৃতীয়াংশ পূর্ণ আছে। পাইপ ক দ্বারা ট্যাঙ্কটি ১০ মিনিটে পূর্ণ হয়। আবার পাইপ খ দ্বারা ট্যাঙ্কটি ৬ মিনিটে খালি হয়। যদি দুইটি পাইপ একসাথে চালু থাকে তবে কত সময় পর সম্পূর্ণ ট্যাঙ্কটি খালি বা পূর্ণ হবে? 

সমাধান: 
পাইপ p দিয়ে ১ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১/১০ অংশ 
আবার, 
পাইপ q দিয়ে ১ মিনিটে খালি হয় = ১/৬ অংশ 
∴ দুটি নল খোলা থাকলে ১ মিনিটে খালি হবে = {(১/৬) - (১/১০)} 
= (৫ - ৩)/৩০ অংশ 
= ২/৩০ অংশ 
= ১/১৫ অংশ 

এখন, 
১/১৫ অংশ খালি হয় = ১ মিনিটে 
∴ ১ অংশ খালি হয় = ১৫ মিনিটে 
∴ ২/৩ অংশ খালি হয় = (১৫ × ২)/৩ মিনিটে 
= ১০ মিনিটে। 

প্রশ্ন: ২০ জন পুরুষ একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ × ১৫ জন 
∴ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (২০ × ১৫)/২০ জন 
= ১৫ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ১৫ জন।

প্রশ্ন: A এবং B একসাথে একটি কাজ 10 দিনে শেষ করতে পারে। A একা সেই কাজটি 30 দিনে শেষ করতে পারে। যদি B প্রতিদিন শুধু অর্ধেক দিন কাজ করে, তাহলে A এবং B একসাথে কাজটি কত দিনে শেষ করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A ও B একসাথে কাজটি সম্পন্ন করে = 10 দিনে
সুতরাং, তাদের এক দিনের কাজ = 1/10 অংশ

A একা কাজটি সম্পন্ন করে = 30 দিনে
সুতরাং, A এর এক দিনের কাজ = 1/30 অংশ

অতএব, B এর এক দিনের কাজ = (A ও B এর একসাথে কাজ) - (A এর একা কাজ)
= 1/10 - 1/30 অংশ
= (3 - 1)/30 অংশ
= 2/30 অংশ
= 1/15 অংশ

B প্রতিদিন অর্ধেক দিন কাজ করলে, তার প্রতিদিনের কাজ হবে,
= (1/15)/2 অংশ
= 1/30 অংশ

এখন, A (পুরো দিন) এবং B (অর্ধেক দিন) একসাথে কাজ করলে তাদের প্রতিদিনের মোট কাজ হবে:
= (A এর এক দিনের কাজ) + (B এর প্রতিদিনের কাজ)
= 1/30 + 1/30 অংশ
= 2/30 = 1/15 অংশ

যেহেতু তারা প্রতিদিন কাজের 1/15 অংশ সম্পন্ন করে, তাই সম্পূর্ণ কাজটি সম্পন্ন করতে তাদের সময় লাগবে 15 দিন।

সুতরাং, তারা একসাথে 15 দিনে কাজটি সম্পন্ন করবে। 

প্রশ্ন: একটি বাঁধ তৈরি করতে ৩৬০ জন শ্রমিকের ২৪ দিন সময় লাগে। ১৬ দিনে বাঁধের কাজ শেষ করতে হলে কতজন অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে?

সমাধান:
বাঁধ তৈরি করতে,
২৪ দিনে শ্রমিক লাগে ৩৬০ জন
১ দিনে শ্রমিক লাগে   ৩৬০ × ২৪ জন
১৬ দিনে শ্রমিক লাগে  (৩৬০ × ২৪)/১৬ জন
= ৫৪০ জন

∴ অতিরিক্ত শ্রমিক লাগবে = (৫৪০ - ৩৬০) = ১৮০ জন

প্রশ্ন: ১০ জন লোক একটি কাজের অর্ধেক অংশ ৬ দিনে করতে পারে। ঐ কাজটি ৩ জন লোক কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
১০ জন লোক অর্ধেক কাজ করতে পারে = ৬ দিনে
∴ ১০ জন লোক সম্পূর্ণ কাজ করতে পারে = ৬ × ২ = ১২ দিনে

এখন,
১০ জন লোক কাজটি করতে পারে = ১২ দিনে
∴ ১ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১২ × ১০) দিনে
∴ ৩ জন লোক কাজটি করতে পারে = (১২ × ১০)/৩ = ৪০ দিনে

প্রশ্ন: একটি নল ১২ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ১৪ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে চৌবাচ্চাটি ৯৬ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে? 

সমাধান: 
ধরি, 
​১ম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে পানি প্রবেশ করে = x লিটার 
​এবং 
​চৌবাচ্চাটিতে মোট পানি ধরে = y লিটার 
​
প্রশ্নমতে, 
y = ১২x ..............(1)
এবং y = ৯৬x - ৯৬ × ১৪ ...........(2) 

(1) এর x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 
⇒ y = ৯৬(y/১২) - ১৩৪৪ 
⇒ y = ৮y - ১৩৪৪
∴ y = ১৩৪৪/৭ = ১৯২

∴ চৌবাচ্চাটিতে মোট পানি ধরে = ১৯২ লিটার। 

প্রশ্ন: একটি কাজ ২০ জন লোক ৩০ দিনে সম্পন্ন করতে পারে। তাহলে ৪০ জন লোক সেই কাজটি কত দিনে সম্পন্ন করতে পারবে? 

সমাধান: 
২০ জন লোক কাজটি করে = ৩০ দিনে
∴ ১ জন লোক কাজটি করবে = (৩০ × ২০) দিনে
∴ ৪০ জন লোক কাজটি করবে = (৩০ × ২০)/৪০ দিনে
= ১৫ দিনে ।

প্রশ্ন: দুটি নল একত্রে একটি চৌবাচ্চা 10 মিনিটে পূর্ণ করে। যদি প্রথম নলটি একা 15 মিনিটে পূর্ণ করতে পারে, তবে দ্বিতীয় নলটি একা পূর্ণ করতে কত সময় নেবে?

সমাধান:

প্রশ্ন: কোনো কাজের এক-চতুর্থাংশ শেষ করতে ১২ জন লোকের ১৬ দিন সময় লাগে। পুরো কাজটি শেষ করতে ২৪ জন লোকের কতদিন সময় লাগবে?

সমাধান:
১/৪ অংশ কাজ শেষ করতে ১২ জন লোকের সময় লাগে = ১৬ দিন
∴ ১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ১২ জন লোকের সময় লাগে = (১৬ × ৪) দিন
∴ ১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ১ জন লোকের সময় লাগে = (১৬ × ৪ × ১২) দিন
∴ ১ বা সম্পূর্ণ কাজ শেষ করতে ২৪ জন লোকের সময় লাগে = (১৬ × ৪ × ১২)/২৪ দিন
= (৭৬৮)/২৪ দিন
= ৩২ দিন

প্রশ্নঃ দুটি পাইপ একসাথে একটি ট্যাঙ্ক ১২ মিনিটে পূর্ণ করতে পারে। ৭ মিনিট পর একটি পাইপ বন্ধ করে দেওয়া হয়, এবং বাকি পাইপটি ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে আরও ১৫ মিনিট সময় নেয়। প্রত্যেকটি পাইপ পৃথকভাবে ট্যাঙ্কটি পূর্ণ করতে কত সময় নেয়?

সমাধানঃ
প্রথম পাইপ একা ট্যাঙ্কটি পূর্ণ করতে সময় নেয় = x মিনিট
দ্বিতীয় পাইপ একা ট্যাঙ্কটি পূর্ণ করতে সময় নেয় = y মিনিট
তাহলে,
প্রথম পাইপের কাজের হার = ১/x
দ্বিতীয় পাইপের কাজের হার = ১/y

দুটি পাইপ একসাথে ১২ মিনিটে ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে পারে।

অতএব, ১/x + ১/y= ১/১২ ……(i)

দুটি পাইপ ৭ মিনিট একসাথে চলে, তারপর একটি বন্ধ করা হয়, এবং বাকি পাইপটি আরও ১৫ মিনিটে ট্যাঙ্ক পূর্ণ করে।
ধরা যাক যে পাইপটি বন্ধ হয়নি, সেটি প্রথম পাইপ।
আবার,
৭(১/x + ১/y) + ১৫(১/x) = 1……(ii)
এখন সমীকরণ (i) থেকে ১/x + ১/y= ১/১২ (ii)-এ বসাইঃ
৭(১/১২) + ১৫/x = ১
⇒ ১৫/x = ১ - (৭/১২)
⇒ ১৫/x = ৫/১২
⇒ x = (১৫ × ১২)/৫
⇒ x = ৩৬

অর্থাৎ, প্রথম পাইপ একা ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে ৩৬ মিনিট সময় নেয়।
সমীকরণ (i) থেকে (i):
১/y = (১/১২) - (১/৩৬)
⇒ ১/y = ২/৩৬
⇒ ১/y = ১/১৮
⇒ y = ১৮
অর্থাৎ, দ্বিতীয় পাইপ একা ট্যাঙ্ক পূর্ণ করতে ১৮ মিনিট সময় নেয়।

প্রশ্ন: একটি চৌবাচ্চা দুইটি নল দ্বারা পৃথক পৃথকভাবে যথাক্রমে ১৫ মিনিটে ও ২০ মিনিটে পূর্ণ হতে পারে। নল দুইটি একসঙ্গে খুলে রাখা হল। কিন্তু চৌবাচ্চার নিচে একটি ছিদ্র থাকায় খালি চৌবাচ্চাটি ১২ মিনিটে পূর্ণ হল। নল দুইটি বন্ধ থাকলে ঐ ছিদ্র দ্বারা পূর্ণ চৌবাচ্চাটি কত সময়ে খালি হবে?

সমাধান:
১ম নল দ্বারা ১৫ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
১ম নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/১৫ অংশ

২য় নল দ্বারা ২০ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/২০ অংশ

১ম ও ২য় নল দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির {(১/১৫) + (১/২০)} অংশ
= (৪ + ৩)/৬০ অংশ
= ৭/৬০ অংশ

ছিদ্র দ্বারা ১২ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১ অংশ
ছিদ্র দ্বারা ১ মিনিটে পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাটির ১/১২ অংশ

ধরি, ছিদ্রটি দ্বারা ১ মিনিটে খালি হয় = ক অংশ 

∴ (৭/৬০) - ক = ১/১২
⇒ ক = (৭/৬০) - (১/১২)
⇒ ক = (৭ - ৫)/৬০
⇒ ক = ২/৬০
⇒ ক = ১/৩০

ছিদ্র দ্বারা ১/৩০ অংশ খালি হয় = ১ মিনিটে 
∴ ছিদ্র দ্বারা ১ (সম্পূর্ণ) অংশ খালি হয় = (১ × ৩০) মিনিটে 
= ৩০ মিনিটে

প্রশ্ন: একটি নল ১২ মিনিটে একটি খালি চৌবাচ্চা পূর্ণ করতে পারে। অপর একটি নল প্রতি মিনিটে ১৪ লিটার পানি বের করে দেয়। চৌবাচ্চাটি খালি থাকা অবস্থায় দুইটি নল একসাথে খুলে দেওয়া হলে চৌবাচ্চাটি ৯৬ মিনিটে পূর্ণ হয়। চৌবাচ্চাটিতে কত লিটার পানি ধরে?

সমাধান:
মনে করি, ১ম নল দ্বারা প্রতি মিনিটে ক লিটার পানি প্রবেশ করে এবং চৌবাচ্চাটিতে মোট খ লিটার পানি ধরে।
প্রশ্ন অনুসারে, ১ম নল দ্বারা ১২ মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
∴ খ = ১২ক ....................... (i)

আবার, দুইটি নল দ্বারা ৯৬ মিনিটে খালি চৌবাচ্চাটি পূর্ণ হয়।
 খ = (৯৬ক - ৯৬) × ১৪ ....................... (ii)

সমীকরণ (i) থেকে পাই, ক = খ/১২

ক এর মান সমীকরণ (ii) বসিয়ে পাই,
⇒ খ = {৯৬ × (খ/১২)}  - (৯৬ × ১৪)
⇒ খ = ৮খ  - (৯৬ × ১৪)
⇒ ৭খ = ৯৬ × ১৪
⇒ খ = (৯৬ × ১৪)/৭
⇒ খ = ৯৬ × ২
∴ খ = ১৯২