সমস্যা সমাধান (Problem Solving)

প্রশ্ন: ৬টা ৪০ মিনিটের সময় ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?

সমাধান:
মধ্যবর্তী কোণ = │(১১m - ৬০h)/২│°
= │(১১ × ৪০ - ৬০ × ৬)/২│°
= │(৪৪০ - ৩৬০)/২│°
= │৮০/২│°
= ৪০°

প্রশ্ন: স্থির পানিতে নৌকার বেগ 15 কি.মি./ঘণ্টা। স্রোতের অনুকূলে যেতে যত সময় লাগে স্রোতের প্রতিকূলে যেতে তার দ্বিগুণ সময় লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
মনে করি,
স্রোতের প্রতিকূলে বেগ = x কি.মি./ঘণ্টা
স্রোতের অনুকূলে বেগ = 2x কি.মি./ঘণ্টা

আমরা জানি,
স্থির পানিতে নৌকার বেগ = (স্রোতের প্রতিকূলে বেগ + স্রোতের অনুকূলে বেগ)/2
= (x + 2x)/2
= 3x/2

প্রশ্নমতে,
3x/2 = 15
⇒ 3x = 30
⇒ x = 10 কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের অনুকূলে বেগ = (2 × 10) = 20 কি.মি./ঘণ্টা

∴ স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে বেগ - প্রতিকূলে বেগ)/2
= (22 - 10)/2
= 10/2
= 5 কি.মি./ঘণ্টা

প্রশ্ন: ৪০০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৭২ কিলোমিটার বেগে ২৫ সেকেন্ডে একটি সেতু অতিক্রম করে। সেতুটির দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ট্রেনের দৈর্ঘ্য = 400 মিটার
বেগ = 72 কিমি/ঘণ্টা
= 72 × (1000/3600)  মিটার/সেকেন্ড
= 20 মিটার/সেকেন্ড 

ট্রেন সেতু অতিক্রম করার সময় যে দূরত্ব অতিক্রম করে = বেগ × সময় = 20 × 25 = 500 মিটার

∴ সেতুর দৈর্ঘ্য = মোট দূরত্ব - ট্রেনের দৈর্ঘ্য
= 500 − 400
= 100 মিটার

প্রশ্ন: একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১৬ সে.মি. এবং কর্ণ ২০ সে.মি.। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান: 
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
 কর্ণ^২= দৈর্ঘ্য^২ + প্রস্থ^২
বা, ২০^২ = ১৬^২ + প্রস্থ^২
বা, ৪০০ = ২৫৬ + প্রস্থ^২
বা, প্রস্থ^২ = ৪০০ - ২৫৬
বা, প্রস্থ^২ = ১৪৪
বা, প্রস্থ = √১৪৪ 
∴ প্রস্থ = ১২ সে.মি.

আমরা জানি,
ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= ১৬ × ১২
= ১৯২ বর্গ সে.মি.।

আধুলি = ০.৫০ × ৫ = ২.৫০ টাকা
সিকি = ০.২৫ × ৮ = ২.০০ টাকা
বাকী থাকে = ৫.০০ - (২.৫০ + ২.০০) = ০.৫০ টাকা
১০ পয়সা লাগবে = ০.৫০ ÷ ০.১০ = ৫টি

প্রশ্ন: একজন দোকানদার প্রতি হালি ডিম ৪০ টাকা দরে ক্রয় করে প্রতি ২ হালি ৯৬ টাকা দরে বিক্রয় করলে তার শতকরা কত লাভ হবে?

সমাধান:
১ হালি ডিমের ক্রয়মূল্য ৪০ টাকা
∴ ২ হালি ডিমের  ক্রয়মূল্য = ৪০ × ২ টাকা = ৮০ টাকা।

দেওয়া আছে,
২ হালি ডিমের বিক্রয়মূল্য = ৯৬ টাকা 
যেহেতু ডিমের ক্রয়মূল্য থেকে বিক্রয়মূল্য বেশি, সুতরাং লাভ হবে।

∴  লাভ = (৯৬  - ৮০) টাকা = ১৬ টাকা।

এখন,
৮০ টাকায় লাভ হয় = ১৬ টাকা
∴ ১ টাকায় লাভ হয় = ১৬/৮০ টাকা 
∴ ১০০ টাকায়  লাভ হয় = (১৬ × ১০০)/৮০ = ২০ টাকা। 

অর্থাৎ লাভের পরিমাণ = ২০%

প্রশ্ন: হাসানের জন্মদিন ২৯ ফেব্রুয়ারি। তার জন্মগ্রহণের সালটি কত হতে পারে?

সমাধান:
ফেব্রুয়ারি মাস ২৯ দিনে হয় যখন বছরটি লিপ ইয়ার হয়।

- যদি বছরটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে সেটি অধিবর্ষ (লিপ ইয়ার)।
- অপশনে প্রদত্ত সালগুলোর মধ্যে শুধুমাত্র ২০০৪ সালটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
- সুতরাং, ২০০৪ সালটি লিপ ইয়ার।
- অতএব, হাসানের জন্মগ্রহণের সাল হতে পারে ২০০৪।

প্রশ্ন: ক, খ থেকে ছোট। খ , গ এর থেকে বড়। গ, ক থেকে ছোট এবং ঘ, খ থেকে বড়। ক, খ, গ এবং ঘ এর মধ্যে কে সবচেয়ে ছোট?

সমাধান:
ক, খ  থেকে ছোট =  খ  > ক
খ , গ এর থেকে বড় = খ  > গ
গ, ক থেকে ছোট = ক > গ
ঘ, খ থেকে বড় = ঘ > খ 

অসমতাগুলোকে ক্রমানুসারে সাজিয়ে পাই 
ঘ > খ > ক > গ 

সবচেয়ে ছোট = গ  

প্রশ্ন: একটি খামারে মোট ৫০ টি গরু ও হাঁস রয়েছে। প্রাণীগুলোর মোট ১৩৪ টি পা থাকলে। ঐ খামারে মোট কতটি হাঁস আছে?

সমাধান:
ধরি,
হাঁসের সংখ্যা = ক
তাহলে গরুর সংখ্যা = ৫০ - ক

আমরা জানি,
হাঁসের পা = ২টি
গরুর পা = ৪টি

প্রশ্নমতে,
২ক +৪(৫০ - ক) = ১৩৪
⇒ ২ক + ২০০ - ৪ক = ১৩৪
⇒ - ২ক = ১৩৪ - ২০০
⇒ - ২ক = - ৬৬
∴ ক = ৩৩

∴ হাঁসের সংখ্যা = ৩৩ টি

তর্ক হতে পারে যে, B, A ও C এর মাঝে বসলে - এখানে ডান ও বাম বলা নেই।
D এর দিকে বসাতে গেলে B কে D এর কোলে বসাতে হয়। প্রশ্নে ''লোক'' বলা আছে। তাই, B কে বাচ্চা ধরা যাচ্ছে না। একজন লোক আরেকজন লোকের কোলে বসবেন এটা কোন কাজের কথা হল না।

আবার, এটাও বলা যেতে পারে যে, B ও D দুইজনই A এর বামে দূরত্ব বজায় রেখে বসেছে। এক্ষেত্রেও প্রশ্নে বলা আছে, একটি গোলটেবিলের চারদিকে বসল। সেক্ষেত্রে এক দিক খালি থেকে যায়।

সঠিক উত্তর, B, C এর বামদিকে বসল।

ধরি সংখ্যাটি x.
তাহলে, 1/3 of 1/4 of x = 15
বা, x = 15 × 3 × 4 = 180
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 3/10 × 180 = 54

আমরা জানি,
বেগ = সরণ/সময়
= ৬০০/৩০০
= ২ মিটার/সেকেন্ড
= ৭.২ কিমি/ঘণ্টা

প্রশ্ন:

সমাধান:
8 × 2
= 8 + 2 + (8/2)
= 10 + 4
= 14

মনে করি,
A, x দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে
প্রশ্নমতে,
B কাজ শেষ করতে সময় লাগে ( ২ ✕ ৩/৪x) = ৩x/২ দিন 
A ও B একত্রে ১ দিনে করে কাজের ১/২১ অংশ
এখন, ১/x + ২/৩x = ১/২১
⟹ x = ( ৫ ✕ ২১)/৩ = ৩৫ দিন

ধরি,
A, B, C, D এর টাকার পরিমাণ যথাক্রমে ৫ক, ২ক, ৪ক, ৩ক
তাহলে, ৪ক - ৩ক = ১৫০০
বা, ক = ১৫০০
সুতরাং, B পাবে = ২×১৫০০ = ৩০০০ টাকা

প্রশ্ন: গোপালের খামারে মুরগি ও ছাগল মিশিয়ে মোট 43 টি প্রাণী আছে। তাদের মোট পায়ের সংখ্যা 142 হলে, মুরগির সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি
মুরগির সংখ্যা = x
ছাগলের সংখ্যা = y

প্রশ্নমতে, 
x + y = 43 ....…(1)
এবং
2x + 4y = 142 [মুরগির পা = 2টি, প্রতি ছাগলের পা = 4টি]  
2(x + 2y) = 142
x + 2y = 71 ....…(2)

এখন, (2) - (1) করে পাই, 
⇒ (x + 2y) - (x + y) = 71 - 43
⇒ x + 2y - x - y = 28
∴ y = 28

(1)- নং এ y এর মান বসিয়ে পাই, 
⇒ x + 28 = 43
⇒ x = 43 - 28
∴ x = 15

সুতরাং, মুরগির সংখ্যা = 15টি।

প্রশ্ন: একটি জারে থাকা ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা প্রতিদিন দ্বিগুণ হয়। ২০ দিনে জারটি সম্পূর্ণ পূর্ণ হলে, ঐ জারের ১/৪ অংশ পূর্ণ হতে কত দিন সময় লেগেছিল?

সমাধান:
ব্যাকটেরিয়া প্রতিদিন দ্বিগুণ হারে বৃদ্ধি পায়।
সম্পূর্ণ জারটি ভরতে সময় লাগে = ২০ দিন।

যেহেতু প্রতিদিন সংখ্যা দ্বিগুণ হয়, তাই:
২০তম দিনে = সম্পূর্ণ জার ভরে = ১ (পূর্ণ অংশ)
১৯তম দিনে = অর্ধেক জার ভরে = ১/২ অংশ
১৮তম দিনে = এক-চতুর্থাংশ জার ভরে = ১/৪ অংশ

∴ ঐ জারের ১/৪ অংশ পূর্ণ হতে ১৮ দিন সময় লেগেছিল।

প্রশ্ন: যদি গতকাল শুক্রবার হতো, তাহলে আজ থেকে ৮১ তম দিন কি বার হবে?

সমাধান:
গতকাল শুক্রবার ছিল।
অতএব, আজ শনিবার।
এখন আজ থেকে ৮১ তম দিন কোন বার হবে তা বের করতে হবে।

প্রতি সপ্তাহে ৭ দিন থাকে, তাই আমরা ৮১ কে ৭ দিয়ে ভাগ করব:

৮১ ÷ ৭ = ১১ সপ্তাহ এবং ৪ দিন। 
অতএব, ৮১ দিনের ব্যবধান মানে ৪ দিন পরের বার।

এখন আজ (শনিবার) থেকে ৪ দিন যোগ করি:
আজ = শনিবার (দিন ০)
দিন ১ = রবিবার
দিন ২ = সোমবার
দিন ৩ = মঙ্গলবার
দিন ৪ = বুধবার

∴ সঠিক উত্তর: বুধবার

প্রশ্ন: ১২ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। কাজটি ১৫ দিনে শেষ করতে হলে কতজন নতুন লোক নিয়োগ করতে হবে?

সমাধান:
২০ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = ১২ জন
∴ ১ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = (১২ × ২০) জন
∴ ১৫ দিনে কাজটি করতে লোক লাগে = (১২ × ২০) / ১৫ জন
= ১৬ জন

∴ নতুন লোক নিয়োগ করতে হবে = (১৬ - ১২) জন
= ৪ জন

প্রশ্ন: প্রথম ৬০ টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 
গড় = সমষ্টি/সংখ্যার সংখ্যা

এখন, 
প্রথম n টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টির = n(n + ১)/২ 
= ৬০(৬০ + ১)/২ 
= ৩০ × ৬১
= ১৮৩০ 

গড় = সমষ্টি/সংখ্যার সংখ্যা = ১৮৩০/৬০ 
= ৩০.৫ 

∴ প্রথম ৬০টি স্বাভাবিক সংখ্যার গড় ৩০.৫।

প্রশ্ন: 'A' 'B'-এর চেয়ে দ্বিগুণ কাজ করতে পারে; তারা দুজন একত্রে একটি কাজ ১৪ দিনে শেষ করতে পারে। 'A' একা কাজটি কতদিনে করতে পারবে?

সমাধান:
A একটা কাজ ক দিনে করলে B ঐ কাজ ২ক দিনে করতে পারে।
A, ক দিনে করে ১টি কাজ
A, ১ দিনে করে ১/ক অংশ

আবার,
B, ২ক দিনে করে ১টি কাজ
B, ১ দিনে করে ১/২ক অংশ

A ও B একত্রে ১ দিনে করে (১/ক + ১/২ক) অংশ বা (৩/২ক) অংশ

A ও B একত্রে (৩/২ক) অংশ করে ১ দিনে
A ও B একত্রে ১ বা সম্পূর্ণ অংশ করে (২ক/৩) দিনে।

প্রশ্নানুসারে,
২ক/৩ = ১৪
বা, ক = (১৪ × ৩)/২
∴ ক = ২১

∴ A একা কাজটি ২১ দিনে করতে পারে।

প্রশ্ন: ৭০ লিটার মিশ্রণে কেরোসিন ও পেট্রোলের অনুপাত ৪ : ৩। এতে কত লিটার পেট্রোল যোগ করলে অনুপাত ৮ : ১১ হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট মিশ্রণ = ৭০ লিটার
অনুপাতের সমষ্টি = ৪ + ৩ = ৭
∴ কেরোসিন = (৪/৭) × ৭০ = ৪০ লিটার
∴ পেট্রোল = (৩/৭) × ৭০ = ৩০ লিটার

ধরি, 'ক' লিটার পেট্রোল যোগ করতে হবে।
অর্থাৎ, পেট্রোল = (৩০ + ক) লিটার

প্রশ্নমতে,
কেরোসিন : পেট্রোল = ৮ : ১১
⇒ ৪০/(৩০ + ক) = ৮/১১
⇒ ৮ × (৩০ + ক) = ৪০ × ১১
⇒ ৮ × ৩০ + ৮ক = ৪৪০
⇒ ২৪০ + ৮ক = ৪৪০
⇒ ৮ক = ৪৪০ - ২৪০
⇒ ৮ক = ২০০
⇒ ক = ২০০/৮
∴ ক = ২৫ লিটার

সুতরাং, ২৫ লিটার পেট্রোল যোগ করতে হবে। 

প্রশ্ন: দুপুর ৩ : ২০ মিনিটের সময় একটি ঘড়ির মিনিটের কাঁটা ও ঘণ্টার কাঁটার মধ্যবর্তী কোণের মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ঘণ্টার মান = ৩
মিনিটের মান = ২০

আমরা জানি,
মধ্যবর্তী কোণ = {(১১ × মিনিট) - (ঘণ্টা × ৬০)}/২
= {(১১ × ২০) - (৩ × ৬০)}/২
= (২২০ - ১৮০)/২
= ৪০/২
= ২০°