সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির প্রথম 13টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
পদ সংখ্যা n = 13

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₃ = (13/2)[2 × 3 + (13 - 1) × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 12 × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 48]
⇒ S₁₃ = (13/2) × 54
⇒ S₁₃ = 13 × 27
⇒ S₁₃ = 351

∴ প্রথম 13টি পদের সমষ্টি 351 

১ম পদ (a) = ৪,
সাধারণ অন্তর (d) = ৭ - ৪ = ৩
পদসংখ্যা (n) = ২৮
∴ ২৮-তম পদ = a + (২৮ - ১)d
= ৪ + ২৭ × ৩
= ৮৫

log2 + log4 + log 8+.....  
= log2 + log 2² + log 2³+.....
= log2 + 2log 2+ 3log 2 +......
= (1+2+3 +......) log 2
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
সাধারণ অন্তর d= (2-1) log 2 = log 2

n তম পদ
= a+(n-1)d
91 = 1+(n-1)3
বা, 91 = 1 + 3n - 3
বা, 3n = 91 + 2
n = 31
আবার n তম পদের যোগফল
= n/2{2a + (n - 1)d}
= 31/2{2.1 + (31 - 1)3}
= 15.5 × (2 + 90)
= 1426

এখানে ১ম পদ a = 2000
সাধারণ অন্তর d =100
আমরা জানি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2a + (n - 1)d} × n/2
∴18 সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2 × 2000 + (18 - 1) × 100} × 18/2 = 51300
∴তিনি প্রথম 18 মাসে মোট জমা করেন = 51300 টাকা

4 → 2²×1
18 → 3²×2
48 → 4²×3
100 → 5²×4
180 → 6²×5
294 → 7²×6

এখানে
রাশিগুলো ৩^২,৬^২,৯^২,১২^২,১৫^২, .......এভাবে দেওয়া আছে।
৩^২ = ৯
৬^২= ৩৬
৯^২ = ৮১
১২^২ = ১৪৪
১৫^২ = ২২৫

তাহলে খালি ঘরে হবে=১৫^২
                                =২২৫

প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (3-1) = 2
সুতরাং, n তম পদ = a+(n-1).d
⇒ 71 = 1+(n-1)2
⇒ 71 = 1+2n-2
⇒ 71 + 1 = 2n
⇒ n = 72/2
∴ n = 36
∴ সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 36/2{2×1+(36-1)2}
= 18(2 + 70)
= 18 × 72
= 1296

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 75 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 75 এবং 
পদসংখ্যা = 75 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(75 + 1) × 75}/2 
= (76 × 75)/2 
= 38 × 75 
= 2850 

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ 77 হলে, তার প্রথম 23 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটি প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 11d = 77

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = (23/2){2a + (23 - 1)d}
= (23/2)(2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23 × (a + 11d)
= 23 × 77
= 1771

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ২০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল হচ্ছে:

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d

চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d
= a + 3d 

দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

a + 3d + a + 11d = 20
2a + 14d = 20

তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S15=15/2{2a + (15 - 1)d}
= 15/2{2a + 14d}
= 15 × 20/2
= 150

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 11 তম পদ = a + (11-1)d
= a + 10d
প্রশ্নমতে, a + 10d = 66
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 21টি পদের সমষ্টি = 21/2 {2a + (21-1)d}
= 21/2 (2a + 20d)
= 21/2 × 2 (a+10d)
= 21×(a+10d)
= 21×66
= 1386

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............ ধারাটির ১ম দশটি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log 8 + log 64 + log 512 +...........
= log 81 + log 82+ log 83 +...........
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি
= n(n + 1)/2
= 10(10 + 1)/2
= 55

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 55 log 8

প্রশ্ন: 4 + 8 + 12 + ................. ধারাটির কততম পদ 48?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = 8 – 4 = 4

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n – 1)d
মনে করি,
n তম পদ = 48
∴ a + (n – 1)d = 48
⇒ 4 + (n – 1) × 4 = 48
⇒ 4 + 4n – 4 = 48
⇒ 4n = 48
⇒ n = 48/4
⇒ n = 12

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ..... + 25² = কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {25(25 + 1)(2 · 25 + 1)}/6
= (25 · 26 · 51)/6
= 5525

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ৭ এবং ৫ম পদ ৪১ হলে ১২তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর, d = ৭
এবং ৫ম পদ = ৪১

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - 1)d
a_৫ = a + (৫ - ১)d
⇒ ৪১ = a + ৪ × ৭
⇒ a + ২৮ = ৪১
⇒ a = ৪১ - ২৮ 
∴ a = ১৩

এখন ১২তম পদ, a_১২  = a + (১২ - ১)d
= ১৩ + (১১ × ৭)
= ১৩ + ৭৭
= ৯০

সুতরাং, ১২তম পদ ৯০। 

প্রশ্ন:  9 + 7 + 5 +....................... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল - 144 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = (7 - 9) = - 2

প্রশ্নমতে,
n-সংখ্যক পদের যোগফল = - 144
বা, (n/2){2a + (n - 1)d} = - 144
বা, (n/2){(2 × 9) + (n - 1)(- 2)} = - 144
বা, (n/2)(18 - 2n + 2) = - 144
বা, (n/2)(- 2n + 20)= - 144
বা, - (n/2) × 2 × (n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0

হয়, n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
হয়, n = 18 অথবা, n = - 8

এখানে n এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়, কারন পদসংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না।
∴ n = 18

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ..... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (n/2){(2 × 1) + (n - 1)2}
= (n/2)(2 + 2n - 2)
= (n/2) × 2n
= n × n
= n²

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +.......................  ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2(1 - (-1)²ⁿ⁺²}/{1 - (- 1)}
= {2 × (1 - 1)}/(1 + 1) [ যেহেতু 2n + 2 জোড় সংখ্যা ]
= (2 × 0)/2
= 0/2
= 0

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং প্রথম 49 টি স্বাভাবিক সংখ্যার যোগফল = 49(49+1)/2
= 49 × 50/2
= 49 × 25
= 1225
উৎসঃ সাধারণ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি।

১ম পদ a =1
সাধারন অন্তর d = 5 - 1 = 4
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 89 = 1 + (n-1) × 4
⇒ 89 = 1 + 4n - 4
⇒ 4n = 92
⇒ n = 23
সমষ্টি S_n = n/2 {2a + (n-1)d}
= 23/2 {2×1 + (23 -1) × 4}
= 23/2 × 90
= 1035

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3-1 = 2
মনে করি, n তম পদ = 383
∴ a + (n-1)d = 383
⇒ 1 + (n-1)2 = 383
⇒ 2n - 2 = 382
⇒ 2n = 384
∴ n = 192

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ................ ধারাটির 15-তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

সমান্তর ধারার n তম পদের সূত্র: 
a_n = a + (n - 1)d
a₁₅ = a + (15 - 1)d
= 1 + (15 - 1) × 4
= 1 + 14 × 4
= 1 + 56  
= 57 

∴ ধারাটির 15-তম পদ 57.

-7, -9, -11, -13, -15, -17, -19, -21, -23

পঞ্চম পদ, a + (5 - 1)d = - 15
Therefore, a + 4d = - 15
সবগুলো সংখ্যার সমষ্টি
= 9/2{2a + (9 - 1)d}
= 9/2(2a + 8d)
= 9(a + 4d)
= 9*(- 15)
= - 135

প্রশ্ন: 28 + 25 + 22 + ...... - 23 = কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। 

যার প্রথম পদ, a = 28
সাধারণ অন্তর, d = 25 - 28 = - 3 
এবং শেষ পদ, l = - 23

আমরা জানি,
ধারার n-তম পদে, a_n = a + (n - 1)d
28 + (n - 1)(- 3) = - 23
⇒ 28 - 3(n - 1) = - 23
⇒ - 3(n - 1) = - 23 - 28 
⇒ - 3(n - 1) = - 51
⇒ 3(n - 1) = 51
⇒ n - 1 = 17
∴ n = 18

ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
= (18/2) × (28 + (- 23))
= 9 × (28 - 23)
= 9 × 5
= 45

ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d
a+3d+a+11d = 20
2a + 14d = 20
S₁₅=15/2{2a+(15-1)d}
= 15/2{2a+14d}
= 15×20/2
= 150

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3। 10টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n টি পদের যোগফল,
S₁₀= (10/2) [2 × 5 + (10 - 1) × 3]
= 5 [10 + 9 × 3]
= 5 [10 + 27]
= 5 × 37
= 185

∴ 10টি পদের যোগফল 185

প্রশ্ন: ৪ + ৬ + ৮ + ...... + ৬০ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = ৪ 
শেষ পদ = ৬০ 
সাধারণ অন্তর, d = (৬ - ৪) = ২

আমরা জানি, 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১ 
= {(৬০ - ৪)/ ২} + ১ 
= (৫৬/২) + ১ 
= ২৮ + ১ 
= ২৯ । 

প্রশ্ন: ৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ +................... ধারাটির প্রথম ২২ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৫
সাধারন অন্তর, d = ৬
n = ২২ 

∴ ধারাটির প্রথম ২২ পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২২/২){২ × ৫ + (২২ - ১)৬}
= ১১ × (১০ + ২১ × ৬)
= ১১ × (১০ + ১২৬)
= ১১ × ১৩৬
= ১৪৯৬ 

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ২২ টি পদের সমষ্টি ১৪৯৬

প্রশ্ন: 12 + 17 + 22 + 27 + …...+ 207 = কত? 

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার, 
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 12 = 5

আমরা জানি,
n-তম পদ, an = a + (n - 1)d 
⇒ 12 + (n - 1)5 = 207
⇒ (n - 1)5 = 207 - 12
⇒ (n - 1)5 = 195
⇒ n - 1 = 195/5
⇒ n - 1 = 39
⇒ n = 39 + 1
∴ n = 40

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
S₄₀ = (40/2) × (12 + 207)
= 20 × 219
= 4380

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ............ + ৮৫ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
২য় পদ - ১ম পদ = ৯ - ৪ = ৪
৩য় পদ - ২য় পদ = ১৩ - ৯ = ৪
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা। 

এখানে, 
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৪ 
শেষপদ  = ৮৫

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = 

প্রশ্নমতে, 
a + (n - 1)d = ৮৫ 
বা, ৫ + (n - ১) × ৪ = ৮৫
বা, (n - ১) × ৪ = ৮৫ - ৫ 
বা, (n - ১) × ৪ = ৮০ 
বা, n - ১ = ৮০/৪ 
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১ 
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২১ টি । 

ধারাটির ১৫ তম পদ = a + (n - 1) d
= 1 + (15 - 1) X 4
= 1 + 14 X 4
= 57

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 100 তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 100 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 100 তম পদ = 5 + {(100 - 1) × (3)} 
= 5 + (99 × 3) 
= 5 + 297 
= 302

M = (প্রথম পদ + শেষ পদ)⁄২
এখানে, (২+৫০)⁄২ = ২৬
সুতরাং, যোগফল = ২৬ (২৬-১) = ৬৫০

2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³ = (1³ + 2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³) - 1
= {10(10 + 1)/2}² - 1
= 55² - 1
= 3025 - 1
= 3024 

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারা:
1², 2², 3², 4², …, n²

এখানে, পদসংখ্যা = n

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ গাণিতিক গড় = পদগুলোর সমষ্টি/পদসংখ্যা
= S_n/n
= {n(n + 1)(2n + 1)/6}/ n
= n(n + 1)(2n + 1)/6n
= (n + 1)(2n + 1)/6

ধরি,
প্রথম পদ = a
এখানে সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 - 1) × 10
⇒ 65 = a + 50
∴ a = 15

প্রশ্ন: 1 থেকে 49 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারার শেষ সংখ্যা, n = 49 

আমরা জানি, 
স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি, S_n = n (n + 1)/2
= 49 × (49 + 1)/2
= (49 × 50)/2
= 49 × 25
= 1225

প্রশ্ন: 520 মিটার দীর্ঘ একটি রাস্তার দুই পাশে 20 মিটার পরপর কংক্রিটের পিলার বসানো হলো। প্রতিটি পিলারের প্রস্থ 0.5 মিটার হলে, রাস্তা বরাবর মোট কতটি পিলার বসানো হয়েছে?

সমাধান:
এক পাশের পিলারের সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/অন্তর} + 1
= {(520 - 0)/20} + 1
= 26 + 1
= 27 টি

এখানে পিলারের প্রস্থ ০.৫ মিটার উল্লেখ থাকায় পিলারের প্রস্থকে প্রতি ২০মিটারের সাথে বিবেচনায় নিতে হবে। যদি প্রস্থ উল্লেখ না থাকত তাহলে পিলারের প্রস্থ উপেক্ষা করা যেত।
১ম পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য ০.৫ মিটার, ২য় পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য হয়, ০.৫ + ২০ + ০.৫ = ২১ মিটার, ৩য় পিলার লাগানোর পর দৈর্ঘ্য হবে ২১ + ২০ + ০.৫ = ৪১.৫ মিটার। অর্থাৎ, প্রতিটি পিলারের জন্য দৈর্ঘ্য: ২০.৫(n - ১) + ০.৫ [এখানে n হলো পিলারের ক্রম]
২৬ তম পিলার লাগালে মোট দৈর্ঘ্য = ২০.৫(২৬ - ১) + ০.৫ = ৫১৩ মিটার
২৭ তম পিলার লাগালে মোট দৈর্ঘ্য = ২০.৫(২৭ - ১) + ০.৫ = ৫৩৩.৫ মিটার
কিন্তু রাস্তার মোট দৈর্ঘ্য ৫২০ মিটার হওয়ায় ২৭ তম পিলার লাগানোর সুযোগ নেই। অর্থাৎ, ৫২০ মিটার রাস্তায় ২০ মিটার অন্তর ০.৫ মিটার প্রস্থের ২৬টি পিলার লাগানো যায়। উভয় পাশে লাগানো যাবে ২৬ + ২৬ = ৫২টি।

তাই সঠিক উত্তর হবে কোনটিই নয়।

প্রশ্ন: 17 + 14 + 11 + .......... - 7 = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 17
সাধারণ অন্তর, d = 14 - 17 = - 3
n-তম পদ = - 7

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = - 7
⇒ 17 + (n - 1)(- 3) = - 7
⇒ 17 - 3n + 3 = - 7
⇒ 20 - 3n = - 7
⇒ 3n = 20 + 7
⇒ 3n = 27
⇒ n = 27/3
⇒ n = 9

এখন, n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (9/2){(2 × 17) + (9 - 1)(- 3)}
= (9/2){34 - 24}
= (9/2)(10)
= (9/2) × 10
= 45

এখানে
a = ২,
d = ৫ - ২ = ৩,
∴ ২১ তম পদ = a + (২১ - ১)d
= ২ + ২০×৩
= ৬২

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 20 এবং অষ্টম পদ 45 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে, n তম পদ = a + (n - 1)d
এখানে,
তৃতীয় পদ = 20
∴ a + (3 - 1)d = 20
⇒ a + 2d = 20
⇒ a = 20 - 2d

অষ্টম পদ = 45
⇒ a + (8 - 1)d = 45
⇒ (২০ - 2d) + 7d = 45
⇒ ২০ + 5d = 45
⇒ 5d = 45 - ২০
⇒ 5d = 25
⇒ d = 25/5
∴ d = 5

প্রশ্ন: একটি ধারার ৪র্থ এবং ১২তম সংখ্যা দুটির যোগফল 20 হলে ধারাটির প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
ঐ ধারার প্রথম সংখ্যাটি = a এবং মোট সংখ্যা আছে = n টি।
এবং ২য় সংখ্যা হতে ১ম সংখ্যার পার্থক্য = d

এখন, 
৪র্থ পদ = a + 3d
এবং ১২তম পদ = a + 11d

প্রশ্নমতে,
a + 3d + a + 11d = 20
∴ 2a + 14d = 20 .......(1)

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারা n তম পদের যোগফল = (n/2){2a + (n - 1)d}
১ম 15 টি পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}
= (15/2)  ×  (2a + 14d)
= (15/2)  ×  20 [1 নং হতে]
= 150

সুতরাং, প্রথম 15 টি সংখ্যার যোগফল 150.

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36 হলে, ঐ ধারাটির প্রথম 17টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
মনেকরি 
সমান্তর ধারার ১ম পদ a 
সাধারণ অন্তর d 

দেওয়া আছে 
সমান্তর ধারার 5ম এবং 13তম পদের যোগফল 36

এখন 
5ম পদ = a + (5 - 1)d = a + 4d
13তম পদ = a + (12 - 1)d = a + 12d

যোগফল = a + 4d + a + 12d
= 2a + 16d = 36

প্রথম 17টি পদের যোগফল,
S₁₇ = (17/2) {2a + (17 - 1)d}
=(17/2)(2a + 16d)
= (17/2) × 36
= 17 × 18
= 306