সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১ম পদ ১১ এবং ৩য় পদ ১৯ হলে প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
​প্রথম পদ = ১১
​
​দ্বিতীয় পদ = (১১ + ১৯)/২ = ৩০/২ = ১৫
​
​সাধারণ অন্তর = ১৫ - ১১ = ৪ 
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴​ প্রথম ৯ টি পদের সমষ্টি = (৯/২){২a + (৯ - ১)d} 
​= (৯/২)(২ × ১১ + ৮ × ৪)
​= (৯/২)(২২ + ৩২)
​= (৯/২) × ৫৪
​= ৯ × ২৭
​= ২৪৩ 

প্রশ্ন: 1, 3, 5, 7,.....অনুক্রমটির 15 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
1, 3, 5, 7, ...
এটি একটি সমান্তর ধারা। 

যার প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ ১৫তম পদ = 1 + (15 - 1) × 2
= 1 + 14 × 2
= 1 + 28
= 29

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ৭তম পদ, ৬০ = a + (৭-১)৯
বা, ৬০ = a + ৫৪
বা, a = ৬
সুতরাং ১২তম পদ = ৬ + (১২-১) ৯
= ৬ + ১১ × ৯
= ৬ + ৯৯
= ১০৫

1 + 8 + 27 +.....
= 1 + 2³ + 3³ +.....+ 9³
= [9(9 + 1)/2]²
= {(9 × 10)/2}²
= (45)²
= 2025

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 4র্থ (চতুর্থ) এবং 12 তম পদের যোগফল 20 । ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d ; যেখানে a = প্রথম পদ, d = সাধারণ অন্তর।

সুতরাং, 
সমান্তর ধারার 4র্থ পদ = a + (4 - 1)d = a + 3d
সমান্তর ধারার 12 পদ = a + (12 - 1)d = a + 11d

প্রশ্নমতে, 
a + 3d + a + 11d = 20
∴ 2a + 14d = 20 ........ (1)

আবার, 
সমান্তর ধারার প্রথম n পদের যোগফল = (n/2) × {2a + (n - 1)d}
∴ সমান্তর ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল = (15/2) × {2a + (15 - 1)d}
= (15/2) × {2a + 14d}
= (15/2) × 20   ; [(1) নং হতে]
= 15 × 10
= 150

সুতরাং, ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল 150

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (৭৭+১)/২ x ((৭৭-১)/২) +১
= ৩৯ x ৩৯
= ১৫২১

এখানে,
a = 19, d = 24-19 = 5
∴ পদ সংখ্যা (n) = {(144 - 19)/5} + 1
= 26
∴ সমষ্টি = n/2 × (144 + 19)
= 26/2 × 163
= 13 × 163
= 2119

a = ৫,
d = ৪,
শেষ পদ = ৮০৯
∴ পদসংখ্যা = {(৮০৯ - ৫)/৪} + ১
= ২০১ + ১
= ২০২

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +......................ধারাটির 1001 তম পদ কোনটি?

সমাধান: 
ধারাটি হলো একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদসংখ্যা, n = 1001

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
= 1 + (1001 - 1) × 3
= 1 + 3000
= 3001

∴ ধারাটির 1001 তম পদ 3001

প্রশ্ন: 15 + 22 + 29 + 36 + ......... ধারাটির 35 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 15
সাধারণ অন্তর, d = 22 - 15 = 7
পদসংখ্যা, n = 35

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার সমষ্টি S_n = n/2 × {2a + (n - 1) × d}
∴ S₃₅ = 35/2 × {2 × 15 + (35 - 1) × 7}
= 35/2 × {30 + (34 × 7)}
= 35/2 × (30 + 238)
= 35/2 × 268
= 35 × 134
= 4690

∴ ধারাটির 35 টি পদের সমষ্টি হলো 4690

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + …......... + 21³ = কত?

সমাধান:
এখানে, শেষ পদ n = 21
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র,
S_n = {n(n + 1)/2}²
⇒ S₂₁ = {21(21 + 1)/2}²
⇒ S₂₁ = {21 × 22/2}²
⇒ S₂₁ = (21 × 11)²
⇒ S₂₁ = (231)²
∴ S₂₁ = 53361

প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + ......... + 250 = কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 5 = 5
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = 250
আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 5 + (n - 1) × 5 = 250
বা, 5(n - 1) = 250 - 5
বা, 5(n - 1) = 245
বা, n - 1 = 245/5
বা, n - 1 = 49
∴ n = 49 + 1 = 50

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
S₅₀ = (50/2){(2 × 5) + (50 - 1) × 5}
= 25{10 + (49 × 5)}
= 25{10 + 245}
= 25 × 255
= 6375

প্রশ্ন: ১৫ + ১৯ + ২৩ + ২৭ + ............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৯ - ১৫) = ৪
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৪
= ১৫ + (২৪ × ৪)
= ১৫ + ৯৬
= ১১১

৯ + ৩৬ + ৮১ + ১৪৪ + ... + ৯০০
= ৩^২ + ৬^২ + ৯^২ + ১২^২ + … + ৩০^২
= ৩^২(১^২ + ২^২ +৩^২ + … + ১০^২)
= ৯ × {১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)}
= ৯ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৩৪৬৫

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 17 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 33 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 17 তম পদ = a + (17 - 1) d = a + 16d

প্রশ্নমতে,
a + 16d = - 20 ...... (i)

আবার, 
n পদের সমষ্টি , S_n= (n/2){2a + (n - 1)d}
S₃₃ = (33/2){2a + (33 - 1)d}
=  (33/2) (2a + 32d)
= 33 × (a + 16d)
= 33 × (- 20) [ (i) হতে]
= - 660

প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
n পদের যোগফল = - 144
বা, n/2{2a + (n - 1)d} = - 144
বা, n/2{2.9 + (n - 1)(-2) = - 144
বা, n/2(18 - 2n + 2) = - 144
বা, n/2×(-2)(n - 10) = - 144
বা, - n(n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) =0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
হয় n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n= 18             বা, n = -8 
এখানে n-এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

১ম পদ (a) = ৫,
সাধারণ অন্তর (d) = ৯ - ৫ = ৪
∴ n-তম পদ = a + (n - 1)d = ৮১
বা, ৫ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৭৬
বা, n - ১ = ১৯
∴ n = ২০

∴ সমষ্টি (s) = n/2{2a + (n - 1)d}
= ২০/২{২×৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০(১০ + ৭৬)
= ১০ × ৮৬
= ৮৬০

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + .......... ধারাটির 8তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
n = 8

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 8 তম পদ = 5 + (8 - 1)3
= 5 + (7 × 3)
= 26

এখানে, ধারাটির পদ সংখ্যা = (শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (৪২ - ৬)/৩ + ১
= ১২ + ১
= ১৩
এবং গড় = (৪২ + ৬)/২
= ২৪
সুতরাং সমষ্টি = ১৩ × ২৪
= ৩১২

এখানে, ধারাটির পদ সংখ্যা = (শেষপদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (৩৬-৩)/৩ + ১
= ১১ + ১
= ১২
এবং গড় = (৩৬+৩)/২
= ৩৯/২
সুতরাং সমষ্টি = ১২ × ৩৯/২
= ৬ × ৩৯
= ২৩৪

প্রশ্ন: log5 + log25 + log125 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log5 + log25 + log125 + .............. + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log5¹ + log5² + log5³ + ............... + log5¹⁰
= 1 log5 + 2 log5 + 3 log5 + ............... + 10 log5
= log5 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 10)
= log5 {10(10 + 1)/2}   [∵ 1 + 2 + 3 + ..... + n = n(n + 1)/2]
= log5 (10 × 11/2)
= log5 (110/2)
= log5 (55)
= 55 log5

∴ প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো 55 log5

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ......... + ২০৩ = ?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ a = ৩ সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪

ধরি,

n তম পদ = ২০৩

প্রশ্নমতে,
a + (n-1)d = ২০৩
⇒ ৩ + (n - ১)৪ = ২০৩
⇒ ৩ + ৪n - ৪ = ২০৩
⇒ ৪n - ১ = ২০৩
⇒ ৪n = ২০৪
∴ n = ৫১

∴ ৫১ টি পদের সমষ্টি S_n = (n/2) . (a + l)
= (৫১/২) × (৩ + ২০৩)
= (৫১/২) × ২০৬
= ৫১ × ১০৩
= ৫২৫৩

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৮ এবং সাধারণ অন্তর ৫ হলে ধারার ১০০তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

∴ ১০০ তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৫
= ৮ + (৯৯ × ৫)
= ৮ + ৪৯৫
= ৫০৩

∴ ধারার ১০০তম পদ হলো ৫০৩

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৯ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৭ হলে, ধারাটির ২য় পদ কত? 

সমাধান: 
এখানে,
১ম পদ = a 
৪র্থ পদ = ১৯
৬ষ্ঠ পদ = ২৭

সাধারণ অন্তর, d = ২৩ - ১৯  = ৪

আমরা জানি,
৪ তম পদ = a + (৪ - ১)d 
বা, ১৯ = a  + ৩ × ৪
বা, ১৯ = a + ১২
বা, a = ১৯ - ১২
∴ a = ৭

২য় পদ = a + (২ - ১)d 
= ৭ + ৪
= ১১

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 +......... ধারাটির n পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3 - 1 = 2
আমরা জানি,
 সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টির, S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]
∴ S_n = n/2 [2×1 + (n - 1)×2]
= n/2 [2 + 2n - 2]
= n/2 × 2n
= n²
সুতরাং, ধারাটির n পদের সমষ্টি হলো n²।

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ১০ম পদ ৫৮ হলে, তার প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১)d

∴ ১০ম পদ = a + (১০ - ১)d = a + ৯d

প্রশ্নমতে,
a + ৯d = ৫৮

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, Sn = (n/২){২a + (n - ১)d}
∴ প্রথম ১৯টি পদের সমষ্টি, S_১৯ = (১৯/২){২a + (১৯ - ১)d}
= (১৯/২)(২a + ১৮d)
= (১৯/২) × ২(a + ৯d)
= ১৯ × (a + ৯d)
= ১৯ × ৫৮
= ১১০২

∴ প্রথম ১৯ পদের সমষ্টি হলো ১১০২

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং তৃতীয় পদ 7 হলে, ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 3
৩য় পদ = 7
২য় পদ = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 3 = 2

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
12 তম পদের সমষ্টি = (12/2){(2 × 3) + (12 - 1)2}
= 6{6 + (11 × 2}
= 6(6 + 22)
= 6 × 28
= 168

১ম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে,
৫ম পদ = a + ৪d = ২৮ … (১)

∴ ১ম ৫টি পদের সমষ্টি = (৫/২){২a + (৫ - ১)d}
বা, (৫/২){২a+৪d} = ১০০
বা, ৫{a + (a + ৪d)} = ২০০
বা, a + ২৮ = ৪০
∴ a = ১২
(১) নং থেকে পাই,
a + ৪d = ২৮
বা, ১২ + ৪d = ২৮
বা, ৪d = ১৬
∴ d = ৪