লগ ইননিবন্ধন
বিষয়সমূহ

PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন

সমান্তর ধারা

মোট প্রশ্ন১,৪৩৮এই পাতা২৬প্রতি পাতা১০০
প্রশ্ন দেখুনঅনুশীলন
ঘনত্ব
উত্তর
উত্তরিতবর্তমানপুনরায় দেখুনঅসম্পূর্ণ

সমান্তর ধারা

PrepBank · পাতা ১৫ / ১৫ · ১,৪০১–১,৪২৬ / ১,৪৩৮

১,৪০১.
2 + 3 + 4 + 5 ........ এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?
  1. ক
    9
  2. খ
    7
  3. গ
    6
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 + 3 + 4 + 5 ........ এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

সমাধান:
2 + 3 + 4 + 5 ........ এর ৩য় আংশিক সমষ্টি = ১ম তিনটি পদের যোগফল।
= 2 + 3 + 4
= 9
১,৪০২.
(13 + 23 + 33 + .............. + n3)/(1 + 2 + 3 + ............... + n) =78 হলে, n এর মান কত হবে?
  1. ক
    ক) 10
  2. খ
    খ) 12
  3. গ
    গ) 13
  4. ঘ
    ঘ) 14
ব্যাখ্যা
(13 + 23 + 33 + .............. + n3)/(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 78
{n(n + 1)/2}2/{n(n + 1)/2} = 78 
n(n + 1)/2 = 78
n(n + 1) = 156
n2 + n - 156 = 0 
n2 + 13n - 12n - 156 = 0 
n(n + 13) - 12 (n + 13 )= 0 
(n + 13)(n - 12) = 0
হয় 
n + 13 = 0 
n = - 13 [গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা 
n - 12 = 0
n = 12
১,৪০৩.
কোনো সমান্তর ধারার 12তম পদ 77 হলে এর প্রথম 23টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) 1761
  2. খ
    খ) 1781
  3. গ
    গ) 1751
  4. ঘ
    ঘ) 1771
ব্যাখ্যা

মনে করি, ধারাটি প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n-1)d
সুতরাং 12 তম পদ = a + (12-1)d
= a + 11d

প্রশ্নমতে, a + 11d = 77
আবার, আমরা জানি, n তম পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n-1)d}
সুতরাং প্রথম 23টি পদের সমষ্টি = 23/2 {2a + (23-1)d}
= 23/2 (2a + 22d)
= 23/2 × 2 (a + 11d)
= 23 × (a + 10d)
= 23 × 77
= 1771

১,৪০৪.
1² + 2² + 3² + …… +8² = ?
  1. ক
    ক) 140
  2. খ
    খ) 204
  3. গ
    গ) 612
  4. ঘ
    ঘ) 442
ব্যাখ্যা

1² + 2² + 3² + …… +n² = {n(n+1)(2n+1)}/6
1² + 2² + 3² + …… +8² = 8(8+1)(16+1)/6
= (8 x 9 x 17)/6
= 204

১,৪০৫.
4 + 6 + 8 + 10 +................ধারাটির কোন পদ 96 ?
  1. ক
    ক) 41
  2. খ
    খ) 43
  3. গ
    গ) 45
  4. ঘ
    ঘ) 47
ব্যাখ্যা
এখানে
১ম পদ a = 4
সাধারণ অন্তর d =6 - 4 = 2

আমরা জানি,
 n তম পদ = a + (n - 1)d
বা,96 = 4 +(n - 1)×(2)
বা, 96= 4+ 2n - 2
বা, 96 = 2n + 2
বা 2n = 96 - 2
বা  2n = 94
  n = 47
১,৪০৬.
একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 7 এবং তৃতীয় পদটি 15 হলে, ধারাটির প্রথম 10টি পদের যোগফল কত?
  1. ক
    ক) 175
  2. খ
    খ) 215
  3. গ
    গ) 250
  4. ঘ
    ঘ) 325
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 7 এবং তৃতীয় পদটি 15 হলে, ধারাটির প্রথম 10 টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির ১ম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d
দেওয়া আছে a = 7

এখন
7 + ( 3- 1 ) d = 15
7 + 2d  = 15
2d  = 8
d  =  4
           
আবার,
S10 = (10/2) {2 × 7 + ( 10 - 1)4 }
= 5 {14 + 9 × 4}
= 5 × 50
 = 250
১,৪০৭.
(x - 5) + (x - 3) + (x - 1) + (x + 1) + ........ ধারাটির কততম পদ (x + 27)?
  1. ক
    ১৫তম
  2. খ
    ১৬তম
  3. গ
    ১৭তম
  4. ঘ
    ১৮তম
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: (x - 5) + (x - 3) + (x - 1) + (x + 1) + ........ ধারাটির কততম পদ (x + 27)?

সমাধান: 
এখানে,
a = x - 5
d = x - 3 - x + 5 = 2

ধরি,
nতম পদ = x + 27
বা, a + (n - 1)d = x + 27
বা, (x - 5) + (n - 1)2 = x + 27
বা, (n - 1)2 = x + 27 - x + 5
বা, n - 1 = 32/2
∴ n = 17
১,৪০৮.
4 + 6 + 8 +……….+ 30 = কত?
  1. ক
    ক) 138
  2. খ
    খ) 168
  3. গ
    গ) 208
  4. ঘ
    ঘ) 238
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন:  4 + 6 + 8 + ……….+ 30 = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ = 4
শেষ পদ = 30
সাধারণ অন্তর, d = 6 - 4
= 2
পদসংখ্যা, n = (30 - 4)/2 + 1
= 13 + 1
= 14

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার সমষ্টি = n/2 {2a + (n - 1)d}
= (14/2) {8 + (14 - 1) × 2}
= 7 × (8 + 26)
= 7 × 34 
= 238
১,৪০৯.
কোনো সমান্তর ধারার 20-তম পদ 198 এবং ধারাটির প্রথম পদটি 8 হলে, সাধারণ অন্তর কত?
  1. ক
    5
  2. খ
    6
  3. গ
    12
  4. ঘ
    10
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 20-তম পদ 198 এবং ধারাটির প্রথম পদটি 8 হলে, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারার 20 তম পদ = 198
প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = ?

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
20 তম পদ = a + (20 - 1)d = a + 19d

প্রশ্নমতে,
198 = a + 19d
⇒ 198 = 8 + 19d
⇒ 19d = 198 - 8
⇒ 19d = 190
⇒ d = 190/19 = 10

∴ সাধারণ অন্তর, d = 10
১,৪১০.
একটি সমান্তর ধারার 5 তম পদ 11 এবং 4 তম পদ 14 হলে, ধারাটির 20 তম পদ কত?
  1. ক
    ক) - 34 
  2. খ
    খ) - 31
  3. গ
    গ) - 37
  4. ঘ
    ঘ) - 40
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 5 তম পদ 11 এবং 4 তম পদ 14 হলে, ধারাটির 20 তম পদ কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার প্রথম পদ a এবং 
সাধারণ অন্তর d 
দেয়া আছে
5 তম পদ = 11 
4 তম পদ = 14 
এখন 
a + (4 - 1)d = 14
a + 3d = 14.................(1)
a + 4d = 11................(2)

(2) - (1) ⇒
a + 4d  - (a + 3d) = 11 - 14 
a + 4d - a - 3d = - 3
d = - 3

(1) ⇒
a + 3d = 14
a + 3(- 3) = 14
a - 9 = 14
a = 14 + 9 
a = 23

ধারাটির 20 তম পদ = a + (20 - 1)d
= a + 19d
= 23 + 19(- 3)
= 23 - 57
= - 34 


১,৪১১.
13 + 19 + 25 + 31 + ...... ধারাটির 13 তম পদ কত?
  1. ক
    79
  2. খ
    85
  3. গ
    91
  4. ঘ
    97
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 13 + 19 + 25 + 31 + ...... ধারাটির 13 তম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা যার,
প্রথম পদ, a = 13
সাধারণ অন্তর, d = 19 - 13 = 6
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
= 13 + (13 - 1) × 6
= 13 + 12 × 6
= 13 + 72
= 85
১,৪১২.
সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৬ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৪ হলে, ধারার ১৫তম পদ কত?
  1. ক
    ৮০
  2. খ
    ৬৪
  3. গ
    ৪০
  4. ঘ
    ৬০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: সমান্তর ধারার ৪র্থ পদ ১৬ এবং ৬ষ্ঠ পদ ২৪ হলে, ধারার ১৫তম পদ কত?

সমাধান:
প্রশ্ন অনুসারে,
৪র্থ পদ, a + 3d = 16 ..........(১)
৬ষ্ঠ পদ, a + 5d = 24 ...........(২)

(২) - (১)
⇒ (a + 5d) − (a + 3d) = 24 − 16
⇒ a + 5d − a − 3d = 8
⇒ 2d = 8
∴ d = 4

এখন, a + 3d = 16 সমীকরণে d = 4 বসিয়ে পাই,
⇒ a + 3(4) = 16
⇒ a + 12 = 16
⇒ a = 16 - 12
∴ a = 4

১৫তম পদ = a + 14d = 4 + 14 × 4 = 4 + 56 = 60
১,৪১৩.
একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে, 12-তম পদটি-
  1. ক
    102
  2. খ
    112
  3. গ
    122
  4. ঘ
    132
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমের সাধারণ অন্তর 10 এবং 6-তম পদটি 52 হলে, 12-তম পদটি-

সমাধান:
প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n তম পদ = a + (n - 1)d
d = 10

∴ 6 তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 52 = a + (6 - 1)10
⇒ a = 52 - 50
∴ a = 2

∴ 12 তম পদ =  a + (n - 1)d
= 2 + (12 - 1)10
= 2 + (11 × 10)
= 2 + 110
= 112
১,৪১৪.
1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?
  1. ক
    1275
  2. খ
    1225
  3. গ
    2550
  4. ঘ
    1300
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 50 পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি, 1 থেকে n পর্যন্ত ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
এখানে, n = 50
অতএব, সমষ্টি = {50(50 + 1)}/2
= (50 × 51)/2
= 25 × 51
= 1275
সুতরাং, 1 হতে 50 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল হলো 1275।

১,৪১৫.
যদি -5, p,q,16 সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে p ও q এর মান হবে যথাক্রমে -
  1. ক
    ক) -2,9
  2. খ
    খ) 2,9
  3. গ
    গ) -2,-9
  4. ঘ
    ঘ) 2,-9
ব্যাখ্যা
ধারাটির প্রথম পদ, a = -5
ধরি, সাধারণ অন্তর = d
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n-1)d
ধারাটির ৪র্থ পদ = a + (n-1)d 
                        = - 5 + (4 - 1)d 
                        = - 5 + 3d
⇒ - 5 + 3d = 16
⇒ 3d = 21
⇒ d = 21/3
⇒ d = 7

ধারাটির দ্বিতীয় পদ, p = a + (n-1)d = -5 + (2-1)7 = -5 + 7 = 2
ধারাটির তৃতীয় পদ, q =  a + (n-1)d  =-5 + (3-1)7 = -5 + 2.7 = -5 + 14 = 9
১,৪১৬.
2 + 4 + 6 + ……….+ 70 = কত?
  1. ক
    ক) 1160
  2. খ
    খ) 1260
  3. গ
    গ) 1360
  4. ঘ
    ঘ) 1460
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: 2 + 4 + 6 + ……….+ 70 = কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ = 2
শেষ পদ = 70
মধ্যমা, M = (প্রথম পদ + শেষ পদ) / 2
= (2 + 70) / 2
= 36

আমরা জানি,
সমান্তর ধারায় ক্রমিক জোড় সংখ্যার যোগফল, ‍S = M (M - 1)
= 36 (36 - 1)
=  36 × 35
= 1260
১,৪১৭.
৪ + ৮ + ১২ + ১৬ + ...... ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ৪৯০
  2. খ
    ৭২০
  3. গ
    ৫৪৪
  4. ঘ
    ৬৮০
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: ৪ + ৮ + ১২ + ১৬ + ...... ধারাটির প্রথম ১৬টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি সমান্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = ৪
সাধারণ অন্তর, d = ৮ - ৪ = ৪

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি, Sn​ = (n​/২) × {২a + (n - ১)d}
∴ ১৬ তম পদের সমষ্টি, S​১৬ = (১৬​/২) × {(২ × ৪) + (১৬ - ১)৪}
= ৮ × (৮ + ৬০)
= ৮ × ৬৮
= ৫৪৪
১,৪১৮.
১, ৫, ৯ ….. ৮১ ধারার সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) ৮৫৯
  2. খ
    খ) ৮৬০
  3. গ
    গ) ৮৬১
  4. ঘ
    ঘ) ৮৬২
ব্যাখ্যা

১ম পদ a = ১,
সাধারণ অন্তর d = ৪
পদসংখ্যা n হলে,
n তম পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ২১/২{২.১ + (২১ - ১)৪}
= ২১/২(২ + ২০ × ৪)
= ২১/২ × ৮২
= ২১ × ৪১
= ৮৬১

১,৪১৯.
1+3 +5 +7 + ........ধারাটির n টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    ক) n
  2. খ
    খ) 2n
  3. গ
    গ) n2
  4. ঘ
    ঘ) n2+1
ব্যাখ্যা

1+3+5+7+....... +n
এখানে ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 2
এবং পদ সংখ্যা = n
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= n/2 {2.1 + (n- 1) 2}
= n/2 (2+2n-2)
= n/2× 2n
= n2

১,৪২০.
কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 7 এবং সাধারণ অন্তর 4 হলে ধারাটির n তম পদ কত?
  1. ক
    4n + 3
  2. খ
    7n + 4
  3. গ
    4n - 7
  4. ঘ
    3n + 4
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ 7 এবং সাধারণ অন্তর 4 হলে ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a = 7
সাধারণ অন্তর, d = 4

∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
= 7 + (n - 1)4
= 7 + 4n - 4
= 4n + 3
১,৪২১.
১ + ৩ + ৫ + ………. + ৩১ = কত?
  1. ক
    ক) ২৫৮
  2. খ
    খ) ২৫৬
  3. গ
    গ) ২৫৪
  4. ঘ
    ঘ) ২৫২
ব্যাখ্যা
পদ সংখ্যা = {(৩১ - ১) ÷ সাধারণ অন্তর) + ১} = (৩০ ÷ ২) + ১ = ১৬
যোগফল = [(১ + ৩১) × ১৬] ÷ ২ = ২৫৬
১,৪২২.
একটি সমান্তর ধারার সাধারণ অন্তর ১০ এবং ৬ষ্ঠ পদ ৫২ হলে, ১৫ তম পদ কত?
  1. ক
    ক) ১৪০
  2. খ
    খ) ১৪২
  3. গ
    গ) ১৪৮
  4. ঘ
    ঘ) ১৫০
ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d = ১০
r-তম পদ = a + (r-১)d
৬-তম পদ = a + (৬-১)d
প্রশ্নমতে, a + (৬-১)d = ৫২
বা a + (৫)১০ = ৫২
বা a = ৫২ - ৫০= ২
∴ ১৫-তম পদ = ২ +(১৫-১)১০
= ২ + ১৪০ = ১৪২

১,৪২৩.
৭ + ১১ + ১৫ +...... ধারাটির কোন পদ ২০৩?
  1. ক
    ৪৭ তম পদ
  2. খ
    ৫০ তম পদ
  3. গ
    ৫৪ তম পদ
  4. ঘ
    ৬২ তম পদ
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ + ১১ + ১৫ +...... ধারাটির কোন পদ ২০৩?

সমাধান:
​এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১১ - ৭ = ৪
মনে করি, ধারাটির n-তম পদ হলো ২০৩।

আমরা জানি,
n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
a + (n - 1)d = ২০৩
বা, ৭ + (n - 1)৪ = ২০৩
বা, ৭ + ৪n - ৪ = ২০৩
বা, ৪n + ৩ = ২০৩
বা, ৪n = ২০৩ - ৩
বা, ৪n = ২০০
বা, n = ২০০/৪
∴ n = ৫০

সুতরাং, ধারাটির ৫০-তম পদ হলো ২০৩।

১,৪২৪.
a + 2a + 3a + 4a + ...................... সমান্তর ধারার n-তম পদ ও সাধারণ অন্তরের অনুপাত কত?
  1. ক
    n : 2
  2. খ
    2 : n
  3. গ
    n : 1
  4. ঘ
    n2
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + 2a + 3a + 4a + ..............সমান্তর ধারার n-তম পদ ও সাধারণ অন্তরের অনুপাত কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ, A1 = a
সাধারণ অন্তর, d = 2a - a = a 

আমরা জানি, 
n তম পদ = A1 + (n - 1)d
= a + (n - 1)a
= a + na - a
= na

∴ n-তম পদ এবং সাধারণ অন্তরের অনুপাত = na : a = n : 1

১,৪২৫.
কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৩ এবং দ্বিতীয় পদ ৫ হলে ধারাটির প্রথম ১৬ টি পদের সমষ্টি কত?
  1. ক
    250
  2. খ
    288
  3. গ
    312
  4. ঘ
    334
ব্যাখ্যা
প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৩ এবং দ্বিতীয় পদ ৫ হলে ধারাটির প্রথম ১৬ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 5 - 3 = 2
এবং পদসংখ্য n = 16

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার ১৬তম পদের সমষ্টি
= (16/2){2. a + (16 - 1)d}
= 8{2 × 3 + 15 × 2}
= 8(6 + 30)
= 8 × 36
= 288
১,৪২৬.
প্রথম 12 টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?
  1. ক
    560
  2. খ
    605
  3. গ
    650
  4. ঘ
    660
ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম 12 টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {n(n + 1)(2n + 1)}/6

∴ 12টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = {12 × (12 + 1) × (2 × 12 + 1)}/6 
= {12 × 13 × 25}/6
= 3900/6
= 650