সমান্তর ধারা

প্রশ্ন: একটি ধারার প্রথম সংখ্যাটি ২ এবং এর পরের প্রতিটি সংখ্যা ঠিক আগের সংখ্যা থেকে ৫ বেশি হলে ধারাটির ১৫১ তম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ধারার প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অন্তর, d = ৫
পদসংখ্যা, n = ১৫১

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ১৫১ তম পদ = ২ + (১৫১ - ১)৫
= ২ + (১৫০)৫
= ২ + ৭৫০
= ৭৫২

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৮ম পদ ৪২ হলে, তার প্রথম ১৫ পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ৮ম পদ = a + (৮ - ১)d
= a + ৭d

প্রশ্নমতে,
a + ৭d = ৪২

আমরা জানি,
প্রথম nটি পদের সমষ্টি, Sn = (n/২){২a + (n - ১)d}

∴ প্রথম ১৫টি পদের সমষ্টি, S_১৫ = (১৫/২){২a + (১৫ - ১)d}
= (১৫/২)(২a + ১৪d)
= (১৫/২) × ২(a + ৭d)
= ১৫ × (a + ৭d)
= ১৫ × ৪২
= ৬৩০

প্রশ্ন: ১১ + ১৫ + ১৯ + ২৩ + ....................... + ৯১ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ১১
সাধারণ অন্তর, d = ১৫ - ১১ = ৪
শেষ পদ = ৯১

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ৯১

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ =a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) × d = ৯১
⇒ ১১ + (n - ১) × ৪ = ৯১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৯১ - ১১
⇒ (n - ১) × ৪ = ৮০
⇒ (n - ১) = ৮০/৪
⇒ n - ১ = ২০
⇒ n = ২০ + ১
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ২১টি।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হয় তবে তৃতীয় পদটি কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা ৫ ও ১৭ হলে - 
সাধারণ অন্তর = (১৭ - ৫) 
= ১২ 

∴ তৃতীয় পদ = দ্বিতীয় পদ + সাধারণ অন্তর 
= ১৭ + ১২ 
= ২৯। 

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ৭ম পদ ৩৫ এবং ১৫তম পদ ৭৫ হলে, ধারাটির প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
ধরি, সমান্তর ধারার
প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে, 
৭ম পদ = ৩৫
১৫তম পদ = ৭৫
∴ ৭ম পদ, a + ৬d = ৩৫  .......(১)
এবং ১৫তম পদ, a + ১৪d = ৭৫  .......(২)

এখন, (২) - (১) করে পাই, 
⇒ (a + ১৪d) - (a + ৬d) = ৭৫ - ৩৫ 
⇒ ৮d = ৪০
 ⇒ d = ৪০/৮ 
∴ d = ৫
সমীকরণ (1)-এ d এর মান বসিয়ে পাই, 
⇒ a + ৬ × ৫ = ৩৫
⇒ a = ৩৫ - ৩০ 
∴ a = ৫

প্রথম ২০টি পদের যোগফল S_২০ = (২০/২) × [২a + (২০ - ১)d]
= ১০ × [(২ × ৫) + (১৯ × ৫)]
= ১০ × [১০ + ৯৫]
= ১০ × ১০৫
= ১০৫০

∴ ধারাটির প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি = ১০৫০

প্রশ্ন: x + 3x + 5x + .......... + 149x ধারাটিতে কতটি পদ রয়েছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।  যার
প্রথম পদ, a = x
সাধারণ অন্তর, d = 3x - x = 2x

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n-তম পদ = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে, 
a + (n - 1)d = 149x
⇒ x + (n - 1)(2x) = 149x
⇒ x + 2nx - 2x = 149x
⇒ x(2n - 1) = 149x
⇒ 2n - 1 = 149
⇒ 2n = 149 + 1
⇒ n = 150/2
∴ n = 75

সুতরাং, ধারাটিতে 75 টি পদ রয়েছে। 

x = 3/2 হলে ধারাটি,
1/(2.3/2 + 1) + 1/(2.3/2 + 1)² + 1/(2.3/2 + 1)³………
1/4 + 1/4² + 1/4³+ ………………
ধারাটির ১ম পদ a = 1/4; সাধারন অনুপাত r = (1/4²)/1/4 = 1/4 < 1
ধারাটির ৫ম পদ = ar^{5 – 1} = 1/4. (1/4)⁴ = 1/4⁵

প্রশ্ন: রশিদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তাহলে তিনি 18 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করবেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 100
n = 18

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18 তম পদ = 1200 + (18 - 1) × 100 
= 1200 + (17 × 100)
= 1200 + 1700
= 2900

∴ 18 তম মাসে রশিদ 2900 টাকা সঞ্চয় করবেন।

১ম পদ a = ১৭,
সাধারণ অন্তর d = ৫
∴ ২৩ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৭ + (২৩ - ১)৫
= ১৭ + ২২ × ৫
= ১২৭

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার চতুর্থ ও দ্বাদশ পদের যোগফল ২০। তাহলে প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a 
​এবং
ধারাটির সাধারন অন্তর = d

∴ চতুর্থ পদ = a + (4 - 1)d 
= a + 3d

​আবার, 
​দ্বাদশ পদ = a + (12 - 1)d
= a + 11d

​প্রশ্নমতে, 
a + 3d + a + 11d = 20
2a + 14d = 20 

∴ প্রথম ১৫ টি পদের যোগফল, S₁₅ = 15/2{2a + (15 - 1)d} 
= 15/2 {2a + 14d} 
= 15 × 20/2 
= 150

প্রশ্ন: নিচের প্রশ্নবোধক স্থানে বসবে?
2, 3, 5, 9 ?

সমাধান:
ধারার সংখ্যা: 2, 3, 5, 9

প্যাটার্ন দেখি:
2 থেকে 3 এর ব্যবধান = 1
3 থেকে 5 এর ব্যবধান = 2
5 থেকে 9 এর ব্যবধান = 4
প্রতিবার যোগফল দ্বিগুণ হচ্ছে: 1 থেকে 2, 2 থেকে 4, পরেরটা হবে 8 

এখানে যোগফলের ধারা: 1, 2, 4, …
পরবর্তী যোগফল হবে 8

সুতরাং পরবর্তী সংখ্যা = 9 + 8 = 17 

এখানে,
a = 5,
d = 8 - 5 = 3
n তম পদ = 305
বা, a + (n - 1)d = 305
বা, 5 + (n - 1)3 = 305
বা, (n - 1)3 = 300
বা, n - 1 = 100
∴ n = 101

প্রশ্ন: ৩ + ৯ + ১৫ + ২১ + ....... ধারাটির কোন পদ ২৪৩?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
যার, প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৩ = ৬

আমরা জানি, 
n-তম পদে, a_n = a + (n - 1)d

প্রশ্নমতে,
৩ + (n - ১) × ৬ = ২৪৩
⇒ (n - ১) × ৬ = ২৪৩ - ৩
⇒ (n - ১) × ৬ = ২৪০
⇒ n - ১ = ২৪০/৬
⇒ n - ১ = ৪০
⇒ n = ৪০ + ১ 
∴ n = ৪১

সুতরাং, ধারাটির ৪১তম পদ = ২৪৩

আমরা জানি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1)/2
সুতরাং ১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১০০(১০০+১)/২
= ৫০ × ১০১
= ৫০৫০

এখানে, a = ১,
d = ৪
∴ n পদের সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= n/২{২.১ + (n - ১)৪}
= n/২(২ + ৪n - ৪)
= n/২(৪n - ২)
∴ n/২(৪n - ২) = ৮৬১
৪n² - ২n = ৮৬১ × ২
বা, ৪n² - ২n - ১৭২২ = ০
বা, ২n² - n - ৮৬১ = ০
বা, ২n² - ৪২n + ৪১n - ৮৬১ = ০
বা, ২n(n - ২১) + ৪১(n - ২১) = ০
বা, (n - ২১)(২n + ৪১) = ০
বা, n - ২১ = ০
∴ n = ২১

a = 1,
d = 5 - 1 = 4,
ধরি,
n-তম পদ,
a + (n - 1)d = 385
বা, 1 + (n - 1)4 = 385
বা, (n - 1)4 = 384
বা, n - 1 = 96
∴ n = 97

এখানে,ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, n তম পদ = 302
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) d
বা, 5 + (n - 1) 3 = 302
বা, n = 100
∴ ধারাটির 100 তম পদ 302 হবে।

1 থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n+1) / 2
∴ 1 থেকে n পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যার গড় = n(n+1)/(2×n) = (n+1)/2
∴ (n+1)/2 = 25
বা, n + 1 = 50
∴ n = 49

আমরা জানি,
n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
সুতরাং ১ হতে ৫০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৫০(৫০ + ১)/২
= ২৫ × ৫১
= ১২৭৫

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ............ ধারাটির 11 তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = (9 - 5) = 4
পদসংখ্যা, n = 11 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 11 তম পদ = a + (11 - 1)d
= 1 + (11 - 1)4
= 1 + 10 × 4
= 1 + 40
= 41

প্রশ্ন:  2 + 5 + 8 + 11 + ...…ধারাটির 11 তম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে, প্রথম পদ, a₁ = 2 
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 2 = 3

সমান্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ + (n - 1)d

১১ম পদ a₁₁:
a₁₁​ = 2 + (11 - 1)3
= 2 + 10 × 3
= 2 + 30
= 32

১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d = -5 - 2 = - 7
∴ এগারতম পদ = a + (11 - 1)d = 2 + 10 × (-7) = 2 - 70 = -68

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার 13 তম পদ 77 হলে, ধারাটির প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অন্তর = d
∴ 13 তম পদ = a + (13 - 1)d
= a + 12d

শর্তমতে,
a + 12d = 77

প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি, S₂₅ = (25/2) × [2a + (25 - 1)d]
= (25/2) × (2a + 24d)
= (25/2) × 2(a + 12d)
= 25 × 77
= 1925

∴ প্রথম 25 টি পদের সমষ্টি = 1925

১ম পদ (a) = 2,
সাধারণ অন্তর (d) = 4 - 2 = 2
শেষ পদ = 2n
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(2n - 2)/2} + 1
= n - 1 + 1 
= n 
∴ সমষ্টি (s) = ১/২ × পদ সংখ্যা × (শেষ পদ + ১ম পদ)
= (n/2)(2n + 2)
= {n. 2(n + 1)}/2
= n(n + 1)
= n² + n

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 12 তম পদ - 18 হলে, এর প্রথম 23 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = a + (12 - 1 )d = a + 11d

প্রশ্নমতে, a + 11d = - 18 ...... (i)

n পদের সমষ্টি , S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
S₂₃ = (23/2){2a + (23 - 1)d}
=  (23/2) (2a + 22d)
= (23/2) × 2(a + 11d)
= 23(a + 11d)
= 23 × (- 18) [ (i) হতে]
= - 414

আমরা জানি, গড় = (১ ম পদ + শেষ পদ)/২ = (1 + 99)/2 = 50
আবার, পদ সংখ্যা = সমষ্টি/গড় = 2500/50 = 50
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = ((শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর) + ১
⇒ সাধারণ অন্তর = 98/49 = 2

a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে
a = a
b = a+1
c = a+2
d = a+3
এই মান গুলো প্রত্যেকটি অপশানে বসিয়ে দেখা যায়
c = (b+d)/2 এটা সত্য
= (a+1+a+3)/2
= (2a+4)/2
= 2(a+2)/2
= (a+2)
= c

১ম পদ (a) = ৮,
সাধারণ অন্তর (d) = ১৬ - ৮ = ৮
পদসংখ্যা (n) = ১০
∴ (১ম ১০টি পদের) সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - ১)d}
= (১০/২){২.৮ + (১০ - ১) d}
= ৫(১৬ + ৯×৮)
= ৪৪০

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d
এখানে, ৮তম পদ, ৭৬ = a + (৮ - ১) ৯
বা, ৭৬ = a + ৬৩
বা, a = ১৩
সুতরাং ১১তম পদ = ১৩ + (১১ - ১) ৯
= ১৩ + ১০ × ৯
= ১৩ + ৯০
= ১০৩

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি বছরের প্রারম্ভে ৫টি গাছ রোপন করলেন। এরপর প্রতি বছর ৬টি করে অতিরিক্ত গাছ রোপন করলে, ২৫তম বছরে তিনি কতটি গাছ রোপন করবেন?

 সমাধান:
১ম বছরে গাছ রোপন = ৫টি
প্রতি বছর অতিরিক্ত = ৬টি করে বৃদ্ধি
∴ এটি একটি সমান্তর ধারা।

এখানে,
প্রথম পদ (a) = ৫
সাধারণ অন্তর (d) = ৬
পদ সংখ্যা (n) = ২৫

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ২৫তম পদ = ৫ + (২৫ - ১) × ৬
= ৫ + ২৪ × ৬
= ৫ + ১৪৪
= ১৪৯টি

ধরি, S = ৫+৫৫+৫৫৫+……………
S/5 = 1+11+111+………..
9S/5 = 9+99+999+…………
= (10-1)+(100-1)+(1000-1)+……………..
= (10+10²+10³+………..+10ⁿ) –(1+1+1+………..+n)
= 10(1+10+10²………….10ⁿ) – n
= 10{(10ⁿ-1)/(10-1)} – n
= {10(10ⁿ-1)/9}-n
S = 5/9 [{10(10ⁿ-1)/9} - n]
S = 50(10ⁿ-1)/81 – 5n/9

Shot Cut Rule:
a+aa+aaa+……………. n সংখ্যক পদের যোগফল
S = (a/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}
= (5/9){(10/9)(10ⁿ-1) - n}
= 50/81(10ⁿ-1) - 5n/9

প্রশ্ন: x + (x + 1) + (x + 2) + ....... ধারাটির প্রথম 14 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
x + (x + 1) + (x + 2) + .......
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = x
সাধারন অন্তর, d = x + 1 - x = 1

প্রথম 14 টি পদের সমষ্টি, S_n = n/2{2a + (n - 1)d}
= 14/2 {2x + (14 - 1)1}
= 7(2x + 13)
= 14x + 91

1³ + 2³ + 3³ + .... + n³
= {n(n + 1)/2}²
= {n²(n+1)²}/4

ধারাটির সমষ্টি = 1/6.n(n + 1)(2n + 1)
= 1/6{21(21 + 1)(42 + 1)}
= 3311