সমান্তর ধারা

4 + 7 + 10 + 13 +........ ধারাটি একটি সমান্তর ধারা, যার
১ম পদ a=4
সাধারণ অন্তর, d = 7-4=3
মনে করি, n তম পদ= 301
n তম পদ= a+(n-1)d
সুতরাং, a+(n-1)d = 301
বা, 4+ (n-1)3 = 301
বা, (n-1) 3 = 301-4
বা, n-1 = 297/3
বা, n= 99+1 = 100

a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে
a = a
b = a+1
c = a+2
d = a+3
এই মান গুলো প্রত্যেকটি অপশনে বসিয়ে দেখা যায়
c = (b+d)/2 এটা সত্য
= (a+1+a+3)/2
= (2a+4)/2
= 2(a+2)/2
= (a+2)
= c

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 2^{(n + 1)} হলে ধারাটির ১ম 5টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, n তম পদ = n . 2^{(n + 1)}
সুতরাং,
১ম পদ = 1 × 2^{(1 + 1)} = 1 × 2² = 1 × 4 = 4
২য় পদ = 2 × 2^{(2 + 1)} = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
৩য় পদ = 3 × 2^{(3 + 1)} = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48
৪র্থ পদ = 4 × 2^{(4 + 1)} = 4 × 2⁵ = 4 × 32 = 128
৫ম পদ = 5 × 2^{(5 + 1)} = 5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320

∴ ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল = 4 + 16 + 48 + 128 + 320
= 516

প্রশ্ন: 12 থেকে 96 পর্যন্ত কয়টি সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
প্রথম পদ 12, শেষ পদ 96, সাধারণ অন্তর 4

∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1
= {(96 - 12)/4} + 1
= (84/4) + 1
= 21 + 1
= 22

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 22টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)

প্রথম 22টি পদের সমষ্টি = 22(22 + 1)
= 22 × 23
= 506

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০তম পদ।

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + ............ধারাটির ৪৩ তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৭ 
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ৭ = ৫
এবং পদসংখ্যা, n = ৪৩ 

​আমরা জানি,
​সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ধারাটির ৪৩ তম পদ = ৭ + (৪৩ - ১)৫
= ৭ + (৪২ × ৫)
= ৭ + ২১০
= ২১৭

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৫ম পদটি ৩১ এবং ১২তম পদটি ৭৩ হলে, ধারাটির ৪০তম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

প্রশ্নমতে,
৫ম পদ = a + (৫ - ১) × d = ৩১
⇒ a + ৪d = ৩১ .........(i)

১২তম পদ = a + (১২ - ১) × d = ৭৩
⇒ a + ১১d = ৭৩ .........(ii)

(ii) - (i) করে পাই,
a + ১১d - (a + ৪d) = ৭৩ - ৩১
⇒ ৭d = ৪২
⇒ d = ৬

d এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a + ৪ × ৬ = ৩১
⇒ a + ২৪ = ৩১
⇒ a = ৭

এখন, ৪০তম পদ = a + (৪০ - ১) × d
= ৭ + (৩৯ × ৬)
= ৭ + ২৩৪
= ২৪১

∴ ৪০তম পদটি হলো ২৪১

১ম পদ (a) = ৩,
সাধারণ অন্তর (d) = ৬ - ৩ = ৩,
শেষ পদ = ৯৬
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৯৬ - ৩)/৩} + ১
= ৩১ + ১
= ৩২

প্রশ্ন: রবিন তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1500 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 150 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন, তিনি 20 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 1500
সাধারণ অন্তর d = 150

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = a + (20 - 1)d
= 1500 + (19 × 150)
= 1500 + 2850
= 4350

∴ রবিন 20 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4350 টাকা।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a
এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
পঞ্চম পদ = 55
∴ a + (7 - 1)5 = 55
⇒ a + 30 = 55
⇒ a = 55 - 30
⇒ a = 25

∴ নবম পদ = 25 + (10 - 1) × 5
= 25 + 45
= 70

n-তম পদ = ar^{n - 1}

এখানে,
a = 2
r = 4/2 = 2
n = 9

10তম পদ = 2 × 2^{9 - 1}
= 2 × 2⁸
= 512

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + …… ধারাটির কত তম পদ ৫০২?

সমাধান:
এখানে, ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + ……
এটি একটি সমান্তর ধারা,
যার প্রথম পদ, a = ৭
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ৭ = ৫

ধরি,
ধারাটির n তম পদ ৫০২

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১)d
⇒ ৫০২ = ৭ + (n - ১)৫
⇒ ৫০২ = ৭ + ৫n - ৫
⇒ ৫০২ = ৫n + ২
⇒ ৫n = ৫০২ - ২
⇒ ৫n = ৫০০
⇒ n = ৫০০/৫
∴ n = ১০০

∴ ধারাটির ১০০ তম পদ ৫০২

১ম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
বা, -144 = (n/2){2a + (n - 1)d}
বা, -144 = (n/2){2×9 + (n - 1)×(-2)}
বা, -144 = 9n -n² + n
বা, n² -10n -144 = 0
∴ n = 18 or -8

a = ৮, d = ৩
ধরি, n তম পদ = ৩৯২
বা, a + (n - ১) × ৩ = ৩৯২
বা, ৮ + (n - ১) × ৩ = ৩৯২
বা, (n - ১)৩ = ৩৯২ - ৮ = ৩৮৪
বা, n - ১ = ৩৮৪/৩ = ১২৮
∴ n = ১২৯

সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
বা, 2500 = (99 + 1)/2 × পদ সংখ্যা
বা, 2500 = 50 × পদ সংখ্যা
∴ পদ সংখ্যা = 50
এখন,
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর)) + ১
বা, 50 = {(99 - 1)/সাধারণ অন্তর} + ১
বা, 49 = 98/সাধারণ অন্তর
বা, সাধারণ অন্তর = 98/49 = 2

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ...... ধারার কোন পদ ১৭৩?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৯ - ৫ = ৪
n তম পদ = ১৭৩

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d
⇒ ১৭৩ = ৫ + (n - ১) × ৪
⇒ ১৭৩ = ৫ + ৪n - ৪
⇒ ১৭৩ = ৪n + ১
⇒ ৪n = ১৭২
⇒ n = ১৭২/৪
∴ n = ৪৩

∴ ধারাটির ৪৩তম পদ হলো ১৭৩

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৮ এবং পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারাটির ১০০তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = ৮
সাধারণ অন্তর, d = ৬
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - ১) × d
∴ ১০০তম পদ = ৮ + (১০০ - ১) × ৬
= ৮ + (৯৯ × ৬)
= ৮ + ৫৯৪
= ৬০২

∴ ১০০তম পদটি হলো ৬০২

প্রশ্ন: প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 10টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (110/2)²
= (55)²
= 3025

n = 3 হলে,
৩য় পদ = Sin{(2.3 + 1) π/2}
= Sin(7 × 90°)
= Sin630°
= -1

প্রশ্ন: s + (s + 1) + (s + 2) + ............ ধারাটির প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
s + (s + 1) + (s + 2) + ............
ধারাটির,
প্রথম পদ, a = s
সাধারন অন্তর, d = s + 1 - s = 1

প্রথম 18 টি পদের সমষ্টি, Sn = n/2{2a + (n - 1)d}
= 18/2 {2s + (18 - 1)1}
= 9(2s + 17)
= 18s + 153

প্রশ্ন: ১ + ৫ + ৯ + ......... + ৮৫ = ?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। 
 যার প্রথম পদ, a = ১
সাধারণ অন্তর, d = ৫ - ১ = ৪

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - ১)d
a + (n - ১)d = ৮৫
১ + (n - ১) × ৪ = ৮৫
(n - ১) × ৪ = ৮৪ 
n - ১ = ৮৪/৪ 
n - ১ = ২১ 
n = ২২ 

সমান্তর ধারার সমষ্টি, 
S_n = (n/২) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
= (২২/২) × (১ + ৮৫)
= ১১ × ৮৬
= ৯৪৬

১ম পদ = 1.3^1-1 = 1.3⁰ = 1.1 = 1
২য় পদ = 2.3^{2 - 1} = 2.3 = 6
৩য় পদ = 3.3^{3 - 1} = 3.3² = 27
৪র্থ পদ = 4.3^{4 - 1} = 4.3³ = 4.27 = 108
∴ সমষ্টি = 1 + 6 + 27 + 108 = 142

5² + 10² + 15² + .  .  .  .  + 100² 
= 5² + 5²2² + 5²3² + .  .  .  + 5².20²
= 5²{1² + 2² + 3² + .  .  .  + 20²}
= 5² × 20(20 + 1)(2.20 + 1)/6
= 25 × 20×21×41 /6
= 71750

5 + 6 + 7 + 8 + .....+ 54
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + ..... + 54) - (1 + 2 + 3 + 4)
= {(54(54+1))/2} - 10
= 1475

n তম পদ = n/2 × 2^{2n - 1}

∴ ১ম পদ = 1/2 × 2¹ = 1
২য় পদ = 2/2 × 2³ = 8
৩য় পদ = 3/2 × 2⁵= 3/2 × 32 = 48

∴ সমষ্টি = 1 + 8 + 48
= 57

ধারাটির ১ম পদ a = 7,
সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = 30
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n = n/2 × {2a + (n - 1)d}
তাহলে, 30 টি পদের সমষ্টি S₃₀ = (30/2) × {2 × 7 + (30 - 1)5}
= 15 × (14 + 29 × 5)
= 2385

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12টি পদের যোগফল 450। যদি প্রথম পদ 10 হয়, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র:
S_n = n/2 [2a (n - 1)d]
⇒ 450 = 12/2 [2 × 10(12 - 1)×d]
⇒ 450 = 6 [20 × 11d]
⇒ 75 = 20 × 11d
⇒ 11d = 55
⇒ d = 5

∴ সাধারণ অন্তর 5

d = 10,
a = ?
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 - 1)d
বা, 72 = a + 5 × 10
বা, a + 50 = 72
∴ a = 22
∴ ষোড়শ পদ = a + (16 - 1)d
= 22 + (15) × 10
= 22 + 150
= 172

প্রশ্ন: 1 থেকে 99 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2
∴ 1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {99 × (99 + 1)}/2 
= (99 × 100)/2 
= 99 × 50 
= 4950 

ধারার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা n = 11
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = n/2 × {2a + (n – 1)d}
S₁₁ = 11/2 × {2 × 8 + (11 - 1)8} [n = 11 বসিয়ে]
= 11/2 (16 + 80)
= 11/2 × 96
= 528
∴ ধারাটির প্রথম 11টি পদের সমষ্টি 528

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4-1 =3
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 73 = 1 + (n-1)3
⇒ 73 = 1 + 3n - 3
⇒ 3n = 75
∴ n = 25
∴ ধারাটির সমষ্টি, S = n/2{2a+(n-1)d}
= 25/2{2×1+(25-1)×3}
= 25/2 (2+72)
= 25/2 × 74
= 925

a = 4, d = 9 - 4 = 5
∴ n-তম পদ = a + (n - 1)d = 504
বা, 4 + (n - 1)5 = 504
বা, 4 + 5n - 5 = 504
বা, 5n = 505
∴ n = 101

ধরি,
১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = d

∴ পঞ্চম পদ = a + (5 - 1)d
বা, 18 = a + 4d...... (1)
আবার,
প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি = (5/2){2a +(5 - 1)d}
বা, 75 = (5/2)(2a + 4d)
বা, 150 = 2 × 5(a + 2d)
বা, 15 = a + 2d.....(2)
বা, 30 = 2a + 4d
বা, 30 = a + (a + 4d)
বা, 30 = a + 18 [যেহেতু, a + 4d = 18]
∴ a = 12

১ + ৩ + ৫ + ৭ + ..... ৩১ ∴ ১ম পদ a = ১, সাধারন অন্তর d = ২
∴ পদ সংখ্যা = শেষ পদ - ১ম পদ / সাধারন অন্তর + ১ = ৩১-১/২ + ১ = ১৬
∴ সমষ্টি = n² = ১৬^২ = ২৫৬

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদটি ৫ এবং এর পরের প্রতিটি পদ ঠিক আগের পদ থেকে ৬ বেশি হলে ধারার ১৫০তম পদটি কত?

সমাধান:
১ম সংখ্যাটি = ১ম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৬

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ১৫০ তম পদ = ৫ + (১৫০ - ১) × ৬
= ৫ + (১৪৯ × ৬)
= ৫ + ৮৯৪
= ৮৯৯

∴ ১৫০ তম পদ হলো ৮৯৯

প্রশ্ন: রিশাদ তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 100 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি কত বছরে মোট 106200 টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান: 
একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ(প্রথম মাস), a = 1200 টাকা
সাধারণ অন্তর(প্রতি মাসে বৃদ্ধি), d = 100 টাকা
n মাস পরে মোট সঞ্চয়, Sn = 106200 টাকা।

আমরা জানি, 
S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ (n/2)[2 × 1200 + (n - 1)100] = 106200
⇒ (n/2)(2400 + 100n - 100) = 106200
⇒ (n/2)(100n + 2300) = 106200
⇒ n(100n + 2300) = 212400
⇒ 100n² + 2300n - 212400 = 0
⇒ n² + 23n - 2124 = 0
⇒ n² + 59n - 36n - 2124 = 0
⇒ n(n + 59) - 36(n + 59) = 0
⇒ (n + 59)(n - 36) = 0
হয়,
n + 59 = 0
∴ n = - 59  [মাস কখনো ঋণাত্মক হতে পারেনা] 

অথবা, 
n - 36 = 0
∴ n = 36

নির্ণেয় সময় 36 মাস বা 3 বছর।

a = ৩৭,
d = -৪,
∴ পদ সংখ্যা n = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(-২৩ - ৩৭)/-৪} + ১
= {-৬০/-৪} + ১
= ১৫ + ১
= ১৬

∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ১৬/২{২.৩৭ + (১৬ - ১)(-৪)}
= ৮ × (৭৪ - ৬০)
= (৮ × ১৪)
= ১১২

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩০২ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩০২
বা, (n - ১) × ৩ = ৩০২ - ৫
বা, n - ১ = ২৯৭/৩
বা, n - ১ = ৯৯
বা, n = ৯৯ + ১
বা, n = ১০০

প্রশ্ন: কোন সমান্তর ধারার m তম পদ n ও n তম পদ m হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
মনে করি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d

১ম শর্তমতে,
m তম পদ a + (m - 1)d = n
বা, ‍a + md - d = n .......................(1)
২য় শর্তমতে,
n তম পদ a + (n - 1)d = m
বা, a + nd - d = m ........................ (2)

(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
a + md - d = n
 a + nd - d = m
md - nd = n - m
বা, d (m - n) = n - m
বা,  d = - (m - n)/(m - n)
∴ d = - 1

∴ ধারাটির সাধারণ অন্তর = - 1

S_n = S_p + n² = 36 + 3² = 45

আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অন্তর, d হলে n তম পদ = a + (n-1)d।
এখন, n তম পদ ৩১১ হলে, ৫ + (n-১) × ৩ = ৩১১
বা, (n-১) × ৩ = ৩১১ - ৫
বা, n-১ = ৩০৬/৩
বা, n-১ = ১০২
বা, n = ১০২ + ১
বা, n = ১০৩

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে আগের মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 200

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1) × d
= 1200 + (14 × 200)
= 1200 + 2800
= 4000

∴ রহিম 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4000 টাকা।

ধারাটির প্রথম পদ a=8, সাধারণ অন্তর, d=11-8=3, 14-11=3
ইহা একটি সমান্তর ধারা
মনেকরি, ধারাটির n তম পদ 392
আমরা জানি, সমান্তর ধারার nতম পদ= a + (n - 1)d
a + (n - 1)d = 392
বা, 8 + (n - 1)3 = 392
বা, 8 + 3n - 3 = 392
বা, 3n + 5 = 392
বা, 3n = 392 - 5
বা, 3n = 387
বা, n = 129