বীজগণিত

প্রশ্ন: |x + 2| < 6 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 2| < 6
⇒ - 6 < x + 2 < 6
⇒ (- 6 - 2) < (x + 2 - 2) < (6 - 2) [উভয়পক্ষে (- 2) যোগ করে]
⇒ - 8 < x < 4

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 8 < x < 4}

প্রশ্ন: 3x³ - 4x² - 17x + 6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x³ - 4x² - 17x + 6
∴ f(3) = 3 × 3³ - 4  ×3² - 17 × 3 + 6
= 81 - 36 - 51 + 6
= 0

∴ x = 3 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়।
∴ (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক। 

যেহেতু মূলদ্বয় সমান
∴ নিশ্চায়ক = ০
বা, (-b)²- 4.1.4 = 0
বা, b² -16 = 0
বা, b² = 16
∴ b = 4

a = 1,
d = ?
পদ সংখ্যা = n
সমষ্টি = (1 + 99) × পদসংখ্যা/2
বা, 2500 = (100 × n)/2
∴ n = 50
আবার,
n = {(99 - 1)/d}+ 1
বা, 50 = (98/d) + 1
বা, 49 = 98/d
∴ d = 2

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 +............ ধারাটির প্রথম 12 টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log8 + log64 + log512 +...........
= log8¹ + log8²+ log8³ +...........
= log8 + 2 log8 + 3 log8 +...........
=( 1 + 2 + 3 +.....) log8

এখন, 1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 12 টি পদের সমষ্টি, 
= n(n + 1)/2
= {12 × (12 + 1)}/2
= (12 × 13)/2
= 156/2
= 78

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 78 log8

প্রশ্ন: 6 + 4x ≤ 18 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
এখানে, 6 + 4x ≤ 18
⇒ 6 + 4x - 6 ≤ 18 - 6
⇒ 4x ≤ 12
⇒ x ≤ 3

∴ নির্ণেয় সমাধান x ≤ 3 

লাল অথবা টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা + টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা – লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা [∵ অবর্জনশীল]
= 1/2 + 1/13 – 1/26
= 14/26
= 7/13

১ম পদ = a,
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ১ম 6টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/(r - 1)
১ম 3টি পদের সমষ্টি = a.(r³ - 1)/(r - 1)
শর্তানুসারে,
a.(r⁶ - 1)/(r - 1) = 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
বা, r⁶ - 1 = 9(r³ - 1)
বা, (r³)² - 1 = 9(r³ - 1)
বা, (r³ + 1)(r³ - 1) = 9(r³ - 1)
বা, r³ + 1 = 9
বা, r³ = 8
= 2³
∴ r = 2

কেটে নেওয়া কাগজের ক্ষেত্রফল = 5x বর্গমিটার
মূল কাগজের ক্ষেত্রফল = 45 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
5x < 45
⇒ x < 9
∴x এর সম্ভাব্য মান 5 <x <9

a² + 3a - x² - x + 2
= a² - x² + 2a – 2x + a + x + 2
= (a + x)(a – x) + 2(a - x) + (a + x +2)
= (a - x) (a + x + 2) + (a + x +2)
= (a + x + 2) (a – x + 1)

প্রশ্ন: যদি f(x) = 2x³ - kx² + 5x + 7 কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 9 হয়, তবে k এর মান কত? 

সমাধান:
(x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ = f(2)
f(2) = 2(2)³ - k(2)² + 5(2) + 7
= 16 - 4k + 10 + 7
= 33 - 4k

প্রশ্নমতে,
33 - 4k = 9
⇒ - 4k = 9 - 33
⇒ - 4k = - 24
⇒ k = 6

এখানে,
a = 7,
d = 6,
n = 20
∴ সমষ্টি (s) = n/2{2a + (n - 1)d}
= 20/2{2.7 + (20 - 1)6}
= 10(14 + 114)
= 1280

প্রশ্ন: - 4a² + 23a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
- 4a² + 23a + 6 
= - 4a² + 24a - a + 6
= - 4a(a - 6) - 1(a - 6)
= (a - 6)(- 4a - 1)
= {- (6 - a)}{- (4a + 1)}
= (6 - a)(4a + 1)

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার আট গুণের সাথে 7 যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যার দশ গুণ হতে 13 কম হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x × 8 + 7 = x × 10 - 13
⇒ 8x + 7 = 10x - 13
⇒ 7 + 13 = 10x - 8x 
⇒ 20 = 2x
⇒ x = 10

∴ সংখ্যাটি = 10

2x²+5x+3 < 0
⇒ 2x²+3x+2x+3 < 0
⇒ x(2x+3)+1(2x+3) < 0
⇒ (2x+3)(x+1) < 0
দুইটি রাশির গুণফল 0 থেকে কম হলে, গুণফলটি অবশ্যই ঋণাত্মক হবে। সেই কারণে একটি অংশ ধনাত্মক হলে অন্য অংশ ঋণাত্মক হবে।
এখন,
2x+3 > 0 [ধনাত্মক ধরে]
⇒ x > -3/2
এবং
x+1 < 0 [ঋণাত্মক ধরে]
⇒ x < -1
অর্থাৎ, -3/2 < x < -1

প্রশ্ন: (9x² + 6x + 1 = 0) সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 9x² + 6x + 1 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9
b = 6
c = 1

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
D = b² - 4ac
= (6)² - 4 × 9 × 1
= 36 - 36
= 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

মোট বল ২২ টি 
৩ টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ^৭C_৩/^২২C_৩ = ১/৪৪
৩ টি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ^৬C_৩/^২২C_৩ = ১/৭৭
বল গুলো লাল বা সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ১/৪৪ + ১/৭৭ = ১১/৩০৮ = ১/২৮

প্রশ্ন: 3, 5, 9, 17, 33 .......... ধারাটির ৯ম সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
3, 5, 9, 17, 33 .........

এখানে, 
ধারাটি x + 2, x + 4, x + 8 এভাবে বৃদ্ধি পাচ্ছে।
∴ 1 + 2 = 3 
1 + 4 = 5 
1 + 8 = 9 
1 + 16 = 17 
1 + 32 = 33 
1 + 64 = 65 
1 + 128 = 129
1 + 256 = 257 
∴ ৯ম সংখ্যাটি হলো = 1 + 512 = 513

∴ ধারার ৯ম সংখ্যাটি = 513

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ (- 2)^{n - 1} × 3 হলে ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, n তম পদ = (- 2)^{n - 1} × 3

১ম পদ (n = 1): (- 2)^{1 - 1} × 3 = (- 2)⁰ × 3 = 1 × 3 = 3
২য় পদ (n = 2): (- 2)^{2 - 1} × 3 = (- 2)¹ × 3 = - 2 × 3 = - 6
৩য় পদ (n = 3): (- 2)^{3 - 1} × 3 = (- 2)² × 3 = 4 × 3 = 12

∴ ধারাটির প্রথম তিনটি পদের যোগফল = 3 + (- 6) + 12
= 3 - 6 + 12
= 9

প্রশ্ন: a² + 1 - √5a = 0 হলে (a - 1/a)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 1 - √5a = 0
⇒ a² + 1 = √5a
⇒ (a² + 1)/a = √5a/a
⇒ (a²/a) - (1/a) = √5
∴ a + (1/a) = √5

এখন,
{a - (1/a)}² = {a + (1/a)}² - 4 · a · (1/a)
= (√5)² - 4
= 5 - 4
= 1

প্রশ্ন:  এক ব্যক্তির ৬ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
১ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C১ = ৬!/{১! × (৬ - ১)! = (৬ × ৫!)/৫! = ৬
২ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_২ = ৬!/{২! × (৬ - ২)! = (৬ × ৫ × ৪!)/(২ × ১ × ৪!) = ১৫
৩ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৩ = ৬!/{৩! × (৬ - ৩)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩!)/(৩ × ২ × ৩!) = ২০
৪ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৪ = ৬!/{৪! × (৬ - ৪)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২!)/(৪ × ৩ × ২ × ২!) = ১৫
৫ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৫ = ৬!/{৫! × (৬ - ৫)! = (৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১!)/(৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১!) = ৬ 
৬ জন বন্ধুকে নিমন্ত্রন করতে চাইলে উপায় সংখ্যা = ^৬C_৬ = ৬!/{৬! × (৬ - ৬)! = ৬!/(৬! × ০!) = ১

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৬ + ১৫ + ২০ + ১৫ + ৬ + ১ = ৬৩

বিকল্প:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৬ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৬ - ১
= ৬৪ - ১ = ৬৩ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

3log₁₀2 + 2log₁₀3 + log₁₀5
= log₁₀2³ + log₁₀3² + log₁₀5
= log₁₀(2³ × 3² × 5)
= log₁₀360

প্রশ্ন: ২৫ + ২১ + ১৭ + …….. - ২৭ = কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ = ২৫
শেষ পদ = - ২৭
সাধারণ অন্তর = ২১ - ২৫ = -৪

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(- ২৭ - ২৫)/- ৪} + ১
= (- ৫২/- ৪) + ১
= ১৩ + ১
= ১৪

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/২} × পদ সংখ্যা
= {(- ২৭ + ২৫)/২} × ১৪
=(- ২/২) × ১৪
= - ১৪

প্রশ্ন: 'STATISTICS' শব্দটির বর্ণগুলো কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'STATISTICS' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে = 10টি
যার মধ্যে S আছে 3টি, T আছে 3টি এবং I আছে 2টি করে এবং বাকিগুলো ভিন্ন।

∴ মোট সাজানোর উপায় = 10!/(3! × 3! × 2!)
= (10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(6 × 6 × 2)
= 50400

সাধারণ অন্তর = 2
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = {( শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
={(2n - 1 -1)/2} + 1
= n - 1 + 1
= n

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) হলে, অনুক্রমের ৪র্থ পদটির মান কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
অনুক্রমের n তম পদ = n/(n + ১) 
∴ অনুক্রমের ৪র্থ পদ = ৪/(৪ + ১) 
= ৪/৫ । 

প্রশ্ন: x³ + 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³ + 27
= x³ + 3³
= (x + 3)(x² - 3x + 3²) [∵ a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)]
= (x + 3)(x² - 3x + 9)

প্রশ্ন: ২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৫  
এখানে,২ আছে ৩ বার এবং ৫ আছে ২ বার

∴ ২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 7ম পদ 32 এবং 13তম পদ 62 হলে, ধারাটির সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n-তম পদ, a_n = a + (n - 1)d
যেখানে, ১ম পদ = a, সাধারণ অন্তর = d

দেওয়া আছে,
৭ম পদ, a₇ = 32
a + 6d = 32 ...... (১)

এবং,
১৩তম পদ, a₁₃ = 62
a + 12d = 62 ...... (২)

এখন, সমীকরণ ২ থেকে সমীকরণ ১ বিয়োগ করে পাই,
(a + 12d) - (a + 6d)= 62 - 32
⇒ a + 12d - a - 6d = 30
⇒ 6d = 30
⇒ d = 30/6 = 5
∴ d = 5

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অন্তর 5

প্রশ্ন: 5 + 11 + 17 + 23 +................ ধারাটির কোন পদ 71?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = 5,
সাধারণ অন্তর, d = 11 - 5 = 6, 
প্রদত্ত ধারাটি সমান্তর ধারা,
মনে করি,
ধারাটির n তম পদ = 71

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1) d
a + (n - 1) d = 71
বা, 5 + ( n - 1)6 = 71
বা, 6(n - 1 ) = 71 - 5
বা, 6n - 6 = 66
বা, 6n = 72 
 ∴ n = 12

∴ ধারাটির 12 তম পদ 71

প্রশ্ন: পিতার বর্তমান বয়স পুত্রের বয়সের তিন গুণ। 5 বছর পূর্বে পিতার বয়স, পুত্রের বয়সের চারগুণ ছিল। পিতা ও পুত্রের বর্তমান বয়স কত?

সমাধান:
বর্তমানে পুত্রের বয়স = ক বছর
বর্তমানে পিতার বয়স = ৩ক বছর

প্রশ্নমতে,
(৩ক - ৫) = ৪(ক - ৫)
বা, ৩ক - ৫ = ৪ক - ২০
বা, ৪ক - ৩ক =২০ - ৫
∴ ক = ১৫

বর্তমানে পুত্রের বয়স = ১৫ বছর
বর্তমানে পিতার বয়স = ৩ × ১৫ = ৪৫ বছর

r!.ⁿC_r
r!n!/r!(n - r)!
= n!/(n - r)!

প্রশ্ন:  f(x) = (2x + 5)/(x - 3) হলে f(4) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে 
f(x) = (2x + 5)/(x - 3)
f(4) = (2 × 4 + 5)/(4 - 3)
f(4) = (8 + 5)/1
∴ f(4) = 13