বীজগণিত

প্রশ্ন:

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার, ১ম পদ, a = - 1
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/(- 1) = - 1/2 ; r < 1

আমরা জানি, 
অসীম ধারাটির যোগফল, S = a/(1 - r)  ; [r < 1]
= (- 1)/{1 - (- 1/2)}
= (- 1)/(1 + 1/2)
= (- 1)/(3/2)
= - 1 × (2/3)
= - 2/3

সুতরাং, অসীম ধারাটির যোগফল - 2/3 হবে। 

প্রশ্ন:  এক ব্যক্তির ৬ জন বন্ধু আছেন। তিনি তার জন্মদিনে এক বা একাধিক বন্ধুকে কত উপায়ে নিমন্ত্রণ করতে পারেন?

সমাধান:
প্রতিটি বন্ধুর জন্য নিমন্ত্রনের উপায় = ২ টি ( নিমন্ত্রন করা কিংবা না করা)

৬ জন বন্ধুর জন্য মোট উপায় সংখ্যা = ২^৬ - ১
= ৬৪ - ১ = ৬৩ (কাউকে না কাউকে নিমন্ত্রন করবেনই)

√7 - x = y
∴ x + y = √7
আবার,
x - √3 = y
∴ x - y = √3
∴ 4xy = (x + y)² - (x - y)²
= (√7)² - (√3)²
= 7 -3
= 4

প্রশ্ন: a - b = 5 এবং ab = 70 হলে, a² + b² এর মান কত? 

সমাধান: 
a² + b² = (a - b)² + 2ab
= (5)² + 2 × 70 
= 25 + 140 
= 165

প্রশ্ন: x² - 10x + 25 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো: x² - 10x + 25 = 0
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 1
b = - 10
c = 25

এখন, সমীকরণের নিশ্চয়ক (Discriminant) নির্ণয় করি।
নিশ্চয়ক, D = b² - 4ac
= (- 10)² - 4 × 1 × 25
= 100 - 100
= 0

যেহেতু, নিশ্চয়ক (D) এর মান শূন্য, তাই মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য-
• D > 0 (ধনাত্মক)
মূলের প্রকৃতি: বাস্তব ও অসমান।

• D = 0 (শূন্য)
মূলের প্রকৃতি: বাস্তব ও সমান।

• D < 0 (ঋণাত্মক)
মূলের প্রকৃতি: কাল্পনিক/জটিল ও অসমান।

•  D > 0 এবং D একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা
মূলের প্রকৃতি: মূলদ ও অসমান।

•  D > 0 কিন্তু D পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়
মূলের প্রকৃতি: অমূলদ ও অসমান।

প্রশ্ন: x + 1 > 1 - 2x এর সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
x + 1 > 1 - 2x
বা, x + 2x > 1 - 1
বা, 3x > 0
∴ x > 0

প্রশ্ন: একটি বাক্সে কিছু ২০ টাকা ও ৫০ টাকার নোট রয়েছে। মোট নোটের সংখ্যা ৪০ এবং মোট টাকার পরিমাণ ১২৫০ হলে, ২০ টাকার কয়টি নোট রয়েছে?

সমাধান:
ধরি,
২০ টাকার নোট রয়েছে = ক টি
৫০ টাকার নোট রয়েছে = (৪০ - ক) টি

প্রশ্নমতে,
২০ক + ৫০(৪০ - ক) = ১২৫০
⇒ ২০ক + ২০০০ - ৫০ক = ১২৫০
⇒ ২০০০ - ৩০ক = ১২৫০
⇒ - ৩০ক = ১২৫০ - ২০০০
⇒ - ৩০ক = - ৭৫০
⇒ ৩০ক = ৭৫০
⇒ ক = ৭৫০/৩০
∴ ক = ২৫

সুতরাং, ২০ টাকার নোট রয়েছে ২৫টি।

দেওয়া আছে, a + b = √3 এবং a - b = √2
আমরা জানি, 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²
= (√3)² + (√2)²
= 3 + 2
= 5

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 4y - 4
= x² - (y² - 4y + 4)
= x² - {(y)² - 2 . y . 2 + (2)²}
= x² - (y - 2)²
= {x + (y - 2)}{x - (y - 2)}
= (x + y - 2)(x - y + 2)

মনে করি,
ছাত্র-ছাত্রী সংখ্যা x জন

প্রশ্নমতে,
x(x+25) = 75X100 [∵ 75 টাকা = 7500 পয়সা]
⇒ x²+25x-7500 = 0
⇒ x²+100x-75x-7500 = 0
⇒ x(x+100)-75(x+100) = 0

Either, (x+100)=0 or, x-75 = 0
∴ x = -100(Which is not acceptable) | ∴ x=75
∴ ঐ শ্রেণীতে ৭৫ জন ছাত্র ছাত্রী আছে।

প্রশ্ন: প্রথম 13টি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি, S = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
দেওয়া আছে, n = 13

∴ S = {13(13 + 1)(2 × 13 + 1)}/6
= (13 × 14 × 27)/6
= 4914/6
= 819

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = 819

প্রশ্ন: নিচের উপাত্ত গুলোর প্রচুরক নির্ণয় করুন:
৩০, ১২, ২২, ১৭, ২৫, ২০, ২৩, ২৪, ১৯, ২, ২৩, ২৬, ২৯, ১৯, ৩৫, ২১, ১১, ২৮, এবং ১৯

সমাধান: 
প্রচুরক (Mode): কোনো তথ্য-উপাত্তের সেটে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার আসে, সেই সংখ্যাকে প্রচুরক (Mode) বলা হয়. 

এখানে, 
১৯ সংখ্যাটি তিনবার এসেছে। এবং অন্যান্য সংখ্যাগুলো মধ্যে ২৩ দুইবার আর বাকি গুলো একবার করে এসেছে।

যেহেতু ১৯ সংখ্যাটি অন্য সব সংখ্যার চেয়ে বেশিবার (তিনবার) এসেছে, তাই প্রচুরক হলো ১৯. 

মোট নমুনাবিন্দু = {HH, HT, TH, TT}
= ৪টি
দু'টি হেড অথবা দু'টি টেইলের অনুকূলে নমুনাবিন্দু = ২টি
∴ সম্ভাবনা = ২/৪
= ১/২

4x² - 13x - 12
= 4x² - 16x + 3x - 12
= 4x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(4x + 3)

প্রশ্ন: x² - 2x - 48 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় হবে -

সমাধান:
x² - 2x - 48 = 0
⇒ x² - 8x + 6x - 48 = 0
⇒ x(x - 8) + 6(x - 8) = 0
⇒ (x + 6)(x - 8) = 0

হয়, x + 6 = 0 
বা, x = - 6

অথবা, x - 8 = 0
বা, x = 8

∴ সমীকরণের মূলদ্বয় হবে - 6, 8

x/y = 3
বা, x = 3y
আবার,
x + 2y = 15
বা, 3y + 2y = 15
বা, 5y = 15
∴ y = 3
∴ x = 3y
= 3.3
= 9

প্রশ্ন: ইংরেজি বর্ণমালা থেকে যেমন খুশি টেনে একটি স্বরবর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ইংরেজি বর্ণমালায় বর্ণ সংখ্যা = 26 টি
ইংরেজি বর্ণমালায় স্বরবর্ণের সংখ্যা = 5 টি

∴ একটি স্বরবর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা = 5/26

∴ একটি স্বরবর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (5/26)
= (26 - 5)/26
= 21/26

প্রশ্ন: একটি সেমিনার কক্ষে প্রতি সারিতে ১০ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৮ জন করে বসলে ৬ জন দর্শককে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, সারির সংখ্যা = ক

প্রতি সারিতে ১০ জন করে বসলে ৩টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ১০ জন

প্রতি সারিতে ৮ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৮ক + ৬ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৩) × ১০ = ৮ক + ৬
⇒ ১০ক - ৩০ = ৮ক + ৬
⇒ ১০ক - ৮ক = ৬ + ৩০
⇒ ২ক = ৩৬
⇒ ক = ১৮

অতএব, সেমিনার কক্ষে সারির সংখ্যা = ১৮টি
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৩) × ১০ জন
= (১৮ - ৩) × ১০
= ১৫ × ১০ = ১৫০ জন

∴ ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৫০ জন।

অপুর বর্তমান বয়স 4 বছর হলে মীরার বর্তমান বয়স 16 বছর।
ধরি, x বছর পরে মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে।
প্রশ্নমতে,
2 × (4+x) = 16+x
8 + 2x = 16+x
∴ x = 8
সুতরাং, যখন মীরার বয়স অপুর বয়সের দ্বিগুণ হবে, তখন মীরার বয়স হবে- 16 + 8 = 24 বছর।

প্রশ্ন: 6 টি বইয়ের মধ্যে 2 টি বিশেষ বই একত্রে রেখে বইগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
2 টি বিশেষ বই একত্রে একটি ধরে মোট বই = (6 - 2) + 1 = 5 টি
5 টি বই সাজানোর মোট উপায় = 5!

বিশেষ বই 2 টি সাজানোর মোট উপায় = 2!

∴ সবগুলো বই সাজানোর মোট উপায় = 5! × 2!
= 120 × 2
= 240

প্রশ্ন: 4 + (4/3) + (4/9) + ........... ধারাটির ১ম পাঁচটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = (4/3)/4 = (4/3) × (1/4) = 1/3
পদসংখ্যা, n = 5

∴ ১ম পাঁচটি পদের সমষ্টি, S₅ = 4 × [{1 - (1/3)⁵}/{1 - (1/3)}]
= 4 × [{1 - (1/243)}/{(3 - 1)/3}]
= 4 × [{(243 - 1)/243}/(2/3)]
= 4 × [(242/243)×(3/2)}]
= 4 × (726/486)
= 484/81

প্রশ্ন: x² - x - 2 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - x - 2 
= x² - 2x + x - 2 
= x (x - 2) + 1 (x - 2) 
= (x - 2) (x + 1) 

মোট তাস = ৫২, হরতন = ১৩
∴ সম্ভাবনা = ^১৩C_২/^৫২C_২
= ৭৮/১৩২৬
= ১/১৭

প্রশ্ন: 10 জন বালক ও 5 জন বালিকা থেকে কত উপায়ে 4 জন বালক ও 3 জন বালিকা নিয়ে একটি দল গঠন করা যাবে?

সমাধান:
10 জন বালক থেকে 4 জন বালক এবং 5 জন বালিকা থেকে 3 জন বালিকা বাছাই করতে হবে.
∴ মোট উপায় = 10C4 × 5C3
= 210 × 10 উপায়
= 2100 উপায়

x + 1 দ্বারা f(x) কে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে
f(-1) = 7(-1)² - (-1) - 8
= 7 + 1 - 8
= 8 - 8
= 0

প্রশ্ন: একটি খামারে মুরগি ও গরু একত্রে 120 টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা 280 টি। তা হলে কতটি গরু আছে?

সমাধান:
ধরি,
মুরগি আছে = x টি
∴ গরু আছে = (120 - x) টি
প্রশ্নমতে,
2x + 4(120 - x) = 280
⇒ 2x + 480 - 4x = 280
⇒ 480 - 2x = 280
⇒ 2x = 480 - 280
⇒ 2x = 200
⇒ x = 200/2
∴ x = 100

সুতরাং, মুরগি আছে 100 টি
এবং গরু আছে (120 - 100) = 20 টি

y/x = 1/3......(1)
এবং xy = 27.......(2)
(1)নং × (2)নং ⇒ y² = 9
∴ y = 3
(2)নং থেকে পাই x.3 = 27
∴ x = 9

দেওয়া আছে,
a + 1/a = 3
এখন,
a² + a + 1/a + (1/a)²
= a + 1/a + a² + (1/a)²
= (a + 1/a) + (a + 1/a)² - 2. a. 1/a
= 3 + 3² - 2
=3 + 9 - 2
= 12 - 2
= 10

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 54 এবং সপ্তম পদটি 1458 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

চতুর্থ পদ = 54
∴ ar^4-1 = 54
⇒ ar³ = 54 ......(1)

সপ্তম পদ = 1458
∴ ar^7-1 = 1458
⇒ ar⁶ = 1458 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁶/ar³ = 1458/54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 27 = 54
⇒ a = 2

∴ প্রথম পদ হলো 2

প্রশ্ন: একজন কৃষক প্রথম দিনে 1টি গাছ রোপণ করলো, দ্বিতীয় দিনে 2টি গাছ রোপণ করলো, তৃতীয় দিনে 4টি গাছ রোপণ করলো। এভাবে প্রতিদিন গাছ রোপণ দ্বিগুণ হচ্ছে। তাহলে 12 দিনে মোট কত গাছ রোপণ করবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2

n সংখ্যক পদের সমষ্টি,
Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

∴ 12 দিনের মোট গাছের সংখ্যা,
S₁₂ = 1 × (2¹² - 1)/(2 - 1)
= (4096 - 1)/1
= 4095

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + 1 - √5a = 0
⇒ a² + 1 = √5a
⇒ (a² + 1)/a = √5a/a
⇒ (a²/a) - (1/a) = √5
∴ a + (1/a) = √5

আমরা জানি,
{a - (1/a)}² = {a + (1/a)}² - 4 · a · (1/a)
= (√5)² - 4
= 5 - 4
= 1