বীজগণিত

x + 2y = 4.........(1)
এবং xy = 2
বা, y = 2/x

(1) নং থেকে পাই x + 2.2/x = 4
বা, x² + 4 = 4x
বা, x² - 4x + 4 = 0
বা, (x - 2)² = 0
বা, x - 2 = 0
∴ x = 2

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 2, 3, 5, 7, 8, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6টি।
4 অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে = ⁶P₄
= 6!/(6 - 4)!
= 6!/2!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/(2 × 1)
= 6 × 5 × 4 × 3
= 360

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360 টি।

প্রশ্ন: যদি ⁿC₇ = ⁿC₅ হয়, তাহলে ⁿC₂ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
যদি ⁿC_a = ⁿC_b হয়, তাহলে হয় a = b অথবা a + b = n হবে।

এখানে,
ⁿC₇ = ⁿC₅
⇒ 7 + 5 = n
⇒ n = 12

∴ ⁿC₂ = ¹²C₂
= 12!/2!(12 - 2)!
= (12 × 11 × 10!)/(2 × 1 × 10!)
= 66

শুধু পদার্থবিদ্যায় পাস করে = (৮৫ - ৭৬)%
= ৯%
শুধু রসায়নশাস্ত্রে পাস করে = (৮১ - ৭৬)%
= ৫%
পদার্থবিদ্যা, রসায়নশাস্ত্র এবং উভয় বিষয়ে পাস করে = (৯ + ৫ + ৭৬)%
= ৯০%
∴ উভয় বিষয়ে ফেল করে = (১০০ - ৯০)%
= ১০%

প্রশ্ন: 2x + y = 8 এবং 3x - 2y = 5 হলে, (x, y) =?

সমাধান:
2x + y = 8
⇒ 4x + 2y = 16 ............(1)
3x - 2y = 5 ............(2)

(1) + (2) ⇒
4x + 2y + 3x - 2y = 16 + 5
⇒ 7x = 21
∴ x = 3

(2) নং হতে পাই,
3x - 2y = 5
⇒ 3 × 3 - 2y = 5
⇒ 9 - 2y = 5
⇒ 2y = 4
∴ y = 2

∴ নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 2)

প্রথম পদ a = 5, নবম পদ = 69 হলে, সাধারন অন্তর = d
∴ 69 = 5 + (9 - 1)d বা, 8d = 64 ∴ d = 8
∴ 21 তম পদ = 5 + 160 = 165 

a + b = -c
∴ a + b + c = 0

এখন, a³ + b³ + c³
= a³ + b³ + c³ - 3abc + 3abc
= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc
= 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca) + 3abc
= 3abc 

প্রশ্ন: যদি C = {x ∈ N, x হলো 3 এর গুণিতক এবং 3 ≤ x ≤ 15} হয়, তবে P(C) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, C = {x ∈ N, x হলো 3 এর গুণিতক এবং 3 ≤ x ≤ 15}
∴ C = {3, 6, 9, 12, 15}
∴ n(C) = 5

∴ P(C) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁵
= 32

প্রশ্ন: log_ba³ × log_cb⁴ × log_ac⁵ এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
log_ba³ × log_cb⁴ × log_ac⁵
= 3log_ba × 4log_cb × 5log_ac
= (3 × 4 × 5) × (log_ba × log_cb × log_ac)
= 60 × 1
= 60

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় ৭৫% গণিতে এবং ৬৫% বাংলায় পাশ করল। উভয় বিষয়ে পাশ করল ৫৫%। উভয় বিষয়ে শতকরা কতজন ফেল করল?

সমাধান:
গণিতে পাশ = n(M) = ৭৫%
বাংলায় পাশ = n(B) = ৬৫%
উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∩ B) = ৫৫%

যে কোনো এক বিষয় বা উভয় বিষয়ে পাশ = n(M ∪ B)

n(M ∪ B) = n(M) + n(B) - n(M ∩ B)
= ৭৫% + ৬৫% - ৫৫%
= ১৪০% - ৫৫%
= ৮৫%

∴ উভয় বিষয়ে ফেল করল = ১০০% - ৮৫%
= ১৫%

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 3a³ + 2a² - 21a - 20
f(- 1) = 3.(-1)³ + 2.(-1)² - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

∴ (a + 1) হলো f(a) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: 81 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
log₃81
= log₃3⁴
= 4log₃3  [∵ log_am^r = rlog_am]
= 4 × 1  [∵ log_aa = 1]
= 4

3x = 15 + 3
বা, 3x = 18
∴ x = 6
এখন,
3x + 2 = 3 X 6 + 2 = 20

x⁴ + 1/x³ + x
= 1 - 1 - 1
= -1

 ধরি, 4a - 8b = x এবং 3a - 9b = y
∴ x - y = 4a - 8b - 3a + 9b = a + b
 এখন প্রদত্ত রাশি = x³ -y³ -3 ( x - y ) xy
= ( x- y )³ =  ( a + b )³

প্রশ্ন: 12x²y⁴ কে 5x²y³ দ্বারা গুণ করলে গুণফল কত হবে? 

সমাধান: 
12x²y⁴ × 5x²y³
= (12 × 5) × (x² × x²) × (y⁴ × y³)
= (12 × 5) × (x^{2 + 2}) × (y^{4 + 3})
= 60x⁴y⁷  [সূচক নিয়ম অনুযায়ী]

∴ নির্ণেয় গুণফল = 60x⁴y⁷

প্রশ্ন: A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ} এবং B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20} হলে, A\B কত?

সমাধান:
A = {x : x, 20 এর গুণনীয়কসমূহ}
= {1, 2, 4, 5, 10, 20}

B = {x : x, 2 এর গুণিতক এবং x ≤ 20}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

∴ A\B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}\{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
= {1, 5}

প্রশ্ন: 'JUDGE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায় যাতে স্বরবর্ণগুলো একত্রে থাকবে?

সমাধান:
'JUDGE' শব্দটিতে মোট 5টি বর্ণ আছে যার 2টি স্বরবর্ণ ও 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
2টি স্বরবর্ণকে 1টি ধরে মোট বর্ণ সংখ্যা 4টি কে সাজানো যায় = 4!
 = 24 উপায়ে

আবার
2টি স্বরবর্ণকে নিজেদের মধ্যে সাজানো যায় = 2!  ; [(UE) বা (EU)]
= 2 উপায়ে

সুতরাং নির্ণেয় সাজানো সংখ্যা = 2 × 24
= 48 উপায়ে।

x এর এমন কোন মান নাই যা উভয় সমীকরনকে সিদ্ধ করে
∴ A = ∅

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারায় পঞ্চম পদ 22 এবং পনেরো তম পদ 52। প্রথম পদ কত? 

সমাধান: 
সমান্তর ধারার সাধারণ সূত্র:
a_n = a₁ + (n - 1)d

a₅ = 22 থেকে:
a₁ + 4d = 22........(i)

a₁₅​ থেকে:
a₁ + 14d = 52......(ii)

(ii) থেকে (i) বাদ দিয়ে: 
(a₁ + 14d) - (a₁ + 4d) = 52 - 22
⇒ 10d = 30
⇒ d = 3 

(i) এ d = 3 স্থাপন করে:
a₁ + 4 × 3 = 22
a₁ + 12 = 22 
⇒ a₁ = 10

প্রশ্ন: log_x(0.0001) = - 4 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(0.0001) = - 4
⇒ x^{- 4} = 0.0001    [log_ab = c হলে, a^c = b]
⇒ x^{- 4} = 1/10000
⇒ x^{- 4} = 1/10⁴
⇒ x^{- 4} = 10^{- 4}
⇒ x = 10

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 7 হলে x-এর সীমানা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|x + 3| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ x + 3 ≤ 7
⇒ - 7 - 3 ≤ x ≤ 7 - 3  ; [উভয় দিকে 3 বিয়োগ করে]
⇒ - 10 ≤ x ≤ 4
∴ x ∈ [- 10, 4]

দেওয়া আছে, x/y = 2
∴ y = x/2
এখন, x+2y = 4
⇒ x + 2.x/2 = 4
⇒ x + x = 4
⇒ 2x = 4
∴ x = 2

4x⁴ - x²
= x²(4x² - 1)
= x²{(2x)² - 1}
= x²(2x + 1)(2x - 1)

৬জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ১ম দল ^৬c_২ = ১৫ উপায়ে গঠন করা যায়।
২য় দল বাকী (৬-২) = ৪ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ^৪c_২ = ৬ উপায়ে গঠন করা যায়।
৩য় দল অবশিষ্ট (৪-২) = ২ জন খেলোয়াড় থেকে ২জন করে ^২c_২= ১ উপায়ে গঠন করা যায়।
∴ ৩টি দল গঠনের মোট উপায় = ১৫×৬×১ = ৯০

শব্দটিতে 6টি বর্ণ আছে যাদের 2টি E
সুতরাং সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে সাজানোর উপায়,
= 6!/2!
= 360

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 3/4 অংশ তার 1/2 অংশের চেয়ে 10 বেশি হলে সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
ধরি, 
সংখ্যাটি = x 

শর্তমতে, 
(3x/4) - (x/2) = 10
বা, (3x - 2x)/4 = 10 
বা, x/4 = 10
বা, x = 10 × 4
বা, x = 40
∴ x = 40

∴ সংখ্যাটি = 40  । 

x ∈ A ∪ B হলে,
x ∈ A অথবা x ∈ B

প্রশ্ন: যদি x + y = 6 এবং x² + y² = 20 হয়, তবে x³ + y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x + y = 6 এবং x² + y² = 20

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
বা, 6² = 20 + 2xy
বা, 36 = 20 + 2xy
বা, 2xy = 36 - 20
বা, 2xy = 16
∴ xy = 8

প্রদত্ত রাশি,
x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 6³ - 3(8) × 6
= 216 - 3(48)
= 216 - 144
= 72

প্রশ্ন: p = 7a + 5b + 6c, q = 3a - b + 9c এবং r = - 3c + 6b + 4a হলে,  3p - 4q + 7r মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p = 7a + 5b + 6c
q = 3a - b + 9c
এবং r = - 3c + 6b + 4a

∴ 3p - 4q + 7r = 3(7a + 5b + 6c) - 4(3a - b + 9c) + 7(- 3c + 6b + 4a)
= 21a + 15b + 18c - 12a + 4b - 36c + 28a + 42b - 21c
= 37a + 61b - 39c

1² + 2² + 3²+……..n²= {n (n + 1)(2n + 1)}/6
1² + 2² + 3² + ……..9² = {9 (9 + 1)(18 + 1)}/6 = (9 × 10 × 19)/6 = 285