বীজগণিত

প্রশ্ন: log​₁₀ 100 × log₅ ​25 এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀ 100 = log₁₀ (10²) = 2
log₅ 25 = log₅ (5²) = 2

∴ log₁₀ 100 × log₅ 25
= 2 × 2
= 4

প্রশ্ন: log₂log_√ee² এর মান কত?

সমাধান:
log₂log_√ee²
= log₂log_√e(√e)⁴
= log₂ 4 log_√e√e
= log₂4 × 1
= log₂2² × 1
= 2 log₂2 
= 2 × 1
= 2

0<x<1 অর্থাৎ, স্পষ্টতই x একটি ধনাত্মক দশমিক সংখ্যা।
তাই, x = 0.1 ধরে পাই,
ক) 1/x = 1/0.1 = 10
খ) 1/x² = 1/(0.1)² = 100
গ) x² = (0.1)² = 0.01
ঘ) x³ = (0.1)³ = 0.001
সুতরাং উপরের অপশনগুলো থেকে এটাই স্পষ্ট যে 1/x² হলো সবচেয়ে বড় সংখ্যা।

প্রশ্ন: যদি P(A) = 2/5, P(B) = 3/8 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(B|A) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 2/5
P(B) = 3/8
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (2/5) × (3/8)
= 3/20

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (3/20)/(2/5)
= (3/20) × (5/2)
= 3/8
∴ P(B|A) এর মান = 3/8

Shortcut:
যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা, তাই একটি ঘটনার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার উপর নির্ভরশীল নয়।
তাই, A ঘটনা ঘটার সাপেক্ষে B ঘটনার সম্ভাবনা P(B|A) হলো শুধুমাত্র P(B) এর সমান।
∴ P(B|A) = P(B) = 3/8

(x + y)²
= (x - y)² + 4xy
= 2² + 4.8
= 36
∴ x + y = 6
∴ (x + y)³ = 6³
= 216

যেহেতু x > y এবং xy < 0
∴ x > 0 এবং y < 0
∴ x - y সর্বদা ধনাত্মক।

প্রশ্ন: "EQUALITY" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে জোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ আছে 8টি
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (E, U, A, I) 4টি
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (Q, L, T, Y) 4টি

স্বরবর্ণ 4টি জোড় স্থানে (2য়, 4র্থ, 6ষ্ঠ, 8ম) রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24
বাকি 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ 4টি বিজোড় স্থানে (1ম, 3য়, 5ম, 7ম) রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 4! = 24

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 24 × 24
= 576

অতএব, EQUALITY শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল জোড় স্থানে রেখে মোট 576 উপায়ে সাজানো যাবে।

প্রশ্ন: (x/3) − (x/4) = (x + 1)/6 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
(x/3) − (x/4) = (x + 1)/6
বা, (4x − 3x)/12 = (x + 1)/6
বা, x/12 = (x + 1)/6
বা, 12x + 12 = 6x
বা, 12x − 6x = − 12
বা, 6x = − 12
বা, x = −12/6
∴ x = − 2

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে 3টি সাদা, 3টি লাল এবং 4টি নীল বল আছে। ব্যাগটি থেকে দৈবভাবে 2টি বল তুলে নেওয়া হলো। সবগুলো বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

প্রদত্ত:
মোট বলের সংখ্যা = 3 + 3 + 4 = 10টি

মোট সম্ভাব্য ফলাফল:
10টি বল থেকে 2টি বল নির্বাচন করার উপায়:
= ¹⁰C₂
= 10!/(2! × 8!)
= (10 × 9)/(2 × 1)
= 45

3টি সাদা বল থেকে 2টি সাদা বল নির্বাচন করার উপায়:
= ³C₂
= 3!/(2! × 1!)
= (3 × 2!)/(2! × 1)
= 3

P(দুইটি বলই সাদা) = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 3/45
= 1/15 

ⁿc_r = 120,
ⁿp_r = 240
বা, r! × ⁿc_r = 240
বা, r! × 120 = 240
বা, r! = 2 = 2!
∴ r = 2

2(3x²-1) + x = 0
বা, 6x² - 2 + x = 0
বা, 6x² + x -2 = 0
সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল = -2/6 = -1/3

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে ৫০০ টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে পূর্বের চেয়ে ৫০ টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি প্রথম ১৫ মাসে মোট কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।
প্রথম পদ, a = ৫০০ টাকা
সাধারণ অন্তর, d = ৫০ টাকা
পদ সংখ্যা, n = ১৫

আমরা জানি, 
প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = (n/২) × [২a + (n - ১)d]
∴ S_১৫ = (১৫/২) × [২ × ৫০০ + (১৫ - ১) × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ১৪ × ৫০]
= (১৫/২) × [১০০০ + ৭০০]
= (১৫/২) × ১৭০০
= ১৫ × ৮৫০
= ১২৭৫০ টাকা

গননার গুনন বিধি অনুসারে ভ্রমনের উপায় = ৫×৪ = ২০

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  1 - s² - 2st - t² এর উৎপাদক ?

সমাধান: 
1 - s² - 2st - t²
= 1 - (s + t)²
= (1)² - (s + t)²
= {1 + (s + t)} {1 - (s + t)}
= (1 + s + t) (1 - s - t)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সঠিক?
i. যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয় x + 4, তবে P(- 4) = 0
ii. যদি P(x) কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P (1/2)
iii. যদি x = 1 হলে P(1) = 0, তবে বহুপদীর সব সহগের যোগফল হবে 1.

সমাধান:
i)যদি x + 4, P(x)-এর একটি উৎপাদক হয়, তাহলে P(- 4) = 0,
উৎপাদক উপপাদ্য অনুসারে এটি সঠিক।

ii) যদি P(x)-কে 2x - 1 দ্বারা ভাগ করা হয়, তবে ভাগশেষ হবে P(1/2)।
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী: ax − b দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় P(b/a)।
এখানে a = 2, b = 1, তাই ভাগশেষ = P(1/2), এটি সঠিক।

iii) যদি P(1) = 0 হয়, তাহলে যোগফল 0, 1 নয়।
সুতরাং এটি ভুল।

প্রশ্ন: একটি থলিতে ৪টি লাল, ৬টি সবুজ এবং ১২টি নীল বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলিতে মোট বল আছে (৪ + ৬ + ১২)টি = ২২টি।

∴ বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২২ = ৩/১১

∴ বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১১)
= (১১ - ৩)/১১ = ৮/১১

৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলা থেকে ১ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা নিয়ে কমিটি গঠনের উপায়,
= ^৫C_১ × ^৪C_২
= ৫ × ৬
= ৩০

প্রশ্ন: 2a − b − [2b − {3c − (a − 3b + 3c)}] এর সরলমান কত? 

সমাধান: 
2a − b − [2b − {3c − (a − 3b + 3c)}] 
= 2a − b − [2b − {3c − a + 3b − 3c}]
= 2a − b − [2b − 3c + a − 3b + 3c]
= 2a − b − [a - b]
= 2a − b − a + b
= 2a − a
= a

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.............. + 25 = কত?

সমাধান: 
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
পদসংখ্যা, n = 25
সাধারণ অন্তর, d = (2 - 1) = 1 

∴ সমষ্টি = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (25/2){2 · 1 + (25 - 1) · 1}
= 25/2(2 + 24)
= (25/2) × 26
= 25 × 13
= 325

বাছাই করার উপায় ^(১২-২)c_৫ = ^১০c_৫ = ২৫২

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: 2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
2a² + 6a - 80
= 2(a² + 3a - 40)
= 2(a² + 8a - 5a - 40)
= 2{a(a + 8) - 5 (a + 8)}
= 2(a + 8)(a - 5)

∴ 2a² + 6a - 80 এর একটি উৎপাদক (a + 8)

5 টি বিন্দু সমরেখ হওয়াতে সে গুলো দিয়ে ত্রিভুজ গঠন করা যাবে না
∴ গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁵C₃ - ⁵C₃ = 445

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ........ + ১৯৯ = কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ a = ৩
সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪
শেষ পদ = ১৯৯

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = ১৯৯
⇒ a + (n - ১) × d = ১৯৯
⇒ ৩ + (n - ১) × ৪ = ১৯৯
⇒ (n - ১) × ৪ = ১৯৬
⇒ n - ১ = ১৯৬/৪
⇒ n - ১ = ৪৯
⇒ n = ৫০

∴ সমষ্টি Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
= (৫০/২) × {২ × ৩ + (৫০ - ১) × ৪}
= ২৫ × {৬ + ৪৯ × ৪}
= ২৫ × {৬ + ১৯৬}
= ২৫ × ২০২
= ৫০৫০

প্রশ্ন: |2x + 3| ≤ 9 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
|2x + 3| ≤ 9
= - 9 ≤ 2x + 3 ≤ 9
= - 9 - 3 ≤ 2x + 3 - 3 ≤ 9 - 3
= - 12 ≤ 2x ≤ 6
= - 6 ≤ x ≤ 3

∴ x এর সর্বোচ্চ মান 3

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 9 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

 সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে,
মোট সম্ভাব্য ঘটনা = 6 × 6 = 36

9 এর চেয়ে বড় হওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)}
= 6 টি

∴ যোগফল 9 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 6/36
= 1/6

9×2ⁿ-2×2^n-1
=9×2ⁿ-2×2ⁿ/2
=2ⁿ(9-1)
=2ⁿ.2³
=2ⁿ⁺³

x = √3 + √2 হলে
1/x = √3 - √2
∴ x + 1/x = 2√3
x - 1/x = 2√2
∴ x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 2√3.2√2
= 4√6

x>y এবং z<0, z এর মান ঋণাত্মক।
x ও y এর মান ধনাত্মক বা ঋণাত্মক যাই হোক না কেন- x > y
⇒ zx < zy [যেহেতু z ঋণাত্মক]
⇒ x/z < y/z [যেহেতু z ঋণাত্মক]

5^x + 8.5^x + 16.5^x = 1
বা, 25.5^x = 1
বা, 5².5^x = 1
বা, 5^(x+2) = 5⁰
বা, x + 2 = 0
∴ x = -2

যদি ক) a/p ≠ b/q হয়, তবে সমীকরণজোটটি সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীল হবে।
এক্ষেত্রে অন্যন্য সমাধান হবে।
যেমনঃ x-y = 4 এবং x+y = 10 ; সমীকরণ জোট সঙ্গতিপূর্ণ ও পরস্পর অনির্ভরশীলতার কারণ 1/1 ≠ -1/1
(আবার, সমীকরণজোট টির সমাধান (x,y) = (8,3) যা অন্যন্য)

প্রশ্ন: ১, ২, ৫ অংকগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত তিন অঙ্কের সংখাসমূহ থেকে ইচ্ছেমতো যেকোনো একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১, ২, ৫ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যা = ৩! = ৬ টি
সেগুলো হল- ১২৫, ১৫২, ২১৫, ২৫১, ৫১২, ৫২১

এখন, একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার শর্ত হল, সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হল- ১৫২ এবং ৫১২।
∴ মোট ২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

∴ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৬ = ১/৩

প্রশ্ন: (2x - 3, 12) = (9, 5y + 2) হলে, (x, y) এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(2x - 3, 12) = (9, 5y + 2)

ক্রমজোড়ের শর্তানুসারে, ক্রমজোড়ের প্রথম উপাদান দুটি এবং দ্বিতীয় উপাদান দুটি পরস্পর সমান।

সুতরাং, 2x - 3 = 9
বা, 2x = 9 + 3
বা, 2x = 12
বা, x = 12/2
∴ x = 6

আবার,
5y + 2 = 12
বা, 5y = 12 - 2
বা, 5y = 10
বা, y = 10/5
∴ y = 2

অতএব, নির্ণেয় মান, (x, y) = (6, 2)

ঢাল = -{(x এর মান)/(y এর মান)}
= - (2/-2)
= 1

3 টি শূন্য পদের জন্য 10 জন প্রার্থী আছে। একজন ভোটার 10 জন প্রার্থী হতে যে কোন একজন বা দুইজন বা তিনজনকে ভোট দিতে পারেন।
∴ নির্ণেয় ভোট দান সংখ্যা = ¹⁰C₁ + ¹⁰C₂ + ¹⁰C₃ = 10 + 45 + 120 = 175