বীজগণিত

প্রশ্ন: a = √3 + √2 হলে, a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √3 + √2
বা, 1/a = 1/(√3 + √2)
= {1 × (√3 - √2)} / {(√3 + √2) (√3 - √2)}
= (√3 - √2) / (√3)² - (√2)²
= (√3 - √2) / (3 - 2)
= √3 - √2

∴ ‍a + (1/a) = √3 + √2 + √3 - √2 = 2√3

এখন, 
a³ + (1/a)³ = {a + (1/a)}³ - 3.a.(1/a) {a + (1/a)}
= (2√3)³ - 3 × (2√3)
= 8 × 3√3 - 6√3
= 24√3 - 6√3
= 18√3

প্রশ্ন: যদি (√2)^{x - 3} = 32 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(√2)^{x - 3} = 32
⇒ (2^{1/2)x - 3} = 2⁵
⇒ 2^{(x - 3)/2} = 2⁵
⇒ (x - 3)/2 = 5 
⇒ x - 3 = 10
⇒ x = 13

16^{2x + 4} = 4^{3x + 3}
বা, (2⁴)^{2x + 4} = (2²)^{3x + 3}
বা, 2^{8x + 16} = 2^{6x + 6}
বা, 8x + 16 = 6x + 6
2x = -10
∴ x = -5

প্রশ্ন: a³ - 9 + (a + 1)³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a³ - 9 + (a + 1)³
f(a) একটি বহুপদী, a = 1 বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়। ফলে (a – 1) বহুপদীটির একটি উৎপাদক
∴ f(a) = a³ - 9 + a³ + 3a² + 3a + 1
= 2a³ + 3a² + 3a - 8
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(2a² + 5a + 8)

∴ a³ - 9 + (a + 1)³ = (a - 1)(2a² + 5a + 8)

১ম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত r = -2
প্রথম ছয়টি পদের সমষ্টি s = 2{1 - (-2)⁶}/3 = -42

a³ + b³ = 16
⇒ (a + b)³ - 3ab(a + b) = 16
⇒ 4³ - 3ab.4 = 16
⇒ 64 - 16 = 12ab
⇒ 12ab = 48
∴ ab = 4.

x^-3 - 0.001 = 0
বা, x^-3 = 0.001 = 1/1000
বা, x³ = 1000

ধারার ১ম পদ a = 5,
সাধারণ অন্তর d = 8 - 5 = 3
ধরি, ধারার n তম পদ = 383
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
⇒ 5 + (n-1)3 = 383
⇒ 5 + 3n - 3 = 383
⇒ 3n = 383 - 2
⇒ n = 127
∴ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 

{( শেষ পদ + ১ম পদ)/২} x {(শেষ পদ-১ম পদ)/পদের অন্তর}+১
= (-২৩+৩৩)/২ x ।((-২৩-৩৩)/৪)। +১
= ৫ x ১৫
= ৭৫

প্রশ্ন: 12 - 4x ≥ 3x + 26 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
12 - 4x ≥ 3x + 26
⇒ - 4x - 3x ≥ 26 - 12
⇒ - 7x ≥ 14
⇒ x ≤ 14/(- 7) [ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]
⇒ x ≤ - 2

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2]

(- ∞, - 2] বলতে বোঝায় যে, - 2 এর সমান বা তার চেয়ে ছোট সকল বাস্তব সংখ্যা এই অসমতার অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: a + b + c = 17 এবং a² + b² + c² = 93 হলে, ab + bc + ac এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b + c = 15
এবং a² + b² + c² = 93

আমরা জানি, 
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac)
⇒ 2(ab + bc + ac) = (a + b + c)² - (a² + b² + c²)
= (17)² - 93
= 289 - 93
= 196
⇒ 2(ab + bc + ac) = 196
∴ ab + bc + ac = 196/2 = 98

প্রশ্ন: যদি a = 2 + √3 হয়, তবে a³ + 1/(a³) = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = 2 + √3

এখন, 
1/a = 1/(2 + √3)
= (2 - √3)/((2 + √3)(2 - √3))
= (2 - √3)/(4 - 3)
∴ 1/a = 2 - √3

∴ a + 1/a = 2 + √3 + 2 - √3 = 4

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 1/(a³)
= (a + 1/a)³ - 3a(1/a)(a + 1/a)
= 4³ - 3 × 4
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120 হলে, r এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ⁿP_r = 720 এবং ⁿC_r = 120

আমরা জানি, 
ⁿP_r = ⁿC_r × r!
⇒ 720 = 120 × r!
⇒ r! = 720/120
⇒ r! = 6 = 3!
∴ r = 3

x/a - b = x/b - a
বা, a - b = x/b - x/a
বা, x(1/b - 1/a) = a - b
বা, x.(a - b)/ab = a - b
বা, x/ab = 1
∴ x = ab

প্রশ্ন: দীপান্বিতার সাতজন বান্ধবী আছে। কত ভাবে সে এক বা একাধিক বান্ধবীকে নিমন্ত্রণ করতে পারবে?

সমাধান:
ধরি,
দীপান্বিতার ৭ জন বান্ধবী আছে। 
প্রত্যেক বান্ধবীকে নিমন্ত্রণ করা বা না করা → ২টি বিকল্প।

সর্বমোট সম্ভাবনা: 2⁷ = 128

কাউকে না নিমন্ত্রণ করলে → 1 উপায়।

তাই কমপক্ষে ১ জন নিমন্ত্রণ করার উপায়: 128 - 1 = 127 টি উপায়

প্রশ্ন: 243 এর 3 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₃(243)
= log₃(3⁵)
= 5 × log₃(3)   [log_a(Mⁿ) = n × log_a(M)]
= 5 × 1   [log_a(a) = 1]
∴ log₃(243) = 5

প্রশ্ন: 2a + 3b = 14 এবং ab = 5 হলে, 8a³ + 27b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2a + 3b = 14
ab = 5

এখন,
8a³ + 27b³
= (2a)³ + (3b)³
= (2a + 3b)³ - 3 ⋅ 2a ⋅ 3b(2a + 3b)
= (2a + 3b)³ - 18ab(2a + 3b)
= 14³ - (18 × 5 × 14)
= 2744 - 1260
= 1484

∴ 8a³ + 27b³ এর মান 1484

(ক) এর ছেদ সেট = {1, 2, 3}

(খ) এর ছেদ সেট = {0}

(গ) এর সেটসমূহ {2, 3} ও {5}
∴ ছেদ সেট = Φ

(ঘ) এর সেট সমূহ = {4, 8, 12, 16, 20, 24....} ও {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24......}
∴ ছেদ সেট = {12, 24....}

ঘণ্টায় 60 কিলোমিটার বেগে যায় x কিলোমিটার
ঘণ্টায় 40 কিলোমিটার বেগে যায় (240 - x) কিলোমিটার
প্রশ্নমতে,
x/60 + (240 - x)/40 = 5
⇒ 2x + 720 -3x = 5 × 120
⇒ x = 720 - 600 = 120
∴ঘণ্টায় 60 কিলোমিটার বেগে যায় 120 কিলোমিটার

প্রশ্ন: একটি প্রফেসর পদের জন্য 3 জন প্রার্থী এবং 6 জন লোকের ভোটে একজন নির্বাচিত হলে, কত উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে?

সমাধান:
প্রার্থী সংখ্যা = 3 জন
ভোটদাতা সংখ্যা = 6 জন

∴ মোট ভোট দেওয়ার উপায় = (প্রার্থী)^{ভোটার}
= 3⁶
= 729

এতএব, 729 উপায়ে ভোট দেওয়া যেতে পারে।

প্রশ্ন: SUCCESS শব্দটির বর্ণগুলো কত প্রকারে সাজানো যায়, যাতে S তিনটি পাশাপাশি না থাকে?

সমাধান:
এখানে মোট বর্ণ 7টি; S 3টি, C 2টি।
সুতরাং মোট বিন্যাস = 7!/(3! × 2!) = 420.

S তিনটিকে একত্রে একটি বর্ণ ধরে নিলে মোট বর্ণ হয় 5টি, যেখানে C দুটি।
তাহলে S তিনটি পাশাপাশি রেখে মোট বিন্যাস = 5!/2! = 60.

∴ SUCCESS শব্দটির বর্ণগুলো সাজানো যায়, যখন S তিনটি পাশাপাশি থাকবে না
= 420 - 60 = 360 প্রকারে।

x² - 3x - 10 > 0
(x - 5)(x + 2) > 0
দুইটি রাশির গুনফল তখনই ধনাত্মক বা শূন্য অপেক্ষা বড় হবে যদি উভয়ই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক হয়।
∴ নির্ণেয় সমাধান = (-∞, -2) ∪ (5, +∞)

x² - 5x + 6 > 0 বা, (x - 3)(x - 2) > 0

পাশের সংখ্যা রেখা অনুসারে x<2 অথবা x>3 হলে অসমতাটি সত্য হয়।
∴ সমাধান x<2 অথবা x>3

x = 2 + √3
∴ 1/x = 2 - √3
∴ x² + 1/x²
= (2 + √3)² + (2 - √3)²
= 2{2² + (√3)²}
= 2(4 + 3)
= 14

প্রশ্ন:
অসমতাটির জন্য x এর সমাধান কোনটি হবে?
 
সমাধান:
দেওয়া আছে,


বা,  |2x - 5| > 3

এখন,
(2x - 5) ধনাত্মক হলে,
2x - 5 > 3
⇒ 2x - 5 + 5 > 3 + 5 
⇒ 2x > 8
⇒ x > 8/2
⇒ x > 4

আবার,
(2x - 5) ঋণাত্মক হলে,
- (2x - 5) > 3
⇒ 2x - 5 < - 3
⇒ 2x - 5 + 5 < - 3 + 5
⇒ 2x < 2
⇒ x < 2/2
⇒ x < 1

সুতরাং x < 1 অথবা x > 4

প্রশ্ন: x + y = 12 এবং x - y = 2 হলে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 12 এবং x - y = 2

আমরা জানি,
4xy = (x + y)² - (x - y)²
⇒ 4xy = (12)² - (2)²
⇒ 4xy = 144 - 4
⇒ 4xy = 140
⇒ xy = 140/4
∴ xy = 35

প্রশ্ন: 4x + y = 18 এবং 2x - y = 6 হলে x ও y এর মান কত?

 সমাধান:
4x + y = 18 ............ (1)
2x - y = 6 ............ (2)

(1) ও (2) নং সমীকরণকে যোগ করে পাই,
4x + y + 2x - y = 18 + 6
⇒ 6x = 24
⇒ x = 24/6
⇒ x = 4

x এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2(4) - y = 6
⇒ 8 - y = 6
⇒ y = 8 - 6
⇒ y = 2

∴ x = 4 এবং y = 2